Trabalho de vibrações - digitado - luiz augusto de souza-011550, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - luiz augusto de souza-011550, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Luiz Augusto de Souza

011550

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ 2017

1 - Vibração livre com amortecimento viscoso 1.1 - Equação de movimento

A força de amortecimento viscoso, F, é proporcional à velocidade x ou v e pode ser

expressa como:

onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso, assim o sinal negativo indicando que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade.

Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso é mostrado na

figura 2.21. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da

lei de Newton dá a equação de movimento:

Ou,

1.2 - Solução

Para resolver a Equação (2.59), admitimos uma solução na forma

Onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na Equação

(2.59) resulta na equação característica

cujas raízes são:

Estas raízes dão duas soluções para a Equação (2.59):

Assim, a solução geral da Equação (2.59) é dada por uma combinação das duas

soluções x1(t) e x2(t):

Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições

iniciais do sistema.

2 - Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento

c para o qual o radical ne Equação (2.62) torna-se zero:

Ou

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a

razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico:

Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever:

e, por consequência,

Assim, a solução, Equação (2.64), pode ser escrita como:

A natureza das raízes s1 e s2 e, por consequência, o comportamento da solução,

equação (2.69), depende da magnitude do amortecimento. Pode-se perceber que o caso ȶ =

0 resulta nas vibrações não amortecidas discutidas na Seção 2.2. Por consequência,

admitimos que ȶ ≠ 0 e consideramos os três casos seguintes.

Caso1. Sistema subamortecido

(ȶ < 1 ou c < cc ou c/2m < ). Para essa condição,

(ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como

E a solução, Equação (2.69), pode ser escrita de formas diferentes:

Onde (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais.

Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1e

C’2.

O movimento descrito pela Equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido

de frequência angular; porém, por causa do fator , a amplitude diminui exponencialmente

com o tempo, como mostra a Figura 2.22. A quantidade

é denominada a frequência de vibração amortecida. Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida wd é sempre menor do que a frequência natural wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento, dada pela Equação (2.76), é mostrada em gráfico na Figura 2.23. O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório [2.10].

Caso 2. Sistema criticamente amortecido

(ȶ = 1 ou c = cc ou c/2m = ).Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da Equação (2.68)são iguais:

Por causa das raízes repetidas a solução da Equação (2.59) é dada por [2.6]¹

A aplicação das condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0 para esse caso dá

E a solução torna-se:

Pode- se ver que o movimento representado pela Equação (2.80) é aperiódico (isto

é não periódico). Visto que → 0 quando t → ∞, o movimento eventualmente diminuirá até

zero, como indicado na Figura 2.24.

A Equação (2.78) também pode ser obtida fazendo ȶ →1, wn→0; por consequência, coswdt→1 e senwdt→wdt. Assim a Equação (2.72) dá onde C1= C’1 e C2 = C’2wd são novas constantes.

Caso 3. Sistema superamortecido

(ȶ > 1 ou c >cc ou c/2m > ) >0, a Equação (2.68) mostra que as raízes s1 e s2 são reais e

distintas e são dadas por

Com s2 << s1. Nesse caso a solução, Equação (2.69), pode ser expressa como:

Para as condições iniciais x(t=0) =x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos obter as constantes C1 e C2:

A Equação (2.81) mostra que o movimento é aperiódico, que não depende das

condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas,

que garante que o movimento diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a

figura 2.24.

Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1. A natureza das raízes s1 e s2 com a variação dos valores de amortecimento c ou ȶ

pode ser mostrada em um plano complexo. Na Figura 2.25, os eixos horizontal e

vertical são escolhidos como eixo real e imaginário. O semi círculo representa o

lugar geométrico das raízes s1 e s2 para diferentes valores de ȶ na faixa 0 < ȶ < 1.

Essa figura parmite-nos ver instantaneamente o efeito do parâmetro ȶ no

comportamento do sistema. Constamos que, para ȶ =0, obtemos as raízes

imaginárias s1 = + iwn e s2 = -iwn, o que resulta na solução dada na Equação

(2.15). Para 0< ȶ < 1, as raízes s1 e s2 são conjugadas complexas e localizadas

simetricamente em relação ao eixo real. À medida que o valor ȶ aproxima-se do

ponto –wn no eixo real. Se ȶ > 1, ambas as raízes estão no eixo real, uma crescendo

e outra decrescendo. No limite quando ȶ → ∞, s1 → 0 e s2 → -∞. Pode-se ver que

o valor ȶ = 1 representa um estágio de transição, abaixo no qual ambas as raízes são

complexas e acima do qual ambas as raízes são reais.

2. Um sistema criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para o

movimento aperiódico; por consequência a massa retorna à posição de repouso no

menor tempo possível, sem ultrapassar o limite. A propriedade de amortecimento

crítico é usada em muitas aplicações práticas. Por exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico, para

que voltem a sua posição inicial após o recuo no tempo mínimo, sem vibrar. Se o

amortecimento fornecido fosse maior que o valor crítico, haveria alguma demora

antes do próximo tiro.

3. A resposta amortecida livre de um sistema com um grau de liberdade pode ser

representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura 2.26.

3 - Decremento Logarítmico

FIGURA 2.24 - Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma

vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas

amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes e duas

amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e

outra para um sistema não amortecido, como na Figura 2.22. Pela Equação (2.70),

podemos expressar a razão.

(2.83)

Porém, t2=t1+Ƭd onde Ƭd=2/ῳd é o período de vibração amortecida. Por

consequência, cos(ῳdt2-ϕ) = cos(2+ῳdt1-ϕ) = cos(ῳdt1-ϕ) e a Equação (2.83) pode ser

escrita como:

(2.84)

O decremento logaritmo pode ser obtido pela Equação (2.84):

(2.85)

FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s1 e s2.

Para pequeno amortecimento, a Equação (2.85) pode ser aproximada:

se (2.86)

A Figura 2.27 mostra a variação do decremento logarítmico com como dado

pelas equações (2.85) e (2.86). Pode-se observar que, para valores até =0,3, é difícil

distinguir uma curva da outra.

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator do

fator de amortecimento adimensional .Uma vez conhecido , pode ser determinado

resolvendo-se a Equação (2.85):

(2.87)

Se usarmos a Equação (2.86) em vez da Equação (2.85), temos

(2.88)

Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por

experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x1 e x2.Tomando o

logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos . Pela Equação (2.87), podemos

calcular o fator de amortecimento .

FIGURA 2.26 - Plano de fase de um sistema amortecido.

Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se

dois deslocamentos separados por qualquer número completo de ciclos. Se

denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um

número inteiro, obtemos

FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento.

(2.89)

Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por uma ciclo

satisfazem a equação

(2.90)

A Equação (2.89) torna-se

(2.91)

As Equações (2.91) e (2.85) dão

(2.92)

Que pode ser substituído na Equação (2.87) ou Equação (2.88) para obter o fator de

amortecimento viscoso . O valor apresenta-se muitas vezes em percentagem e dá uma

indicação do nível de amortecimento muito ilustrativa. Quanto maior , tanto mais o

sistema está a perder a energia e as amplitudes de vibração estão a decrescer rapidamente.

Quando atinge o valor 1, o valor c atinge o valor crítico, ou seja cr c c , e a equação

característica tem uma raiz dupla e por isso não há movimento oscilatório. Valor maior que

1 indica amortecimento supercrítico e novamente não há movimento oscilatório.

4 - Energia dissipada em amortecimento viscoso

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o

tempo(dW/dt) é dada por

(2.93)

pela Equação (2.58).O sinal negativo na Equação (2.93) quer dizer que a energia

dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem

ῳdt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é

dada por².

No caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)=X cos

ῳdt só é possível quando a resposta de regime permanente é considerada sob uma força

harmônica de frequência ῳd (ver Seção 3.4). A perda de energia devida ao amortecedor é

fornecida pela excitação sob vibração forçada em regime permanente[2.7].

(2.94)

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do

movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e

amplitude determinados, visto que ΔW também é função da frequência

ῳd. A Equação (2.94) é válida mesmo quando há uma mola de rigidez

em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso, considere o sistema mostrado na Figura

2.28.A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

(2.95)

Se admitirmos movimento harmônico simples

(2.96)

como antes, a Equação (2.95) torna-se

(2.97)

A energia dissipada em um ciclo completo será

(2.98)

que podemos ver que é idêntica à Equação (2.94).Esse resultado é esperado, visto que a

força da mola não realizará nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer

número inteiro de

ciclos. Também podemos

calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de

movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa como a

máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética

. As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento.

FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo.

Assim, pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade * é denominada capacidade de

amortecimento específico e

é útil para comparar a

capacidade de amortecimen

to de materiais de engenharia.

Outra quantidade, conhecida

como coeficiente de perda,

também é usada para

comparar. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por

radiano e a energia total de deformação:

coeficiente de perda (2.100)

5 - Sistemas torcionais com amortecimento viscoso

Os métodos apresentados nas seções 2.61 a 2.6.4 para vibrações lineares com amortecimento viscoso podem ser estendidos diretamente para vibrações por torção

(angulares) viscosamente amortecidas. Para isso, considere um sistema torcional com um

grau de liberdade com um amortecedor viscoso, como mostrado na Figura 2.29(a). o

torque de amortecimento viscoso é dado por (Figura 2.29b):

(2.101)

Onde ct é a constante de amortecimento viscoso por torção, é a

velocidade angular do disco, e o sinal negativo denota que o torque de amortecimento está

no sentido oposto ao da velocidade angular. A equação de movimento pode ser derivada

como

(2.102)

Onde J0= momento de inércia de massa do disco;

Kt= constante elástica do sistema (torque restaurador por unidade de deslocamento angular);

deslocamento angular do disco. A solução da Equação (2.102) pode ser determinada

exatamente como no caso de vibrações lineares.

Por exemplo, no caso de um sistema subamortecido, a frequência de vibração amortecida

é dada por

(2.103)

FIGURA 2.29 - Amortecedor viscoso por torção.

Onde

(2.104)

e

(2.105)

Onde ctc é a constante crítica de amortecimento por torção.

EXEMPLO 1

Resposta da bigorna de um martelo de forjar

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

(E.1)

(E.2)

ou

Assim, a Equação (E.1) torna-se

isto é,

(E. 3)

A definição do coeficiente de restituição (r) dá: (E.4)

isto é,

(E.5)

A solução das equações (E.3) e (E.5) dá

Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

EXEMPLO 2

Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo (isto é, X 1,5 = X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido.

Solução: Visto que X1,5 = X1/4, X2 = X1,5/4 = X1/16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se

(E.1)

pela qual o valor de pode ser determinado como =0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. Por consequência,

A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é dada por

e a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por

(Ver Problema 2.86.) Isso dá

FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.

ou

O envelope que passa pelos pontos máximos (ver Problema 2.86) é dado por

(E.2)

Já que X = 250 mm, a equação (E.2) dá, em t1, a Equação (E.2) dá, em t1,

ou

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

como

(E.3)

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá

EXEMPLO 3

Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1. A frequência natural não amortecida do sistema é

e o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78):

(E.1)

onde

.O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo X(t) = 0. A diferenciação da Equação (E.1) dá

Por consequência, X(t) = 0 dá

(E.2)

FIGURA 2.32 - Recuo de canhão

Nesse caso, X0 = C1 = 0; por consequência, a Equação (E.2) resulta em t1 = 1/ῳn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como Xmáx = 0,4 m, temos

ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

(E.3)

A solução da Equação (E.3) dá t2 = 0,8258 s.

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