Variáveis Aleatórias, Notas de estudo de Cultura

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Propriedades da Esperança, Aproximação da Binomial a Normal
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Aula 7 - Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas Modelos para Variáveis Aleatórias Contínuas

Aula 7 - Variáveis Aleatórias Contínuas

Alexandre Ribeiro Leichsenring

Daiichi Sankyo, Setembro de 2010

Estatística para Farmacêuticas

Variáveis Aleatórias Contínuas Modelos para Variáveis Aleatórias Contínuas

Organização

1 Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua

Esperança e Variância

Função distribuição (acumulada)

2 Modelos para Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição Uniforme

Distribuição Normal

Aproximação Normal para a Binomial

Estatística para Farmacêuticas

Variáveis Aleatórias Contínuas Modelos para Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis aleatórias contínuas são aquelas que assumem valores

no conjunto dos números reais.

São variáveis como salário, tempo de utilização de um

equipamento, peso, preço de produtos.

Exemplos

Variável Aleatória Valores possíveis

Peso 74,5 ; 89,1 ; 54,8 ; ...

Horas 1,5 ; 3,5 ; 2 ; ...

Dinheiro 23,75 ; 43,90 ; 21,10 ; ...

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua

Função Densidade de Probabilidade

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua caracteriza sua distribuição de probabilidade.

É o equivalente para o caso contínuo da função de probabilidade das variáveis aleatórias discretas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

0.1

0.2

0.3

0.4

Estatística para Farmacêuticas

Variáveis Aleatórias Contínuas Modelos para Variáveis Aleatórias Contínuas

Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Seja f(x) a função densidade de uma varável aleatória contínua X, então a probabilidade de que X assuma um valor próximo a x é proporcional a f(x).

x

f HxL

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

A probabilidade de que X assuma valores num intervalo [a, b] é dada pela área da sua função densidade embaixo do intervalo [a, b].

à a

b

f HxL âx

a b x

f HxL

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Além disso,

P(X = a) =

∫ a a

f(x) dx = 0 .

a x

f HxL

Em outras palavras, a probabilidade de que uma variável aleatória

contínua X assuma um valor xo a qualquer é 0.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Propriedades da função densidade

Propriedades da função densidade

A função densidade deve satisfazer duas condições análogas às

condições exigidas para a função discreta de probabilidade:

i) f(x) ≥ 0 , para todo x; ii) A área sob o gráco de f(x) é igual a 1. Em outros

termos, ∫ +∞ −∞

f(x) dx = 1.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Esperança e Variância

Esperança

Os conceitos de esperança e variância vistos para o caso discreto se estendem para o caso contínuo.

Denição

A esperança é o valor esperado ou a média de uma variável aleatória contínua.

Se X é uma v.a. contínua com função densidade dada por f , então sua esperança é dada pela seguinte expressão:

E(X) =

∫ ∞ −∞

x f(x) dx

Observação

1. Denotamos a esperança de uma variável aleatória pelo símbolo µ .

2. µ é um parâmetro de localização da variável.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Propriedades da Esperança

Propriedades da Esperança

E(X + c) = E(X) + c , sendo c uma constante qualquer e X um v.a. ;

E(X + Y ) = E(X) +E(Y );

E(aX) = aE(X).

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Exemplo

Sejam X1, X2 e X3 v.a.'s independentes e identicamente distribuídas com média µ. Agora seja Y = X1 + 2X2 +X3. Calcule E(Y ).

Solução

E(Y ) = E(X1 + 2X2 +X3)

= E(X1) + 2E(X2) +E(X3)

= µ+ 2µ+ µ = 4µ.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Variância

Denição

A variância de uma v.a. contínua X com função densidade f é denida por:

Var(X) = E[(X − µ)2] = ∫ ∞ −∞

(x− µ)2 f(x) dx

Observação

1. Denota-se a variância por σ2.

2. A exemplo do caso discreto, pode-se mostrar que a variância para v.a.'s contínuas também admite a fórmula alternativa:

Var(X) = E(X2)− [E(X)]2.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Propriedades da Variância

A variância denida para variáveis aleatórias contínuas tem as mesmas propriedades da variância denida para variáveis aleatórias discretas:

Propriedades da variância

Seja X uma variável aleatória discreta e a, b e c constantes. Então

Var(aX) = a2Var(X)

Var(b) = 0

Var(aX + c) = a2Var(X)

Se Y é uma v.a. independente de X então

Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).

Esta propriedade se estende para o caso da soma de n variáveis aleatórias independentes.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Exemplo

Seja X1, X2 e X3 v.a.'s independentes e identicamente distribuídas com variância σ2 e Y = X1 + 2X2 +X3 e Z = X1 + 3X3 + 5. CalculeVar(Y ).

Solução

Var(Y ) = Var(X1 + 2X2 +X3). Como X1, X2 e X3 são independentes, temos

Var(X1 + 2X2 +X3) = Var(X1) + Var(2 X2) + Var(X3).

Logo,

Var(Y ) = Var(X1)+2 2 Var(X2)+Var(X3) = σ

2+4σ2+σ2 = 6σ2.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Função distribuição

Se X é uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade f(x) então podemos denir a função distribuição acumulada F (x) da mesma maneira como o zemos para as v.a.'s discretas:

Denição (Função distribuição)

A função distribuição de uma v.a. contínua X com densidade f é denida por:

F (x) = P(X ≤ x).

Ou seja,

F (x) =

∫ x −∞

f(u) du.

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Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua Esperança e Variância Função distribuição (acumulada)

Propriedades da função distribuição

Propriedades da função distribuição

Para dois pontos a e b com a < b, temos

P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a).

a b x

f HxL

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Distribuição Uniforme

Conceito simples: a probabilidade de se observar qualquer ponto em um intervalo no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo.

Intervalos de mesmo tamanho possuem a mesma probabilidade.

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [a, b], a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por:

f(x) = 1

b− a para a ≤ x ≤ b. (1)

a b x

1 b-a

f HxL

Figura: Distribuição uniforme no intrevalo [a, b].

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Esperança e variância da Distribuição Uniforme

Exemplo

Calcule a esperança e a variância de uma v.a. com distribuição

uniforme no intervalo [a, b].

Solução

E[X] = a+b2 ;

Var[X] = (b−a) 2

12 .

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exemplo

Seja X um v.a. tal que X ∼ U [0, 10]. Calcule a probabilidade de que

a) X ≤ 3 b) X > 6

c) 3 < X < 8

Solução

a) P(X ≤ 3) = 310 b) P(X > 6) = 410 c) P(3 ≤ X ≤ 8) = 12

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exemplo

Onibus chegam a uma determinada parada de 15 em 15 minutos à

partir das 7:00 a.m. Isto é, eles chegam às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45,

... Se um passageiro chega a essa parada em um tempo

uniformemente distribuído entre 7:00 e 7:30, qual a probabilidade

de que ele espere:

a) menos do que 5 minutos para pegar um ônibus?

b) mais do que 10 minutos para um ônibus?

Solução

a) 13 b) 13

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Distribuição Normal

A distribuição normal é essencialmente importante na estatística

porquê:

Inúmeros fenômenos contínuos parecem seguir a dsitribuição

normal ou podem ser aproximados por meio dela;

Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições

discretas;

Oferece a base para a inferência estatística clássica devido à

sua relação com o teorema do limite central (TLC).

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Função Densidade da Normal

Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de parâmetros µ e σ2, ou seja, X ∼ N(µ, σ2). Então sua função densidade de probabilidade é dada por:

f(x | µ, σ2) = 1 σ √ 2π e−

(x−µ)2

2σ2 , para −∞ < x <∞. (2)

-4 -2 0 2 4 6 x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 f HxL

Μ: parâmetro de posição

Μ=2 , Σ=1

Μ=0 , Σ=1

-4 -2 0 2 4 x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 f HxL

Σ : parâmetro de dispersão

Μ=0 , Σ=0,6

Μ=0 , Σ=1

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Propriedades da distribuição Normal

A esperança e a variância da distribuição da normal são dadas por:

E[X] = µ; Var[X] = σ2.

Outras propriedades

(i) f(x) é simétrica em relação a µ;

(ii) f(x)→ 0 quando x→ ±∞ ; (iii) O valor máximo de f(x) se dá em x = µ.

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

f HxL

Μ - 3 Σ Μ - 2 Σ Μ - Σ Μ Μ + Σ Μ + 2 Σ Μ + 3 Σ x

0.399

Σ

f HxL

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

A probabilidade de que X assuma valores num intervalo [a, b] é dada pela área da sua função densidade embaixo do intervalo [a, b].

à a

b

f HxL âx

a b x

f HxL

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a

1

σ √ 2π e−

(x−µ)2

2σ2 dx. (3)

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Os cálculos dessas integrais são razoavelmente difíceis. Felizmente,

esses valores podem ser facilmente obtidos a partir dos softwares

estatísticos. Também há tabelas, que geralmente apresentam a

função distribuição da normal padrão, isto é, a normal com média

0 e variância 1 (X ∼ N(0, 1)).

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exemplo

Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule

a) P(X ≤ 1, 96) b) P(X ≥ 0, 5) c) P(X < −0, 5) d) P(−0, 3 < X < 1) e) P(X > 3, 5)

f) O valor de x para o qual P(X < x) = 0, 99

Solução

i) Tabela

ii) Minitab

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Padronizando a Normal

Existe uma relação muito interessante entre uma normal com

média µ e variância σ2 e a normal padrão.

Seja X ∼ N(µ, σ2) e Z = (X−µ)σ . Então

E[Z] = E

[ X − µ σ

] =

1

σ E[X − µ] = 1

σ [E[X]− µ] = 0

Var[Z] = Var

[ X − µ σ

] =

1

σ2 Var[X − µ] = 1

σ2 Var[X] = 1

Essa transformação não afeta a normalidade:

Z ∼ N(0, 1)

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Μ0 x

X - Μ

Σ ~ NH0,1L

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exemplo

Seja X uma variável aleatória com distribuição normal com média 2 e variância 9, ou seja, X ∼ N(2; 32). Calcule a) P(X > 2)

b) P(X < 5)

c) P(2 < X < 5)

d) P(X ≤ 1) e) O valor de x tal que P(X > x) = 0, 05.

Solução

i) Padronizar X e ver a tabela.

ii) Direto no Minitab

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exercício

Os depósitos efetuados num determinado banco durante o mês de

outubro são distribuídos normalmente, com média R$ 10.000,00 e

desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito de outubro é selecionado

ao acaso. Encontre a probabilidade de que o depósito seja:

a) R$ 10.000,00 ou menos

b) pelo menos R$ 10.000,00

c) um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00

d) maior do que R$ 20.000,00

Solução

a) 0,5

b) 0,5

c) 0,09133

d) ≈ 0 Estatística para Farmacêuticas

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exercícios

Exercício 1

Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Calcule

a) P(µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ)

b) P(µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ)

c) P(µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ)

Μ - 3 Σ Μ - 2 Σ Μ - Σ Μ Μ + Σ Μ + 2 Σ Μ + 3 Σ x

f HxL

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exercício

A taxa anual de retorno de um índice da bolsa (E.U.) é aproximadamente normal. A média da taxa de retorno das últimas décadas foi de 12%, com desvio padrão de 16,5%. Vamos adotar essa distribuição normal para a taxa de retorno anual da bolsa. Dizemos que a bolsa operou um ano em baixa se a taxa de retorno do índice é menor do que 0 (zero). Qual a probabilidade aproximada de que esse ano a bolsa opere em baixa (segundo esse índice)?

Solução

P(X < 0) ≈ P ( X − 12 16, 5

< 0− 12 16.5

) ≈ P (Z < −0, 7273) = P (Z > 0, 7273) = 1−P (Z ≤ 0, 7273) = 1− 0, 7642 = 0, 2358

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Aproximação Normal para a Binomial

Exemplo

Uma moeda honesta (p = 50%) é lançada n = 10 vezes em idênticas condições. Determinar a probabilidade de ocorrer cara mais do que 7 vezes.

Solução Seja X o número de caras nos 10 lançamentos. A probabilidade

desejada é P(X ≥ 7). Claramente X tem distribuição binomial de parâmetros n = 10 e p = 0, 5. Lembrando que uma binomial(n, p) tem função de probabilidade dada por

P(X = k) =

( n

k

) pk (1− p)n−k, para k = 0, 1, . . . , n,

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Podemos calcular a distribuição exata de X ∼ binomial(10, 1 2 ):

x 0 1 2 3 4 5

P( X = x) 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461

x 6 7 8 9 10 -

P( X = x) 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010 0,0000

Temos então,

P(X ≥ 7) = P(X = 7) +P(X = 8) +P(X = 9) +P(X = 10) = 0, 1172 + 0, 0439 + 0, 0098 + 0, 0010 = 0, 1719.

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Obs: Se X ∼ binomial(10, 1 2 ), então:

x 0 1 2 3 4 5 P( X = x) 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461

x 6 7 8 9 10 - P( X = x) 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010 0,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

0.1

0.2

0.3

0.4

média: µ = n · p = 10 · 1 2 = 5 ;

variância: σ2 = n · p · (1− p) = 10 · 1 2 · ( 1− 1

2

) = 2, 5.

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Aproximação Normal para a Binomial

Uma Binomial(n, p) pode ser aproximada por uma normal com

média: µ = n · p ; variância: σ2 = n · p · (1− p).

Voltando ao exemplo, se Y é uma v.a. com distribuição normal(5; 2, 5), então poderíamos aproximar:

P(X ≥ 7) ' P(Y ≥ 7) = P(Y ≥ 7− 5√ 2, 5

)

= P(Z ≥ 0, 80) = 0, 102788

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Exercício

Exercício

Uma moeda é lançada 100 vezes. Calcule a probabilidade de que a

proporção de caras observadas nos lançamentos que entre 40% e

70%.

Solução

Temos X ∼ binomial(100; 0, 5), logo: E(X) = np = 100 · 0, 5 = 50; Var(X) = np(1− p) = 100 · 0, 5 · 0, 5 = 25.

Poderíamos usar um computador para calcular a distribuição exata:

P(40 ≤ X ≤ 70) = 70∑

k=40

P(X = k) = 0, 9823.

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Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aproximação Normal para a Binomial

Agora vamos obter a mesma probabilidade aproximando pela distribuição normal. Para isso, seja Y ∼ normal(50, 25), então

P(40 ≤ X ≤ 70) ' P(40 ≤ Y ≤ 70) = P ( 40− 50

5 ≤ Y − 50

5 ≤ 70− 50

5

) = P(−2 ≤ Z ≤ 4).

Bastaria uma tabela da distribuição normal para vericar que

P(−2 ≤ Z ≤ 4) = 0, 9772.

Vimos que a probabilidade exata é igual a 0,9823, o que indica que

novamente a distribuição normal ofereceu um boa aproximação

para a binomial.

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