2 knjiga375, Završni rad' predlog Operaciona istraživanja i proizvodnja. International University of Novi Pazar
riaman
riaman

2 knjiga375, Završni rad' predlog Operaciona istraživanja i proizvodnja. International University of Novi Pazar

PDF (3 MB)
346 str.
584broj poseta
Opis
dsa
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 346
ovo je samo pregled
3 prikazano na 346 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 346 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 346 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 346 str.
preuzmi dokument
Microsoft Word - a0-0.doc

Katedra za telekomunikacije i obradu signala

Željen Trpovski

OSNOVI

TELEKOMUNIKACIJA

Skripta, drugo izdanje

Novi Sad, 2004. god.

Po odluci Katedre za telekomunikacije i obradu signala ovaj materijal štampan je kao skripta. Izdavač: Delta press, Sremska Kamenica Štampa: Balać, Sremska Kamenica Štampanje su pomogli: NET, Novi Sad

Predgovor Materijal publikovan pod nazivom Skripta iz Osnova telekomunikacija namenjen je studentima nižih godina studija elektrotehničke i saobraćajne struke. Skripta treba da pruže detaljan uvid u matematičke osnove i praktične aspekte na kojima su zasnovane savremene telekomunikacije. Sadržaj je maksimalno prilagođen kursevima iz Osnova telekomunikacija na drugoj godini elek- trotehničkog odseka i Principa telekomunikacija na trećoj godini saobraćajnog odseka. Autor je imao nameru da u knjizi prihvatljivog obima izloži detaljan opis teorijskih osnova kao i veći broj rešenih primera koji će studentima pomoći da što bolje savladaju materiju koja je različita od mnogih drugih predmeta, jer predstavlja vezu između neophodne teorije i matemati- ke sa jedne strane i konkretne, gotovo svakodnevne primene sa druge. Materija je podeljena u dvanaest glava, različitog obima i složenosti.

U prvoj glavi date su osnovne definicije, navedeni osnovni pojmovi i veličine koje se koriste u savremenim telekomunikacijama.

Druga glava posvećena je frekvencijskoj analizi signala. Frekvencijski domen i frekvencijska predstava signala, neprekidno su prisutni kao paralela vremenskom domenu u kom smo navikli da posmatramo signale. Omogućuju jednostavnije razumevanje, analitički tretman i objašnjenje brojnih postupaka u analizi i obradi signala.

U trećoj glavi opisani su sistemi neophodni za prenos signala.

Četvrta glava predstavlja uvod u izuzetno značajnu oblast diskretizacije signala i analogno-digi- talne konverzije. Objašnjena je diskretizacija u vremenskom domenu, kvantizacija signala, kao i osnovni postupci kodovanja.

U petoj glavi analiziran je uticaj izobličenja i šuma u prenosu analognih signala.

U šestoj glavi date su osnovne karakteristike signala realnih poruka, govora, muzike, podataka i slike.

U glavi sedam počinju objašnjenja vezana za modulacije, odnosno postupke za prenos signala. U ovoj glavi izloženi su osnovni analitički principi na kojima se zasniva čitava oblast modulacija.

U osmoj glavi opisani su modulacioni postupci sa prostoperiodičnim nosiocem.

Deveta glava posvećena je modulacionim postupcima sa impulsnim nosicem.

Deseta glava detaljno opisuje sisteme za prenos digitalnih signala. Objašnjeni su osnovni principi i pokazano je zbog čega je neophodno dobro poznavanje klasičnih analognih modulacionih pos- tupaka.

Jedanaesta glava ukratko opisuje telekomunikacione sisteme koji nas svakodnevno okružuju i povezuje teoretska znanja sa njihovom praktičnom primenom.

U poslednjoj, dvanaestoj glavi, dato je dvadesetak zadataka različite složenosti, sa kratkim reše- njima ili bez rešenja. Autor se zahvaljuje prof. dr Miodragu Temerincu i prof. dr Vladimiru Miloševiću koji su, radeći na predmetu Osnovi telekomunikacija u dugom nizu godina, formirali fond zadataka koji je korišćen u ovom tekstu, kao i studentima koji su pomogli u realizaciji udžbenika crtanjem slika, korisnim komentarima i primedbama, kao i ispravljanjem grešaka u prvom izdanju.

Predgovor drugom izdanju Do potrebe za štampanjem drugog izdanja došlo je veoma brzo nakon štampanja prvog izdanja. Autor je odlučio da materijal ponovo izda kao skripta između ostalog i zato što je na pragu još jedna izmena nastavnog plana i programa i nije sasvim jasno u kakvom će se obliku za nekoliko godina predavati materija koja je ovde obrađena. Zbog toga su u ovom materijalu ispravljene greške koje su uočene u prethodnom izdanju i izvršene sitnije promene. Zadaci su razvrstani u tri kategorije. Oznaka (S) iza broja zadatka znači da je taj zadatak značajan za studente saobraćajnog odseka. Oznaka (E) pokazuje da je zadatak značajan za studente elektrotehničkog odseka. Oznake (*) i (**) pokazuje da se radi o složenijem zadatku koji uglavnom prevazilazi redovno gradivo potrebno za polaganje ispita. Zadaci sa dve zvezdice nisu neophodni za polaganje ispita, ali će biti korisni studentima koji upišu smer za telekomunikacije, u kasnijim godinama studija. Studentima se savetuje da pažljivo prouče rešenja pokazana u zadacima, a da obavezno samostalno reše zadatke koji se nalaze u 12. glavi. Za uspešno polaganje ispita neophodno je samostalno rešavanje bar nekoliko kompleta zadataka sa ranijih ispitnih rokova. U Novom Sadu, avgusta 2004. god.

SADRŽAJ 1. UVOD ......................................................................................................................................... 1 1.1. Model telekomunikacionog sistema......................................................................................... 2 Rešeni primeri uz poglavlje 1.1....................................................................................................... 3 1.2. Informacija i mera za količinu informacije .............................................................................. 5 Rešeni primeri uz poglavlje 1.2....................................................................................................... 7 1.3. Jedinice u obradi i prenosu signala u telekomunikacijama ...................................................... 9 Rešeni primeri uz poglavlje 1.3..................................................................................................... 10 2. SIGNALI................................................................................................................................... 12 2.1. Definicije. Energija i snaga signala. Operacije nad signalima. .............................................. 12 2.2. Podela signala......................................................................................................................... 15 2.3. Analiza analognih signala ..................................................................................................... 17 Rešeni primeri uz poglavlje 2.3..................................................................................................... 36 2.4. Diskretni signali ..................................................................................................................... 59 Rešeni primeri uz poglavlje 2.4..................................................................................................... 65 3. SISTEMI ZA PRENOS I OBRADU SIGNALA...................................................................... 66 3.1. Linearni sistemi ...................................................................................................................... 66 Rešeni primeri uz poglavlje 3.1..................................................................................................... 73 3.2. Nelinearni sistemi................................................................................................................... 84 3.3. Složeni sistemi........................................................................................................................ 85 Rešeni primeri uz poglavlje 3.3..................................................................................................... 87 3.4. Diskretni sistemi..................................................................................................................... 91 4. DIGITALIZACIJA SIGNALA................................................................................................. 98 4.1. Odabiranje signala.................................................................................................................. 98 Rešeni primeri uz poglavlje 4.1................................................................................................... 105 4.2. Kvantizacija.......................................................................................................................... 113 Rešeni primeri uz poglavlje 4.2................................................................................................... 118 4.3. Kodovanje ............................................................................................................................ 120 4.4. Impulsna kodna modulacija, IKM........................................................................................ 122 5. IZOBLIČENJA I ŠUM U PRENOSU SIGNALA.................................................................. 123 5.1. Izobličenja u prenosu signala ............................................................................................... 123 Rešeni primeri uz poglavlje 5.1................................................................................................... 130 5.2. Uticaj šuma........................................................................................................................... 135 Rešeni primeri uz poglavlje 5.2................................................................................................... 138 6. KARAKTERISTIKE SIGNALA I PRENOSNIH MEDIJUMA............................................ 142 6.1. Karakteristike signala........................................................................................................... 142 Rešeni primeri uz poglavlje 6.1................................................................................................... 144 6.2. Karakteristike prenosnih medijuma ..................................................................................... 149 7. MODULACIJE ....................................................................................................................... 152 7.1. Pojam i značenje modulacija................................................................................................ 152

7.2. Opšti model sistema sa modulacijom................................................................................... 155 7.3. Opšta teorija modulacija ...................................................................................................... 156 Rešeni primeri uz poglavlje 7.3. ................................................................................................. 162 8. MODULACIJE SA PROSTOPERIODIČNIM NOSIOCEM................................................. 167 8.1. Amplitudske modulacije ...................................................................................................... 167 8.1.1. Analitički izrazi................................................................................................................. 167 8.1.2. AM modulatori.................................................................................................................. 177 8.1.3. AM demodulatori.............................................................................................................. 180 8.1.4. Šum kod amplitudskih modulacija.................................................................................... 182 8.1.5. Primena amplitudskih modulacija..................................................................................... 184 8.1.6. Frekvencijski multipleks ................................................................................................... 185 Rešeni primeri uz poglavlje 8.1. ................................................................................................. 187 8.2. Ugaone (eksponencijalne) modulacije ................................................................................. 217 8.2.1. Analitički izrazi................................................................................................................. 217 8.2.2. Ugaoni modulatori ............................................................................................................ 222 8.2.3. Ugaoni demodulatori......................................................................................................... 226 8.2.4. Šum kod ugaonih modulacija............................................................................................ 232 8.2.5. Primena ugaonih modulacija............................................................................................. 235 Rešeni primeri uz poglavlje 8.2. ................................................................................................. 236 9. MODULACIJE SA IMPULSNIM NOSIOCEM.................................................................... 260 9.1. Postupci modulacije ............................................................................................................. 260 Rešeni primeri uz poglavlje 9.1. ................................................................................................. 266 9.2. Vremenski multipleks .......................................................................................................... 275 Rešeni primeri uz poglavlje 9.2. ................................................................................................. 276 10. DIGITALNI PRENOS.......................................................................................................... 279 10.1. Osnovni pojmovi................................................................................................................ 279 Rešeni primeri uz poglavlje 10.1. ............................................................................................... 290 10.2. Modulacije sa digitalnim signalom.................................................................................... 292 Rešeni primeri uz poglavlje 10.2. ............................................................................................... 300 11. TELEKOMUNIKACIONI SISTEMI DANAŠNJICE ....................................................... 304 11.1. Telegrafija .......................................................................................................................... 304 11.2. Telefonija ........................................................................................................................... 304 11.3. Klasičan prenos podataka................................................................................................... 306 11.4. ISDN .................................................................................................................................. 306 11.5. Radio difuzija..................................................................................................................... 307 11.6. TV difuzija ......................................................................................................................... 311 11.7. Mobilna telefonija .............................................................................................................. 314 11.8. Savremene mreže za prenos podataka ............................................................................... 320 12. RAZNI ZADACI .................................................................................................................. 325 Literatura .................................................................................................................................... 338 Indeks pojmova ........................................................................................................................... 339

Glava 1. Uvod 1

1. UVOD Telekomunikacije su oblast ljudske delatnosti koja se bavi prenosom poruka, vesti, saopštenja ili podataka između dva ili više korisnika na udaljenim mestima, obično posredstvom električnih signala. Kratak istorijat U prošlosti su za prenos poruka korišćene najrazličitije metode, počev od glasnika (pešaka, ko- njanika, poštanskih kočija, goluba pismonoša), preko dimnih signala, do različitih mehaničkih, optičkih (svetlosnih) i akustičkih sistema koji prenose poruku vidljivim ili zvučnim simbolima. Svaki od ovih sistema manje je ili više zadovoljavao potrebe društva u kome je razvijen i kori- šćen. Paralelno sa porastom potreba za komunikacijama, javljale su se nove i nove tehničke mo- gućnosti koje su dovele do pojave električnih komunikacija i sistema koje i danas koristimo. 1844. godine postavljen je Morzeov telegraf između Baltimora i Vašingtona. Sistem je služio za prenos pisanog teksta tako što je svako slovo predstavljeno odgovarajućom kombinacijom dugih i kratkih impulsa električne struje koja se kroz provodnike prenosila između dva udaljena mesta. Prvi telefonski sistem razvio je Bell 1876. godine. Već 1892. postavljena je prva automatska te- lefonska centrala, a 1967. u svetu je bilo instalirano preko 220 miliona telefonskih priključaka. Početkom šezdesetih godina prošlog veka počeo je razvoj posebnog sistema za prenos podataka, paralelno sa telefonskim sistemom. U toku osamdesetih godina počeo je razvoj digitalnog siste- ma ISDN (Integrated Services Digital Network - mreže za integrisani prenos različitih službi), a početkom devedesetih i različite varijante mobilne telefonije. Povezivanje putem elektromagnetnih talasa koji se prostiru u slobodnom prostoru realizovali su Popov i Markoni 1896-97. godine. Razvoj radio difuzije počeo je pronalaskom elektronskih cevi 1906. godine. Krajem dvadesetih godina počeo je i razvoj televizije kao sistema za prenos slike. U toku Drugog svetskog rata beleži se nagli razvoj mnogih oblasti telekomunikacija. Postavljene su osnove digitalizacije i digitalnog prenosa signala. Nakon otkrića tranzistora, 1948. godine i naglog razvoja računara i računarske tehnologije, došlo je do izuzetnog napretka u svim oblastima. Satelitske telekomunikacije počele su da se razvijaju posle 1960. godine kada je lansiran prvi telekomunikacioni satelit. Sedamdesetih godina prošlog veka počela je primena optičkog vlakna kao medijuma za prenos signala. Danas se mogu sagledati sledeći pravci razvoja: - ekspanzija satelitskih i optičkih telekomunikacija, - potpuna digitalizacija svih vrsta prenosa. - razvoj integrisanih mreža za prenos različitih poruka i mnogih vrsta usluga.

2 Osnovi telekomunikacija, skripta

Namena komunikacionih sistema U teoriji komunikacija navode se tri zadatka koje treba realizovati u postupku prenosa poruke: a) Formirati poruku i što tačnije je predstaviti skupom simbola, b) Preneti simbole koji predstavljaju poruku sa što većom tačnošću i c) Obezbediti da primljena poruka bude pravilno protumačena. Zadaci opisani pod a) i c) spadaju u klasu semantičkih, jezičkih ili filozofskih problema. Kao primer za prvi zadatak, posmatrajmo razgovor među ljudima. U svakodnevnoj govornoj ko- munikaciji, saopštavamo rečenicu tako što poruke (naše misli) predstavljamo skupom simbola (reči). Jedna te ista misao može da se saopšti jasno, jednostavno, precizno, detaljno, konfuzno, prikriveno, nepotpuno, neprecizno i na mnogo drugih načina. Kao primer za treći zadatak opet možemo da analiziramo razgovor. Istu izgovorenu rečenicu raz- ličiti slušaoci mogu da protumače na različite načine, zavisno od njihove inteligencije, poznava- nja govornika, poznavanja jezika kojim komuniciraju, tačnosti prenete rečenice (ponekad jedna reč koja se pogrešno razume potpuno menja smisao rečenice), kao i mnogih drugih faktora. Drugi zadatak, naveden pod b), ima pretežno tehničku prirodu. U ovom udžbeniku analizirani su osnovi postupaka čija je namena da što kvalitetnije realizuju zadatak opisan pod b). Kvalitetna realizacija ostalih zadataka prepuštena je drugim naučnim disciplinama. 1.1. Model telekomunikacionog sistema Svaki telekomunikacioni sistem može se predstaviti Šenonovim (Shannon) generalnim mode- lom, prikazanim na slici 1.1.1.

PRIJEMNIKPREDAJNIK IZVOR INFOR- MACIJA

KORISNIK

ŠUM

LINIJA VEZE

KANAL

Slika 1.1.1. Model telekomunikacionog sistema Izvor informacija obično je osoba ili uređaj koji generiše poruku. Poruka može biti: govor, mu- zika, pisani tekst, slika, računarski, merni, upravljački ili neki drugi podaci. Predajnikje sklop koji ima dva zadatka: - da sve poruke pretvori u električne signale pogodne za prenos; - da električni signal prilagodi prenosu kroz liniju veze.

Glava 1. Uvod 3

Linija veze je medijum kroz koji se vrši prenos signala. To može biti fizički vod (metalni pro- vodnik ili stakleno vlakno) ili slobodan prostor kroz koji se prenose elektromagnetski talasi. U toku prenosa signalu se dodaju smetnje i šum, a javljaju se i razna izobličenja poslatog signala. Prijemnik je sklop čiji je zadatak da primljeni signal pretvori u poruku što sličniju (verniju) po- ruci koju je generisao predajnik. Korisnik je osoba ili uređaj kome je poruka namenjena. U svakom komunikacionim sistemu mogu se identifikovati navedeni sastavni delovi. Kod slo- ženijih komunikacionih sistema, kod kojih se vrši digitalni prenos, detaljnije se razrađuju funkci- je predajnika i prijemnika pa je formiran nešto složeniji model komunikacionog sistema. Ovaj složeniji model umesto predajnika ima više delova čija je funkcija što bolje prilagođavanje signala uslovima prenosa. Naravno, i prijemnik kod takvih sistema ima veoma složenu strukturu. Detaljnija analiza složenije strukture komunikacionog sistema obrađuje se na kursevima digital- nih telekomunikacija i digitalne obrade signala, kao i teorije informacija i kodovanja. Rešeni primeri uz poglavlje 1.1. Zadatak 1.1.1. (E, S) Na slici 1. prikazana je blok šema telefonske veze između govornika A i slušaoca B . Otpornost mikrofona na predajnoj strani ( MR ) zavisi od zvučnog pritiska ( Ap ) koji vlada ispred mikro- fona, )( AAM pfR = . Zvučni pritisak koji na prijemnoj strani stvara slušalica zavisi od struje u kolu, )(ifp BB = . Izrazima )( AA pf i )(ifB date su funkcionalne zavisnosti. Slušalica je predstavljena konstantnom otpornošću, SR .

a) Na blok šemi odrediti detaljno pojedine komponente telekomunikacionog sistema.

b) Ako su funkcije )( AA pf i )(ifB date izrazima

)(0 0

tpp pRR

A SM + ⋅= ,

E iRpp SB ⋅= 0 , (1)

a )(tpA izrazom:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

>

≤+⋅ =

, 0

, )1( )(

0

0 0

0

tt

tt t tp

tpA (2)

i

A BMIKROFON SLUŠALICA

E SLUŠALACGOVORNIK

Slika 1. Blok šema telefonske veze

4 Osnovi telekomunikacija, skripta

gde su SR , 0p i E konstante, nacrtati talasne oblike )(tpA i )(tpB . Smatra se da je telefon- ski vod kratak, pa je zanemareno prostiranje signala.

Rešenje: a) Izvor informacija je govornik A . Predajnik sačinjavaju mikrofon i baterija E . Linija veze je žična veza. Prijemnik je slušalica. Korisnik informacija je slušalac B . b) Struja u kolu data je izrazom:

MS RR Ei +

= , (3)

odnosno, posle zamene izraza (1):

)(2 )(

0

0

tpp tpp

R Ei

A

A

S +⋅ +

⋅= . (4)

Ako se uvrsti zavisnost )(tpA , data izrazom (2), dobija se:

⎪ ⎪ ⎩

⎪⎪ ⎨

> ⋅

≤ + +

⋅ =

. , 2

, , 3 2

0

0 0

0

tt R

E

tt tt tt

R E

i

S

S (5)

Zvučni pritisak koji stvara slušalica, na osnovu (1) i (5), ima oblik:

⎪ ⎪ ⎩

⎪⎪ ⎨

⎧ ≤ + +

= drugdep

tt tt ttp

tpB ,

2

, , 3 2

)( 0

0 0

0 0

(6)

Talasni oblici prikazani su na slici 2.

2p0

0p

0 t-t0 t0

pA (t)

0 t-t0 t0

RS

RM(t)

RS/3

0 t-t0 t0

p (t) B

p0 /2

Slika 2. Talasni oblici karakterističnih veličina

Glava 1. Uvod 5

Poređenjem izraza za Ap i Bp vidi se da telefonska veza nije linearna, usled čega dolazi do izo- bličenja primljenog signala Bp . Ni jedan realan sistem za prenos nije idealno linearan pa zato on nužno unosi manje ili veće izobličenje u prenošenu poruku. 1.2. Informacija i mera za količinu informacije Treba objasniti nekoliko pojmova i uvesti određene definicije. Informacija je apstraktan pojam koji opisuje “sve ono što što pruža saznanje, odnosno obavešte- nje”. Informacija se prenosi kroz razmenu poruka između dva ili više korisnika. Poruka je niz simbola iz unapred dogovorenog i poznatog skupa simbola. Skup mogućih simbola naziva se alfabet. Svi korisnici (učesnici u razmeni informacija) treba da poznaju ceo alfabet. Korisnici, međutim, ne znaju koju će poruku generisati predajna strana. Korisnik na predajnoj strani formira poruku birajući simbole iz alfabeta. Sistem za prenos prilagođava poruku uslovima prenosa, vrši prenos i ponovo formira (rekonstruiše) poruku. Korisnik na prijemnoj strani prima poruku, tumači je i iz nje izdvaja (saznaje) informaciju. Primer. Posmatrajmo razgovor i u njemu izgovoreni tekst kao izvor informacija. Simboli mogu da budu, npr. slova i ostali znakovi. Ako dva korisnika komuniciraju na nivou slova, oni treba da poznaju simbole (sva slova). Kada jedna strana (predajnik, izvor informacija) generiše poruku, ona formira niz slova i šalje ih drugoj strani (prijemniku, korisniku informacija). Prijemnik mora da prepozna poslata slova i time je proces razmene informacija završen. Osim slova, simboli mogu da budu i slogovi, reči, rečenice, itd. Ako se kao izvor informacija posmatra srpski jezik, tada simboli mogu da budu reči. Da bi ko- munikacija bila ispravna, i predajnik i prijemnik treba da poznaju srpski jezik. Inače, ako sago- vornici ne poznaju jezik kojim komuniciraju, nema prave komunikacije ni razmene informacija. Na višem nivou od komunikacije rečima mogu se postaviti različiti, složeniji modeli, za koje je ponekad veoma teško odrediti simbole i vršiti kvantitativnu analizu. Da bi se moglo uvesti kvantitativno proučavanje informacija, kao i količine informacija, koriste se pojmovi iz teorije informacija. Posmatrajmo alfabet kao skup sačinjen od simbola, 1..0, −= MiAi . U skupu postoji konačan broj od M različitih simbola. Neke osobine izvora informacija mogu se meriti samo ako su po- znate verovatnoće pojavljivanja pojedinih simbola, 1..0),( −== MiApp ii . Pri tom postoji ograničenje, poznato iz teorije informacija, po kome je skup svih događaja (simbola) tzv. siguran događaj. Za siguran događaj važi sledeće ograničenje:

110 =∑ − =

M i ip . (1.2.1)

6 Osnovi telekomunikacija, skripta

Pojam količine informacija koju nose pojedine poruke može se intuitivno povezati sa recipro- čnom vrednošću verovatnoće pojavljivanja posmatrane poruke. Ako je poruka verovatnija, ona nosi manju količinu informacija i obrnuto. Primer. Vest (ili prognoza) da je u avgustu (na severnoj hemisferi) bio sunčan dan nikoga neće posebno zainteresovati (dakle, takva vest ili poruka sadrži malu količinu informacija), za razliku od vesti da je u avgustu bio mraz ili da je pao sneg. Verovatnoće navedenih poruka i vezu sa ko- ličinom informacija čitalac može da proceni sam, na osnovu iskustva. Jasno je da događaj sa ve- likom verovatnoćom pojavljivanja nosi malu količinu informacija i obrnuto. Ako se uvedu sledeće pretpostavke:

- količina informacija koju nosi siguran događaj jednaka je nuli,

- količina informacija koju nosi malo verovatan događaj veoma je velika,

usvojen je matematički model po kom se količina informacija, iQ , koju nosi poruka iA sa ve- rovatnoćom pojavljivanja ip određuje kao:

⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ∝

i i p

Q 1log , (1.2.2)

gde znak ∝ označava proporcionalnost, a baza primenjenog logaritma i jedinica za količinu informacija nisu unapred definisane. Ako je verovatnoća neke poruke veoma mala, ona nosi ogromnu količinu informacija, ali to ne znači da je posmatrani izvor informacija, kad generiše takvu poruku, naročito “efikasan”. Za iz- vore informacija definiše se prosečna količina informacija ili entropija izvora kao:

[ ] ∑ −= ⋅== 1

0 M i iii QpQEH . (1.2.3)

Entropija se naziva i 'srednja mera neizvesnosti sistema ili izvora'. U izrazu (1.2.3) [ ]iQE je oznaka (operator) za određivanje statističke srednje vrednosti. Dimenzije entropije određene su u nastavku. Praktično značenje količine informacija Posmatrajmo najjednostavniji izvor koji generiše samo dve moguće poruke, sa simbolima iz skupa sa dva elementa, npr. (0 i 1) ili (DA i NE). Intuitivno je jasno da prenos svakog simbola iz takvog izvora može da se obavi prostim otvaranjem ili zatvaranjem prekidača u električnom kolu. Ako su verovatnoće poruka jednake, 5.010 == pp , i ako se primeni logaritam sa osno- vom 2 (binarni logaritam), količina informacija koju nosi bilo koji simbol, kao i entropija, prema (1.2.2) i (1.2.3), jednaka je jedinici. Sa binarnim logaritmom entropija ima dimenzije (mernu jedinicu) 'bita po simbolu' ( bit/simb ), ili samo bit (skraćenica od binary digit). Neki autori ovu jedinicu nazivaju i Šenon (Shannon) u čast velikog teoretičara, čoveka koji je postavio osnove teorije informacija. Pošto izvor sa manje od dve različite poruke nema smisla, navedeni primer predstavlja osnovni tip izvora informacija, a jedinica bit je osnovna jedinica za količinu informacija.

Glava 1. Uvod 7

Ako izvor generiše četiri moguće (različite) poruke, tj. 4=M , prenos se može vršiti odgo- varajućim složenijim sistemom koji razlikuje četiri različita stanja. Ako su verovatnoće poruka jednake i ako se primeni logaritam sa osnovom 4, ponovo je količina informacija koju nosi bilo koji simbol, kao i entropija, jednaka 1, ali ne bit nego neka ‘ternarna jedinica’. Međutim, četiri poruke mogu se zameniti parovima binarnih simbola 00, 01, 10 i 11. Vidi se da je za prenos svakog od četiri različita simbola praktično potrebno preneti po dva binarna broja, tj. dva bita. Ako važe isti uslovi za prenos kao u prethodnom slučaju, prenos simbola koji opisuju poruku treba da traje dvostruko duže nego kod binarnog prenosa. Sa istom osnovom logaritma kao u slučaju 2=M , dobija se da je entropija jednaka 2 bit/simb . Ako izvor generiše osam mogućih poruka, tj. 8=M , dobija se da je entropija jednaka 3, a za prenos svakog od osam različitih simbola, binarno kodovanih sa po tri bita, 000, 001, 010,…111, praktično treba preneti tri binarna broja, što zahteva trostruko duži prenos. Ova jednostavna analiza pokazuje da se količina informacija može povezati i sa sasvim prakti- čnim merilima, kao što je trajanje prenosa i, direktno s tim u vezi, cenom prenosa. Složeniji si- stemi zahtevaju dugotrajniji (i skuplji) prenos pojedinih poruka, ali pri tom nose veću količinu informacija. Rešeni primeri uz poglavlje 1.2.

Zadatak 1.2.1. (E, S) a) Izvor informacija bez memorije generiše dve moguće poruke sa verovatnoćama pojavljivanja p i p−1 . Nacrtati zavisnost entropije izvora od p i odrediti njenu maksimalnu vrednost.

b) Za izvor informacija sa M mogućih poruka odrediti verovatnoće kp , 1,...2,1,0 −= Mk , tako da entropija bude maksimalna. Odrediti njenu vrednost. Rešenje: a) Entropija izvora sa dva moguća stanja može se napisati u obliku:

p ldp

p ldpH

− ⋅−+⋅=

1 1)1(1 .

Maksimalnu vrednost entropija ima za ono p za koje je 0= dp dH

, tj. 01 =− p

pld , odakle se

dobija 5.0=p . Maksimum iznosi bit/simb1max =H . Zavisnost entropije od p prikazana je na slici 1. b) Treba odrediti nepoznate kp , 1...,2,1,0 −= Mk . Problem se može rešiti Lagranžovim metodom, po kom se traži maksimum funkcije F :

8 Osnovi telekomunikacija, skripta

⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −⋅+= ∑

= 1

1

0

M

k kpHF λ ,

gde je veličina λ Lagranžov multiplikator. Traži se k parcijalnih izvoda:

0 2ln

11 =+−= λ

kk p ld

dp dF

, sa rešenjima: 2ln 1

2 −

= λ

kp , 1,...2,1,0 −= Mk .

Pošto kp u prethodnom izrazu očigledno ne zavisi od k , zaključuje se da su sve vrednosti kp , 1,...2,1,0 −= Mk , međusobno jednake. Pošto je ∑ =

k kp 1, sve verovatnoće kp , imaju

jednaku vrednost i ona iznosi M1 . Lako se izračunava da maksimalna entropija, za ovako od- ređene verovatnoće, ima vrednost:

bit/simb)(max MldH = . (1)

p

H(bit)

0 10.5

1

Slika 1. Zavisnost entropije od verovatnoće p

Ako verovatnoće pojavljivanja mogućih poruka nisu jednake, prema slici 1. u zadatku 1.2.1, en- tropija ima vrednost manju od maksimalne. To, intuitivno, znači da je, u tom slučaju, za prenos signala, u proseku, potreban manji broj bita po simbolu od maksimalno određenog i da taj broj nije ceo broj. Takođe, postoje izvori informacija koji generišu poruke među kojima postoji određena zavisnost. Za takve izvore kaže se da imaju memoriju. Kao primer ponovo može da posluži srpski ili bilo koji drugi jezik. U sastavljanju slogova i reči postoje kombinacije slova koje se nikada ili skoro nikada neće dogoditi, kao npr. fd, kh, pb, zs, cf, itd. Uz činjenicu da sva slova nisu jednako ve- rovatna, može se zaključiti da kodovanje skupova, npr. parova slova, umesto pojedinačno kodo- vanje svakog slova, može da bude efikasnije, što znači i ekonomičnije. Interesantan primer kodovanja predstavlja telefonska numeracija pozivnih brojeva država u me- đunarodnom saobraćaju i gradova u nekim zemljama. SAD, kao država sa očekivanim velikim telefonskim saobraćajem, ima pozivni broj 1, Rusija ima broj 7 , mnoge zemlje srednje veličine imaju dvocifrene pozivne brojeve (Nemačka 49, Francuska 33, Australija 61, itd), a sasvim male države imaju trocifrene brojeve (Finska 358, Albanija 351, Makedonija 389, itd.). Naravno, ni jedna država nema pozivni broj 17, ili 498. Zašto? U nekim zemljama svi gradovi imaju jednaku dužinu pozivnih brojeva. U nekim zemljama, međutim, veći gradovi imaju kraće pozivne brojeve (npr. u Nemačkoj Minhen 089), dok mali gradovi i sela imaju znatno duže brojeve (npr. takođe u Nemačkoj, Hildeshajm 05121). Razlog leži u smanjenju prosečne dužine zauzimanja pojedinih delova telefonskog komunikacionog sistema.

Glava 1. Uvod 9

Detaljna objašnjenja ovih postupaka izučavaju se na kursevima Teorije informacija i kodovanja. Zadatak 1.2.2. (E, S) Posmatra se srpski jezik kao izvor informacija bez memorije a slova kao moguće poruke. Pret- postavlja se da su verovatnoće svih suglasnika jednake 1p , a samoglasnika 2p . Takođe važi i jednakost 12 5pp = .

a) Odrediti količinu informacija koju prenosi jedan suglasnik i jedan samoglasnik. b) Odrediti entropiju izvora. Rešenje: Srpski jezik ima dvadesetpet suglasnika i pet samoglasnika. Uz uslov koji je dat u tekstu zadatka i ograničenje po kome zbir svih verovatnoća mora biti jednak jedinici, dobijaju se dve jednačine:

1525 21 =+ pp i 12 5pp = .

Odavde se lako izračunava: 02.01 =p , 1.02 =p . a) Količina informacija za svaki suglasnik iznosi bit64.5)( 11 =−= pldQ , a za samoglasnik

bit32.3)( 22 =−= pldQ . b) Entropija izvora iznosi simbbit48.4525 2211 =+= QpQpH . Kada bi sva slova u srpskom jeziku imala jednaku verovatnoću pojavljivanja, 301=p , entro- pija bi bila najveća i iznosila bi simbbit95.4 . Ukoliko bi se uzele stvarne verovatnoće pojedi- nih slova i pretpostavila nezavisnost pojavljivanja od onih koje im prethode, za entropiju srpskog jezika dobilo bi se bit/simb24.4 , a npr. engleskog simbbit09.4 . Stvarna entropija oba je- zika znatno je manja zbog postojanja memorije, odnosno zavisnosti između susednih slova. Pro- cenjuje se da ona iznosi oko bit/simb1 i mogla bi se praktično postići primenom posebnih teh- nika kodovanja koje se nazivaju entropijsko kodovanje. 1.3. Jedinice u obradi i prenosu signala u telekomunikacijama U postupcima obrade i prenosa signala često se koriste logaritamske jedinice. Umesto vrednosti napona (u voltima, V ), struje (u amperima, A ) i snage (u vatima, W ), koriste se nivoi napona, struje i snage, definisani izrazima:

0 log20

U Unu ⋅= ,

0 log20

I Ini ⋅= ,

0 log10

P Pnp ⋅= , (1.3.1)

respektivno. Za sva tri nivoa jedinica se zove decibel, dB .

10 Osnovi telekomunikacija, skripta

Umesto dekadnog logaritma ponekad se koristi i prirodni logaritam:

0 ln

U Unu = ,

0 ln

I Ini = ,

0 ln

2 1

P Pnp ⋅= , (1.3.2)

respektivno, a jedinica se naziva neper, N . U izrazima (1.3.1) i (1.3.2) konstante 0U , 0I i 0P nazivaju se referentne veličine. Ako se usvoje vrednosti: V775.00 =U , mA29.10 =I i

mW10 =P , nivoi se nazivaju apsolutni, a jedinice su dBm (čita se decibel m ili dbm) i Nm . Rešeni primeri uz poglavlje 1.3. Zadatak 1.3.1. (E, S) Odrediti vezu između logaritamskih jedinica dB i N . Rešenje: Nivo napona u N označićemo sa un , a odgovarajući nivo u dB sa un′ . Važe sledeće jednakosti:

0 ln

U Unu = ,

0 log20

U Unu ⋅=′ .

Na osnovu osobine logaritamske funkcije da je )ln(xex = , važi sledeća jednakost:

)log(20)log(20log20log20 0 ln

0 enee

U Un u

nU U

u u ⋅⋅=⋅=

⎟⎟ ⎟

⎜⎜ ⎜

⎛ ⋅=⋅=′ .

Ako je N1=un ovom nivou napona odgovaraće, izražen u decibelima, nivo:

dB686.8dB)log(20 =⋅=′ enu , odnosno dB686.8N1 = , N115.0dB1 = .

Zadatak 1.3.2. Tri pojačavača napona sa pojačanjem 4=A vezana su na red. Odrediti nivo napona, struje i snage u dB : a) iza prvog pojačavača, b) iza poslednjeg pojačavača,

uzimajući napon, struju i snagu na ulazu kao referentne. Ulazne otpornosti pojačavača jednake su otporu potrošača R .

Glava 1. Uvod 11

U0 ~ RAAA

I 0 I 1 I 2 I 3

U1 U2 U3

Slika 1. Redna veza pojačavača Rešenje:

a) Ulazni napon, struja i snaga označeni su sa 0U , 0I i 000 2 1 IUP = . Na izlazu prvog poja-

čavača napon, struja i snaga imaju oblik:

001 4UAUU == , 001 4IAII == , 00 2

111 162 1 PPAIUP === .

Odgovarajući nivoi su:

dB12)/log(20 011 =⋅= UUnU ,

dB12)/(log20 011 =⋅= IInI ,

dB12)/log(10 011 =⋅= PPnP (korišćena je približna vrednost 6,0)4log( = ). Dakle, ako je otpornost na kojoj se određuju nivoi napona, struje i snage jednaka 00 IU , svi nivoi su isti. b) dB363log203log20 1

3 333 =⋅=⋅⋅=⋅=== UPIU nAAnnn .

Ekvivalent množenja signala predstavlja sabiranje odgovarajućih nivoa. Takođe treba primetiti da se nivo napona poveća za dB6 , a nivo snage za dB3 kad se odgovarajući napon i snaga udvostruče.

12 Osnovi telekomunikacija, skripta

2. SIGNALI 2.1. Definicije. Energija i snaga signala. Operacije nad signalima. Pojam signala ili električnog signala može se definisati na više načina. Dve veoma razumljive definicije glase: a) Signal je (električni) ekvivalent poruke. b) Signal je skup podataka o nekoj pojavi ili događaju. Primeri. Signal može da bude promena napona ili struje na izlazu mikrofona, promena napona na izlazu medicinskih uređaja kao EKG ili EEG, podaci o vodostaju Dunava očitavani svaki dan u 12:00, vrednost valuta na deviznom tržištu, slika na ekranu ili monitoru, itd. Signal se u telekomunikacijama obično posmatra kao zavisna fizička veličina (zavisna promen- ljiva, funkcija). Ona se menja u zavisnosti od druge fizičke veličine (nezavisne promenljive). Zavisna promenljiva može da bude, po svojoj prirodi: napon, struja, električni potencijal, skup brojeva dobijenih očitavanjem nekih podataka, itd. Nezavisna promenljiva može da bude vreme, neka od prostornih koordinata ),( yx , itd. Signal se najčešće zapisuje u obliku )(tx , )(nx ili nx , gde je sa x (ili neko drugo malo slovo latinice) označena zavisna promenljiva (može da bude napon, struja ili neka treća veličina), a sa t ili n nezavisna promenljiva. Obično je t kontinalna promenljiva, kao što je to vreme. n je celobrojna promenljiva koja nema dimenzije, a njeno fizičko značenje može da bude različito: vreme, prostorne koordinate, itd. Najčešće je signal realna veličina. Ponekad se koriste i signali za koje kažemo da su kompleksni. Kompleksni signal je kombinacija dva signala kod kojih je veza između realnog i imaginarnog dela povezana sa faznom razlikom od 2/π . Iz matematičke analize poznato je da ovakva fazna razlika postoji između realnih i imaginarnih brojeva, kao i između sinusa i kosinusa. Ako je broj nezavisnih promenljivih veći od jedan, govorimo o višedimenzionalnim signalima. Tako je, npr. signal ),( yxp funkcija dve promenljive. Ako ove promenljive odgovaraju pros- tornim koordinatama, radi se npr. o signalu mirne (nepokretne) slike. Signal ),,( tyxp može da predstavlja signal pokretne slike. Energija i snaga signala Posmatramo signal )(tx . U svakom trenutku, )(t , signal može da ima drugačiju vrednost. Da bi mogli da na neki način izmerimo ili ocenimo ceo signal, treba primeniti postupak koji uzima u obzir i vrednosti i trajanje signala. Jedno od rešenja nudi matematika u obliku 'površine' signala, preko određenog integrala:

Glava 2. Signali 13

∫ ∞

∞−

⋅= dttxM )( . (2.1.1)

Međutim, pošto signal može da ima pozitivne i negativne vrednosti, može se desiti da se prema (2.1.1) dobije 0=M za signal sa veoma velikim trenutnim vrednostima, ali suprotnog znaka, kao i za signal koji je identički jednak nuli. Osim površine signala mogla bi se izračunavati i po- vršina pod funkcijom )(tx . Najbolja mera signala dobija se izračunavanjem površine pod kri-

vom oblika )(2 tx . Ova površina sigurno je nenegativna. Ona ima naročit fizički smisao. Naziva se energija signala. Za realne signale definisana je kao:

∫ ∞

∞−

⋅= dttxE )(2 , (2.1.2a)

a za kompleksne signale:

∫ ∞

∞−

⋅= dttxE 2)( . (2.1.2b)

Da bi rezultati dobijeni određivanjem energije signala mogli da se porede, vrednosti treba da bu- du konačne. Potreban uslov za to jeste da signal teži nuli kad promenljiva (vreme) teži besko- načnosti. Ovaj uslov, međutim, ne zadovoljava široka klasa signala poznata pod nazivom peri- odični signali. Za njih se, umesto energije, definiše snaga signala (ili srednja snaga) kao:

∫ −

⋅= 2

2

2 )(1 T

T dttx

T P , (2.1.3a)

gde je T perioda signala, odnosno najmanji vremenski interval posle kojeg se oblik i vrednosti signala ponavljaju. Ako je signal po svojoj prirodi napon ili struja, dobijena vrednost snage, P , odgovara stvarnoj vrednosti snage na otporniku otpornosti Ω1 . I za kompleksne signale može se odrediti snaga, na način sličan izrazu (2.1.2b). Čitaocu prepuštamo da odredi kolika bi bila energija periodičnog i snaga aperiodičnog signala, iako su to veličine koje, strogo posmatrano, nisu definisane. Kod signala se ponekad definiše i tzv. trenutna snaga. Za realne signale to je funkcija oblika:

)(1)( 2 tx R

tP ⋅= , (2.1.3b)

gde je R otpornost otpornika koja je obično jednaka jedinici. Na sličan način mogu se definisati i energija i snaga 2-D signala. Koriste se dvostruki integrali, a integracija se vrši po dve, obično prostorne promenljive. Ove veličine imaju primenu u kursevima iz digitalne obrade slike i tamo će biti detaljno objašnjene.

14 Osnovi telekomunikacija, skripta

Korisne operacije nad signalima

Postoji nekoliko jednostavnih računskih operacija sa signalima koje su neophodne za pravilno i dobro razumevanje brojnih postupaka pokazanih u nastavku. To su: pomeranje, skaliranje i inverzija signala. Najlakše se mogu pokazati na nekoliko primera. Pomeranje signala. Na slici 2.1.1. pokazan je primer pomeranja signala. Ako je T pozitivna konstanta, vidi se da je signal )()(1 Ttxtx −= pomeren udesno za veličinu T . Formalno, posmatraju se vrednosti ‘stare’ funkcije )(tx u pojedinim ‘značajnijim’ tačkama i na osnovu to- ga određuju vrednosti ‘nove’ funkcije )(1 tx . Tako npr. u tački 0=−Tt , tj. Tt = , ‘stara’ funkcija ima skok, pa važi jednakost )0()(1 xTx = . Dakle ‘nova’ funkcija u tački Tt = ima vrednost jednaku vrednosti ‘stare’ funkcije u tački 0 , što odgovara kašnjenju signala, odnosno pomeranju za T prema većim vrednostima promenljive, vremena. Na sličan način pokazuje se da pomeranje signala ulevo odgovara izrazu )()(2 Ttxtx += . Ovakvo pomeranje ima samo teoretski značaj jer u praksi nije moguće pomeriti događaj ‘unapred’.

Slika 2.1.1. Originalni signal i pomereni oblici, τ i T su pozitivne konstante Skaliranje signala. Na slici 2.1.2. prikazan je primer skaliranja, odnosno sužavanja i proširiva- nja signala. Ako je )()(1 atxtx = , 0>a , posmatramo dva slučaja:

1) 1>a , vidi se da je došlo do sužavanja signala, zato što se argument signala (ukupna veličina u okrugloj zagradi) sa promenom vremena t menja brže nego kada je 1=a i

2) 1<a , vidi se da je došlo do proširivanja signala, zato što se argument signala sa promenom vremena t menja sporije nego kada je 1=a .

Slika 2.1.2. Originalni signal i dve skalirane varijante

t

)(tx

τ t

)( Ttx

T τ+T

t

)(tx

τ t

)2( tx

2/τ t

)2/(tx

τ2

t

)( Ttx +

T− τ+−T

Glava 2. Signali 15

Inverzija signala. Inverzija (reflektovanje) signala može se posmatrati kao posebna vrsta skali- ranja kod kog je 1−=a . Inverzija je definisana izrazom )()(1 txtx −= . Primer je pokazan na slici 2.1.3. Treba istaći da inverzija parnih signala daje rezultat koji je identičan originalnom, a inverzija neparnih signala odgovara množenju signala sa 1− .

Slika 2.1.3. Originalni signal i njegova inverzija

Kombinovane operacije. Na slici 2.1.4. prikazan je rezultat primene kombinovane operacije in- vertovanja, skaliranja i pomeranja na originalni signal.

Slika 2.1.4. Originalni signal i signal dobijen kombinovanim operacijama

2.2. Podela signala Postoji više načina za podelu signala. Signali se, npr. mogu podeliti na determinističke (oni za koje je ponašanje određeno nekim analitičkim izrazom i poznato za svaku vrednost nezavisne promenljive) i slučajne (oni za koje je poznato samo ponašanje u prošlosti, ako je nezavisna promenljiva vreme). Deterministički signali mogu se dalje podeliti na periodične i aperiodične. Detalji su objašnjeni u nastavku. Svaka od gore navedenih vrsta signala može se dalje podeliti u zavisnosti od osobina nezavisne i zavisne promenljive. Nezavisna promenljiva može da bude kontinualna (skup realnih brojeva) i diskretna veličina (skup celih brojeva). Vrednosti signala (zavisna promenljiva) mogu takođe da budu kontinualne i diskretne. U tabeli 2.2.1. dat je pregled podele signala na osnovu osobina promenljivih veličina. Tako, npr. signal sa kontinualnim vremenom i amplitudama, )(tx , obično nazivamo skraćeno: analogni

t

)(tx

τ t

)( tx

τ−

t

)2( Ttx +−

2/T 2 τ−Tt

)(tx

τ

16 Osnovi telekomunikacija, skripta

signal. Diskretni signal nx ima potpuniji naziv: signal sa diskretnim vremenom i kontinualnim amplitudama, ali se takav naziv ne koristi. Kvantizovani analogni signal najređe se koristi kao poseban oblik signala i nema posebno ime. Razlika između diskretnog i digitalnog signala leži u njihovoj praktičnoj primenjivosti:

- samo digitalni signal može da se koristi u računarskoj tehnici jer diskretni signal podrazumeva da su mu vrednosti uzete iz kontinualnog skupa pa se kao takve ne mogu numerički zapisati,

- teorija se uvek pokazuje za diskretne signale a tek se na kraju analiziraju (i eventualno korigu- ju) posledice numeričkog zaokruživanja usled diskretizacije.

Tabela 2.2.1. Podela signala

Nezavisna promenljiva Kontinualna Diskretna

Kontinualna

analogni

)(tx

diskretni

nx , )(nx

Za vi

sn a

pr om

en lji

va

Diskretna

Kvantizovani

)(txq

Digitalni

qnx

Tabela 2.2.1. ilustrovana je na slici 2.2.1. Korišćene su iste oznake za pojedine tipove signala.

xn

xq(t) xqn

n

n0 t

0

0 1

2

3 4 5 6-1

-1 1

2

3 4 5 6

x(t)

t0

Slika 2.2.1. Ilustracija podele signala iz tabele 2.2.1.

Glava 2. Signali 17

2.3. Analiza analognih signala Po svojoj prirodi, izgledu i osobinama, signali mogu da se budu veoma raznovrsni i različiti. Ova činjenica značajno komplikuje postupke za proučavanje njihovih osobina i projektovanje sistema potrebnih za prenos signala pa je u prošlosti uloženo mnogo truda u razvoj metoda za što uni- formnije predstavljanje signala. Jedan od postupaka za predstavljanje signala zasniva se na ideji da se signal razloži na sastavne delove koji su jednostavni, da je veza među tim delovima što jednostavnija, npr. sabiranje, a pri tom delovi imaju osobine koje su pogodne za prenos i dalju obradu. Poređenje: U mehanici (fizici) poznat je pojam prostornih sila kao orijentisanih vektora koji po- vezuju dve tačke u prostoru. Da bi se sile mogle jednostavno proučavati (sabirati, translirati i sli- čno), uveden je pravougli koordinatni sistem i tri jedinična vektora. Razlaganjem svake sile na vektorski zbir tri jedinična vektora ponderisana odgovarajućim koeficijentima, dobijena je veo- ma jednostavna i korisna predstava sila. Za skup tri jedinična vektora u prostoru kaže se da je ortogonalan. To znači da je skalarni pro- izvod bilo koja dva vektora jednak nuli. Skup vektora istovremeno je i kompletan, zato što ne postoji više od tri vektora koji su ortogonalni u 3-D prostoru. U raznim naučnim oblastima javlja se pojam višedimenzionalnih vektora. I u teoriji telekomunikacija često se koriste višedimenzi- onalni vektori. Ortogonalnost signala Pri analizi signala može se zapaziti sličnost između signala i prostornih sila. I kod signala se mo- gu definisati uslovi ortogonalnosti i kompletnosti. Postoje signali koji zadovoljavaju ove uslove. Pomoću ortogonalnih signala može se izvršiti razlaganje skoro svih signala koji se javljaju u praksi. Mnogi autori porede pa čak i poistovećuju signale sa višedimenzionalnim vektorima [3]. Ortogonalnost signala definiše se na sledeći način. Dva realna signala, )(txm i )(txn , ortogo- nalni su na vremenskom intervalu ),( 21 tt ako važi sledeća jednakost:

⎩ ⎨ ⎧

= ≠

=⋅⋅∫ . ,0

)()( 2

1 nmE nm

dttxtx n

t

t nm (2.3.1a)

nE je konstanta koja zavisi od n . Ako su signali kompleksni, ortogonalnost se definiše kao:

⎩ ⎨ ⎧

= ≠

=⋅⋅∫ . ,0

)()( 2

1

*

nmE nm

dttxtx n

t

t nm (2.3.1b)

Kompletnost skupa ortogonalnih signala definiše se i dokazuje na mnogo složeniji način i ovde neće biti dokazana.

18 Osnovi telekomunikacija, skripta

Najčešće korišćen postupak za analizu (tj. razlaganje) signala naziva se Furijeova (Fourier) anali- za. Postoji nekoliko varijanti Furijeove analize, u zavisnosti od osobina analiziranih signala. Furijeova analiza periodičnih signala. Furijeov red. Za signal se kaže da je periodičan ako ispunjava uslov:

)()( kTtsts += , ,...2,1,0 ±±=k , (2.3.2) pri čemu je T (konstanta) najkraći interval vremena za koji važi izraz (2.3.2). Ova konstanta naziva se perioda. Pomoću periode T definišu se i osnovna učestanost periodičnog signala,

Tf 10 = , kao i osnovna kružna učestanost, 00 2 fπω = . Za periodične signale pokazalo se da je njihova analiza moguća pomoću posebnog, veoma jednostavnog skupa signala, sastavljenog od prostoperiodičnih, tj. sinusnih funkcija. Posmatrajmo skup signala: { })...sin(),....2sin(),sin(....),cos(.....),2cos(),cos(,1 000000 tntttntt ωωωωωω , (2.3.2a) gde koristimo oznake i pojmove definisane za periodične signale:

T f 10 = - osnovna učestanost, T

f ππω 22 00 == - osnovna kružna učestanost,

T - perioda signala, t0cosω i t0sinω osnovni harmonik (fundamental),

tn 0cos ω i tn 0sin ω - n-ti harmonik. Posmatrani skup sastoji se od beskonačno mnogo članova. Posmatrani skup signala ima osobinu ortogonalnosti na intervalu T . Ova osobina dokazuje se ta- ko što se proverava definicioni izraz (2.3.1a) za sve parove signala u skupu (2.3.2a). Praktično, treba proveriti ispravnost sledeća tri izraza:

⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

=

≠ =⋅⋅∫

nmT nm

dttntm

T

T 2

0 )cos()cos(

2

2

00 ωω , ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

=

≠ =⋅⋅∫

nmT nm

dttntm

T

T 2

0 )sin()sin(

2

2

00 ωω i

0)cos()sin( 2

2

00 =⋅⋅∫ −

T

T dttntm ωω , (2.3.2b)

Glava 2. Signali 19

jer su time obuhvaćeni svi parovi signala koji se javljaju među članovima posmatranog skupa (2.3.2a). Parovi funkcija kod kojih u dokazivanju ortogonalnosti učestvuje prvi član posmatranog skupa, konstanta (1), imaju vrednost koja je jednaka površini celog broja perioda periodičnog signala. Lako se pokazuje da je ta vrednost jednaka nuli, bez obzira da li je u pitanju sinus ili ko- sinus, pa zbog toga ovakvi parovi nisu navedeni u izrazu (2.3.2b). Periodičan signal može se razviti u trigonometrijski red u obliku:

∑∑ ∞

=

= ⋅+⋅+=

1 0

1 00 sincos)(

n n

n n tnbtnaats ωω , (2.3.3)

pri čemu su 0a , na i nb realni brojevi koji se nazivaju koeficijenti Furijeovog reda. Oni se izra- čunavaju kao:

∫ −

⋅= 2

2 0 )(

1 T

T

dtts T

a , ∫ −

⋅⋅= 2

2 0 )cos()(

2 T

T n dttntsT

a ω , ∫ −

⋅⋅= 2

2 0 )sin()(

2 T

T n dttntsT

b ω .

(2.3.4) Ovaj red naziva se Furijeov red, u čast francuskog naučnika Charlesa Fouriera. On je živeo u periodu 1768-1830. Bio je političar i naučnik, a do trigonometrijskog reda došao je istražujući oblast termodinamike. Furijeov red ima još nekoliko oblika. Na osnovu Ojlerovog obrasca (Euler, mehaničar i matematičar, 1707-1783, Bazel i St Peters- burg), )sin()cos( xjxe jx ⋅+= , izraz (2.3.3) može se napisati u obliku koji se naziva kompleksni oblik Furijeovog reda:

∑ ∞

−∞= ⋅=

n

tjn n ests 0)(

ω , (2.3.5)

gde su ns kompleksni Furijeovi koeficijenti, dati izrazom:

∫ −

−⋅⋅= 2

2

0)(1 T

T

tjn n dtetsT

s ω . (2.3.6)

Postoji i treći, tzv. kompaktni (ili kosinusni) oblik Furijeovog reda:

( )∑ ∞

= Φ+⋅+=

1 00 cos)(

n nn tnAAts ω , (2.3.7)

čiji se n -ti sabirak naziva n-ti harmonik, amplitude nA i faze nΦ . Koeficijenti kompaktnog ob- lika izračunavaju se indirektno, preko ostalih tipova koeficijenata. Detalji postupka za izračuna- vanje koeficijenata pojedinih oblika Furijeovog reda, kao i njihove međusobne veze, pokazani su u zadatku 2.3.1.

komentari (0)
nema postavljenih komentara
budi prvi koji ce napisati!
ovo je samo pregled
3 prikazano na 346 str.
preuzmi dokument