DETERMINANTE MATRICA, Beleške' predlog Matematika
danilo-tosic
danilo-tosic

DETERMINANTE MATRICA, Beleške' predlog Matematika

9 str.
71broj poseta
Opis
nauci sve o determinantama matrica
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 9
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
Microsoft Word - DETERMINANTE.doc

DETERMINANTE

Najprostije rečeno determinante su kvadratne šeme. Mogu biti drugog, trećeg,

četvrtog,...n-tog reda.

DRUGOG REDA

dc

ba = ad – bc Znači računaju se tako što pomnožimo elemente na takozvanoj glavnoj

dijagonali, pa od toga oduzmemo pomnožene elemente na sporednoj dijagonali.

Primer:

75

43 = 3 7 - 4 5 = 21-20 = 1

125

31

− = (-1) 12- (-5) 3=-12+15=3

TREĆEG REDA

Determinante trećeg reda možemo razviti po bilo kojoj vrsti ili koloni. Najpre svakom

elementu dodelimo predznak + ili -, i to radimo neizmenično:

+−+

−+−

+−+

Samo da vas podsetimo: vrste su , a kolone

333

222

111

cba

cba

cba

= Ako recimo hoćemo da razvijemo po prvoj vrsti=

= 33

22

1 cb

cb a+

33

22

1

33

22

1 ba

ba c

ca

ca b +− , ili ako recimo razvijamo po drugoj koloni:

= 22

11

3

33

11

2

33

22

1 ca

ca b

ca

ca b

ca

ca b −+−

Najbolje je ,naravno, da razvijamo po onoj koloni ili vrsti gde ima najviše nula !

Primer: Izračunaj vrednost determinante

232

071

135

= Najpre iznad svakog broja napišite predznake:

+−+

−+−

+−+

, ili ako vam je

lakše samo iznad brojeva u vrsti ili koloni po kojoj ste rešili da razvijete determinantu. Mi

smo rešili po drugoj vrsti jer ima jedna nula (moglo je i po trećoj koloni, sve jedno).

Dakle:

232

071

135

=

232

071

135 −+−

= 32

35 0

22

15 7

23

13 1 −+− =-1(3 2 - 1 3)+7(5 2-2 1)= -3 +56=

= 53

Drugi način za računanje determinanti trećeg reda, medju učenicima vrlo popularan, je

SARUSOVO pravilo.

Pored date determinante dopišu se prve dve kolone , pa se elementi množe dajući im

znake kao na slici:

333

222

111

cba

cba

cba

3

2

1

a

a

a

3

2

1

b

b

b

= 321321321321321321 abcbcacabbacacbcba −−−++

- - -

+ + +

Primer: Izračunaj vrednost determinante

232

071

135

2

1

5

3

7

3

= 5 7 2 + 3 0 2 + 1 1 3 - 3 1 2 - 5 0 3 - 1 7 2 =

= 70 + 0 +3 –6 – 0 – 14 = 53

Dakle, na oba načina smo dobili isti rezultat,pa vi odaberite sami šta vam je lakše.

ČETVRTOG REDA

4444

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba

dcba

= Možemo je razviti po bilo kojoj vrsti ili koloni! I ovde slično kao za

determinante trećeg reda prvo napišemo predznake svima ili samo onoj vrsti ili koloni po

kojoj ćemo da razvijamo determinantu.

+−+−

−+−+

+−+−

−+−+

Mi ćemo , recimo, da razvijemo determinantu po prvoj koloni:

4444

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba

dcba

+

+

=

= 1a+

444

333

222

dcb

dcb

dcb

2a

444

333

111

dcb

dcb

dcb

3a+

444

222

111

dcb

dcb

dcb

4a

333

222

111

dcb

dcb

dcb

Naravno, sad bi trebalo da razvijemo svaku od ove četiri determinante trećeg reda....

Složićete se da ovo nije baš lako.

Naučimo zato osobine determinanata koje će nam pomoći u rešavanju zadataka.

OSOBINE DETERMINANATA

1. Determinanta menja znak ako dve vrste ili kolone izmenjaju svoja mesta.

2. Vrednost determinante se ne menja ako sve vrste i kolone promene svoje uloge.

3. Determinanta se množi brojem, kad se tim brojem pomnože svi elementi ma koje (ali samo jedne) vrste ili kolone. Obrnuto, zajednički faktor elemenata jedne vrste ili kolone može se izvući ispred determinante .

Na primer:

k

333

222

111

cba

cba

cba

=

333

222

111

cba

cba

kckbka

=

333

222

111

cbka

cbka

cbka

itd ili

333

222

111

cmba

cmba

cmba

= m

333

222

111

cba

cba

cba

4. Ako je u determinanti svaki element neke k-te vrste (kolone) zbir dva ili višesabiraka, onda je ona jednaka zbiru dve ili više determinanata, koje imaju isteelemente kao i data determinanta, osim elemenata k-te vrste (kolone).

Na primer:

3333

2222

1111

cmba

cmba

cmba

+

+

+

=

333

222

111

cba

cba

cba

+

333

222

111

cma

cma

cma

5. Ako su svi elementi jedne vrste(kolone) jednaki nuli, vrednost determinante je nula.

000

421

5593 −

= 0 ili 0

8954

4758

80346877

0000

= −

6. Ako elementi u dve vrste ili kolone imaju iste vrednosti, vrednost determinante je opet nula.

Primer:

3712

649

3712

− = 0 jer su elementi prve i treće vrste jednaki

7. Ako su dve vrste ( kolone ) proporcionalne meñu sobom , vrednost determinante je opet nula.

Primer:

201510

5659

432

− = 0 jer su prva i treća vrsta proporcionalne, tj. prva puta 3 daje treću

vrstu.

8. Vrednost neke determinante ostaje nepromenjena ako se elementima jednevrste(kolone) dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste(kolone) pomnoženiistim brojem!

Ova osma osobina će nam pomoći da lakše rešimo determinante četvrtog i višeg reda.

Primer :

Izračunaj vrednost determinante:

2124

2113

5322

1421

−−

Rešenje:

2124

2113

5322

1421

−−

Ideja je da se ispod jedinice u prvoj koloni naprave sve nule, koristeći

osobinu determinanti broj 8.

Prvo ćemo napraviti nulu gde je 4. Prvu vrstu ćemo pomnožiti sa – 4 i to sabrati sa

četvrtom vrstom i rešenja upisati umesto četvrte vrste.Prve tri vrste se prepisuju!

1  (-4)+4=0

2  (-4)+2= -6

4  (-4)+1= -15

(-1)(-4)+(-2)=2

2124

2113

5322

1421

−−

=

21560

2113

5322

1421

−−

−−

Dalje pravimo nulu gde je trojka. Prvu vrstu ćemo pomnožiti sa 3 i to sabrati sa trećom

vrstom , pa rešenja upisati umesto treće vrste. Prvu, drugu i četvrtu vrstu prepisujemo.

1 3+(-3)=0

2 3+1 = 7

4 3+1 =13

(-1) 3+(-2)= -5

21560

2113

5322

1421

−−

−−

=

21560

51370

5322

1421

−−

Još nam preostaje da gde je 2 napravimo nulu.Prvu vrstu ćemo pomnožiti sa –2 i to

sabrati sa drugom vrstom. Dakle

(-2) 1+2= 0

(-2) 2+2= -2

(-2) 4+(-3)=-11

(-2)(-1)+5=7

21560

51370

5322

1421

−−

=

21560

51370

71120

1421

−−

−−

Ako ovu determinantu razvijemo po prvoj koloni, imaćemo samo jedan član , jer se svi

ostali množe sa nulom, pa imaju vrednost nula!

21560

51370

71120

1421

−−

−−

=

2156

5137

7112

−−

−−

Upotrebimo Sarusovo pravilo:

2156

5137

7112

−−

−−

6

7

2

15

13

11

= -52-330-735+154+150+546 = -267

- - -

+ + +

Vi naravno ne morate da idete korak po korak, već odmah napravite sve tri nule!

Primer:

Izračunaj determinantu:

dcba

ccba

bbba

aaaa

Rešenje:

Napravićemo nule po prvoj koloni i to:

- Od četvrte vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto četvrte vrste

- Od treće vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto treće vrste

- Od druge vrste oduzmemo prvu pa to upišemo umesto druge vrste

dcba

ccba

bbba

aaaa

=

adacab

acacab

ababab

aaaa

−−−

−−−

−−−

0

0

0

Iz prve vrste možemo izvući zajedničko a. Pa je:

adacab

acacab

ababab

aaaa

−−−

−−−

−−−

0

0

0 = a

adacab

acacab

ababab

−−−

−−−

−−−

0

0

0

1111

Ovu novu determinantu naravno razvijamo po prvoj koloni:

a

adacab

acacab

ababab

−−−

−−−

−−−

= I ovde iz prve kolone možemo izvući zajednički (a-b)

a(a-b)

adac

acac

abab

−−

−−

−−

1

1

1

= Ajde opet da napravimo one nule u prvoj koloni!

- od druge vrste oduzmemo prvu : c-a-b+a=c-b

- od treće vrste oduzmemo prvu : c-a-b+a=c-b i d-a-b+a=d-b

a(a-b)

bdbc

bcbc

abab

−−

−−

−−

0

0

1

= a(a-b) bdbc

bcbc

−−

−− = a(a-b)(c-b)(d-c)

Dakle rešenje početne determinante je:

dcba

ccba

bbba

aaaa

= a(a-b)(c-b)(d-c)

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.