Trabalho de vibrações - digitado - marcelo machado martins-011643, Trabalhos de Engenharia Mecânica
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Trabalho de vibrações - digitado - marcelo machado martins-011643, Trabalhos de Engenharia Mecânica

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Vibrações mecânicas
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

MARCELO MACHADO MARTINS

011643

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

ITAJUBÁ 2017

2.6 Vibração livre com amortecimento viscoso 2.61 Equação de movimento

O amortecimento viscoso é o que mais ocorre na prática da Engenharia. Ele resulta do atrito viscoso, isto é, aquele que acontece entre um sólido (uma peça) e um fluido viscoso (um óleo lubrificante, por exemplo) interposto entre as peças móveis do sistema mecânico. Assim, o atrito que ocorre entre um eixo e o seu mancal de deslizamento, quando há lubrificação, é um atrito viscoso.

A força de atrito viscoso (ou resistência viscosa) é diretamente proporcional à velocidade relativa entre sólido e fluido. Matematicamente, a resistência viscosa, Fv, é dada por:

Onde x é a velocidade relativa entre sólido e fluido, e c é o coeficiente de proporcionalidade, denominado coeficiente de amortecimento viscoso.

Aplicando a lei de Newton em um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso como mostrado na figura 2.21 considerando x medido em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação resulta na seguinte equação de movimento

ou

2.6.2 Solução

Resolvendo a Equação (2.59), admitindo uma solução na forma

Onde C e s são constantes indeterminadas. Assim, a solução geral da Equação é dada por:

onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento

O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical ne Equação torna-se zero:

Podendo ser escrita por

A natureza das raízes s1 e s2 e, por consequência, o comportamento da solução, depende da magnitude do amortecimento.

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico:

Caso1.Sistema subamortecido

(ȶ < 1 ou c < cc ou c/2m < ). Para essa condição,

(ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como

Para as condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos determinar C’1e C’2:

O movimento descrito pela Equação acima é um movimento harmônico amortecido de frequência angular; porém, por causa do fator , a amplitude diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a Figura 2.22.

Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida wd é sempre menor do que a frequência natural wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento, é mostrada em gráfico na Figura 2.23. O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório.

Caso 2. Sistema criticamente amortecido

(ȶ = 1 ou c = cc ou c/2m = ).Nesse caso, as duas raízes s1 e s2 são iguais:

A aplicação das condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0 para esse caso temos:

Pode- se observar que o movimento representado pela Equação acima é aperiódico. Visto que → 0 quando t → ∞, o movimento eventualmente diminuirá até zero, como indicado na Figura 2.22.

Caso 3. Sistema superamortecido

(ȶ > 1 ou c >cc ou c/2m > ) >0, a Equação abaixo mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas

e são dadas por

Com s2 << s1. Nesse caso a solução, Equação x(t), pode ser expressa como

Para as condições iniciais x(t=0) =x0 e ẋ(t=0) = ẋ0, podemos obter as constantes C1 e C2:

A Equação

mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas, e o movimento diminui exponencialmente com o tempo.

2.63 Decremento Logarítmico

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes e duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na Figura 2.22, podemos expressar a razão.

Porém, t2=t1+Ƭd onde Ƭd=2/ῳd é o período de vibração amortecida. Por consequência, cos(ῳdt2-ϕ) = cos(2+ῳdt1-ϕ) = cos(ῳdt1-ϕ) e a Equação pode ser escrita como.

O decremento logaritmo pode ser obtido pela Equação:

FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s1 e s2.

Para pequeno amortecimento, a equação pode ser aproximada de:

;

A Figura 2.27 mostra a variação do decremento logarítmico com como dado pelas equações acima.

FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento.

O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator de amortecimento adimensional .Uma vez conhecido , pode ser determinado expressado como:

ou

Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x1 e x2.Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos .

FIGURA 2.26 - Plano de fase de um sistema amortecido.

Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois deslocamentos separados por qualquer número completo de ciclos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos

Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por um ciclo satisfazem a equação para obter o fator de amortecimento viscoso .

.

Obtendo assim

2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo é dada por

O sinal negativo na equação denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=X sem ῳdt, onde X é a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por².

No caso de um sistema amortecido, o movimento harmônico simples x(t)=X cos ῳdt só é possível quando a resposta de regime permanente é considerada sob uma força harmônica de frequência ῳd. A perda de energia devida ao amortecedor é fornecida pela excitação sob vibração forçada em regime permanente.

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ΔW também é função da frequência ῳd.

A Equação é válida mesmo quando há uma mola de rigidez em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso, considere o sistema mostrado na Figura 2.28.A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

Se admitirmos movimento harmônico simples

A energia dissipada em um ciclo completo será

Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode

ser expressa como a máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética

. As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento.

FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo.

Outra quantidade, conhecida como coeficiente de perda, também é usada para comparar. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação:

Coeficiente de perda

EXEMPLO 2.10

Resposta da bigorna de um martelo de forjar

A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4.

Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição

de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá

onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m:

ou

Assim, a Equação (E.1) torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

Solução da equação,

Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72):

EXEMPLO 2.11

Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio- ciclo (isto é, X1,5 = X1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.

Abordagem: usamos a equação para o decremento logarítmico em termos do fator de amortecimento, equação para o período de vibração amortecida, tempo correspondente ao

deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido.

FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.

Solução: Visto que X1,5 = X1/4, X2 = X1,5/4 = X1/16. Por consequência, o decremento logarítmico torna-se

(E.1)

pela qual o valor de pode ser determinado como =0,4037. O período de vibração amortecida é dado como 2 s. Por consequência,

A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por:

Assim a constante de amortecimento é dada por

e a rigidez por

O deslocamento da massa atingirá seu valor máximo no tempo t1, dado por

(Ver Problema 2.86.) Isso dá

ou

Já que X = 250 mm, a equação (E.2) dá, em t1, a Equação (E.2) dá, em t1,

ou

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

como

(E.3)

Quando t = 0, a Equação (E.3) dá

EXEMPLO 2. 12

Análise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial.

Solução:

1. A frequência natural não amortecida do sistema é

e o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é

2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78):

(E.1)

onde

.

O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo X(t) = 0. A diferenciação da Equação (E.1) dá

Por consequência, X(t) = 0 dá

(E.2)

FIGURA 2.32 - Recuo de canhão

Nesse caso, X0 = C1 = 0; por consequência, a Equação (E.2) resulta em t1 = 1/ῳn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como Xmáx = 0,4 m, temos

ou

3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos

(E.3)

A solução da Equação (E.3) dá t2 = 0,8258 s.

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