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Baixe Troca de livros impressos por livros virtuais e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity! AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Curso: Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula: 03 Equações Diferenciais Ordinárias Prezado(a) tutor(a), Nesta aula atividade o objetivo é aprofundar os estudos a respeito das equações diferenciais ordinárias por meio da resolução de problemas. Nesse sentido, será necessária a aplicação de conceitos estudados anteriormente, como as técnicas de derivação e integração, por exemplo. Bom trabalho! Questão 1 A determinação de soluções para as equações diferenciais ordinárias é fundamental para a resolução de problemas modelados por esses tipos de equações. Em relação a esse tema, para cada um dos itens a seguir, verifique se a função 𝑓 corresponde à solução da equação diferencial ordinária correspondente: a) 2𝑦′ + 𝑦 = 0 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑒− 𝑥 2 b) (𝑦′)3 + 𝑥𝑦′ = 𝑦 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) c) 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 Gabarito: a) Tomando a função 𝑓 temos que: 𝑓(𝑥) = 𝑒− 𝑥 2 → 𝑓′(𝑥) = − 1 2 𝑒− 𝑥 2 Desse modo, substituindo 𝑦 = 𝑓(𝑥) no primeiro membro da EDO obtemos: 2(𝑓′(𝑥)) + 𝑓(𝑥) = 2 (− 1 2 𝑒− 𝑥 2) + 𝑒− 𝑥 2 = −𝑒− 𝑥 2 + 𝑒− 𝑥 2 = 0 Logo, a função 𝑓 é solução da EDO. b) Considerando a função 𝑓 temos que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = ln(𝑥) + 𝑥 ⋅ 1 𝑥 = ln(𝑥) + 1 Substituindo 𝑦 = 𝑓(𝑥) no primeiro membro da EDO obtemos: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Desta forma, a solução da EDO é dada implicitamente por −𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐 em que 𝑐 ∈ ℝ. c) A EDO dada por 2𝑥 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 pode ser resolvida por meio do método das equações exatas. Da equação: (2𝑥 + 𝑦2) + (2𝑥𝑦)𝑦′ = 0 temos 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦2 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦, as quais são contínuas. Nesse caso, observe que: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 o que justifica o emprego do método das equações exatas. Assim, teremos que a solução 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑦) é tal que: 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 2𝑥 + 𝑦2 e 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦 Integrando 𝜕𝐹 𝜕𝑥 em relação à 𝑥 obtemos: 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(2𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦) Derivando 𝐹 em relação à 𝑦 e comparando com 𝜕𝐹 𝜕𝑦 segue que: 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦)) = 2𝑥𝑦 + ℎ′(𝑦) = 2𝑥𝑦 Sendo ℎ′(𝑦) = 0 então ℎ(𝑦) = 𝐶1. Desta forma, 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 → 𝐶 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 → 𝑥 2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 Desta forma, a solução da EDO é dada implicitamente por 𝑥2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 em que 𝐾 ∈ ℝ. Questão 4 (Adaptado de ZILL, 2016, p.66) Um marca-passo cardíaco corresponde em um circuito elétrico no qual estão presentes uma chave, uma bateria de tensão constante 𝐸0, um capacitor com capacitância constante 𝐶 e, nesse sistema, o coração do paciente atua como um resistor com resistência constante AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 𝑅. Quando a chave é fechada, o capacitor se carrega, e quando a chave é aberta, o capacitor se descarrega, enviando um estímulo elétrico para o coração. Durante o tempo em que o coração é estimulado, a tensão 𝐸 em todo o coração satisfaz a equação diferencial linear 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = − 1 𝑅𝐶 𝐸 Determine a solução para a equação anterior considerando a condição 𝐸(4) = 𝐸0. Gabarito: Note que a equação 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = − 1 𝑅𝐶 𝐸 consiste em uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem, visto que 𝑅 e 𝐶 são constantes associadas ao circuito elétrico em estudo. Devido às características da equação, podemos resolvê-la empregando o método das equações separáveis. Para isso, podemos reescrever a equação na forma: 1 𝐸 ⋅ 𝑑𝐸 = − 1 𝑅𝐶 ⋅ 𝑑𝑡 Integrando ambos os membros em relação às variáveis correspondentes obtemos: ln|𝐸| = − 1 𝑅𝐶 𝑡 + 𝑐1 Além disso, observe que: 𝑒ln|𝐸| = 𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡+𝑐1 = 𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡 ⋅ 𝑒𝑐1 = 𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡 ⋅ 𝑐2 𝐸(𝑡) = ±𝑐2𝑒 − 1 𝑅𝐶 𝑡 𝐸(𝑡) = 𝐾𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡 Considerando a condição 𝐸(4) = 𝐸0 obtemos: 𝐸0 = 𝐾𝑒 − 4 𝑅𝐶 𝐾 = 𝐸0 𝑒− 4 𝑅𝐶 𝐾 = 𝐸0𝑒 4 𝑅𝐶 Logo, a solução para o problema é dada por: 𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑒 4 𝑅𝐶𝑒− 1 𝑅𝐶 𝑡 = 𝐸0𝑒 ( 4 𝑅𝐶 − 1 𝑅𝐶 𝑡) AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑒 (4−𝑡) 𝑅𝐶⁄ Questão 5 Considere o problema de valor inicial definido a seguir: { 4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0 𝑦(0) = 2 𝑦′(0) = 1 2 Note que esse problema envolve uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem com coeficientes constantes. Assim, para a obtenção da solução pode ser empregado o método envolvendo a identificação das raízes da equação característica. Diante desse tema, responda: a) Determine a solução geral para a EDO apresentada. b) Determine a solução particular para o problema de valor inicial, considerando as condições iniciais apresentadas. Gabarito: a) Considere a EDO: 4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0 Supondo 𝑦 = 𝑒𝑟𝑡 solução da EDO apresentada, temos: 4(𝑟2𝑒𝑟𝑡) − 8(𝑟𝑒𝑟𝑡) + 3𝑒𝑟𝑡 = 0 → 𝑒𝑟𝑡(4𝑟2 − 8𝑟 + 3) = 0 Assim, obtemos a equação característica: 4𝑟2 − 8𝑟 + 3 = 0 cujas soluções são: 𝑟 = 3 2 e 𝑟 = 1 2 ou seja, duas raízes reais distintas. Desta forma, a solução geral da EDO em estudo é dada por 𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒 3𝑡 2⁄ + 𝐶2𝑒 𝑡 2⁄ b) Do problema de valor inicial sabemos que 𝑦(0) = 2 e 𝑦′(0) = 1 2 . Como: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Um lago artificial, localizado em um condomínio residencial de determinada cidade, armazena uma quantidade de 500 mil litros de água. Inicialmente, esse lago contém apenas água pura (t = 0). A água que é recebida pelo lago contém 0,01 grama de uma substância química indesejada por litro, a uma taxa de 250 litros por hora. Além disso, a mistura de água com essa substância sai à mesma taxa, de tal forma que a quantidade de água no lago permanece constante. Como podemos determinar a quantidade Q(t) do produto químico indesejado presente no lago em um instante qualquer t, t ≥ 0? Para isso, considere que a taxa de variação da quantidade do produto químico indesejável, no tempo, é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída da mistura de água com o produto no lago. Além disso, a concentração da substância no lago é dada pela razão entre a massa de substância e volume de água no lago, ou seja, Q(t) 500000 = 0,000002 Q(t). Queremos determinar a quantidade Q(t) de produto químico presente no lago em um instante t, considerando a situação apresentada. Sabemos que, inicialmente, não existe o produto químico no lago, de modo que a quantidade Q0 é nula. Assim, temos Q(0) = Q0 = 0. A mistura de água com o produto químico indesejável, de concentração 0,01 g/L, entra no lago a uma taxa de 250 litros por hora. O escoamento da solução de água e produto também escoa para fora do lago a uma taxa de 250 litros por hora. A taxa de variação da quantidade do produto químico indesejável, no tempo, é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída da mistura de água com o produto no lago, assim, dQ dt = taxa de entrada − taxa de saída A taxa de entrada do produto químico na lagoa é dada por taxa de entrada = (concentração) × (fluxo) = (0,01) × (250) = 2,5 AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias A concentração de produto químico na lagoa é dada por Q(t) 500000 = 0,000002 Q(t). Logo, a taxa de saída do produto químico na lagoa é dada por taxa de saída = (concentração) × (fluxo) = (0,000002 Q(t)) × (250) = 0,0005 Q(t) Desta forma, taxa de variação da quantidade do produto químico indesejável no lago, em função do tempo, é dada por dQ dt = 2,5 − 0,0005 Q(t) Sendo assim, dQ dt = −0,0005( Q(t) − 5000) dQ Q(t) − 5000 = −0,0005dt Integrando ambos os membros obtemos ∫ 1 Q − 5000 dQ = ∫(−0,0005) dt ln|Q − 5000| = −0,0005t + K1 Considerando as propriedades das funções exponencial e logarítmica segue que Q − 5000 = e−0,0005t+K1 = Ce−0,0005t Logo, Q(t) = 5000 + Ce−0,0005t Como Q(0) = Q0 = 0 obtemos 0 = Q(0) = 5000 + Ce0 = 5000 + C → C = −5000 Portanto, a quantidade de produto químico indesejável em um instante qualquer t é dada por Q(t) = 5000 − 5000e−0,0005t AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Parte 2: Estudo teórico complementar Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estudá-los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. Equações diferenciais de primeira ordem Livro: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno Autor: Boyce e DiPrima Capítulo: 2 (seções 2.1, 2.2 e 2.6) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/33ppPjm Acessar o link e resolver os seguintes exercícios Seção Exercício Solução 2.1 13-20 somente os ímpares As respostas encontram- se ao final livro seção 2.1 https://bit.ly/2Usd6bN 2.2 1-8 somente os ímpares As respostas encontram- se ao final livro seção 2.2 https://bit.ly/2Usd6bN 2.6 1-12 somente os ímpares As respostas encontram- se ao final livro seção 2.6 https://bit.ly/2Wkbao8 Equações diferenciais de segunda ordem Livro: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno Autor: Boyce e DiPrima Capítulo: 3 (seções 3.1.) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/39WNNFe