3_Fourierova_trasnformacija, Vežbe' predlog Telekomunikacioni inženjering. Drzavni Univerzitet u Novom Pazaru
lulzimlumi1
lulzimlumi16 July 2013

3_Fourierova_trasnformacija, Vežbe' predlog Telekomunikacioni inženjering. Drzavni Univerzitet u Novom Pazaru

PDF (313 KB)
33 str.
1000+broj poseta
Opis
kl
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 33

ovo je samo pregled

3 prikazano na 33 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 33 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 33 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 33 str.

preuzmi dokument
Teorija signala i sistema I

Uvod

Fourierov red –

predstavljanje periodičnih signala kao beskonačne sume harmonijskih funkcija.

x(t)

neki aperiodičan signal koji se može posmatrati kao periodičan signal sa peridom T.

U slučaju aperiodičnih signala, amplitudni i fazni spektar su diskretni jer harmonijske komponente primaju samo učestanosti koje su celobrojni multipl osnovne učestanosti 0

=2/T. T 0

0 

Fourierova transformacija –

proširenje koncepta na aperiodične signale.

Predstavljanje aperiodičnih signala

Posmatraćemo povorku pravougaonih impulsa.

  

 

 2/,0

,1 )(

1

1

TtT Tt

tx povećavamo T

držimo fiksno

Tk Tkak

0

10 )sin(2  

 0

)sin(2 1 

kk

TkTa 

Ako 

posmatramo kao kontinualnu promjenljivu, funkcija (2sinT1

)/ predstavlja anvelopu Tak

dok su koeficijenti ak uzorci ove anvelope u jednakim intervalima.

•Sa povećanjem perioda T, anvelopa se uzorkuje sa kraćim intervalima između uzoraka.

•Istovremeno, koeficijenti Fourierovog reda pomnoženi sa T

postaju sve bliži i bliži.

•Aperiodični signal možemo posmatrati kao limes periodičnog signala kada T.

Posmatramo signal x(t)

konačnog trajanja (interval od –T1

do T1 ).

Iz aperiodičnog signala konačnog trajanja formiramo periodični signal .)(~ tx

tjk

k keatx 0)(~

 



 



  dtetx T

dtetx T

a tjk T

T

tjk k

00 )(1)(~1 2/

2/



Na intervalu od –T/2 do T/2 je )()(~ txtx

Definisemo anvelopu X(j)

od Tak

:

 



 dtetxjX tj )()( )( 1 jX T

ak

Zamenimo ak

u Fourierov red:

 



k

tjkejkX T

tx 0)(1)(~ 0 

0

2  

T

00 0)(

2 1)(~  

 



k

tjkejkXtx

0 ),(~ 0  txxT

Par Fourierove transformacije

 

dejXtx tj 



 )( 2 1)(

dtetxjX tj  

  )()(

Prikaz aperiodičnog signala kao linearnu kombinaciju kompl. eksp. signala kojima odgovara kontinum frekvencija i amplituda X(j)/(d/)

Spektar aperiodičnog signala x(t)

Konvergencija Fourierovog integrala 1.

Kada x(t)

ima konačnu energiju, tada se može

garantovati da je X(j)

konačno (energija greške jednaka je nuli).

2.

Dirichletovi uslovi

 



dttx 2)(

Dirichletovi uslovi

1.

x(t)

je apsolutno integrabilna funkcija.

2.

x(t)

ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar konačnog intervala.

3.

x(t)

ima konačan broj prekida unutar bilo kojeg konačnog intervala. Osim toga, svaki od ovih prekida mora biti konačan.

 



dttx )(

Primer

Pravougaoni impuls

   1sin2)(

1

1

TdtejX T

T

tj   

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

1/T1/T 12T

 



 12)()0( TdttxX

 



 djX )(

trouglapovršina 2 1)(

2 1)0(  

  

djXx

Delta impuls )()( ttx 

 

  det tj 



 2 1)(

 



  1)()( dtetjX tj

)()( 0tttx  

 



  0)()( 0 tjtj edtettjX 

Primer

  

 

W W

jX  

 ,0 ,1

)(

)( jX

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

/W

W/ W/

t Wtdetx

W

W

tj

 

  sin

2 1)(   

Svojstvo dualnosti

Primer. Guasov proces (verovatnoća) 2

)( atetx 

a

aa jta

a ja

a jt

a jta

tjat

e a

ee

dte

dteejX

4

42

22

2

22

22 2

2

)(





 



  

   



  

  

  

  

   

  





  

  

 

11~  

  

 a a

t

Princip neodređenosti!

Ne možemo istovremeno osigurati da i t i  budu proizvoljno mali!

Fourierova transformacija periodičnih signala 

Da bi razmatrali periodične i aperiodične signale u istom kontekstu.

FT izvodimo direktno iz predstave periodičnog signala pomoću FR.

Transformaciju čini povorka impulsa u frekventnom domenu, sa površinom impulsa proporcionalnom koeficijentima reda.

Posmatramo signal čija je Fourierova transformacija oblika X(j)=2(-0

)...

Fourierova transformacija periodičnih signala 

Signal x(t)

odredićemo pomoću inverzne Fourierove transformacije:

Generalizujemo

prethodni izraz tako što će X(j)

biti linearna kombinacija ekvidistantnih impulsa

kome odgovara signal oblika:

  tjtj edetx 002)(     



 02)(  kajX k

k   



tjk

k keatx 0)(

 



 Predstava periodičnog signala pomoću

Fourierovog reda!

Fourierova transformacija periodičnih signala 

FT periodičnog signala koji ima koeficijente Fourierovog reda {ak

}

se prikazuje

kao povorka impulsa u tačkama =k0

.

Površina impulsa koji odgovara k-tom harmoniku frekvencije k0

je jednaka 2 puta k-ti koeficijent Fourierovog reda ak

.

Primer 

Analiziramo jediničnu povorku pravougaonih impulsa sa periodom T

i trajanjem 2T1

. Koeficijenti razvoja ovog signala u Fourierov red su:

pa je i Fourierova transformacija ovog signala:

k Tkak   10sin

  )(sin2 010   k

k TkjX

k  



Primer. Povorka  impulsa

 



 n

nTttx )()( 

 

  2/

2/

1)(1)( 0 T

T

tjk k T

dtetx T

atx

 

   

   

n T k

T jX  22)(

Isti oblik funkcije i u vremenskom i u frekventnom domenu!

Tperiod u vremenskom domenu

2/Tperiod u vremenskom domenu

Osobine Fourierove transformacije

Linearnost 

Vremenski pomak

Konjugovanje 

Diferenciranje i integracija

Skaliranje vremena i frekvencije

Linearnost )()( jXtx

F

)()()()(  jbYjaXtbytax F



)()( jYty F

Vremenski pomak )()( jXtx

F

)()( 00   jXettx tj

F 

Zaista,    

 

)(

2 1

2 1)(

0

0

0 0

 

 



jXe

dejXe

dejXttx

tj

tjtj

ttj



 





Samo dodatni fazni pomak za -t0

!

Konjugovanje )()( jXtx

F

)()( ** jXtx F



Zaista, dtetxdtetxjX tjtj  



 



 

  

  )()()( *

*

*

dtetxjX tj  

  )()( **

)()(*  jXjX  Za realan signal!

Diferenciranje i integracija 

Neka je x(t)

signal čija je Fourierova transformacija X(j). 

Ako difernciramo izraz za x(t)

po t:

Očigledno je:

Diferenciranje u vremenskom domenu odgovara množenju sa j u frekventnom domenu.

Integracija je inverzna operacija te integracija po vremenu odgovara množenju sa 1/ j u frekventnom domenu.

Uzimajući u obzir i DC komponentu na izlazu integratora:

 

dejXj dt

tdx tj 



 )( 2 1)(

)()(  jXj dt

tdx F

)()0()(1)(  

 XjX j

dx t

 

Primer

Odrediti Fourierovu transformaciju Heavisideove funkcije.

1)()()()(   



dtetjGttg tj

 dtutx t

 

 )()()( )()0()()(    G

j jGjX 

1)( jG )(1)(  

  j

jX

1)(1)()(  

  

   

 j

j dt

tdut F 0)(  

U drugom smjeru...

jer je

Skaliranje vremena i frekvencije )()( jXtx

F

  

  

a jX

a atx

F 1)(

Zaista,   



 dteatxatx tj)()(F

at  

  

  



 

 





0,)(1

0,)(1

)( adex

a

adex aatx

a j

a j









F

Parsevalov teorem )()( jXtx

F

 

djXdttx  





 22 )( 2 1)(

Zaista,

dtdejXtx

dttxtxdttx

tj 

  









 

  

 

 

)( 2 1)(

)()()(

*

*2

komentari (0)

nema postavljenih komentara

budi prvi koji ce napisati!

ovo je samo pregled

3 prikazano na 33 str.

preuzmi dokument