Trabalho de vibrações - digitado - luiz fernando leite-011703, Trabalhos de Engenharia Mecânica
basofio-silva-11
basofio-silva-11

Trabalho de vibrações - digitado - luiz fernando leite-011703, Trabalhos de Engenharia Mecânica

26 páginas
10Números de download
931Número de visitas
Descrição
Vibrações mecânicas
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 26
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 26 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 26 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 26 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 26 páginas

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Luiz Fernando Leite

011703

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ 2017

1

Sumário: Páginas

1-Definição de Vibração Livre com Amortecimento Viscoso; 3

1.1-Equações de movimento; 3

1.2-Solução destas equações: 3

Caso I 6

Caso II 8

Caso III 9

1.3-Decremento Logarítmico; 11

1.4-Energia Dissipada em Amortecimento Viscoso; 14

1.5- Sistemas Torcionais com Amortecimento Viscoso; 15

2-Exemplos : 17

Exemplo: 2.10; 17

Exemplo: 2.11; 20

Exemplo: 2.12; 23

2

1-Definição de Vibração Livre com Amortecimento Viscoso;

1.1-Equações de movimento;

A força de amortecimento pode ser expressa por:

Onde:

C = Constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso;

Observaç

ão: O sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade.

Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso é mostrado na figura 2.21.Com x sendo medido em relação a massa m e aplicando a lei de Newton, obtém-se a seguinte equação de movimento.

Ou

1.2-Solução destas equações;

Para resolver a equação (2.59), Admite-se a solução:

Onde:

C e S = Constantes indeterminadas;

Inserindo essa função na equação (2.59) resulta:

Cujas raízes são :

3

Essas raízes dão duas soluções para a equação (2.59):

Combinando x1(t) e x2(t) obtem a solução geral da equação (2.59):

Onde:

C1 e C2 = Constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

O amortecimento crítico Cc é definido como o valor da constante de amortecimento C para o qual o radical na equação (2.62) torna-se;

Ou

Em sistemas amortecidos, o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico.

4

Pelas equações (2.65) e (2.66),podemos escrever:

E, por consequência,

5

Assim, equação (2.64) pode ser escrita como:

A natureza das raízes s1 e s2 , e o comportamento da equação (2.69) dependem da magnitude do amortecimento. Caso ȶ=0 resulta em vibração não amortecida. Por consequência, admitimos ȶ ≠0 e consideramos três casos.

1.2-Solução destas equações:

Caso I. Sistema sub amortecido:

(ȶ < 1 ou c < cc ou c/2m < ). Para essa condição,

(ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como

e a solução, Equação (2.69), pode ser escrita de formas diferentes:

6

Onde: (C’1, C’2), (X, Ø) e (X0, Ø0) são constantes arbitrárias a ser determinadas pelas condições iniciais.

Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1e C’2:

7

O movimento descrito na equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de frequência angular ; a amplitude diminui exponencialmente com o tempo devido ao fator exponencial como mostra a figura 2.22.

A quantidade

É denominada a frequência de vibração amortecida. A mesma é sempre menor que a frequência natural Wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento do amortecimento, dado pela equação (2.76), é mostrado em gráfico na figura 2.23. No estudo de vibrações mecânicas é importante o caso sub amortecido, pois é o único que resulta em um movimento oscilatório (2.10).

8

Caso II. Sistema criticamente amortecido:

(ȶ = 1 ou c = cc ou c/2m = ). Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 da equação (2.68) são iguais:

Por causa das raízes repetidas a solução da equação (2.59) é dada por [2.6]

A aplicação das condições iniciais x(t=0)=x0 e ẋ(t=0) para esse caso dá

E a solução torna-se :

O movimento representado pela equação (2.80) não é periódico, visto que → 0 quando t → ∞, o movimento diminuirá até zero, como indicado na figura 2.24.

A equação (2.78) também pode ser obtida fazendo ȶ →1, wn→0; por consequência coswdt→1 e senwdt→wdt;

Assim a equação (2.72) dá:

9

Onde C1= C’1 e C2= C’2wd são novas constantes.

Caso III. Sistema superamortecido:

(ȶ > 1 ou c >cc ou c/2m > √(k/m) ) √(ȶ²-1)>0), a equação (2.68) mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas. São dadas por:

Com s2 << s1. Nesse caso a solução da equação (2.69), pode ser expressa como:

Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e (t=0) = 0, podemos obter as constantes C1 e cC2:

10

A equação (2.81) mostra que o movimento não é periódico, em qualquer condição inicial imposta pelo sistema. Em que as raízes s e s2 são ambas negativas, e o movimento diminui exponencialmente com o tempo, como vemos na figura 2.24.

Observe os seguintes aspectos desse sistema:

1. Em um plano complexo podemos observar a natureza das raízes s1 e s2 com a variação dos valores de amortecimento c ou ȶ. Na figura 2.25, os eixos horizontal e vertical são escolhidos como eixo real e imaginário. O semicírculo representa o lugar geométrico das raízes s1 e s2 para diferentes valores de ȶ na faixa 0 < ȶ < 1. Essa figura nos permite ver instantaneamente o efeito do parâmetro ȶ no comportamento do sistema. Constamos que, para ȶ =0, obtemos as raízes imaginárias s1 = + iwn e s2 = -iwn, o que resulta na solução dada na Equação (2.15). Para 0< ȶ < 1, as raízes s1 e s2 são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real. À medida que o valor ȶ aproxima-se do ponto –wn no eixo real. Se ȶ > 1, ambas as raízes estão no eixo real, uma crescendo e outra decrescendo. No limite quando ȶ → ∞, s1 → 0 e s2 → -∞. Pode-se ver que o valor ȶ = 1 representa um estágio de transição, abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais.

2. Em um sistema que é criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para movimento não periódico. Fazendo com que a massa retorne a posição de repouso em menor tempo possível. Um exemplo de amortecimento crítico é o caso de armas de fogo de grande porte que possuem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico para que retornem a sua posição inicial no menor

11

tempo sem vibrar. Se isso não ocorresse teria que se esperar para efetuar outro disparo.

3. A resposta amortecida livre de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura 2.26.

1.3- Decremento Logarítmico

Figura 2.24 – Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. São representados por t1 e t2 os tempos de duas amplitudes consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra em um sistema não amortecido, como na figura 2.22. Pela equação (2.70) expressamos a razão.

(2.83)

Porém, t2=t1+Ƭd onde Ƭd=2π/ῳd é o período de vibração amortecida. Por consequência, cos(ῳdt2-ϕ) = cos(2π+ῳdt1-ϕ) = cos(ῳdt1-ϕ) e a Equação (2.83) pode ser escrita como.

(2.84)

12

O decremento logaritmo pode ser obtido pela Equação (2.84):

(2.85)

Figura 2.25 – Lugar geométrico de s1 e s2.

Para pequeno amortecimento, a equação (2.85) pode ser aproximada:

se (2.86)

A Figura 2.27 mostra a variação do decremento logarítmico com como dado pelas equações (2.85) e (2.86). Pode-se observar que, para valores até =0,3, é difícil distinguir uma curva da outra.

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator de amortecimento adimensional .Uma vez conhecido , pode ser determinado resolvendo-se a Equação (2.85):

(2.87)

Se usarmos a Equação (2.86),em vez da Equação (2.85), temos:

13

(2.88)

Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x1 e x2.Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos . Pela Equação (2.87), podemos calcular o fator de amortecimento .

Figura 2.26 – Plano de fase de um sistema amortecido.

Pode se determinar o fator de amortecimento , medindo-se dois deslocamentos separados

por qualquer número completo de ciclos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos:

Figura 2.27 – Variação do decremento logaritmo com amortecimento.

14

(2.89)

Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por um ciclo satisfazem a equação:

(2.90)

A Equação (2.89) torna-se:

(2.91)

As Equações (2.91) e (2.85) resultam:

(2.92)

que pode ser substituído na Equação (2.87) ou Equação (2.88) para obter o fator de amortecimento viscoso .

1.4 – Energia dissipada em amortecimento viscoso;

Em sistemas amortecidos viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo (dW/dt) é dada por:

(2.93)

pela Equação (2.58).O sinal negativo na Equação (2.93) denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem ῳdt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por².

² No caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)=X cos ῳdt só é possível quando a resposta de regime permanente é considerada sob uma força harmônica de frequência ῳd (ver Seção 3.4). A perda de energia devida ao amortecedor é fornecida pela excitação sob vibração forçada

em regime permanente[2.7].

(2.94)

Assim vemos que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ΔW também é frequência ῳd.

15

A Equação (2.94) é válida mesmo quando há uma mola de rigidez em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso, considere o sistema mostrado na Figura 2.28.A força total resistente ao movimento pode ser expressa como:

(2.95)

Se admitirmos movimento harmônico simples:

(2.96)

como antes, a Equação (2.95) torna-se:

(2.97)

A energia dissipada em um ciclo completo será:

(2.98)

Observamos que é idêntica à equação (2.94). Isso acontece, pois a força da mola não realizará nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer número inteiro de ciclos.

A fração da energia total do sistema vibratório também pode ser calculada. Como segue. A

energia total do sistema W pode ser expressa como a máxima energia potencial ou

como a máxima energia cinética . As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,

16

(2.100)

1.5 – Sistemas Torcionais com Amortecimento Viscoso;

Os mesmos métodos (2.61 a 2.640) de vibrações lineares são usados para vibrações por torção (angulares). O torque de amortecimento viscoso é dado por (figura 2.29b):

(2.101)

Onde:

Ct = constante de amortecimento viscoso por torção;

= Velocidade angular do disco;

A equação de movimento:

(2.102)

Onde:

Jo = momento de Inércia da massa do disco;

Kt = Constante elástica do sistema;

Deslocamento angular do disco;

17

No caso de um sistema sub amortecido, a frequência de vibração amortecida é dada por:

(2.103)

Figura 2.29 – Amortecedor Viscoso por torção.

Onde:

(2.104)

e

(2.105)

Onde:

Ctc = Constante crítica de amortecimento por torção.

2 – Exemplos;

18

Exemplo 2.10:

Resposta da bigorna de um martelo de forjar

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá

(E.1)

onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

(E.2)

19

ou

Assim, a Equação (E.1) torna-se

isto é,

(E.3)

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

(E.4)

isto é,

isto é,

20

(E.5)

A solução das equações (E.3) e (E.5) dá

Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

Exemplo 2.11:

Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de

21

vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio- ciclo (isto é, X1,5 = X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido.

Solução: Visto que X1,5 = X1/4, X2 = X1,5/4 = X1/16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se

(E.1)

pela qual o valor de pode ser determinado como =0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. Por consequência,

A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é dada por

e a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por

(Ver Problema 2.86.) Isso dá

22

FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.

ou

O envelope que passa pelos pontos máximos (ver Problema 2.86) é dado por

(E.2)

Já que X = 250 mm, a equação (E.2) dá, em t1, a Equação (E.2) dá, em t1,

ou

23

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

como

(E.3)

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá

Exemplo 2.12:

Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1. A frequência natural não amortecida do sistema é

24

e o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78):

(E.1)

onde

.O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo X(t) = 0. A diferenciação da Equação (E.1) dá

Por consequência, X(t) = 0 dá

(E.2)

FIGURA 2.32 - Recuo de canhão

25

Nesse caso, X0 = C1 = 0; por consequência, a Equação (E.2) resulta em t1 = 1/ῳn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como Xmáx = 0,4 m, temos

ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

(E.3)

A solução da Equação (E.3) dá t2 = 0,8258 s.

26

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 26 páginas