Trabalho de vibrações - digitado - josué geraldo-005325, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - josué geraldo-005325, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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Definição de Vibração Livre Com Amortecimento Viscoso

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Amortecimento ocorre devido à resistência criada pela substância na qual o sistema vibra, pode ser água, óleo ou ar. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso,assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as.A força de amortecimento viscoso tem como expressão:

Fa = -cdx/dt, onde c é uma constante chamada de coeficiente de amortecimento viscoso, com unidades em [N.s/m] (no Sistema Internacional) ou [lb.s/pés] no sistema ingles.

Ao se aplicar o 2° axioma da mecânica, temos a seguinte equação:

Se um corpo se move lentamente no meio fluido, a resistência ao movimento é diretamente proporcional à velocidade do corpo. Uma força deste tipo é denominada força de amortecimento viscoso. Conclui-se que o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar a energia. Portanto o amortecimento viscoso é considerado o modelo mais simples. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão:

As Equações de movimento

O matemático Isaac Newton descreve a equação de movimento através da seguinte formulação:

ou

Solução destas Equações (Explicar os 3 Casos):

Esta é uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, homogênea e tem solução da forma

Onde e é a base dos logaritmos naturais e é uma constante. Para obter o valor de , subs�tuímos os valores de x na equação de movimento, assim:

E podemos reescrever a equação acima como mostrado a seguir

Como o termo nunca é zero, a solução possível é encontrada igualando o termo entre parênteses igual a zero.

Resolvendo esta equação de segundo grau, obtemos dois valores de

Vamos definir o coeficiente de amortecimento crítico como sendo o valor que anula o radical (a parte da equação dentro da raiz), ou seja,

Onde é a freqüência angular natural, ou a frequência do sistema na ausência de amortecimento. Podemos distinguir três tipos diferentes de sistemas amortecidos, dependendo do valor do coeficiente c :

Sistema Superamortecido: Também chamado de amortecimento supercrítico, as raízes

da equação são reais nega�vas e a solução geral da equação de movimento pode ser escrita como

O movimento correspondente a essa solução é não vibratório. O efeito de amortecimento é tão intenso

que, quando o bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio e solto, e volta para sua posição inicial sem oscilar

Sistema Criticamente Amortecido: Também chamado de amortecimento crítico, na solução, as raízes são iguais,

E a solução geral da equação (1) é

O amortecimento é crítico, pois representa a condição mínima de c para o sistema ser não vibratório.

Estes sistemas são de interesse especial na engenharia, pois retornam a sua posição de equilíbrio no menor tempo possível, sem oscilação.

Sistema Sub-amortecido: Também chamado de amortecimento subcrítico, as raízes são complexas e conjugadas e a solução geral tem a forma:

Onde é denominada a freqüência angular (ou pulsação) natural amortecida (se trata da frequência angular natural de um sistema com amortecimento) definido por:

Onde a constante c/cc é conhecida como fator de amortecimento. E solução geral pode ser escrita na forma:

Onde D e são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema

Continuando a solução destas equações

A solução da equação tem forma que, introduzida na equação, resulta em:

Que tem solução não trivial quando a equação característica for satisfeita:

Se a equação característica for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem:

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial, a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma:

A seguir e mostrado uma imagem com gráfico do sistema de vibração livre sub-amortecido

A Figura 01 acima mostra o gráfico da equação de movimento

O movimento é vibratório com amplitude decrescente. Embora este movimento, na realidade, não se repita, o intervalo de tempo , que corresponde a dois pontos sucessivos onde a curva toca as curvas limites, é o período da vibração amortecida. Como o período de vibração amortecida, é maior do que o período da vibração não amortecida,

Decremento Logarítmico O decremento logarítmico, que é consequência de um simples impulso provocado no sistema (em

vibração livre) é obtido através da razão entre duas amplitudes sucessivas do sinal. O termo decremento logarítmico refere-se à taxa de redução logarítmica, relacionada com a redução do movimento após o impulso, pois a energia é transferida para outras partes do sistema ou é absorvida pelo próprio elemento. Representa o método mais utilizado para calcular o amortecimento.

O decrescimento logaritmo do n-ésimo pico e o pico n-ésimo mais um é chamado de decremento δ e é calculado por:

Onde n é o número de ciclos completos e xn é a primeira elongação e x n+1 é a elongação n-ésima mais um. O decremento logaritmo está ligado com o fator de amortecimento pela equação:

Assim tendo um gráfico de oscilação sub-amortecida podemos ter o fator de amortecimento ζ á partir

do cálculo do decremento logaritmo.

Exemplo: Se no gráfico abaixo x1 = 20mm e x2=6mm temos:

n=1 pois entre o primeiro e o segundo há 1 ciclo completo e o decremento logaritmo é

O fator de amortecimento pela equação é ζ=0,18 (Importante: chegar neste resultado, pois quando o amortecimento é ignorado o resultado dos cálculos é uma aproximação somente ) Conforme mostrado na figura abaixo representativa do exemplo anterior.

A figura a seguir apresenta um resumo dos principais conceitos apresentados a respeito do método do decremento logaritmo.

Energia Dissipada em Amortecimento Viscoso Num sistema vibratório em amortecimento viscoso, a taxa de energia dissipada depende, da constante

de amortecimento c, da freqüência da vibração livre amortecida, e do quadrado da amplitude. O que mostra que a energia dissipa com o tempo, e o resultado da equação mostra que a força da mola

não realizara nenhum trabalho durante um ciclo completo ou em ciclos inteiros de qualquer quantidade. Podemos calcular a fração de energia dissipada em cada ciclo.

Essa equação dW/dt é denominada, capacidade de amortecimento especifico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento dos materiais. O coeficiente de perda também faz esta comparação e é definido como:

➢Exemplo: 2.10; Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre uma base que tem uma rigidez

de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por vt1 e vt2, respectivamente. De maneira semelhante, va1 e va2 representam, respectivamente. as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação à sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá:

Onde va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h= 2 m:

Ou

Assim a equação (E1) torna-se

Isto é

A definição do coeficiente de restituição (r) dará:

A solução das equações (E.3) e (6.5) dá

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As freqüências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

➢ Exemplo: 2.11; Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque sub-amortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa

(Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, x1,5 = x1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema sub-amortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema sub-amortecido.

Solução: Visto que x1,5 = x1/4, x2 =x1,5/4 = x1/16. Por conseqüência, o decremento logarítmico toma-se

Pela qual o valor de pode ser determinado como = 0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2s. Por conseqüência,

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é e dada por

E a rigidez por

O deslocamento da massa atingira seu valor Maximo Np tempo t1 dado por

(ver problema 2.86) isso da

Ou

O envelope que passa pelos pontos máximos (vs Problema 2.86) e dado por

Já que x= 250 mm, a Equação (E.2) da, em t1,

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando deslocamento

Como

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá:

➢ Exemplo: 2.12 AnáIise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 (2.8). Quando a

arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano ate uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrario ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte a posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forcado a fazer uma translação pare trás contra um sistema mola-amonecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. 0 recuo do canhão apos um disparo é 0.4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento critico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retomar ate uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução: 1. A frequência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78):

onde O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo x(t)=0 A diferenciação da equação (E1) dá

Por conseqüência x(t) = 0 dá

Neste caso x0=c1 = 0; por conseqüência, a equação (E2) resulta em t1 = 1/wn, visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como xmax=0,4 m temos

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação a sua posição inicial temos

A solução da equação (E3) dá t2= 0,8258 s.

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