Transformadas de Laplace, Notas de estudo de Automação
leo-tai-3
leo-tai-3

Transformadas de Laplace, Notas de estudo de Automação

33 páginas
50Números de download
1000+Número de visitas
100%de 0 votosNúmero de votos
Descrição
Inserir Descrição
80 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 33
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 33 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 33 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 33 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 33 páginas
Microsoft Word - AnSinais cap8 _Transformadas de Laplace_.docx

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

1

8 – Transformadas de Laplace

8.1 – Introdução às Transformadas de Laplace 3 8.2 – Transformadas de Laplace – definição 5 8.2 – Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 8.4 – Propriedades daTransformada de Laplace 10

Homogeneidade 10 Aditividade 10 Linearidade 10 Sinal transladado (“time shifting”) 10

Sinal multiplicado por exponencial e-at 10 Derivadas 11 Integral 11 Mudança de escala do tempo (“time scaling”) 12 Sinal multiplicado por t 12 Sinal multiplicado por 1/t 12 Convolução 13

8.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 13 Exemplo 8.1 13

8.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace 14 Exemplo 8.2 14 Exemplo 8.3 14 Exemplo 8.4 15 Exemplo 8.5 15

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

2

Exemplo 8.6 16 Exemplo 8.7 17 Exemplo 8.8 17 Exemplo 8.9 17 Exemplo 8.10 19 Exemplo 8.11 19 Exemplo 8.12 21

8.6 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais contínuos 22 8.8 – A Transformada Inversa de Laplace 23

Exemplo 8.13 26 Exemplo 8.14 27 Exemplo 8.15 27 Exemplo 8.16 29

8.9 – Solução EDO usando Transformadas de Laplace 30 Exemplo 8.17 30 Exemplo 8.18 32

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

3

Transformadas de Laplace 8.1 – Introdução às Transformadas de Laplace Neste capítulo estudaremos as Transformadas de Laplace, que de certa forma genera- liza as Transformadas de Fourier (capítulo 6). As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de “s” que é um complexo, s = σ + jω (em vez de apenas “jω” nas Transformadas de Fourier). A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace(1749-1827).

Fig. 8.1 – Pierre Simon Laplace (1749-1827), francês.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

4

A Transformada de Laplace possuem algumas vantagens sobre as Transformadas de Fourier:

As Transformadas de Laplace fornecem mais informação sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser analisados pela Transformada de Fourier;

As Transformadas de Laplace podem ser aplicadas em contextos em que a

Transformada de Fourier não pode como por exemplo na análise de sistemas instáveis.

Fig. 8.2 – Transformada de Laplace.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

5

8.2 – Transformadas de Laplace – definição Considere um sinal contínuo x(t)

x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:

L { x(t) } = X(s) permite expressar o sinal x(t) como: L   x t X s e · x t  dt∞ eq. (8.1)

A eq. (8.1) acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para sinais x(t) onde

x(t) = 0 para t < 0

Fig. 8.3 – Um sinal x(t) com valor nulo [x(t) = 0] para t < 0.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

6

8.3 – Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos

Sinal exponencial Como primeiro exemplo vamos utilizar o sinal exponencial x t · u t eq. (8.2) Para um dado valor de a este sinal x t da eq. (8.2) está bem definido e assume o valor 0 (“zero”) à esquerda da origem. Entretanto muitas vezes apenas escrevemos x t  , t 0 e já fica subentendido que é 0 para t < 0. O sinal x(t) dado pela eq. (8.2) assume diferentes formas dependendo do valor de a. Se a > 0, x(t) é um sinal exponencial crescente; se a < 0, x(t) é um sinal exponencial decrescente; se a = 0; x(t) é um sinal degrau unitário. Os gráficos destes sinais podem ser vistos nas figuras 8.4 e 8.5.

Fig. 8.4 – Os sinais x(t) = e-at⋅u1(t), para a > 0, exponencial decrescente (à esquerda), e para a < 0, exponencial crescente (à direita).

Fig. 8.5 – O sinal x(t) = e-at⋅u1(t), a = 0 (degrau unitário).

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

7

Calculando a transformada de Laplace de x(t), pela definição [eq. (8.1)], temos:

L    x t X s e · e  dt ∞

e ·  dt

1 s a

1 s a

ou seja, Transformada de Laplace de um sinal exponencial é dada por:

X s 1 s a

Sinal impulso unitário

x(t) = uo(t) Para o sinal impulso unitário, usando novamente a definição da Transformada de Laplace [eq. (8.1)], temos:

L    x t X s · u t  dt∞

 |

1 Logo, Transformada de Laplace é dada por:

L   u t 1 que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Fourier no capítulo 6.

F   u t 1

Fig. 8.6 – O sinal x(t) = uo(t), t > 0, (impulso unitário).

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

8

Sinal degrau unitário u1(t) Embora já visto acima como caso particular do sinal x t  , para t 0, vamos considerar novamente, agora como um sinal da família dos sinais singulares:

x(t) = u1(t)

Novamente, pela definição da Transformada de Laplace [eq. (8.1)], temos:

L   x t X s e · u t  dt ∞

1 s

1 s

Logo, Transformada de Laplace é dada por:

L    X s 1

De forma semelhante pode-se calcular a transformada de Laplace da rampa e demais sinais singulares contínuos, dos seno, do coseno, etc.

Sinal rampa unitária u2(t)

x(t) = u2(t) e a Transformada de Laplace é dada por:

L    X s 1

Fig. 8.7 – O sinal x(t) = u1(t), t > 0, (degrau unitário).

Fig. 8.8 – O sinal x(t) = u2(t), t > 0, (rampa unitária).

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

9

Sinal semi-parabólico u3(t)

x(t) = u3(t) A Transformada de Laplace é dada por:

L    X s 1

Os demais sinais singulares Os resultados anteriores, para impulso, degrau, rampa e semi-parábola podem facilmente ser generalizados para toda a família de sinais singulares contínuos u t , n 0 vistos no capítulo 3:

x t u t , n 0

A Transformada de Laplace é dada por:

L   X s 1 s

Sinal seno

x(t) = sen ωt , t > 0 e a Transformada de Laplace do seno é dada por:

L   sen ωt X s ω

s ω

Sinal coseno

x(t) = cos ωt , t > 0

e portanto a Transformada de Laplace do coseno é dada por:

L   cos ωt X s s

s ω

Fig. 8.9 – O sinal x(t) = u3(t), t > 0, (semi-parabólico).

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

10

8.4 – Propriedades da Transformada de Laplace Muitas das propriedades que aqui mostramos são análogas às vistas anteriormente para Série de Fourier (capítulo 5) e Transformadas de Fourier (capítulo 6). Considere que x(t), x1(t) e x2(t) são sinais contínuos.

Homogeneidade:

L  k x t k L  x t

Aditividade:

L   x t x t    L  x t + L  x t

Linearidade: Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade e da homogeneidade juntas:

L    x t β x t    α L  x t + β L  x t

Sinal transladado (“time shifting”):

L   x t a  u t a     e-as L x t = e-as ⋅ X(s)

Sinal multiplicado por exponencial e-at:

L    x t     X s a onde X(s) = L  x t . Esta propriedade é dual da propriedade do sinal transladado pois, enquanto uma diz que a transformada do sinal transladado é uma exponencial, a outra diz que a trans- formada de uma exponencial é um sinal transladado.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

11

Derivadas:

L x t s · X s      x 0

L x t s · X s      s · x 0      x 0 M

L x t s X s       s · x 0           s · x 0        x 0 Os termos x 0 , s · x 0 , x 0 , etc nas fórmulas acima são chamados de “resíduos”. Note que se x(t) tem condições iniciais nulas, isto é, se x 0 0, x 0 0, x 0 0,   , etc.   eq. (8.3) então os resíduos são todos nulos e derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no do- mínio s, da frequência, de Laplace). Isto é, neste caso:

L x t s · X s

L x t s · X s

M

L x t s · X s

Integral:

L      x t dt   X s s       1 s ·   x t · dt 

Aqui os resíduos são diferentes do caso da derivada. Entretanto, da mesma forma que derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no domínio da frequência), sob certas con- dições integrar (em t) equivale a dividir por s (no domínio da frequência). Ou seja, se

   x t · dt   0

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

12

então:

L      x t dt     1 s   · X s . 

Mudança de escala do tempo (“time scaling”):

L   x t α

α · X α s  ,     α 0   Se o eixo da variável “t” for encolhido (0 < α < 1), então a Transformada de Laplace de x(t) ficará esticada (em s). Se o eixo da variável “t” for esticado (α > 1) então a Transformada de Laplace de x(t) ficará encolhida (em s). Equivalentemente, esta propriedade pode ser escrita como

L   x kt 1 k · X s k ,     k 0 

Sinal multiplicado por t

L   t · x t dX s ds  

Esta propriedade é dual da propriedade das derivadas pois, enquanto uma diz que a transformada da derivada de x(t) é X(s) vezes s, a outra diz que a transformada de x(t) vezes t é um derivada de X(s).

Sinal multiplicado por 1/t

L   1 t · x t X s ds

Esta propriedade é dual da propriedade da integral pois, enquanto uma diz que a transformada da integral de x(t) é X(s) dividido por s, a outra diz que a transformada de x(t) dividido por t é um integral de X(s).

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

13

Convolução

L   x1 t x2 t X1 s · X2 s Portanto, a exemplo do que já ocorria com as Transformadas de Fourier, a Transfor- mada de Laplace da convolução de dois sinais x1(t) e x2(t) é o produto das transfor- madas X1(s) e X2(s) destes dois sinais. Recorde-se a convolução de dois sinais x1(t) e x2(t) (capítulo 4, secções 4.3 e 4.4):

x t x t x t τ · x τ · dτ x τ x t τ dτ

8.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) eTeorema do Valor Final (TVF) Os teoremas do valor inicial (TVI) e do valor final (TVF) permitem que se descubra o valor inicial x(0+) e o valor final x(∞) dos sinais x(t) cuja Transformada de Laplace X(s) sejam conhecidas.

Teorema do Valor Inicial (TVI)

x 0 lim x t lim s · X s

Teorema do Valor Final (TVF)

x ∞ lim x t lim s · X s Exemplo 8.1: Considere o sinal exponencial x t · u t cuja Transformada de Laplace é dada por:

X s 1 s a

Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos:

x 0 lim s ∞ s · X s lim

s ∞ s · 1s a 1

x ∞ lim s 0   s · X s lim

s 0   ss a 0

que estão de acordo com o esperado pois x 0 1 e x ∞ lim 0.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

14

8.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace Exemplo 8.2: Considere o sinal da figura 8.9.

x(t) = 2 uo(t-a) A Transformada de Laplace deste sinal é dada por:

X(s) = 2 e-as. O resultado acima é facilmente obtido apli- cando-se as propriedades da homogenei- dade e da translação (“time shifting”) visto que L   u t 1. Exemplo 8.3: Considere o sinal da figura 8.10. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos:

)at(u 3 2)t(x 1 −−=

E portanto a Transformada de La- place é dada por:

s3 2)s(X

as− −=

e

O resultado é obtido facilmente aplicando-se as propriedades da ho- mogeneidade e da translação (“time shifting”) visto que L   u t 1/ .

Fig. 8.9 – O sinal x(t) do exemplo 8.1.

Fig. 8.10 – O sinal x(t) do exemplo 8.2.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

15

Exemplo 8.4: Considere o sinal x(t) da figura 8.11. Escrevendo este sinal em termos de sinais sin- gulares obtemos:

)3t(u)1t(u)t(u)t(x 122 −−−−= E portanto a Transformada de Laplace é dada por:

sss 1)s(X

s2

2

s

2

−−

−−= ee

O resultado é obtido facilmente visto que L   u t 1/ , que L   u t 1/s e aplicando-se as propriedades da aditividade e da translação (“time shifting”). Exemplo 8.5: Já vimos na secção anterior que a Transformada de Laplace do degrau unitário u1(t) é 1/s:

L   u t   1 s

Também vimos no capítulo 2 (Sinais Singulares) que a derivada do degrau u1(t) é o impulso uo(t):

dt )t(du)t(u 1o =

e que u1(0-) = 0, ou seja a condição inicial para u1(t) é nula. Portanto, aplicando-se a propriedade da derivada para as Transformada de Laplace temos que:

L   u t  s ·L   u t  u 0 s · 1 s  0 1

ou seja, L   u t 1, como era de se esperar. Semelhantemente, as Transformadas de Laplace de todos os sinais singulares u t , n 1 podem ser calculadas recursivamente e obtendo-se os já conhecidos resultados: L   u t 1 s⁄ , L   u t 1 s⁄  , ,  L   u t 1 s⁄ . 

Fig. 8.11 – O sinal x(t) do exemplo 8.3.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

16

L   u t  s ·L   u t  u 0 s · 1 s

 0 1 s

L   u t  s ·L   u t  u 0 s · 1 s

 0 1 s

L   u t  s ·L   u t  u 0 s · 1 s

 0 1 s

Exemplo 8.6: Olhando no sentido inverso do exemplo anterior podemos calcular as Transformadas de Laplace dos sinais singulares aplicando-se a propriedade da integral. Como

n,dt)t(u)t(u t

1nn ∀= ∫ ∞− − e como

  u t · dt  0 ,      n 

então

L   u t  L      u t dt  

  1s ·L   un 1 t   1 s ·   un 1 t · dt 

t

∞ t 0

1 s · 1 sn 1  0

1 sn

ou seja,

L   u t 1 s

como era de se esperar.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

17

Exemplo 8.7: Considere o sinal x(t) da figura 8.12. Nitidamente x(t) ≠ 0 para valores de t < 0 Portanto, este sinal não tem Transfor- mada de Laplace unilateral conforme definida na eq. (8.1). Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos:

).2t(ua)t(x 1 +⋅= Exemplo 8.8:

Considere o sinal x(t) da figura 8.13. Nitidamente aqui também x(t) ≠ 0 para valo- res de t < 0. Portanto, este sinal não tem Transformada de Laplace unilateral conforme definida na eq. (8.1). Este sinal em termos de sinais singulares tem a expressão:

)t2(ua)t(x 1 −⋅= Exemplo 8.9: Considere o sinal exponencial x t · u t cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada da exponencial)

L   x t    X s   1 s 1

Se o eixo t for esticado de 5 vezes (por uma mudança de escala), este sinal se torna em x2(t), também exponencial:

Fig. 8.12 – O sinal x(t) do exemplo 8.6.

Fig. 8.13 – O sinal x(t) do exemplo 8.7.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

18

x t x t 5

. · u t cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada da exponencial)

L   x t    X s    L   1 1 5

Fig. 8.14 – Os sinais x t · u t   e  x t . · u t do exemplo 8.7. x t   e  x t são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes. Um tem o eixo dos ‘t’ 5 vezes mas esticado que o outro.

Usando a propriedade da mudança de escala (“time scaling”) obtemos o mesmo X2(s) obtido acima:

L   x t    X s    5 · X 5 s 5

5 1

1

   15 

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

19

Exemplo 8.10: Considere o sinal sinosoidal x t cosωt · u t cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada do co-seno)

L   x t    X s   ω

s ω

Por outro lado considere o sinal y(t)

y t sen ωt cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada do seno)

L   y t    Y s   s

s ω

Entretanto, como   senωt = ω · cosωt , então

x t 1 ω . dy dt  

e portanto, usando a propriedade da derivada, como y(0) = sen (ω⋅0) = 0, obtemos novamente o mesmo X(s) obtido acima:

L   x t  X s   L   1 ω . dy t dt

 L   1 ω . d  dt senωt

1 ω ·

sω s ω y 0

s s ω

Exemplo 8.11: As transformadas da eq. (8.4) abaixo podem ser vistos como sinais singulares (u1(t) = 1, u2(t)/2 = t, u3(t)/6 = t2, … , u3(t)/n! = tn) multiplicados por exponencial ou como o sinal exponencial multiplicado por t, por t2, t3, …

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

20

L   e 1 s a

L   t · e 1

s a

L   t · e 2

s a

eq. (8.4)

L   t · e 6

s a

L   t · e n!

s a

As relações da eq. (8.4) podem ser demonstradas de duas formas diferentes:

i) aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial para os sinais sin- gulares un(t) (degrau, rampa, etc.) divididos por n! pois,

u t n!

t  ,   t 0 ou, alternativamente,

ii) aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado por t para o sinal exponencial.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

21

Exemplo 8.12: Sinais oscilatórios amortecidos do tipo seno ou co-seno multiplicados por exponen- ciais decrescentes são comuns em sistemas estáveis.

Considere o caso do seno amortecido:

x t e · sen ωt · u t  

Fig. 8.15 – O sinal oscilatório amortecido x t · sen ωt · u t . Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm- se:

X s ω

s a ω

Considere agora o caso do co-seno amortecido:

x t e · cos ωt  · u t   Aplicando-se novamente a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facil- mente obtêm-se:

X s s a

s a ω

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

22

8.6 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais contínuos conhecidos

Tab. 8.1 – Resumo das principais Transformadas de Laplace das últimas duas secções

x(t) X(s) = L { x(t) }

x(t) = uo(t) X s 1

x(t) = u1(t) X s 1s

x(t) = u2(t) X s 1s

x(t) = u2(t) X s 1s

M M

x(t) = un(t) X s 1s

x(t) = eat ⋅ u1(t) X s 1s a

x(t) = t⋅eat ⋅ u1(t) X s 1s a

x(t) = t2⋅eat ⋅ u1(t) X s 2s a

x(t) = t3⋅eat ⋅ u1(t) X s 3!s a

M M

x(t) = tn⋅e –at ⋅ u1(t) X s n!s a

x(t) = sen ωt ⋅ u1(t) X s ω

s ω

x(t) = cos ωt ⋅ u1(t) X s s

s ω

x(t) = e -at⋅sen ωt ⋅ u1(t) X s ω

s a ω

x(t) = e -at⋅cos⋅ωt ⋅ u1(t) X s s as a ω

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

23

8.8 – Transformada Inversa de Laplace Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x(t) cuja Transfor- mada de Laplace X(s) é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada inversa de Laplace de X(s).

L     X s x t As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo:

eq. (8.5)

onde p(s) e q(s) são polinómios. Conforme podemos observar na tabela 8.1 da secção anterior, as Transformadas de Laplace de muitos sinais conhecidos vêm todas na forma eq. (8.5) onde p(s) e q(s) são polinómios. Note que na tabela 8.1 da secção anterior em muitos casos p(s), o polinómio do deno- minador, tem apenas o termo independente (i.e., uma constante)

p(s) = 1, p(s) = 2, p(s) = 3!, p(s) = n!, ou p(s) = ω. Em outras situações p(s) é um polinómio do primeiro grau:

p(s) = s ou p(s) = (s + a). Sinais mais complexos, que são combinação linear de sinais que aparecem na tabela 8.1, também apresentam transformadas do tipo eq. (8.5) e devem ser desmembrados em fracções racionais menores para obtermos a transformada inversa. Esse processo de desmembrar a fracção eq. (8.5) é chamada de expansão em fracções racionais. Vamos apresentar com exemplos os 3 casos de expansão em fracções raci- onais. Conforme já vimos no capítulo 7 (secção 7.3) se a fracção racional da eq. (8.5) é a função de transferência de um sistema, então as raízes do polinómio q(s) são chamadas de pólos. Os 3 casos que veremos são: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

24

Caso 1 – pólos reais e distintos: No caso de pólos reais e distintos

s = a, s = b,    

q(s) pode ser factorado em

q s   s a · s b  …    e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:    

    A B   … eq. (8.6)

Caso 2 – pólos complexos conjugados: No caso de pólos complexos conjugados, então q(s) pode ser expresso como:

q s   as bs c …        com           Δ b 4ac 0   e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:    

    A B   … eq. (8.7)

Caso 3 – pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.): No caso de pólos múltiplos (i.e., pólos duplos, triplos, etc.), então q(s) pode ser expresso como:

q s     s a  …    e a expansão em fracções racionais deve ser da seguinte forma:    

    A B C   … eq. (8.8)

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

25

Uma vez escrita nas formas eq. (8.6), eq. (8.7) e eq. (8.8), ou combinações destas, torna-se fácil achar a transformada inversa de Laplace com o uso da propriedade da linearidade e da tabela 8.1 fracção a fracção. Por exemplo, no caso da eq. (8.6):

L   A s a

 A ·

L   B s b

 B ·

 

No caso da eq. (8.7), ela pode ser reescrita como

As B as bs c

    As

as bs c    

B as bs c

  As

s α ω    

B ω · ω

s α ω

e o cálculo das transformadas inversas

L   As

s α ω    e   L  

B ω⁄ s α ω

não é difícil de ser feito dando como resultado sinais do tipo

x t A · e · cos ωt · u t e

x t B ω · e · sen ωt · u t  

respectivamente.

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

26

No caso da eq. (8.8):  

L   A s a

A 2 · t · e

L   B s a

B · t · e

L   C s a

C · e Exemplo 8.13:

X s s 3

s 1 s 2

Este é um caso de pólos reais e distintos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções racionais:

X s     A s 1

B s 2

  A   B s      2A   B

s 1 s 2

e igualando o numerador A   B s      2A   B com (s + 3), o numerador de X(s), temos que

A B 1

2A B 3 cuja solução é dada por

A 2

B 1 e portanto,

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

27

x t    L     2 1      L    

1 2

 2  ,      t 0

Exemplo 8.14:

X s 2s 7s 7 s 1 s 2

Aqui observamos que grau denominador e do numerador são o mesmo. Então, divi- dindo-se facilmente obtemos que

X s 2 s 3

s 1 s 2

mas

L    2 2 · u t e

L     s 3

s 1 s 2

já foi calculado no exemplo anterior, logo:

x t 2 · u t      2      ,      t 0 Exemplo 8.15:

X s s 1

s s s 1

Este é um caso de combinação de um pólo real distinto (s = 0) e um par de pólos complexos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expan- são em fracções racionais:

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

28

X s   A s     

Bs C s s 1

  A B s A C s A

s s s 1

e igualando o numerador B A s C A s A com (s + 1), o numerador de X(s), temos que

A B 0

A C 1

A 1

cuja solução é dada por

A 1

   B 1

C 0

e portanto,

X s   1 s     

s s s 1

  1 s      

s 1 2⁄ s 1 2⁄ 3 4⁄

      1 2⁄

s 1 2⁄ 3 4⁄

logo

x t    L     1 s     L    

1 2

1 2 2 √3

2

2 L    

1 √3 · √32

1 2 2 √3

2

2

 L     1 s     L    

1 2

1 2 2 √3

2

2 1 √3 ·L    

√3 2

1 2 2 √3

2

2

e usando a tabela 8.1 facilmente encontramos:

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

29

x t 1 e . · cos √3 2 t 1 √3 e . · sen

√3 2 t ,     t 0

1   e . · cos 0.866t     0.578 e . sen0.866t  , t 0

Exemplo 8.16:

X s s 2s 3 s 1

Este é um caso de um pólos múltiplos (s = 1, triplo neste caso). Para achar a transfor- mada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções racionais:

X s   A

s 1 B

s 1 C s 1

  A B s 1 C s 1

s 1

  A B C B 2C s Cs

s 1

e igualando o numerador A B C B 2C s Cs com o numerador de X(s) temos que

3

2 2

1 cuja solução é dada por

2

0

1

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

30

e portanto,

X s   2 1     

1 1

cuja transformada inversa é:

x t L   1 A

s 1     L   1

1 s 1

1   ,     0

8.9 – Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando

Transformada Laplace As Transformadas de Laplace são muito úteis na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) transformando-as em equações algébricas no domínio ‘s’ (também chamado “domínio da frequência”) de fácil solução. O principal problema deixa de ser a equações diferenciais e passa a ser a transformada inversa de Laplace. Exemplo 8.17: Considere a equação diferencial ordinária (EDO) com x(t) = u1(t) = degrau unitário e condições iniciais nulas, isto é, y(0)=0 e y’(0)=0:

y’’ + 3y(t) = 2x(t) eq. (8.8) y(0)=0 e y’(0)=0 x(t) = u1(t) = degrau unitário

Fazendo-se a Transformada de Laplace dos termos da eq. (8.8) obtém-se:

s Y s  3Y s X s  2 · 1 s

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

31

e portanto,

s 3  Y s   2 s

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:

Y s 2

s  s 3

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s).

y t  L   1 Y s Este é um caso de um pólo real (distinto) s = 0 e um par de pólos complexos, raízes de s 3 0. Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em frac- ções racionais:

Y s   A s      Bs C s 3

  A B s Cs 3A s s 3

e igualando o numerador A B s Cs 3A com 2, o numerador de Y(s), temos que

A B 0

C 0

3A 2

cuja solução é dada por

A 2 3

B 2 3

C 0

e portanto,

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

32

X s   2 3⁄ s     

2 3⁄ s s 3

  2 3 · 1 s      

2 3 ·

s s 3

logo

x t    L   2 3 · 1 s     L    

2 3 ·

s s 3

  2 3 L    

1 s     L  

s

s2 √3 2

e usando a tabela 8.1 a solução da EDO é encontrada:

y t 2 3 1 cos√3 t     ,       t 0

Exemplo 8.18: Considere a equação diferencial ordinária (EDO) homogénea (ou seja, x(t) = 0) e condições iniciais: y(0) = 0 e y’(0) = 4. y’’ + 5y’ + 9y(t) = 0 eq. (8.9) y(0) = 0 e y’(0) = 4 Fazendo-se a Transformada de Laplace dos termos da eq. (8.9) obtém-se:

s Y s  s y 0  y 0   5sY s 5y 0 9Y s 0 logo,

s Y s  4  5sY s 9Y s 0 e portanto,

s 5s 9  Y s 4

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Laplace

33

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:

Y s 4

s 5s 9

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s).

y t  L   1 Y s Este é um caso de um par de pólos complexos, raízes de s 5s 9 0. Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em frac- ções racionais:

Y s     4

s 2,5 2,75

  2,412 · 1,658 s 2,5 1,658

logo

y t    L   2,412 · 1,658 s 2,5 1,658

 

2,412 ·L   1,658

s 2,5 1,658

e usando a tabela 8.1 a solução da EDO é encontrada:

y t 2,412 · ,   · sen 1,658 t   ,       t 0

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 33 páginas