Variáveis aleatórias discretas Parte 1, Notas de estudo de Engenharia Informática
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Variáveis aleatórias discretas Parte 1, Notas de estudo de Engenharia Informática

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Variáveis Aleatórias

Probabilidade e Estatística

Aula 04 Variáveis Aleatórias Discretas_01

Leitura Prévia

• Capítulo 2 – Livro do Yates – Seções 2.1 a 2.4 – Páginas 49 a 65.

• Capítulo 2 – Seções 2.1, 2.2, 2.3, 2.4.3 e 2.5 – Apostila Ynoguti.

Variáveis Aleatórias

Definição: Uma variável aleatória X é uma função que associa um número real a cada resultado ζ no espaço amostral de um experimento aleatório.

x ζ

S

Sx

X x( ) = ζ

S : domínio de X SX : faixa de valores de X X(.): função que mapeia ζ ∈S em x ∈ SX. X : v.a. que toma valores x1,x2,...,xn

Exemplo

Seja o experimento de jogar uma moeda 3 vezes.

S = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK}

X: número de caras em 3 arremessos

X associa a cada resultado ζ em S um número do conjunto SX = {0, 1, 2, 3}.

ζ CCC CCK CKC KCC CKK KCK KKC KKK X(ζ) 3 2 2 2 1 1 1 0

Variáveis Aleatórias Discretas

X é uma V.A. discreta se ela assume valores de um conjunto contável:

,...},,{ 210 xxxS X =

X é uma V.A. discreta finita se ela assume valores de um conjunto finito

},...,,{ 10 nX xxxS =

Função Massa de Probabilidade

][)( kkX xXPxp ==

∑ −δ= k

kkXX xxxpxp )()()(

Função Distribuição Cumulativa (FDC)

( ) ( )xXPxFX ≤= A fdc de uma v.a. discreta pode ser escrita como uma

soma ponderada de funções degrau unitário

∑ −= k

kkXX xxuxpxF )()()(

onde ][)( kkX xXPxp == fornece a magnitude dos saltos na fdc.

  

≥ <

= 0,1 0,0

)( x x

xu

FDC - Propriedades

1)(0 ≤≤ xFX 1)(lim =

∞→ xFXx

0)(lim = −∞→

xFXx

)()(][ aFbFbXaP XX −=≤<

função não decrescente de x, isto é, se ba < , então )()( bFaF XX

Exemplo

X : número de caras em três arremessos de uma moeda ideal

X toma apenas os valores 0, 1, 2 e 3 se fizermos p = 0.5 as probabilidades para cada um destes resultados são

1/8, 3/8, 3/8 e 1/8

1/8

1/2

7/8 1

x

F xX( )

0 1 2 3

)(xFX é simplesmente a soma das probabilidades dos resultados de {0,1,2,3} que são menores ou iguais a x

Determine a fdc de X

Bernoulli

Bernoulli

Binomial

Binomial

Exemplo

Um bloco de 4 bits é transmitido. A probabilidade de um bit chegar errado é p = 10-3, independente dos demais. Qual a probabilidade do bloco ser recebido com dois bits errados?

Poisson

Poisson

Exemplo

Requisições chegam a um servidor segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro α = 10 requisições/segundo. O servidor tem capacidade de atender 3 requisições por segundo. Qual a probabilidade da capacidade do servidor ser excedida em um dado segundo?

Geométrica

Geométrica

Pascal

Seja uma sequência de tentativas de Bernoulli com probabilidade p. A v.a. de Pascal determina o número de tentativas, x, até o k-ésimo sucesso.

( ) ( ) kxk x

k X ppxP

− −

− −

  

 = 1

1

1

Exemplo

A probabilidade de um circuito ser rejeitado é p = 0.2. Estamos interessados no evento: o quarto circuito é rejeitado. Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória L, o número de testes necessários para encontrar 4 circuitos defeituosos.

( ) ( ) ( ) 44 1

3 8.02.0 −

 

  

 = l

l

L lP

Uniforme

( ) ( ) 

 

 ++= +−=

contrário caso0

2,1, 1

1 lkkkx klxPX

Exercícios

• Exercícios 2.2.1 a 2.4.8 do Capítulo 2 do livro do Yates.

• Exercícios 6, 7, 12, 23 e 26 do Capítulo 2 da apostila do Ynoguti.

• Série de Exercícios No 4 – Data de entrega: Próxima aula

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