Vibrações mecânicas
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Clastow27 de Outubro de 2015

Vibrações mecânicas

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vibrações mecanicas
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Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE/Campus de Foz do Iguaçu

Centro de Engenharias e Ciências Exatas - CECE

Vibrações Mecânicas

Notas de Aulas - 2.o Versão

Prof. Dr. Samuel da Silva

Foz do Iguaçu, 2009.

Prefácio

Este texto apresenta a 2.o versão das notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Esta apostila foi elaborada em 2008 e não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área [7], [5], [10], [11] ou [15], mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas. Assim, é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complementar e reforçar o assunto. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente, sendo assim, sugestões, correções e comentários são muito bem vindos1. Gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Milton Dias Junior da FEM/UNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1. Também agradeço ao Prof. Geraldo Carvalho Brito Jr. pela cuidadosa leitura da 1.o versão desta apostila e por seus comentários e correções. Boa leitura e estudo!

Samuel da Silva setembro de 2009.

1e-mail: sam.silva13@gmail.com

2

Sumário

Lista de Figuras 5

1 Introdução 9 1.1 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Análise vibro-acústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Análise modal experimental e modificação estrutural . 10 1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações . . . . . 12 1.1.4 Integridade estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas . . . . 14 1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Forças de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Análise de sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Posição de equilíbrio estático . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Classificação das vibrações mecânicas . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 30 2.1 Vibrações livres não-amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Vibrações livres amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Movimento superamortecido ou super-crítico(ξ > 1) . . 44 2.2.3 Movimento amortecido criticamente ou crítico amorte-

cido (ξ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 57 3.1 Vibração causada por excitação harmônica . . . . . . . . . . . 58

3

3.2 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Função de resposta ao impulso (IRF) . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário . . . . . . . . 69 3.5 Método da integral de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Função de transferência e métodos freqüênciais . . . . . . . . . 72

3.6.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6.2 Função de resposta em freqüência (FRF) . . . . . . . . 74

3.7 Estimativa experimental de IRFs e FRFs: Análise Espectral . 76 3.8 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento

por vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.9 Métodos numéricos para solução de equações do movimento . 85

3.9.1 Método de Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.9.2 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.9.3 Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.10 Vibrações em sistemas auto-excitados . . . . . . . . . . . . . . 92 3.10.1 Análise de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.10.2 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 94

3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Isolamento de Vibrações, Tipos de Amortecimento e Técni- cas de Medição 103 4.1 Isolamento de Vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.1 Isolamento ativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.2 Isolamento passivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 Tipos de Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.1 Amortecimento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 Amortecimento histerético . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.3 Amortecimento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3 Técnicas de Medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.1 Medição em campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.2 Medição em laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.3 Transdutores para medição de vibrações . . . . . . . . 115

5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 117 5.1 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Solução via modos normais: análise modal analítica . . . . . . 121

5.2.1 Vibrações livres: sistema sem amortecimento . . . . . . 122 5.2.2 Vibrações livres: sistema com amortecimento propor-

cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3 Vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4

5.4 Introdução à análise modal experimental . . . . . . . . . . . . 137 5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Referências Bibliográficas 150

5

Lista de Figuras

1.1 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros. . 11 1.2 Alguns modos de vibrar da porta. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007. . . . . 13 1.4 Sistema torsional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Exemplo de força harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Exemplo de força periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Exemplo de força transitória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Exemplo de força aleatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 Sistema mecânico como molas em paralelo. . . . . . . . . . . . 20 1.11 Sistema mecânico como molas em série. . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.13 Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.14 Exemplo 2 - solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.15 Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.16 Exemplo 3 - solução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.17 Exemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.18 Exercício 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.19 Exercício 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.20 Exercício 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.21 Exercício 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.22 Exercício 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Exemplo de resposta de sistema livre não-amortecido com 1

gdl para várias condições iniciais diferentes. . . . . . . . . . . 34 2.3 Sistema massa-mola com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Vagão batendo em uma mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Sistema com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 DCL do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7 Exemplo de resposta do sistema subamortecido. . . . . . . . . 42

6

2.8 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento subamortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.9 Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores. . . 44 2.10 Resposta do sistema superamortecido. . . . . . . . . . . . . . 45 2.11 Resposta do sistema criticamente amortecido. . . . . . . . . . 46 2.12 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes

sucessivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.13 Resposta livre do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.14 Resposta livre do sistema estrutural. . . . . . . . . . . . . . . 51 2.15 Resposta ao impulso h(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.16 Vista do fórmula 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.17 Amortecedor para uma motocicleta. . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.18 Sistema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.19 Sistema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.20 Sistema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.21 Barra rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.22 Barra rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.23 Eixo com turbina montada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sis- tema com 1 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl. . . . . . . 62 3.3 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada. . . . 64 3.4 Curva da função Λ (r, ξ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5 Exemplo de resposta ao impulso h(t) de um sistema. . . . . . 68 3.6 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com

um grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1

grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.8 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema

com 1 grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.9 Gráfico da parte real e imaginária da FRF (compliância) para

um sistema com 1 grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . 79 3.10 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico. . . 80 3.11 Exemplo de um sinal estacionário. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.12 Distribuição de partes de um sinal estacionário. . . . . . . . . 82 3.13 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma

IRF discreta h[n]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.14 Esquema de aceleração média constante de Newmark. . . . . . 90 3.15 Conjunto moto-bomba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.16 Motor elétrico a ser instalado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7

3.17 FRF (Compliância) para um sistema com 1 grau de liberdade. 101 3.18 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade. . . . . . . . . . . 102 3.19 Antena de carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.1 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores.104 4.2 Transmissibilidade Absoluta do sistema. . . . . . . . . . . . . 106 4.3 Exemplo de máquina como isolamento passivo. . . . . . . . . . 107

5.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 118 5.2 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 120 5.3 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo. . . . . . 132 5.4 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de

excitação harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação F (t)

aplicado na massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6 Resposta experimental da estrutura ensaida. . . . . . . . . . . 142 5.7 FRFs experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.8 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 146 5.9 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 146 5.10 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 147 5.11 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 147 5.12 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade. . . . 148 5.13 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade. . . . . 149

8

Capítulo 1

Introdução

A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas. Inicialmente, apresenta-se uma lista de al- gumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta dis- ciplina, com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações. Em seguida, destaca-se formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações, como graus de liberdade, elementos de um sistema vi- bratório, forças de excitação, análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático. Por fim, é mostrada uma forma de classificar os proble- mas de vibrações. Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos.

1.1 Exemplos de aplicação Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem

ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina.

1.1.1 Análise vibro-acústica

A análise vibro-acústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de ruído ou vibração ex- cessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em pro- jetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo.

Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel. O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel. O es-

9

tudante deve lembrar do conceito de ressonância1, estudado em física básica. Assim, se a freqüência de rotação do motor coincidir com alguma freqüência natural da estrutura do automóvel, como as freqüências naturais do capo, pode ocorrer um efeito trágico. Portanto, durante o projeto de um carro, os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as freqüências naturais do sistema como um todo e de seus componentes, para se evitar ressonância, ou mesmo ruído indesejável em painéis, interior, etc2.

Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em estruturas aeronáuticas [2]. Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação (ocasionadas sobretudo devido ao despreendi- mento de vortíces). Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante de uma interação entre forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas. Assim, para uma aeronave ser certificada pelo CTA/FAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre freqüências de ressonância em função das velocidades de vôo, peso, altitude, pressão, etc. Conseqüentemente, as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas, muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório.

1.1.2 Análise modal experimental e modificação estru- tural

A análise modal experimental (AME) consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico. Os parâmetros modais são pa- râmetros característicos do sistema e são compostos por freqüências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Se forem corretamente obtidos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático.

A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáu- tica. Um exemplo interessante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores [8]. Nesta aplicação, a empresa fabricante do automóvel constatou que em determina- das velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista, o que poderia provocar desconforto, além do risco de acidente. Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em ve- locidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor, vista na figura (1.1). Depois de extraído os modos naturais,

1O Cap. 2 irá definir formalmente o que é ressonância. 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente?

10

vistos na figura (1.2), constatou-se que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades. A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema.

(a) Carro com instrumentação usada no ensaio.

(b) Detalhe da porta.

Fig. 1.1: Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros.

11

Fig. 1.2: Alguns modos de vibrar da porta.

1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações

Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3, como ro- lamentos, mancais, conexões, etc. apresentam algum defeito, como desali- nhamento, desbalanceamento, trinca, etc. o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão. Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados: referência (sem dano) e com dano. Assim, é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não. Adicionalmente, com aplicação de análise espectral, pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apre- senta. As unidades de geração de usinas hidrelétricas, como as de Itaipu, são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas.

1.1.4 Integridade estrutural

Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmi- cas de estruturas como pontes, fuselagens de aeronaves, estruturas offshore, barragens, etc. visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas. Esta é uma área multidisciplinar, que compreende estudo de materi- ais, ferramentas estatísticas, reconhecimento de padrões, análise de tensões e

3Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais, compressores, turbinas, etc.

12

principalmente vibrações mecânicas. Assim, como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações, a medição de vibração mecâ- nica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia.

Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississipi, na cidade de Mineápolis nos Estados Unidos, figura 1.3. A ponte tinha sido inspecionada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado, porém um estudo conduzido anteriormente emi2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades. O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos.

Fig. 1.3: Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007.

1.2 Conceitos básicos Vibração é definida como um movimento periódico, i.e., uma oscilação

de uma partícula, um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio. A seguir alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas.

4A ponte foi construída em 1967.

13

1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas

O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes ne- cessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um con- junto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.

1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos

Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amor- tecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é

T = 1

2 mv̄2 +

1

2 Īω2 (1.1)

sendo v̄ a velocidade do centro de massa do corpo, ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo e Ī é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa.

Já um componente de rigidez (uma mola linear) tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo

F = kx (1.2)

onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento. A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento. No SI6 a unidade de rigidez é N/m.

Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos po- dem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma

5Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e, assim, o momento de inércia deve ser levado em conta.

6Sistema Internacional.

14

F = cv (1.3)

sendo c o coeficente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. que serão descritos mais a frente durante este curso.

Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada ge- neralizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torsional, figura (1.4).

Fig. 1.4: Sistema torsional.

O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional à sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional à velocidade angular. Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente são determinados pelo cálculo da energia cinética to- tal, energia potencial, e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada

T = 1

2 Ieqθ̇

2, (1.4)

V = 1

2 kteqθ

2, (1.5)

W = − ∫ θ2 θ1

cteqθ̇dθ. (1.6)

1.2.3 Forças de excitação

De acordo com a força de excitação que age em um sistema mecânico as respostas de vibração podem ter características diferentes. A seguir os tipos

15

de excitação mais comuns:

Força harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita pela equação

F (t) = Fsen (ωt) , (1.7)

sendo F a amplitude da excitação e ω a freqüência de excitação em rad/s. Também é usual descrever as freqüências em Hertz Hz7. A freqüência em Hz é nomeada de f e descrita por

f = 1

T , (1.8)

sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir seu padrão), medidos em s. A relação entre as freqüên- cias em Hz e rad/s é dada por

f = 1

2π ω. (1.9)

Um movimento harmônico é definido completamente a partir do co- nhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. A figura (1.5) mostra um exemplo gráfico de uma força deste tipo.

Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma exatamente igual, conforme o exemplo da figura (1.6). Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação.

Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descre- vem este tipo de força: explosão, impacto, etc. A figura (1.7) ilustra graficamente este tipo de excitação.

Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas exci- tados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. A figura(1.8) ilustra um sinal típico de excitação aleatória.

7Em homenagem ao cientista alemão Hertz, o primeiro a estudar as ondas de rádio, que também são vibrações, porém de origem elétrica.

16

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.5: Exemplo de força harmônica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.6: Exemplo de força periódica.

17

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.7: Exemplo de força transitória.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo [s]

A m

p lit

u d

e [N

]

Fig. 1.8: Exemplo de força aleatória.

18

1.2.4 Análise de sistemas equivalentes

Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor simples, como a figura (1.9), onde meq, keq e ceq são a massa equivalente, rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente.

Fig. 1.9: Sistema massa-mola-amortecedor.

Denotando a variável x como a coordenada generalizada, a energia ciné- tica de um sistema linear pode ser escrita como

T = 1

2 meqẋ

2. (1.10)

Já a energia potencial de um sistema linear pode ser escrita na forma

V = 1

2 keqx

2. (1.11)

O trabalho realizado pela força de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas localizações arbitrárias x1 e x2 podem ser escritas como

W = − ∫ x2 x1

ceqẋdx (1.12)

Molas em paralelo: O sistema da figura (1.10) tem molas em paralelo que são fixadas a um bloco com massa m. A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas visando modelar o sistema com uma única mola, similar ao da figura (1.9).

Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrário x, todas as molas sofrem este deslocamento, assim x = x1 = x2 = · · · = xn. Assim a força exercida é

19

Fig. 1.10: Sistema mecânico como molas em paralelo.

F = keqx = k1x+ k2x+ · · ·+ knx =

( n∑ i=1

ki

) x. (1.13)

Analisando a Eq. (1.13) observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por:

keq = n∑ i=1

ki. (1.14)

Molas em série: Já o sistema da figura (1.11) tem molas em série que são fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas.

Fig. 1.11: Sistema mecânico como molas em série.

Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na extre- midade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. Assim a força em cada mola é

F = keqx = k1x1 = k2x2 = · · · = knxn. (1.15)

20

Sendo assim, o deslocamento total será descrito por

x = x1 + x2 + · · ·+ xn = n∑ i=1

xi = F

k1 + F

k2 + · · ·+ F

kn (1.16)

Resolvendo para xi da Eq. (1.15) e substituindo na Eq. (1.16) conduz à

F = x∑n i=1

1 ki

. (1.17)

A partir da Eq. (1.17) pode-se concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por

keq = 1∑n i=1

1 ki

. (1.18)

1.2.5 Posição de equilíbrio estático

Sistemas mecânicos, como os da figura (1.9), têm elementos elásticos que estão sujeitos a forças quando o sistema está em equilíbrio. A deflexão re- sultante no elemento elástico é chamada de deflexão estática, geralmente nomeada por ∆st. O efeito de deflexão estática de um elemento elástico em um sistema linear não tem efeito na rigidez equivalente do sistema.

1.3 Classificação das vibrações mecânicas Há diferentes formas de classificar as vibrações em sistemas mecânicos:

Quanto à excitação: As vibrações podem ser livres8 ou forçadas9.

Quanto ao amortecimento: As vibrações podem ser amortecidas ou não- amortecidas.

Quanto ao deslocamento: Pode ser retilíneo ou torsional, ou combinação de ambos.

8O sistema vibra nas suas freqüências naturais e não há força de excitação externa. 9O sistema vibra na freqüência de excitação.

21

Fig. 1.12: Exemplo 1.

Quanto às propriedades físicas: O sistema pode ser discreto, neste caso tem um número finito de gdl, ou contínuo10, neste caso tem um número infinito de gdl.

Quanto às equações envolvidas: O sistema pode ser linear (potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas) ou não-linear, quando não é válido o princípio da superposição.

1.4 Exercícios resolvidos Exemplo 1.1 Determine o número de graus de liberdade (gdl) para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura (1.12), e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise.

Solução: Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade. Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ, deslocamento angular da barra medido positivo no sentido anti-horário da posição de equilíbrio do sistema.

Exemplo 1.2 Determine o número de gdl necessários para analisar o sis- tema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura (1.13), e especifique um conjunto de coordenadas generaliza- das que pode ser usado nesta análise de vibrações.

Solução: Assume-se x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida, medido a partir da posição de equilíbrio. Infelizmente, o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o

10Também chamado de sistema com parâmetros distribuídos.

22

Fig. 1.13: Exemplo 2.

Fig. 1.14: Exemplo 2 - solução.

deslocamento de qualquer partícula na barra. Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade. Para descrever totalmente este movimento deve-se considerar também a rotação angular θ no sentido anti-horário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio. Se θ é pequeno11, então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x + (L/2)θ. Portanto, o sistema tem 2 gdl, e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas, como ilustrado na figura (1.14).

Exemplo 1.3 Dado o sistema da figura (1.15) encontre um modelo equiva- lente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m.

Solução: Primeiro deve-se substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a Eq. (1.14). Este primeiro resultado é

11Hipótese feita para assumir que o sistema é linear.

23

Fig. 1.15: Exemplo 3.

mostrado na figura (1.16a). Em seguida calcula-se a rigidez equivalente do lado esquerdo do bloco

1 1 3k

+ 1 3k

+ 1 k

+ 1 3k

= k

2 . (1.19)

Por sua vez, as molas fixadas do lado direito do bloco têm rigidez equivalente da forma

1 1 k

+ 1 2k

= 2k

3 . (1.20)

Como resultado tem-se o sistema da figura (1.16b). Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x, os deslocamentos em cada mola da figura (1.16b) são os mesmos, e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas. Assim estas duas molas se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por

k

2 +

2k

3 =

7k

6 (1.21)

que é mostrada na figura (1.16c).

Exemplo 1.4 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura (1.17) usando o deslocamento do bloco como uma coordenada gene- ralizada.

Solução: A deflexão da viga engastada-livre na sua extremidade livre é devido a uma carga concentrada neste ponto e é definida como δ =

24

Fig. 1.16: Exemplo 3 - solução.

FL3/(3EI), sendo F a carga aplicada, L o comprimento da viga, E o módulo de elásticidade e I o momento de inércia de área. Assim a rigidez equivalente da viga é dada por12

kb = 3EI

L3 =

3 (210× 109) (1.5× 10−5) (2.5)3

= 6.05× 105 N m . (1.22)

A rigidez da viga e a mola superior que está presa agem como se estives- sem em paralelo, pois a força na viga provocada pelo efeito de rigidez na viga é Fb = kbx e a força na mola superior é F1 = k1x, assim a força total é Fb − F1. Assim a deflecção no ponto de junção da extremidade livre da viga e da mola é:

δ = x = (Fb − F1) L3

3EI , (1.23)

12A rigidez é definida como o inverso da deflexão com uma carga unitária aplicada.

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