Слишком короткое описание, минимальное количество символов, Упражнения и задачи из Численные методы. Адыгейский государственный университет (АГУ)

Слишком короткое описание, минимальное количество символов, Упражнения и задачи из Численные методы. Адыгейский государственный университет (АГУ)

27 стр-ы.
157Количество просмотров
Описание
Слишком короткое описание, минимальное количество символов
20 баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 стр-ы. / 27
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 27 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 27 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 27 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 27 стр.
Скачать документ

501 Численные методы

(Методические указания и задания)

Составители С.И. Смуров В.А. Таланова С.П. Бобков

Иваново 2003 В методических указаниях рассматриваются методы приближенного

вычисления определенного интеграла, численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, вопросы математической обработки экспериментальных данных.

Даны примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.

Указания составлены в соответствии с программой и одобрены решением цикловой методической комиссией по физико-математическим дисциплинам.

1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Вычислить определенный интеграл , где – непрерывная функция x в интервале , можно с помощью аналитической формулы, если использовать прием формального интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница (I. I.)

, (I. I.) где – первообразная функция для заданной функции . Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения . В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.

Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить, используя ординаты на концах отрезков.

PAGE 32

1. 1. Метод прямоугольников

Вычисление интеграла равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями» x=a, x=b и «боковыми сторонами» y=0, y=f(x), рис. I. I.

Рис. 1. 1. Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной

h=(b-a)/n. Приближенное значение интеграла получается в виде сумм площадей n

прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала, т.е. формула численного интегрирования имеет вид (I. 2.):

или (I. 2.) и называется формулой «левых» прямоугольников.

Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала, то формула численного интегрирования будет иметь вид (I. 3.):

(I. 3.) и называется формулой «правых» прямоугольников.

1. 2. Метод трапеций

В соответствии с полученными ранее формулами «левых» и «правых» прямоугольников истинное значение интеграла лежит между приближенными значениями, определяемыми по этим формулам (рис. I. 2), т.е. лучшую формулу численного интегрирования можно получить, взяв среднее арифметическое этих значений:

PAGE 32

Рис. 1. 2

. (I. 4)

Эта формула (I. 4) описывает метод трапеций для численного интегрирования, т.е. приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей «n» трапеций.

1. 3. Метод парабол (метод Симпсона)

Это наиболее широко известный и применяемый метод численного интегрирования.

Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола (рис. 1. 3).

Рис. 1. 3

Формулу Симпсона выведем проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом площади.

. Действительно, определяя y0, y1, y2:

имеем ,

PAGE 32

т.е. (I.5) окончательно или (I.6) Последняя формула (I.6) называется формулой Симпсона.

Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.

Задания. Вычислить определенный интеграл , пользуясь одним из указанных преподавателем методом численного интегрирования, приняв n=12.

№ варианта a b f(x) 1 2 3 4 1 0.6 1.5 2 1.2 2.832 3 1.3 2.956 4 2.8 4.408 5 0.8 2.528 6 -0.52 1.58 7 0.2 2.12 8 1.5 3.42 9 1.1 2.876 10 0.31 1.93 11 1.5 3.18 12 -1.3 0.476 13 1.0 2.76 14 2.4 4.08 15 1.82 3.464 16 1.5 3.24 17 1.4 3.008 18 -0.2 1.252 19 0.15 1.878 20 -0.52 1.58 21 0.3 1.844 22 3.5 4.94 23 0 1.44 24 5.1 6.54 25 1.42 2.98

PAGE 32

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл.

Уравнение с одним неизвестным в общем виде можно записать так: , (2.1)

где f(x) – определена и непрерывна в некотором интервале [a, b]. Всякое значение X*, обращающее функцию f(x) в нуль (f(X*)=0), называется корнем уравнения (2.1).

Будем предполагать, что уравнение имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов.

PAGE 32

1) Отделение корней. Отделить корни – это значит разбить всю область на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень. Отделение корней можно произвести аналитически или графически.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнение, разделяют их на два класса: алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если для получения ее значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Трансцендентные функции – показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая.

2) Уточнение корней до заданной точности. Сформируем теоремы, которые необходимы для отделения коней. Теорема 1. Если непрерывна функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a, b] значение разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то на этом отрезке содержится по меньшей мере один корень уравнения (2.1) (рис. 2.1)

Рис. 2.1 Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f (x) сохраняет знак внутри отрезка [a, b], то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0 (рис. 2.2)

Рис. 2.2 Для того, чтобы графически отделить корни уравнения f(x)=0 строят

график функции y=f(x). Действительные корни уравнения можно определить как абсциссы точек пересечения кривой с осью (рис. 2.3)

PAGE 32

Рис. 2.3

Практически бывает более выгодным заменить уравнение (2.1) равносильным ему уравнением , где и более простые функции, нежели f(x). Искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков (рис. 2.4)

Рис. 2.4 Пример. Отделить графически корень уравнения

. Решение. Запишем уравнение в виде . Построим график (рис. 2.5) функций и .

Рис. 2.5 Из графика следует, что корень уравнения находится на отрезке .

Графический метод дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня. Далее корень уточняется одним из способов описанных ниже.

2. 1. Уточнение корней методом половинного деления

Пусть корень уравнения отделен на отрезке [a, b], т.е. f(a)f(b)<0 и f (x) сохраняет знак (рис. 2.6.).

PAGE 32

Рис. 2.6

В качестве начального приближения корня возьмем точку c0 – середину отрезка: . Если f(с0)=0, то c0 – искомый корень уравнения, если , то из двух отрезков [a, c0] и [c0, b] выбираем тот, на концах которого функция принимает значение разных знаков.

Новый отрезок опять делим пополам и далее поступаем аналогично вышеизложенному. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего отрезка, т.е. за n шагов сократится в 2n раз.

Вычисления прекращаем, если длина отрезка станет меньше заданной погрешности , т.е. .

Блок-схема метода половинного деления

2. 2. Метод итераций

PAGE 32

Решение уравнения вида методом итераций состоит в выборе начального приближения значения x0 и последовательном вычислении

x1=f(x0); x2=f(x1)

и т.д. Если производная f (x) удовлетворяет условию , то последовательность

xi сходится к исходному корню. При реализации метода итераций на ЦВМ, исходя из предположения,

что метод может не сойтись, необходимо предусмотреть в программе следующие условия окончания работы:

1. Останов, как только . 2. Останов, как только число итераций достигнет N. Величины и N задаются.

2. 3. Метод хорд

Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная f ’(x) сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 2.7., 2.8):

1. f(a)<0, f(b)>0, f ‘(x)>0 – функция возрастает а) f ’’(x)>0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’(x)<0 (кривая вогнута вверх)

Рис. 2.7

2. f(a)>0, f(b)<0, f ‘(x)<0 – функция убывает а) f ’’(x)>0 б) f ’’(x)<0

PAGE 32

Рис. 2.8

Рассмотрим случай, когда f ’(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки. (рис. 2.9.)

3. f(a)<0, f(b)>0, f ‘(x)>0 – функция возрастает а) f ’’(x)>0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’(x)<0 (кривая вогнута вверх)

f(a)<0, f(b)>0 f ‘(x)>0, f ’’(x)>0

Рис. 2.9

График функции проходит через точки A0(a, f(a)) и B(b, f(b)). Искомый корень уравнения (точка ξ) нам известен, вместо него возьмем точку x1 пересечения хорды A0B с осью абсцисс это и будет приближенное значение корня.

Уравнение хорды A0B: . Найдем значение x=x1, для которого y=0 . Теперь корень находится на отрезке [x1, b]. Применим метод хорд к

этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки A1(x1, f(x1)) и B и найдем точку x2 – точку пересечения хорды A1B с осью ox

, Продолжая этот процесс, находим: и т.д. (2.2) В этом случае конец b отрезка [a, b] остается неподвижным, а конец a

перемещается. Формула (2.2) носит название формулы метода хорд.

Вычисление по формуле (2.2) продолжаем до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие: , где - заданная погрешность.

PAGE 32

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Соединим точки A(a, f(a)) и B0(b, f(b)) хордой AB0. Точку пересечения хорды AB0 с осью ox будем считать первым приближением корня. В этом случае, очевидно, неподвижным концом отрезка будет являться конец a.

Запишем уравнение хорды AB0:

Отсюда найдем x1, полагая y=0: . Теперь корень . Применяя метод хорд к отрезку, получим

(2.3) Условие окончания вычислений: . Итак, если f ‘(x) f ’’(x)>0 приближенное значение корня находят по формуле (2.2), если f ‘(x) f ’’(x)<0, то по формуле (2.3). Практически выбор той или иной формулы осуществляют, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

2. 4. Метод касательных (Метод Ньютона)

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Причем производные f ‘(x) и f ’’(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки.

Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0, т.е. f ‘(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки (рис. 2.11)

PAGE 32

Рис. 2.11

Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B0(b, f(b)). Уравнение касательной в точке B0: y-f(b)=f ’(b)(x-b). Полагая y=0, найдем . Теперь . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

(2.4) Пусть теперь f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.12)

Рис. 2.12

Если снова провести касательную к кривой в точке B, то она пересечет ось ox в точке не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому проведем касательную в точке A0(a, f(a)). Ее уравнение y-f(a)=f ‘(a)(x-a). Находим x1, полагая y=0

. Корень , применяя снова метод касательных, получим

и т.д., тогда (2.5)

Сравнивая формулы (2.4) и (2.5) между собою, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимают конец b отрезка, во втором – конец a. При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за начальную точку следует выбрать тот конец отрезка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком производной.

Условие окончания вычислительного процесса: , где - заданная точность.

2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных

PAGE 32

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.

Пусть дано уравнение f(x)=0, корень отделен на отрезке [a, b]. Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13)

Рис. 2.13 В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b). Тогда вычисления следует проводить по формулам:

; . Теперь корень ξ заключен в интервале [a1, b1]. Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим: ; и т.д. ; (2.6) Если же f ‘(x) f ’’(x)<0 (рис. 2.14), то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

Рис. 2.14

; . Вычислительный процесс прекращается, как только .

Задания. Найти наименьший положительный корень уравнения одним из методов, указанных преподавателем.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

PAGE 32

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Будем считать, что некоторый процесс характеризуется двумя изменяющимися величинами x и y, из которых x выбирается как независимая, а y – как зависимая переменная величина. Предположим, сто каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y, т.е. y является функцией x.

На практике часто известна аналитическая зависимость между x и y, т.е. функцию нельзя записать в виде y=f(x). В некоторых случаях эта зависимость известна, но вычисления значений функций громоздко. В этих случаях прибегают к табличному способу задания функций. Таблица представляет собой набор значений функций для последующих значений аргументов:

x x0 x1 …. xn y y0 y1 …. yn

Эти значения либо вычислены, либо получены экспериментально. Преимуществом табличного способа задания функций является то, что

для каждого значения аргумента, содержащегося в таблице, без вычислений можно найти значение функции.

Недостаток этого способа в том, что нельзя составить таблицу для всех значений аргумента, всегда найдутся такие значения аргумента, которых нет в таблице.

PAGE 32

Таким образом, возникает задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию y=f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией y(x) так, чтобы отклонения (в некотором смысле) Y(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Y(x) называется аппроксимирующей.

3. 1. Математическая постановка задачи интерполирования

Пусть на отрезке [x0, xn] задана функция y=f(x) своими n+1 значениями. y0=f(x0), y1=f(x1), …, yn=f(xn) в точках x0, x1, …, xn, которые назовем

узлами интерполяции. Предполагается, что при . Требуется найти аналитическое выражение Y

(x) функции, заданной таблично.

x0 x1 … xn y0 y1 … yn

которая в узлах интерполяции совпадает со значениями заданной функции, т.е.

y0=Y(x0), y1=Y(x1), …, yn=Y(xn) Процесс вычисления значений функции в точках x, отличных от узлов

интерполяции, называют интерполированием функции f(x). Если аргумент x, для которого определяется приближенное значение

функции , то задача называется интерполированием в узком смысле. Если x находится за пределами отрезка [x0, xn], то задача отыскания значения функции в точке x называется экстраполированием.

Геометрически задача интерполирования для функции одной переменой y=f(x) означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) (рис. 3.1) следующие формулы для уточнения корня уравнения:

Рис. 3.1

Очевидно, что через данные точки можно провести бесконечно много кривых. Таким образом, задача отыскания функции Y(x) по конечному числу ее значений является неопределенной. Но если в качестве интерполирующей функции Y(x) взять многочлен степени не выше nYn(x), то задача станет однозначной.

PAGE 32

3. 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция задана таблично x0 x1 … xn y0 y1 … yn

Построим многочлен Ln(x), такой, что Ln(x0)= y0, Ln(x1)= y1, …, Ln(xn)= yn. (3.1)

При такой постановке задачи узлы интерполяции x0, x1, …, xn могут произвольно отстоять друг от друга, т.е. узлы интерполяции неравноотстоящие.

Задача имеет решение, если степень многочлена Ln(x) будет не выше n. Представим многочлен Ln(x) в виде: ,

где ai (i=0,1,…,n) неизвестные коэффициенты, которые надо найти. Из условий (3.1) следует, что

Таким образом, получаем систему из n+1 уравнение для нахождения (n+1) неизвестных a0, a1, …, an

(3.2) определитель которой

отличен от нуля, если x0, x1, …, xn различны. Тогда существует единственное решение этой системы

. Найдя коэффициенты a0, a1, …, an, запишем многочлен Ln(x). Однако, каждый раз решать систему уравнений (3.2) затруднительно, поэтому рассмотрим другой способ построения Ln(x). Запишем его в виде:

. (3.3) Из выражения (4.3) следует, что функция Qn(x) должна удовлетворять условиям:

.

Легко видеть, что этим условиям отвечает многочлен вида: (3.4)

В точках функция Qi(x) обращается в 0, а в точке xi равна 1. Тогда, подставляя в (3.3) выражение (3.4), окончательно получим:

. Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

В сокращенном виде его можно записать так: .

3. 3. Линейная интерполяция

PAGE 32

В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного выражения функции y=f(x), заданной таблично, можно использовать линейную интерполяцию, которая состоит в следующем.

Отыскивается интервал [xi+1, xi], в который попадает значение . необходимо вычислить .

На отрезке [xi-1, xi] заменим дугу кривой y=f(x) стягивающей ее хордой MN (рис. 2.3).

Рис. 3.2 Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид: , т.е. . В качестве приближенного значения функции возьмем .

3. 4. Метод наименьших квадратов

При интерполировании основным условием является совпадение значений функции и значений интерполяционного многочлена в узлах интерполяции.

Однако при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена, что затрудняет вычисление. Кроме того, экспериментальные данные, полученные в результате измерений или наблюдений, могут содержать ошибки, которые вызваны несовершенством измерительных приборов, различными случайными факторами. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки будет означать повторение ошибок. Поэтому иногда целесообразней строить многочлен, график которого проходит «близко» от заданных точек.

Итак, пусть при изучении неизвестной функциональной зависимости y от x получена таблица значений:

x0 x1 … xn y0 y1 … yn

Нужно найти эмпирическую зависимость y=f(x), значение которых при x=xi мало отличались бы от опытных данных yi. График функции y=f(x), вообще

PAGE 32

говоря, не проходит через точки (xi, yi), как в случае интерполяции, что приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)

Рис. 3.3 Построение эмпирической формы состоит из двух этапов:

1) выбор общего вида зависимости; 2) выбор наилучших значений параметров, входящих в формулу.

Метод наименьших квадратов не дает возможности выбрать вид зависимости, он позволяет лишь оптимально подобрать параметры приближающей функции. Вид зависимости выбирается из каких-либо дополнительных соображений: физических, геометрических т.д.

Будем считать, что тип эмпирической зависимости выбран, и ее можно записать в виде: , где f – известная функция; - неизвестные постоянные параметры, значения которых надо найти.

В каждой точке xi вычислим разность между табличным значением функции yi и вычисленным значением , . - назовем отклонениями. Поскольку и , вообще говоря, не совпадают все или некоторые . Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек

. 1) S является функцией от независимых переменных

2) Параметры будем находить из условия минимума функции S. 3) Минимум найдем, приравнивая к нулю частные производные по этим переменным

(3.5) Из системы уравнений (3.5) найдем .

Геометрически (рис. 3.4) метод наименьших квадратов можно интерпретировать так: среди бесконечного множества линий данного вида, проведенных относительно данных экспериментальных точек, выбрать одну, для которой сумма квадратов отклонений будет наименьшей.

приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)

PAGE 32

Рис. 3.4

3. 5. Нахождение параметров линейной функции

Предположим, что зависимость между x и y линейная, т.е. приближающую функцию можно записать в виде y=ax+b.

Нужно найти такие значения a и b, для которых функция (3.6)

минимальна. Условия функции (3.6) запишутся так:

Преобразуя, получим для нахождения неизвестных систему двух уравнений .

Суммы вычисляются по табличным данным. Для удобства вычисления можно составить расчетную таблицу:

N x Y xy x2

1 x1 y1 x1y1 x12 2 … n

x2 ... xn

y2 … yn

x2y2 … xnyn

x22 … xn2

Σ

3. 6. Нахождение параметров квадратичной функции

PAGE 32

Если известно, что приближающей функцией является квадратичная функция y=ax2+bx+c, то ее коэффициенты a, b, c найдем из условия минимума функции

. Условия минимума:

Получаем для нахождения неизвестных a, b, c систему трех уравнений, которую решаем методом Гаусса.

Расчетная таблица

N x y x2 x3 x4 x2y xy 1 x1 y1 x12 x13 x14 x12y1 x1y1 2 … n

x2 ... xn

y2 … yn

x22 … xn2

x23 … xn3

x24 … xn4

x22y2 … xn2yn

x2y2 … xnyn

Σ

Задания. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, некоторой функцией по методу указанному преподавателем.

ВАРИАНТЫ

№ 1 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 y 3,030 3,142 3,251 3,858 3,463 3,563 3,665 3,772

№ 2 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 y 3,314 3,278 3,262 3,268 3,292 3,332 3,397 3,486

№ 3 x 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 y 1,045 1,162 1,204 1,172 1,070 0,898 0,656 0,344

№ 4 x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 y 6,715 6,735 6,750 6,741 6,647 6,649 6,645 6,636

PAGE 32

№ 5 x 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 y 2,325 2,515 2,638 2,790 2,696 2,626 2,491 2,291

№ 6 x 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 y 1,752 1,762 1,777 1,797 1,821 1,850 1,884 1,924

№ 7 x 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 y 1,924 1,710 1,525 1,370 1,264 1,88 1,142 1,127

№ 8 x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 y 1,035 1,144 1,248 1,336 1,409 1,467 1,510 1,538

№ 9 x 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 y 5,785 5,685 5,605 5,545, 5,505 5,485 5,490 5,506

№ 10 x 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 y 4,052 4,092 4,152 4,234 4,336 4,458 4,599 4,761

№ 11 x 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 y 0,344 0,364 0,374 0,372 0,350 0,328 0,296 0,256

№ 12 x 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 y 0,205 0,235 0,249 0,245 0,225 0,190 0,140 0,076

№ 13 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 y 1,044 1,161 1,203 1,172 1,070 0,896 0,654 0,342

№ 14 x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 y 0,525 0,625 0,678 0,681 0,640 0,552 0,432 0,362

№ 15 x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 y 4,230 4,253 4,256 4,240 4,205 4,150 4,075 3,980

№ 16 x 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 y 5,022 5,143 5,195 5,175 5,085 4,925 4,705 4,406

№ 17 x 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 y 1,125 1,175 1,212 1,237 1,251 1,255 1,246 1,225

№ 18 x 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 y 1,220 1,253 1,256 1,232 1,175 1,091 0,985 0,850

№ 19 x 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 y 3,150 3,171 3,181 3,179 3,165 3,140 3,105 3,059

№ 20 x 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 y 4,018 4,025 4,035 4,048 4,063 4,080 4,099 4,120

№ 21 x 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 y 2,527 2,635 2,655 2,563 2,361 2,048 1,638 1,118

№ 22 x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y 4,030 4,142 4,251 4,358 4,468 4,561 4,465 4,762

№ 23 x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 y 1,314 1,278 1,262 1,266 1,252 1,332 1,397 1,486

PAGE 32

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Существует несколько приемов решения систем линейных уравнений. Один из таких приемов называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных. Этот метод используется и в электронных вычислительных машинах. Ниже описывается способ решения системы линейных уравнений по методу Гаусса с использованием микрокалькуляторов.

Будем рассматривать только систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, но описываемый прием пригоден для решения каждой линейной системы с любым числом неизвестных.

В общем виде система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

(1)

Предположим, что хотя бы один из коэффициентов при неизвестном x1 отличен от нуля; пусть таким является коэффициент a11. (если , то надо поменять в системе (1) уравнения местами и на первой строке записать уравнение с ненулевым коэффициентом при x1).

Разделим все члены первого уравнения системы (1) на a11, затем все члены второго уравнения – на a21, все члены третьего уравнения – на a31. Если a21 или a31 равен нулю, то соответствующее уравнение входит в новую систему без изменений.

PAGE 32

Затем вычтем из каждого последующего уравнения первое полученное уравнение. В результате получим систему:

(2) Предположим, что в системе (2) хотя бы один из коэффициентов a’22

или a’32 отличен от нуля. Пусть таким является, например, коэффициент a’22. разделим почленно второе уравнение системы (2) на a’22, третье – на a’32. затем из третьего полученного уравнения вычтем второе полученное уравнение. В результате этих преобразований система примет вид:

(3) Для того, проводить поэтапный контроль за результатами

преобразований уравнений, введем новые определения. Число, равное суме всех коэффициентов данного уравнения, включая его свободный член, будем называть строчной суммой. Контрольной суммой будем называть то число, которое на первом этапе совпадает с соответствующей строчной суммой, а на последующих этапах получается из контрольных сумм предыдущего этапа в результате того же преобразования, которое проводится над соответствующим уравнением. Например, если уравнение получается делением предыдущего уравнения на какое-либо число, то и новая контрольная сумма получается из соответствующей предыдущей контрольной суммы делением на это число. Легко видеть, что строчная и контрольная суммы одного и того же уравнения должны быть практически равными. В их записи различие может быть только в запасных знаках.

Строчные суммы обладают свойством, которое используется при контроле:

При замене правых частей системы уравнений соответствующими строчными суммами получается система уравнений такая, что если x1, x2, x3 есть решение первоначальной системы, то x1+1, x2+1, x3+1 будет решение новой системы.

В самом деле, пусть, например, S1 – строчная сумма первого уравнения, а x1, x2, x3 – решение системы (1), тогда

. Таким образом, числа удовлетворяют первому уравнению новой

системы (1). Наряду с системами (1), (2), (3), будем иметь в виду еще три системы

(1’), (2’), (3’). Левые части параллельных пар систем (1) и (1’), (2) и (2’), (3) и (3’) соответственно совпадают, а правые части систем (1’), (2’), (3’) получаются заменой свободных членов системы (1), (2), (3) соответствующими строчными суммами. Системы (1), (2), (3) эквивалентны между собой; системы (1’), (2’), (3’) – также эквивалентны между собой. Причем система (3’) имеет вид:

(3’) Используя «обратный ход», из системы (3) последовательно находим x3,

x2, x1; параллельно из системы (3’) последовательно находим . Числа должны

PAGE 32

отличаться на 1 (расхождение в запасных знаках во внимание не принимается).

Все расчеты выразим в виде схемы (см. таблицу 1). Для компактности схемы систему, эквивалентную данной, запишем только при выполнении «обратного хода».

I этап: запись данной системы, вычисление строчных (контрольных) сумм.

II этап: деление каждого уравнения на коэффициент при x1, вычисление строчных и контрольных сумм.

III этап: вычитание первого уравнения из всех последующих уравнений, вычисление строчных и контрольных сумм.

IV этап: деление 2-го и 3-го уравнения на коэффициент при x2, вычисление строчных и контрольных сумм.

V этап: вычитание 2-го уравнения из 3-го, вычисление строчных и контрольных сумм.

VI этап: вычисление . VII этап: вычисление . VIII этап: вычисление .

Пример. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с точностью до 0,001.

Составим схему расчета и контроля (см. таблицу 2).

ТАБЛИЦА 1

СХЕМА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ГАУССА

Прямой ход Система Строчные суммы Контрольные

суммы Этапы

I II

PAGE 32

Здесь пока нет комментариев
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 27 стр.
Скачать документ