Прогноз среднего значения цены контрольная 2010 по экономико-математическому моделированию , Экзамены из Математическое моделирование

Скачай Прогноз среднего значения цены контрольная 2010 по экономико-математическому моделированию и еще Экзамены в формате PDF Математическое моделирование только на Docsity! Задача 1 Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него. Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму- производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы- производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст хi1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя хi2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице: I номер yi , цена, тыс. у.е. хi1 возраст,лет хi2, мощность двигателя 1 11 5,0 155 2 6 7,0 87 3 9,8 5,0 106 4 11 4,0 89 5 12,3 4,0 133 6 8,7 6,0 94 7 9,3 5,0 124 8 10,6 5,0 105 9 11,8 4,0 120 10 10,6 4,0 107 11 5,2 7,0 53 12 8,2 5,0 80 13 6,5 6,0 67 14 5,7 7,0 73 15 7,9 6,0 100 16 10,5 4,0 118 1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1, между ценой y и мощностью автомобиля x2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х1 и y от х2. Найти точечные оценки независимых параметров а0а1 модели y = а0 + а1 х1 + ε и β1β2 модели y = β0 + а1 х1 + δ 2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx1 и ryx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1. 3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10. 4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel. 5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х1 равен 3 года. Мощность двигателя х2 = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших Следовательно, а1 = а0 = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74 Таким образом, Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β0 + β1 х1 + δ. При этом используется правая часть таблицы = 1611/16=100,6875 = 10137.97 = 153271,1 = 167677 β1 = β 0 = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355 Окончательно получаем: Подставляем соответствующие значения в формулу: ryx = ryx1 = = 0,915 ryx2 = = 0.8 В нашей задаче t0.95;14 = 1,761 Для ryx1 получаем = = 0,955 <1.761 Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь = = 4.98>1.761 Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь Коэффициент парной корреляции ryx связан с коэффициентом а1 уравнения регрессии следующим образом ryx = a1 Sx/Sy где Sx, Sy – выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам: Sx1 = √ Sx12 Sx12 = 1/n ∑(xi - )2 Sy = √ Sy2 Sy2 = 1/n ∑(yi - )2 ryx1 = 0,915 ryx2 = 0,8 R2 = ryx12 = 0,8372 Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля R2 = ryx22 = 0,64 Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле: F= F= = 0,768 для зависимости y от х1 F= = 0,285для зависимости y от х2 Fт = 4,6 Поэтому для зависимостей y от х1 и y от х2 выполняется неравенство Fт <Fф гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента. Для зависимости y от х1: = √F = √0,768 = 0,876 Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1 Для зависимости y от х2: = √F = √0,285 = 0,533 Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1 4.0 -1,25 1,5625 120 480 4.0 -1,25 1,5625 107 428 7.0 1,75 3,0625 53 371 5.0 -0,25 0,0625 80 400 6.0 0,75 0,5625 67 402 7.0 1,75 3,0625 73 511 6.0 0,75 0,5625 100 600 4.0 -1,25 1,5625 118 472 19 8175 myx= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414 5,832 – 2,57*0,414 ≤ yn ≤ 5,832 + 2,57*0,414 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст xp1 = 3 года. Мощность двигателя xp2 = 165 л.с. Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели y = β0 + β1 х1 + δ Подставляем xp1 в уравнение регрессии: Получим точечный интервальный прогноз среднего цены. (xp1) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е. Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (xp1) = 12,3 тыс. и xp1 = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9 ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е., ŷв = 14,27 тыс. у.е. Задача 2 Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл. Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х1 = 3 года, мощность двигателя х2 = 165 л.с. На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя. Сумма произведений ∑х1х2 равна: 8175 ХТХ = ХТY = Найдем матрицу (Хт Х), обратную матрице ХТХ. Для этого сначала вычислим определитель. ХТХ = 16*460*167667+1611*84*8175 +1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720 +1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548 Определим матрицу алгебраических дополнений Задача 3 В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а0 а1t +ε с методом наименьших квадратов. Таблица 2 Ежегодные объемы продаж t годы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 zt, продажи, тыс.у.е. 350 314 300 293 368 393 339 443 467 457 488 424 Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж. В таблице 3 объемы продаж zt в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж: z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов. По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9. Ежемесячные объемы продаж t,годы Zt t ytt t2 1 2 3 4 5 1 350 1 350 1 2 314 2 728 4 3 300 3 900 9 4 293 4 1172 16 5 368 5 1840 25 6 393 6 2358 36 7 339 7 2373 49 8 443 8 3544 64 9 467 9 3736 81 10 457 10 4570 100 11 488 11 5368 121 12 424 12 5088 144 78 4636 78 32027 650 457 70.67 4994,25 488 101.67 10336,79 424 37.67 1419,03 4636 24624 51804,7 myx= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 = 36,71 65,704 – 2,35*36,71 ≤ yn ≤ 65,704 + 2,35*36,71 Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом: ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53 Окончательно получаем интервальный прогноз продаж ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71 Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89 Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12 Задача 4 Для регрессионных моделей: y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05. Для регрессионной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ2) при уровне значимости α = 0,05.