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Curso Geometria Analitica-II
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GEOMETRIA ANALITICA – II ESTUDO DE RETA

E CIRCUNFERÊNCIA

GEOMETRIA ANÁLITICA II – ESTUDO DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Uma lenda divulgada pelos autores gregos atribui a invenção da geometria aos egípcios, e tenha sido, ocasionada pela necessidade de restabelecer os limites das propriedades agrícolas após as inundações do rio Nilo. Abstratamente, a geometria foi encarada pela primeira vez em 650 a.C. por Tales, ao estabelecer a teoria dos triângulos semelhantes.

A geometria analítica é uma parte da matemática que, através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a álgebra e a geometria. Deve-se a René Descarte (1596 – 1650) a introdução dos primeiros estudos que deram nova dimensão às perspectivas da matemática.

INTRODUÇÃO

Ponto que Divide um Segmento em uma Razão

Sejam os pontos A (x1, y1), B(x2, y2) e seja M um ponto da reta AB. Calculemos as coordenadas (x0, y0) do ponto M de que:

Da figura-1 podemos tirar

ou

Se k = -1, o ponto médio de MA e MB será:

Distância Entre Dois Pontos

Sejam A(x1, y1) e B(x2, y2) dois pontos, e β o ângulo que AB forma com o semi-eixo positivo Ox. Consideremos o triângulo AMB e projetemos nos eixos coordenados sua resultante dAB, que é a distância entre o ponto A e B, conforme figura-2.

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Temos as relações:

Multiplicando a relação (III) por d temos:

Substituindo as relações ( I ) e ( II ) em ( IV ) teremos:

Portanto a relação ( V ) é a distância entre o ponto A e B. Para β = 90°, a distância dAB é calculada pela relação:

( VI )

Para a distância de um ponto P (x, y) à origem O (0, 0), pode ser calculada conforme a relação:

( VII ) Baricentro de um Triângulo

Seja o triângulo ABC da figura-3, cujas coordenadas são A(x1, y1), B(y1, y2) e C(x3, y3), vamos determinar o baricentro G do mesmo.

Ponto Médio de um Segmento

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Seja um segmento de reta AB não paralelo a nenhum dos eixos coordenados. Consideremos M o ponto médio de AB. Observando a figura-4 os triângulos AMD e BEM são congruentes logo podemos definir.

Portanto temos:

Finalmente os pontos médios serão:

Condição de Alinhamento de Três Pontos

A condição necessária e suficiente para que três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3 ,y3) estejam alinhados, é que seja nulo o resultado do determinante.

Resolvendo o determinante teremos:

Que é a condição de alinhamento entre três pontos.

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● EQUAÇÃO DA RETA Para determinarmos a equação da reta, vamos considerar um

ponto genérico X (x, y) que está alinhado com dois pontos conhecidos P (x1, y1) e Q(x2, y2), conforme mostra a figura-5.

Desenvolvendo o determinante vem:

Como as coordenadas x1, y1, x2 e y2 dos pontos P e Q são constantes, as combinações dessas coordenadas são também constantes, logo chamando de:

A = y1 – y2; B = x2 – x1; C = x1y2 – x2y1 , substituindo em (I) vem:

A expressão (II) denomina-se EQUAÇÃO GERAL DA RETA.

Observa-se que A e B não podem ser simultaneamente nulos pois teríamos.

A=0 → y2 – y1 = 0 ou y2 = y1

B=0 → x2 – x1 = 0 ou x2 = x1

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Toda equação da forma de ( II ), com A, B e C reais (A≠0 ou B≠0), está associada uma única reta do plano cartesiano, cujos pontos são solução da equação.

● EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Dada a equação geral da reta Ax + By + C = 0 e, supondo B ≠ 0,

podemos expressar y em função de x.

Que é equação reduzida da reta.

● COEFICIENTE ANGULAR DA RETA ( m ) Quando a reta esta sob a forma reduzida y = mx + n, o valor de

m corresponde à tangente do angulo que a reta forma com o semi- eixo positivo das abcissas. Seja portanto dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) pertencente a uma reta.

Pela figura-6, temos:

Caso (a) O triângulo ABC é retângulo, logo da trigonometria podemos tirar

que:

( I )

Caso (b)

( II )

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Da figura AC e BC, são catetos de um triângulo retângulo onde α e θ, são um dos ângulos agudos. Esse ângulo denomina-se inclinação da reta e, portanto podemos escrever também.

Pode-se calcular m quando é dada a equação geral da reta Ax+By+C=0, ou seja.

Como

● PARÂMETRO LINEAR Se na equação reduzida da reta y = mx + n fazendo-se x = 0,

decorre que y = n. Então o ponto (0, n) é o ponto de intersecção da reta com o eixo dos y. Logo n denomina-se parâmetro (ou coeficiente) linear da reta.

● EQUAÇÃO SEGMENTARIA DA RETA Consideremos uma reta r que intercepta os eixos nos pontos Q(0,

q) e P(p, 0) distintos. A equação dessa reta será:

Se considerarmos a equação geral da reta Ax+By+C=0, com A ≠ 0, B ≠ 0 e C ≠ 0 e substituindo os pontos Q e P, teremos:

● EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA Sejam os pontos A(x1, y1); B(x2, y2) e C(x3, y3), pela condição de

alinhamento entre três pontos temos:

Para cada valor de K obtém-se um par de valores (x, y), coordenadas de um ponto que pertence a reta e são chamadas de equação paramétrica da reta. Pode-se obter uma forma particular de equação paramétrica de uma reta. Seja r uma reta, e seja P0 = (x0,

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y0) um ponto dado qualquer da reta, e P = (x, y) um ponto variável da mesma reta r.

As equações paramétricas relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y de um ponto genérico da reta. Podemos entretanto, descrever os pontos de uma reta dando as coordenadas x e y de cada ponto da reta, em função de uma terceira variável t ou parâmetro, ou seja:

● EQUAÇÃO NORMAL DA RETA Traçando uma semi-reta OP perpendicular a uma reta r e que

esteja orientada da origem para a reta (figura-8). Chamando de OP = p a distância da origem à reta, e de w o ângulo que a semi-reta OP faz com o eixo dos x.

Substituindo os valores de b e a na equação segmentaria da reta vem:

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Finalmente:

Que é a equação normal da reta. Se a reta passa pela origem teremos a equação: x cos w + y sen w = 0.

● PASSAGEM DA EQUAÇÃO GERAL PARA EQUAÇÃO NORMAL Imaginemos que conhecemos a equação de uma mesma reta sob

a forma geral e sob a forma normal.

Ax + By + C = 0 (1) x cos w + y sen w – p = 0 (2)

Essas duas equações, tem as mesmas soluções, logo o valor de y nas duas equações são iguais. Dividendo a equação (1) por – B, e a equação (2) por – sen w, temos:

A equação (3) deve se verificar para qualquer que seja x; o que só é possível ocorrer se:

Fazendo na equação (4), os membros iguais a k temos:

cos w = Ak sen W = Bk -p = Ck

Sabe-se que sen2w + cos2w = 1, portanto:

Finalmente teremos a equação normal:

● EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO

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Sabe-se que por um pondo dado, podemos traçar uma única reta segundo uma direção dada. Seja, portanto, determinar a equação do feixe de retas que passa por um ponto P (x0, y0) e, seja y = mx + n a equação de uma das retas do feixe (figura-9).

Como para x = x0 e y = y0 a igualdade em (3) se verifica, vê-se que a equação representa uma reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular m.

● CONDIÇÃO DE PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS Duas retas r e s não verticais são perpendiculares entre si, se e

somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.

Da figura-10 temos:

● ÂNGULO DE DUAS RETAS Chama-se ângulo de duas retas obliquas r e s de r para s, ao

menor dos ângulos medidos no sentido anti-horário, tendo r como lado adicional e s como lado terminal. Se as retas são paralelas seu ângulo é nulo e, se são perpendiculares seu ângulo é um dos quatros ângulos iguais.

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Deste modo, tais retas formam os ângulos θ e θ’, sendo θ agudo e θ obtuso. Como estes dois ângulos são suplementares, ao calcular o ângulo θ teremos automaticamente o ângulo θ. Vamos considerar dois casos de ângulos entre duas retas.

1-As Retas não são Verticais

Observemos a figura-11

Na figura-11 nos casos (A) e (B), o ângulo F 06 1s é externo em relação aos triângulos ABC e FDE. Assim ele deve ser igual à soma dos internos não adjacentes:

mas tg F 06 1s = ms e tg F 06 1 r = mr

onde ms e mr são coeficientes angulares das retas r e s, portanto:

2-Uma das Retas é Vertical

Seja as retas conforme a figura-12.

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Se considerarmos o caso (D) da figura teremos:

, portanto:

No caso da figura (C) teremos:

, portanto:

● DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA Seja uma reta r cuja equação é Ax + By + C = 0, e um ponto P

(x1, y1) não pertencente a essa reta. Calculemos a distância do ponto P a reta r.

mas e, sendo ( I ) um ponto de r ,então: , substituindo esses valores na equação ( I ) fica:

, finalmente

● BISSETRIZES DOS ÂNGULOS DE RETAS

Sejam as retas r1 e r2 cujas equações são:

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, mas

finalmente:

o duplo sinal (±), indica que há duas bissetriz.

● ÁREA DE UM TRIÂNGULO Seja o triângulo ABC da figura-15, onde A (x1, y1) e B (x2, y2) e C

(x3, y3). A área S do triângulo será dada por:

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

( 2 )

A equação geral da reta BC será:

De acordo com a equação da distância de um ponto à reta teremos:

substituíndo (2) em (3), vem:

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ou

A relação (4) nos dá o cálculo da área de um triângulo.

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que eqüidistam de um lugar fixo do mesmo plano. O ponto fixo C chama- se centro e, a distância comum r chama-se raio da circunferência (figura-16).

A equação (1) será satisfeita por qualquer ponto P (x, y) da circunferência. Desenvolvendo a equação (1), temos:

A equação (2) é chamada de Equação Geral da Circuferência.

Chamando: -2a = F 06 1 e -2b = β temos:

Dada a equação geral do 2° grau, podemos determinar quais são as condições que A, B, C, D, E, e F devem obedecer para ela represente uma equação de circunferência. As condições necessárias serão:

A = B; C = 0; D2 + E2 – 4 AF > 0, pois r > 0. Dividindo a equação do 2° grau dada por A vem:

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Para que (3) seja uma equação de circunferência, deve apresentar coeficientes respectivamente iguais a equação (2), logo:

Que é a equação de uma circunferência. As coordenadas do centro e, o seu raio será:

● EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA CIRCUNFERÊNCIA Consideremos a circunferência da figura 17, cujo centro é (a, b)

e cujo raio é r. Seja P(x, y) um ponto qualquer da circunferência.

Portanto:

Que são as equações paramétricas da circunferência, onde o parâmetro é o número real θ.

● POSIÇÕES RELATIVAS DE CIRCUNFERÊNCIA (1)-PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Consideremos a circunferência β de centro C(a, b) e raio r, temos:

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a)- Todo ponto P(x, y) que pertence a β, verifica a condição dPC = r, logo temos:

b)- Todo ponto P(x, y) que está no interior de β, verifica a condição dPC< r, portanto temos:

c)- Os pontos exterior a β, isto é, os pontos do plano que não pertence ao circulo definido por β, satisfazem a relação:

Podemos assim estabelecer o seguinte critério para verificar a posição de um ponto P(x0, y0) em relação a uma circunferência dada,

(β):

Calculamos o valor numérico do primeiro membro da equação de β para x = x0 e y = y0, isto é, calculamos o número (x0-a)2 + (y0-b)2 – r2, este número indica a posição do ponto P em relação a β.

▪ se for nulo, P F 0C E r. ▪ se for negativo, P é interior a β. ▪ se for positivo, P é exterior a β.

(2)-RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Dada uma reta s: ax +by +c = 0 e uma circunferência β de centro c(x0, y0) e raio r. Podemos ter três casos como:

A)- a reta e a circunferência são tangentes. Neste caso a distância entre a reta e o centro da circunferência é igual ao raio:

B)- a reta e a circunferência são secantes. Neste caso a distância entre a reta s e o centro da circunferência é menor que o raio:

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C)- a reta e a circunferência são exteriores. Neste caso a distância entre a reta s e o centro da circunferência é maior que o raio:

(3)-TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA

No estudo das tangentes à circunferência, devemos examinar três casos:

1°- TANGENTE POR UM PONTO DA CURVA

Seja a circunferência cuja equação é: x2 + y2 – 2 a x – 2 b y + c = 0. Seja P0(x0y0), um ponto pertencente à curva (figura-19).

, finalmente temos:

onde

2°- TANGENTE POR UM PONTO EXTERNO A CURVA

Seja, portanto um ponto P0(x0, y0) que não pertence a circunferência cuja a equação é: x2 + y2 – 2ax -2by +c = 0, mostrada na figura 20.

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Onde A, B e C, são os coeficientes da reta t e, (x0 y0) são neste caso as coordenadas do ponto C (a, b), logo temos:

Vem:

Numericamente teremos uma equação do segundo grau em m que dará as soluções de mt1 e mt2. Poderá ocorrer que tenha apenas uma solução ou também nenhuma, neste caso o ponto P0 pertencerá a curva ou ao circulo envolvido pela mesma.

3°- TANGENTES PARALELAS E UMA RETA DADA

Seja a circunferência de centro C (a, b) e, a reta d cuja equação é y = mx + n1 (Figura 21).

, portanto

, substituindo na equação y = m x + n1, vem:

e

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● POTÊNCIA DE UM PONTO A UMA CIRCUNFERÊNCIA Seja o ponto P0(x0, y0) e uma secante AB à circunferência de

centro C. Define-se potência do ponto P0 em relação a circunferência, ao produto PA x PB e que é indicado por WP0= PA x PB.

Se o ponto P0 coincidir com a origem do sistema teremos: W0= OA x OB. Considerando a equação da circunferência na forma polar vem:

vem

e como são raízes de uma equação do segundo grau, teremos portanto .

Portanto a potência do ponto origem em relação a uma circunferência, é igual ao termo independente dessa circunferência.

Se P0 fôr um ponto qualquer, então mediante uma translação, leva-se a origem a P0 verificando-se qual a equação da circunferência ao novo sistema. Portanto como, x = x + x0 e y = y + y0, substituindo na equação da circunferência temos:

Portanto a potência de P0 será:

● EIXO RADIAL DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Chama-se eixo radial de duas circunferências, ao lugar

geométrico dos pontos de igual potência em relação a essa circunferência. Seja portanto as equações das circunferências:

Um ponto P(x, y) pertence ao lugar geométrico, se e somente se, verificar as duas equações das circunferências. Seja portanto a equação dada, sendo β1 e β2 as potências β em relação as circunferências C1 e C2, temos:

Como β1 = β2 vem:

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que é a equação de uma reta. PAGE - 17 -

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