Baixe Um software mais versátil: Arena e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity! 4.19 Um software mais versátil 199 4.19 Um software mais versátil Veremos a seguir um outro programa (simulacao)3, um pouco mais versátil do que acabamos de ver. Ele simula um sistema de filas e permite que se escolha o número de estações que prestam serviço, o número máximo de clientes que podem ficar no sistema, a distribuição do intervalo entre chegadas (exponencial, normal, uniforme ou empírica), a distribuição da duração do serviço prestado (exponencial, normal, uniforme ou empírica) e a duração da simulação. Pode-se escolher também a uni- dade de tempo a ser usada. Pode-se determinar também o número de replicações (até o máximo de 100), ou seja quantas vezes deseja-se executar a simulação para o mesmo conjunto de dados de entrada. O programa usa a RAND4 como o gerador de números aleatórios e usa “séries” di- ferentes, entre 1 e 50, para o intervalo entre chegadas e para a duração do serviço. As sementes e as séries usadas são escolhidas, aleatoriamente, pelo programa. No caso de se executar replicações, séries e sementes diferentes são criadas em cada uma das execuções individuais da replicação. Os resultados mostrados na saída são, no caso das replicações, as médias obtidas com as diversas execuções. 3É um dos módulos do programa PO, que pode ser obtido de www.mpsantos.com.br 200 Introdução à Simulação 4.19.1 Alguns exemplos usando o programa “Simulação” Como exemplo do uso do programa, vamos simular um sistema de filas que tenha solução analítica para compararmos os resultados. Vamos simular o sistema de filas de uma agência bancária, com 3 caixas de aten- dimento, em que as chegadas sigam uma distribuição exponencial com intervalo médio entre chegadas igual a 2 minutos. A distribuição do tempo de atendimento dos caixas também segue uma distribuição exponencial com atendimento médio igual a 4 minutos. A tela de entrada do programa para execução desta simulação seria a seguinte: Como não existe limitação para o número de clientes, ao mesmo tempo, na agên- cia, o campo “Máximo usuários permitido no Sistema” ficou com 100.000. A duração da simulação foi de 10.000 minutos e solicitamos que 100 replicações fossem exe- cutadas. O valor em qualquer dos campos pode ser mudado, bastando para isto clicar nele e apagar o valor existente com as teclas [Delete] ou [Backspace]. Os campos Unidade de tempo, Distribuição das chegadas e Distribuição do Serviço podem ser mudados com o simples click do mouse no novo ítem desejado. Após se colocar os valores desejados, clica-se em SIMULAR e a Simulação será executada. No nosso exemplo aparecerá a seguinte tela: 4.19 Um software mais versátil 203 Os resultados da simulação mostram que esta agência bancária não está prestando um serviço de boa qualidade pois, em média, cada cliente tem que esperar mais de 30 minutos na fila e, em média a fila tem quase 16 clientes. Para melhorar a qualidade do serviço prestado vamos examinar os resultados da simulação se colocamos mais 1 caixa de atendimento. Alterando a entrada e execu- tando a simulação, chegamos aos seguintes resultados: 204 Introdução à Simulação Como pode ser visto, a fila praticamente desaparece. Embora bastante versátil, o programa é limitado a determinados tipos de sistema de fila. Se alteramos as condições básicas, temos que alterar o programa alterando- se rotinas já existentes ou incluindo novas rotinas. Como ilustração da dificuldade e do custo de se fazer isto, lembramos que o fonte do programa tem 20 páginas de código de programação. Mesmo se tirarmos as 5 ou 6 páginas de código que são necessários para o ambiente Windows, ainda restariam 15 páginas de codificação!. Para cada modelo, a não ser que sejam muito semelhantes como nos exemplos acima, temos que construir programas de computador cuja complexidade é pro- porcional a complexidade do modelo simulado. Apesar da vantagem advinda de se ter um programa “sob medida”, o tempo que se leva para se obter os primeiros resultados normalmente invalida aquela vantagem, principalmente em modelos complexos. Este fato fez com que fossem desenvolvidos programas voltados exclusivamente para a construção de modelos de simulação. Veremos a seguir, um dos mais usados na atualidade. 4.20 O software ARENA 205 4.20 O software ARENA A tela principal do ARENA é a seguinte: A esquerda temos a área dos painéis (templates) como Create, Dispose, Process, etc... Os modelos de simulação são construídos com estes painéis, como veremos mais adiante. Observe que o título da área de painéis é “Basic Process”, ou seja estes são os blocos básicos e poderemos acrescentar outros a medida que eles forem sendo necessários. Na verdade, na sua forma mais simplificada, criamos modelos no ARENA cons- truindo “desenhos” lógicos com os painéis. 4.20.1 Simulação de um pequeno posto bancário Vamos ver o exemplo de um pequeno posto bancário com um único caixa. Como já dissemos, no Arena trabalhamos com blocos e, interligando-os, construí- mos o modelo. Antes de ver como se faz no Arena, vamos construir nosso modelo lógico. Podemos representar nosso posto da seguinte forma: 208 Introdução à Simulação Basta clicar em OK para confirmar as alterações. Vamos agora dar um duplo click no bloco Process 1. Um novo quadro se abre: Mudamos o Name para Atendimento aos Clientes, o tipo fica Standard. No campo Action, deve ser escolhida a opção Seize Delay Release, ou seja Captura–Retém por algum tempo–Libera, que é o que um caixa faz com os clientes. Ao se escolher a ação acima abre-se um novo campo Prioridade (Priority) que deve 4.20 O software ARENA 209 ser deixado como Medium(2). Abre-se, também um novo quadro para a definição dos recursos (resources) que, no nosso exemplo, é um único caixa. Devemos clicar na opção Add para incluir o recurso (Caixa) no modelo, como mos- trado a seguir: 210 Introdução à Simulação Como pode ser visto acima, escolhemos Resource (em Type), Caixa (em Resource name) e 1 (em quantity). Precisamos informar agora o tipo de distribuição do atendimento feito pelo caixa que, no nosso exemplo, segue uma distribuição exponencial com média de 1.5 mi- nutos. Escolhemos então: Expression (em Delay Type), Minutes (em Units), Value Added (em Allocation) e EXPO(Mean) (em Expression). Devemos a seguir subs- tituir o (Mean) por (1.5,7), pois vamos usar a série 7 da RAND4 para a geração da duração do serviço. Se não estiver marcado, devemos marcar o campo Report Statistics. Finalmente clicamos em OK para confirmar nossos dados. Repetimos o processo para a caixa Dispose. O seguinte quadro aparecerá: 4.20 O software ARENA 213 Para finalizar clicamos em OK. Para executar a simulação clicamos, no menu, em Run → Go. Passamos a ver então a simulação dinamicamente acontecendo como no “retrato” a seguir (obtido apertando-se, durante a simulação, a tecla <ESC>): Neste ponto já tinham chegado 509 clientes, 503 já tinham sido atendidos, 5 esta- vam na fila e 1 estava sendo atendido. Ao final da simulação, o ARENA emite dezenas de relatórios que podem ser acessa- dos a partir da “aba” Reports que existe na parte esquerda da tela. Vamos mostrar alguns destes relatórios e ver os resultados obtidos. O 1o é o Queues que dá informações sobre a fila em si: 214 Introdução à Simulação O tempo de espera médio na fila é de 4,59 minutos. O teórico (Wq), modelo M/M/1, é 4,50 minutos. A maior espera foi de 44.69 minutos. O número médio de clientes na fila é 2,30 clientes. O teórico (Lq) é igual a 2,25 clientes. O número máximo de clientes na fila foi 21. O próximo relatório que podemos examinar é o de Resources que, no nosso exemplo é o caixa. 4.20 O software ARENA 215 Como podemos observar, o Caixa ficou ocupado 75% do tempo. Este resultado é exatamente igual ao teórico (ρ = 0.75). Mostra também que o Caixa atendeu 5.002 clientes. Outro relatório que pode ser visto é o de Processes: Ele mostra que a maior espera total de um cliente foi de 46.85 minutos, o aten- dimento mais demorado foi 14,71 minutos e a maior espera na fila foi de 44.69 minutos. Como citamos anteriormente, vários outros relatórios, com gráficos inclusive, são impressos e podem ser examinados. 4.20.2 Simulação de um check-in Vamos imaginar a seguinte situação: passageiros, que vão viajar em determinada companhia aérea, chegam ao aeroporto com intervalo médio de 1.6 minutos, de acordo com uma distribuição exponencial. Estes viajantes, desde do momento em que entram no aeroporto até chegar ao balcão de check-in, demoram entre 2 e 3 minutos com distribuição uniforme entre estes 2 valores. No check-in, os viajantes tem que entrar em uma fila única até que um dos 5 atendentes o atenda.O tempo no check-in segue uma Distribuição de Weibull com parâmetros α = 3.91 e β = 7.76. Após o check-in, eles podem se dirigir aos portões de embarque. Visando melhorar o atendimento, deseja-se determinar uma série de variáveis tais como o tempo médio 218 Introdução à Simulação No bloco Dispose muda-se apenas o nome para Saída para o embarque. Neste momento devemos nos lembrar que temos 5 atendentes no balcão de check- in. Como informar isto ao modelo ? No lado esquerdo da tela do ARENA (onde estão os blocos), rolando com o mouse vão aparecer desenhos de planilhas e uma delas é referente a Resources. Clicando nela vai aparecer, na parte inferior, uma planilha referente aos recursos (atendentes no nosso caso). Um dos campos da planilha é Capacity que deverá estar com 1. Deve ser alterado para 5, como mostrado a seguir: Podemos agora escolher um símbolo que represente os passageiros na dinâmica da simulação. No lado esquerdo, clicamos a planilha Entity. Vai abrir, em baixo a direita, a planilha relativa aos passageiros. No campo Initial Picture, escolhemos a figura Picture.women que é um boneco representando uma mulher, como podemos ver a seguir: 4.20 O software ARENA 219 Vamos alterar a forma de representação da fila de linha para pontos. Dando um duplo click na linha, o seguinte quadro aparece: Mudamos de Line para Point e depois clicando em Points.., vai abrir outro quadro onde, clicando no botão Add, podemos ir colocando pontos ou seja lugares na fila (até o máximo de 14). Neste exemplo colocamos 10 pontos. No final clica-se em OK. Para dar um toque mais realista a simulação, vamos acrescentar o balcão do check- in e os 5 pontos de atendimento. Iniciamos clicando, na 2a barra de botões em cima, em que fará com que a seguinte tela apareça: 220 Introdução à Simulação Escolhendo Atendentes como Identif ier, podemos selecionar figuras para represen- tar os atendentes ociosos (Idle) ou ocupados (Busy). É importante notar que as figuras que aparecem fazem parte da chamada biblioteca padrão. Podemos (cli- cando no open deste quadro) abrir outras bibliotecas que possuem outras figuras. Para escolher uma figura para Idle, por exemplo, clica-se em Idle, clica-se na figura desejada e depois clica-se em «. Antes de clicar em OK, devemos marcar Seize Area. Isto faz com que junto a figura seja criada uma linha (semelhante a da fila) para identificar os pontos de atendi- mento. No nosso exemplo criamos 5 pontos (de maneira similar ao feito para a fila) pois temos 5 atendentes. Para finalizar, vamos colocar um relógio para melhor visualização do andamento da simulação. Para tanto basta clicar no botão (clock) e arrastá-lo apara a área de trabalho. Escolhemos 8:00 horas como a hora inicial marcada pelo relógio. Nosso modelo está pronto e sua aparência é: 4.20 O software ARENA 223 As placas e embalagem do produto A, chegam seguindo uma distribuição exponen- cial com intervalo médio de 5 minutos entre chegadas. Já as placas e embalagens do modelo B chegam, em lotes de 4, também seguindo uma distribuição exponen- cial com intervalo médio de 30 minutos entre chegadas. O tempo de preparação de cada unidade tipo A segue uma distribuição triangular com parâmetros 1, 4 e 8 minutos enquanto que a do produto B também segue uma triangular com parâmetros 3, 5 e 10 minutos. Após preparados, tanto as placas como embalagens dos 2 produtos vão para a seção de montagem. Lá, cada unidade do produto tipo A é montada num tempo que segue uma distribuição triangular com parâmetros 1, 3 e 4 minutos. Já uma unidade do produto B é montada em um tempo que segue uma Weibull com β = 2.5 e α = 5.3. Os produtos rejeitados vão para a seção de “reparo” onde são consertados em um tempo que também segue a distribuição exponencial com duração de 45 minutos. Deseja-se simular esta situação para determinar algumas varáveis tais como no de unidade na fila, tempo total de produção, etc... Vamos construir o modelo no Arena. Inicialmente vamos construir um bloco “Cre- ate” para a chegada dos componentes do produto A. Criamos de forma idêntica um bloco “Create” para as chegadas das placas e emba- lagens do produto tipo B. Temos então: 224 Introdução à Simulação Devemos notar que “Entities per Arrival” foi alterado para 4, pois as placas e em- balagens de B chegam em lotes de 4. Neste ponto temos que nos preocupar com um ponto que não apareceu nos modelos anteriores. Depois de chegar e ser preparado, os componentes do modelo A vão para a seção de montagem. No entanto com o modelo tipo B ocorre a mesma coisa, ou seja ambos usam a seção de montagem mas com tempos seguindo distribuições diferentes. Não podemos definir 2 distribuições para o mesmo processo nem definir 2 processos porque na verdade só existe uma seção de montagem. Para contor- nar isto, vamos definir um atributo Tempo de Montagem a quem atribuiremos o tempo de montagem apropriado para cada tipo de produto. O bloco que faz estas atribuições no Arena é o Assign. Temos então: 4.20 O software ARENA 225 Demos o nome de Definição Montagem A. A seguir, clicamos no botão Add e criamos o atributo Tempo de Montagem informando a distribuição do tempo de montagem para o produto tipo A, ou seja, TRIA(1,3,4). Cliando em Add mais uma vez, vamos criar o atributo Instante da Chegada in- formando o instante da chegada das peças de um modelo A. Usamos a variável TNOW que é uma variável do Arena que contém o instante do evento que acabou de ocorrer, no caso a chegada dos componentes de um modelo tipo A. O Tempo de Montagem, para o produto A está completo: 228 Introdução à Simulação Podemos escolher o percentual, no caso 9% de rejeição. Estes rejeitados vão para a área de conserto que, no Arena, será representado por mais um bloco Process. Adicionamos o recurso que vai consertar os produtos rejeitados (Técnico). 4.20 O software ARENA 229 Temos após o conserto uma re-inspeção para verificar as que podem ser comercia- lizadas. Temos então mais um bloco de decisão. Podemos representá-lo usando o bloco Decide. Temos então: Tendo definido todas as operações, precisamos nos preocupar com a obtenção das informações que queremos analisar.Lembre-se que, como parte da própria simula- ção, nós obtemos estatísticas sobre a utilização dos recursos, tamanho das filas e espera em cada uma das filas. No entanto, queremos também informações sobre a duração do ciclo para os produtos que passam no controle de qualidade e para os que não passam, queremos conhecer o ciclo dos que são “consertados” e dos que vão para a sucata. O bloco Record permite que se tenha estes dados. Para os que vão para a sucata, temos: Para Type, escolhemos Time Interval e no atributo escolhemos Instante da Chegada. Com isto o Arena vai registrar cada duração desde que as partes do produto chegam até irem para a sucata. Para os demais itens (comercializadas direto e comerciali- zados após reparo), o procedimento é o mesmo como podemos ver s seguir: 230 Introdução à Simulação Finalmente não podemos esquecer dos módulos de saída, ou seja Dispose. Temos 3 “saídas” possíveis: Sucata, Vendas Pós Conserto e Vendas Diretas. Temos que ter 3 blocos Dispose. Em um modelo deste tipo é usual que vá se construindo os “blocos” sem nos preocu- parmos com a ligação lógica entre eles. Neste momento, quando todos os blocos já estão prontos, devemos fazer a ligação ente eles de modo a que o Arena possa exe- cutar a simulação. Após fazer esta tarefa, nosso modelo tem a seguinte aparência: 4.20 O software ARENA 233 234 Introdução à Simulação 4.21 Exercícios 1) Usando o método dos quadrados médios, calcule os 12 primeiros números gera- dos, com 4 dígitos, a partir de uma semente igual a 7308. 2) Use o método congruente linear para gerar um seqüencia de 3 números aleató- rios de 2 dígitos. Use x0 = 27, a = 8, c = 47 e m = 100. 3) Encontramos algum problema no exercício anterior se x0 = 0 ? 4) Considere o método congruente multiplicativo para os seguintes casos: a) a = 11 m = 16 x0 = 7 b) a = 11 m = 16 x0 = 8 c) a = 7 m = 16 x0 = 7 d) a = 7 m = 16 x0 = 8 Gere, para cada caso, todo o período. O que podemos inferir dos resultados encontrados ? 5) Construa, para a RAND2, um cubo idêntico ao mostrado na página 157 para o gerador RANDU. 6) Pesquise na internet para descobrir qual a fórmula usada pela planilha Excel no seu gerador de números aleatórios padrão. 7) Desenvolva um gerador de números aleatórios, usando o método da transforma- ção inversa, para a seguinte distribuição probabilística: f(x) = { e2x, −∞ < x ≤ 0 e−2x, 0 < x < ∞ 8) Idem para: f(x) =             1 3 , 0 ≤ x ≤ 2 1 24 , 2 < x ≤ 10 0, x > 10 9) Com uma calculadora que tenha a função para gerar números aleatórios uni- formemente distribuídos em [0, 1], gere 10 números seguindo a distribuição de Poisson com média (λ) igual a 2, 5. 4.21 Exercícios 235 10) Modifique o programa da página 172 para calcular a probabilidade de um valor (x) de uma distribuição normal, com média (µ) igual a 1.500 e desvio padrão (σ) igual a 300, estar entre 1.300 e 1.800. Use, no programa, a fórmula da distribuição normal: f(x) = 1 √ 2πσ2 e − (X − µ)2 2σ2 Compare o valor obtido pela simulação com o valor obtido da tabela normal. 11) A gerente de uma loja de eletro-domésticos está desconfiada que o seu estoque de fogões está acima do que seria necessário. Antes de modificar a política de estoques, ela registrou o número de fogões vendidos, diariamente, nos últimos 25 dias. Os dados encontrados estão mostrados a seguir: Fogões vendidos 2 3 4 5 6 Número de dias 4 7 8 5 1 a) Use os dados para estimar a distribuição de probabilidade das vendas diárias de fogões. b) Calcule a média da distribuição obtida na parte (a). c) Descreva como números aleatórios uniformemente distribuídos em [0, 1] po- dem ser usados para simular as vendas diárias. d) Usando os números aleatórios 0.4475, 0.9713 e 0.0629, simule as vendas diá- rias de 3 dias. e) Usando uma planilha eletrônica (Excel, por exemplo), faça um modelo para simular as vendas diárias. Realize 300 replicações e obtenha a média de vendas diárias. 12) Utilizando como sementes os valores 1234, 76545, 88787, 77712, 564783 e 5434 encontre os 3 primeiros números gerados pela RAND4. 13) Pesquise e descubra os comandos para a geração de números aleatórios no Turbo Pascal, inclusive com a escolha da semente. 14) Utilizando uma planilha eletrônica (Excel, por exemplo), construa um modelo para a seguinte situação: Um posto de gasolina do governo, que tem somente uma bomba de gasolina, está sempre aberto e tem 2 tipos de clientes. Uma ambulância chega, exatamente, a cada 30 minutos, com o 1o carro chegando no “instante”, 15 minutos. Carros de outras repartições públicas, que não são ambulâncias, chegam com um intervalo médio entre chegadas, exponencial, de 5, 6 minutos, com o 1o carro chegando no instante 0. O tempo de serviço, para todos os tipos de carros, tem uma média de 4, 8 minutos (exponencial). Um carro que chega e encontra a bomba vazia vai ser atendido imediatamente enquanto que os que chegam com a bomba ocupada, formam uma fila única. Isto só não vale para as ambulâncias que, ao chegar, vão imediatamente para o 238 Introdução à Simulação Apêndice A Tabela Normal Parte I Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 -2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 -2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 .00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 -2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 -2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 -2.4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 -2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 -2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 .01191 .01160 .01130 .01101 -2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 -2.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831 -1.9 .02872 .02807 .02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .02330 -1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938 -1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 .03754 .03673 -1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 -1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 -1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 .07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 -1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08692 .08534 .08379 .08226 -1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 -1.1 .13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 -1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 -0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 .16602 .16354 .16109 -0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 -0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 -0.6 .27425 .27093 .26763 .26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 -0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 -0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 .31207 -0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 -0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 -0.1 .46017 .45621 .45224 .44828 .44433 .44038 .43644 .43251 .42858 .42466 -0.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 240 Tabela Normal Parte II Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54379 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57534 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91308 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861 Apêndice C Tabelas para modelos com população finita As tabelas a seguir 1 tem como objetivo facilitar os cálculos para modelos de filas com população de tamanho finito. As tabelas aqui contidas, por problema de espaço, só abrangem os modelos com população igual a 5, 10, 20 e 30 elementos. Sendo assim, os exercícios apresenta- dos só tratam modelos com populações de um daqueles tamanhos. No acesso a tabela, deve-se observar que, em cada página, existem 3 colunas, cada uma com 4 valores: X, S, D e F. A sequencia dos valores é por coluna. Sendo assim, iniciamos na 1a coluna, desce- mos até embaixo na página e, ao chegar ao final, subimos para a 2a coluna. Quando esta acaba, embaixo na página, subimos para a 3a coluna e quando chegamos ao final, mudamos para a próxima página onde a sequencia é a mesma. Na própria tabela está impresso onde ela começa a valer para uma determinada população. Assim, após encontrar impresso População 10, por exemplo, passam a valer os valores para esta população. 1extraída de L.G.Peck and R.N.Hazelwood, Finite Queuing Tables, John Wiley & Sons, 1958 244 Tabelas para modelos com população finita X S D F X S D F X S D F POPULAÇÃO 5 .100 1 .386 .950 .200 2 .194 .976 .105 2 .059 .997 1 .689 .801 .012 1 .048 .999 1 .404 .945 .210 3 .032 .998 .019 1 .076 .998 .110 2 .065 .996 2 .211 .973 .025 1 .100 .997 1 .421 .939 1 .713 .783 .030 1 .120 .996 .115 2 .071 .995 .220 3 .036 .997 .034 1 .135 .995 1 .439 .933 2 .229 .969 .036 1 .143 .994 .120 2 .076 .995 1 .735 .765 .040 1 .159 .993 1 .456 .927 .230 3 .041 .997 .042 1 .167 .992 .125 2 .082 .994 2 .247 .965 .044 1 .175 .991 1 .473 .920 1 .756 .747 .046 1 .183 .990 .130 2 .089 .993 .240 3 .046 .996 .050 1 .198 .989 1 .489 .914 2 .265 .960 .052 1 .206 .988 .135 2 .095 .993 1 .775 .730 .054 1 .214 .987 1 .505 .907 .250 3 .052 .995 .056 2 .018 .999 .140 2 .102 .992 2 .284 .955 1 .222 .985 1 .521 .900 1 .794 .712 .058 2 .019 .999 .145 3 .011 .999 .260 3 .058 .994 1 .229 .984 2 .109 .991 2 .303 .950 .060 2 .020 .999 1 .537 .892 1 .811 .695 1 .237 .983 .150 3 .012 .999 .270 3 .064 .994 .062 2 .022 .999 2 .115 .990 2 .323 .944 1 .245 .982 1 .553 .885 1 .827 .677 .064 2 .023 .999 .155 3 .013 .999 .280 3 .071 .993 1 .253 .981 2 .123 .989 2 .342 .938 .066 2 .024 .999 1 .568 .877 1 .842 .661 1 .260 .979 .160 3 .015 .999 .290 4 .007 .999 .068 2 .026 .999 2 .130 .988 3 .079 .992 1 .268 .978 1 .582 .869 2 .362 .932 .070 2 .027 .999 .165 3 .016 .999 1 .856 .644 1 .275 .977 2 .137 .987 .300 4 .008 .999 .075 2 .031 .999 1 .597 .861 3 .086 .990 1 .294 .973 .170 3 .017 .999 2 .382 .926 .080 2 .035 .998 2 .145 .985 1 .869 .628 1 .313 .969 1 .611 .853 .310 4 .009 .999 .085 2 .040 .998 .180 3 .021 .999 3 .094 .989 1 .332 .965 2 .161 .983 2 .402 .919 .090 2 .044 .998 1 .638 .836 1 .881 .613 1 .350 .960 .190 3 .024 .998 .320 4 .010 .999 .095 2 .049 .997 2 .177 .980 3 .103 .988 1 .368 .955 1 .665 .819 2 .422 .912 .100 2 .054 .997 .200 3 .028 .998 1 .892 .597 245 X S D F X S D F X S D F .330 4 .012 .999 .520 2 .779 .728 POPULAÇÃO 10 3 .112 .986 1 .988 .384 2 .442 .904 .540 4 .085 .989 .016 1 .144 .997 1 .902 .583 3 .392 .917 .019 1 .170 .996 .340 4 .013 .999 2 .806 .708 .021 1 .188 .995 3 .121 .985 1 .991 .370 .023 1 .206 .994 2 .462 .896 .560 4 .098 .986 .025 1 .224 .993 1 .911 .569 3 .426 .906 .026 1 .232 .992 .360 4 .017 .998 2 .831 .689 .028 1 .250 .991 3 .141 .981 1 .993 .357 .030 1 .268 .990 2 .501 .880 .580 4 .113 .984 .032 2 .033 .999 1 .927 .542 3 .461 .895 1 .285 .988 .380 4 .021 .998 2 .854 .670 .034 2 .037 .999 3 .163 .976 1 .994 .345 1 .302 .986 2 .540 .863 .600 4 .130 .981 .036 2 .041 .999 1 .941 .516 3 .497 .883 1 .320 .984 .400 4 .026 .997 2 .875 .652 .038 2 .046 .999 3 .186 .972 1 .996 .333 1 .337 .982 2 .579 .845 .650 4 .179 .972 .040 2 .050 .999 1 .952 .493 3 .588 .850 1 .354 .980 .420 4 .031 .997 2 .918 .608 .042 2 .055 .999 .420 3 .211 .966 1 .998 .308 1 .371 .978 2 .616 .826 .700 4 .240 .960 .044 2 .060 .998 1 .961 .471 3 .678 .815 1 .388 .975 .440 4 .037 .996 2 .950 .568 .046 2 .065 .998 3 .238 .960 1 .999 .286 1 .404 .973 2 .652 .807 .750 4 .316 .944 .048 2 .071 .998 1 .969 .451 3 .763 .777 1 .421 .970 .460 4 .045 .995 2 .972 .532 .050 2 .076 .998 3 .266 .953 .800 4 .410 .924 1 .437 .967 2 .686 .787 3 .841 .739 .052 2 .082 .997 1 .975 .432 2 .987 .500 1 .454 .963 .480 4 .053 .994 .850 4 .522 .900 .054 2 .088 .997 3 .296 .945 3 .907 .702 1 .470 .960 2 .719 .767 2 .995 .470 .056 2 .094 .997 1 .980 .415 .900 4 .656 .871 1 .486 .956 .500 4 .063 .992 3 .957 .666 .058 2 .100 .996 3 .327 .936 2 .998 .444 1 .501 .953 2 .750 .748 .950 4 .815 .838 .060 2 .106 .996 1 .985 .399 3 .989 .631 1 .517 .949 .520 4 .073 .991 .062 2 .113 .996 3 .359 .927 1 .532 .945 248 Tabelas para modelos com população finita X S D F X S D F X S D F .600 6 .518 .915 POPULAÇÃO 20 .040 2 .202 .994 5 .795 .809 1 .712 .929 4 .953 .663 .005 1 .095 .999 .042 3 .047 .999 3 .996 .500 .009 1 .171 .998 2 .219 .993 .650 9 .021 .999 .011 1 .208 .997 1 .740 .918 8 .123 .988 .013 1 .246 .996 .044 3 .053 .999 7 .353 .954 .014 1 .265 .995 2 .237 .992 6 .651 .878 .015 1 .283 .994 1 .767 .906 5 .882 .759 .016 1 .302 .993 .046 3 .059 .999 4 .980 .614 .017 1 .321 .992 2 .255 .991 3 .999 .461 .018 2 .048 .999 1 .792 .894 .700 9 .040 .997 1 .339 .991 .048 3 .066 .999 8 .200 .979 .019 2 .053 .999 2 .274 .989 7 .484 .929 1 .358 .990 1 .815 .881 6 .772 .836 .020 2 .058 .999 .050 3 .073 .998 5 .940 .711 1 .376 .989 2 .293 .988 4 .992 .571 .021 2 .064 .999 1 .837 .866 .750 9 .075 .994 1 .394 .987 .052 3 .080 .998 8 .307 .965 .022 2 .070 .999 2 .312 .986 7 .626 .897 1 .412 .986 1 .858 .851 6 .870 .792 .023 2 .075 .999 .054 3 .088 .998 .750 5 .975 .666 1 .431 .984 2 .332 .984 4 .998 .533 .024 2 .082 .999 1 .876 .835 .800 9 .134 .988 1 .449 .982 .056 3 .097 .997 8 .446 .944 .025 2 .088 .999 2 .352 .982 7 .763 .859 1 .466 .980 1 .893 .819 6 .939 .747 .026 2 .094 .998 .058 3 .105 .997 5 .991 .625 1 .484 .978 2 .372 .980 4 .999 .500 .028 2 .108 .998 1 .908 .802 .850 9 .232 .979 1 .519 .973 .060 4 .026 .999 8 .611 .916 .030 2 .122 .998 3 .115 .997 7 .879 .818 1 .553 .968 2 .392 .978 6 .978 .705 .032 2 .137 .997 1 .922 .785 5 .998 .588 1 .587 .962 .062 4 .029 .999 .900 9 .387 .963 .034 2. 152 .996 3 .124 .996 8 .785 .881 1 .620 .955 2 .413 .975 7 .957 .777 .036 2 .168 .996 1 .934 .768 6 .995 .667 1 .651 .947 .064 4 .032 .999 .950 9 .630 .938 .038 3 .036 .999 3 .134 .996 8 .934 .841 2 .185 .995 2 .433 .972 7 .994 .737 1 .682 .938 1 .944 .751 .040 3 .041 .999 .066 4 .036 .999 249 X S D F X S D F X S D F .066 3 .144 .995 .105 1 .999 .476 .150 4 .388 .968 2 .454 .969 .110 5 .055 .998 3 .728 .887 1 .953 .733 4 .172 .992 2 .976 .661 .068 4 .039 .999 3 .438 .964 .155 7 .021 .999 3 .155 .995 2 .842 .837 6 .068 .997 2 .474 .966 .115 5 .065 .998 5 .185 .990 1 .961 .716 4 .195 .990 4 .419 .963 .070 4 .043 .999 3 .476 .958 3 .758 .874 3 .165 .994 2 .870 .816 2 .982 .641 2 .495 .962 .120 6 .022 .999 .160 7 .024 .999 1 .967 .699 5 .076 .997 6 .077 .997 .075 4 .054 .999 4 .219 .988 5 .205 .988 3 .194 .992 3 .514 .950 4 .450 .957 2 .545 .953 2 .895 .793 3 .787 .860 1 .980 .659 .125 6 .026 .999 2 .987 .622 .080 4 .066 .998 5 .088 .997 .165 7 .029 .999 3 .225 .990 4 .245 .986 6 .088 .996 .080 2 .595 .941 3 .552 .942 5 .226 .986 1 .988 .621 2 .916 .770 4 .482 .951 .085 4 .080 .997 .130 6 .031 .999 3 .813 .845 3 .257 .987 5 .101 .996 2 .990 .604 2 .643 .928 4 .271 .983 .170 7 .033 .999 1 .993 .586 3 .589 .933 6 .099 .995 .090 5 .025 .999 2 .934 .748 5 .248 .983 4 .095 .997 .135 6 .037 .999 4 .513 .945 3 .291 .984 5 .116 .995 3 .838 .830 2 .689 .913 4 .299 .980 2 .993 .587 1 .996 .554 3 .626 .923 .180 7 .044 .998 .095 5 .031 .999 2 .948 .725 6 .125 .994 4 .112 .996 .140 6 .043 .998 5 .295 .978 3 .326 .980 5 .131 .994 4 .575 .930 2 .733 .896 4 .328 .976 3 .879 .799 1 .998 .526 3 .661 .912 2 .996 .555 .100 5 .038 .999 2 .960 .703 .190 8 .018 .999 4 .131 .995 .145 6 .051 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.932 5 .933 .748 3 .971 .677 5 .797 .848 4 .993 .605 .230 9 .018 .999 4 .958 .708 .340 11 .029 .999 8 .054 .998 3 .998 .536 10 .079 .996 7 .140 .992 .290 10 .027 .999 9 .179 .987 .230 6 .306 .975 9 .075 .996 8 .347 .967 5 .560 .931 8 .176 .988 7 .573 .924 4 .834 .828 7 .351 .967 6 .802 .846 3 .981 .649 6 .592 .920 5 .949 .729 .240 9 .024 .999 5 .833 .828 4 .995 .588 8 .068 .997 4 .970 .685 .360 12 .015 .999 7 .168 .989 3 .999 .517 11 .045 .998 6 .351 .969 .300 10 .034 .998 10 .112 .993 5 .613 .917 9 .091 .995 9 .237 .981 4 .870 .804 8 .205 .985 8 .429 .954 3 .988 .623 7 .394 .961 7 .660 .901 .250 9 .031 .999 6 .639 .907 6 .863 .812 8 .085 .996 5 .865 .808 5 .971 .691 7 .199 .986 4 .978 .664 4 .998 .555 6 .398 .961 3 .999 .500 .380 12 .024 .999 5 .664 .901 .310 11 .014 .999 11 .067 .996 4 .900 .780 10 .043 .998 10 .154 .989 3 .992 .599 9 .110 .993 9 .305 .973 .260 9 .039 .998 8 .237 .981 8 .513 .938 8 .104 .994 7 .438 .953 7 .739 .874 7 .233 .983 6 .684 .893 6 .909 .777 253 X S D F X S D F X S D F .056 3 .267 .991 .085 5 .108 .997 .120 2 .999 .555 2 .665 .944 4 .282 .987 .125 8 .024 .999 1 .998 .595 3 .607 .948 7 .069 .998 .058 4 .096 .998 2 .955 .768 6 .171 .993 3 .288 .989 .090 6 .046 .999 5 .367 .977 2 .695 .936 5 .132 .996 4 .666 .927 1 .999 .574 4 .326 .984 3 .940 .783 .060 5 .030 .999 3 .665 .934 .130 8 .030 .999 4 .106 .997 2 .972 .732 7 .083 .997 3 .310 .987 .095 6 .057 .999 6 .197 .991 2 .723 .927 5 .158 .994 5 .409 .972 1 .999 .555 4 .372 .979 4 .712 .914 .062 5 .034 .999 3 .720 .918 3 .957 .758 4 .117 .997 2 .984 .697 .135 8 .037 .999 3 .332 .986 .100 6 .071 .998 7 .098 .997 2 .751 .918 5 .187 .993 6 .226 .989 .064 5 .038 .999 4 .421 .973 5 .451 .966 4 .128 .997 3 .771 .899 4 .754 .899 3 .355 .984 2 .991 .664 3 .970 .734 2 .777 .908 .105 7 .030 .999 .140 8 .045 .999 .066 5 .043 .999 6 .087 .997 7 .115 .996 4 .140 .996 5 .219 .991 6 .256 .987 3 .378 .982 4 .470 .967 5 .494 .960 2 .802 .897 3 .816 .879 4 .793 .884 .068 5 .048 .999 2 .995 .634 3 .979 .710 4 .153 .995 .110 7 .038 .999 .145 8 .055 .998 3 .402 .979 6 .105 .997 7 .134 .995 2 .825 .885 5 .253 .988 6 .288 .984 .070 5 .054 .999 .110 4 .520 .959 5 .537 .952 4 .166 .995 3 .856 .857 4 .828 .867 3 .426 .976 2 .997 .605 3 .986 .687 2 .847 .873 .115 7 .047 .999 .150 9 .024 .999 .075 5 .069 .998 6 .125 .996 8 .065 .998 4 .201 .993 5 .289 .985 7 .155 .993 3 .486 .969 4 .570 .950 6 .322 .980 2 .893 .840 3 .890 .833 5 .580 .944 .080 6 .027 .999 2 .998 .579 4 .860 .849 5 .088 .998 .120 7 .057 .998 3 .991 .665 4 .240 .990 6 .147 .994 .155 9 .029 .999 3 .547 .959 5 .327 .981 8 .077 .997 2 .929 .805 4 .619 .939 7 .177 .992 .085 6 .036 .999 3 .918 .808 6 .357 .976 254 Tabelas para modelos com população finita X S D F X S D F X S D F .155 5 .622 .935 .200 9 .123 .995 .250 11 .095 .996 4 .887 .830 8 .249 .985 10 .192 .989 3 .994 .644 7 .446 .963 9 .345 .975 .160 9 .036 .999 6 .693 .913 8 .552 .944 8 .090 .997 5 .905 .814 7 .773 .885 7 .201 .990 4 .991 .665 6 .932 .789 6 .394 .972 .210 11 .030 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