Diofantove jednacine-Zavrsni rad-Matematika i informatika-Matematika
lagoboard
lagoboard

Diofantove jednacine-Zavrsni rad-Matematika i informatika-Matematika

89 str.
17broj preuzimanja
1000+broj poseta
100%od3broj ocena
Opis
Diofantove jednacine,Zavrsni rad,Matematika i informatika,Matematika, Zašto Diofantove jednačine,Diofantove jednačine u osnovnoj i srednjoj školi, Istorijski osvrt na Diofanta i njegovu aritmetiku,Diofant, Brojevi i sumb...
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 89
ovo je samo pregled
3 prikazano na 89 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 89 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 89 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 89 str.
preuzmi dokument

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ

ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

ИНФОРМАТИКУ

Бојана Јанковић

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И

СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

Мастер рад

Нови Сад, 2012. године

САДРЖАЈ

Предговор ................................................................................................................ 3

1. Увод ................................................................................................................... 4

1.1 Зашто Диофантове једначине ................................................................. 4

1.2 Диофантове једначине у основној и средњој школи............................ 5

2. Историјски осврт на Диофанта и његову аритметику ............................ 6

2.1 Увод ............................................................................................................. 6

2.2 Диофант ...................................................................................................... 7

2.3 Бројеви и сумболи ...................................................................................... 9

2.4 Диофантове једначине ............................................................................. 12

2.4.1 Неодређене квадратне једначине ............................................................... 15

2.4.2 Неодређене кубне једначине ...................................................................... 19

2.5 Диофант и теорија бројева ...................................................................... 22

2.6 Процена Диофантовиф метода кроз историју науке ............................ 26

2.7 Диофант у радовима других математичара ........................................... 27

2.7.1 Диофант и математичари 15. 16. Века ...................................................... 27

2.7.2 Диофантове методе у радовима Вијета и Фермеа .................................... 29

2.7.3 Диофантове једначине у радовима Ојлера и Јакобија ............................. 32

2.8 Улога конкретних бројева у Диофантовој „Аритметици“ ................... 35

3. Методе решавања Диофантових једначина ............................................. 37

3.1 Увод ........................................................................................................ 37

3.2 Метод разликовања случајева .............................................................. 37

3.3 Метод производа ................................................................................... 39

3.4 Метод количника ................................................................................... 40

3.5 Метод збира............................................................................................ 42

3.6 Метод неједнакости ............................................................................... 43

1

2

3.7 Метод парности ..................................................................................... 46

3.8 Метод дељивости ................................................................................... 47

3.9 Метод дискриминанте ........................................................................... 48

3.10 Метод Ојлера ......................................................................................... 50

3.11 Метод Диофанта .................................................................................... 52

4. Типови Диофантових једначина ................................................................ 53

4.1 Увод ...................................................................................................... 53

4.2 Математички ребуси ........................................................................... 53

4.3 Магичне фигуре ................................................................................... 55

4.4 Диофантове једначине једне променљиве ........................................ 57

4.5 Линеарне Диофантове једначине облика      .................... 58 4.6 Диофантове једначине степена већег од 1 ........................................ 63

4.6.1 Питагорина тројка ...................................................................................... 63

4.6.2 Диофантове једначине типа        ....................................... 65 4.6.3 Квадратне Диофантове једначине ............................................................. 68

4.6.4 Диофантове једначине облика       ............................ 76 4.6.5 Диофантове једначине облика      ............................................ 69 4.6.6 Диофантове једначине облика     ............................................ 70 4.6.7 Диофантове једначине облика   3   ........................................... 71 4.6.8 Диофантове једначине облика      ............................................. 72

4.7 Ирационалне Диофантове једначине ................................................ 73

4.8 Експоненцијалне Диофантове једначине .......................................... 77

4.9 Пелова једначине ................................................................................. 77

Закључак ................................................................................................................ 81

Литература ............................................................................................................ 82

Биографија ............................................................................................................ 84

3

Предговор

Рад садржи теоријски приступ Диофантовим једначинама и већи број

урађених задатака. Већина урађених задатака је са математичких такмичења,

те сматрам да овај рад може бити од помоћи у припреми ученика за

такмичење.

Мастер рад се бави Диофантовим једначинама, од математичких

ребуса, који су по наставном плану предвиђени да се обрађују у четрвртом

разреду oсновне школе, па све до Пелове једначине, као најсложеније

Диофантове једначине у програмској настави, која се по наставном плану

ради у другом разреду математичке гимназије.

Рад садржи три основне тематске целине. Прва представља историјски

осврт на Диофанта и његову аритметику. Друга се бави методама за решавање

Диофантових једначина, а трећа целина представља различите типове

Диофантових једначина.

Уводни део садржи разлоге за одабир теме овог рада и указивање на

делове наставног плана и програма за основне и средње школе који се односе

на Диофантове проблеме и једначине. У првом делу дата је биографија

Диофанта и приказано је његово бављење аритметиком кроз историју. Други

део садржи више метода за решавање Диофантових једначина: разликовање

случајева, производа, количника, збира, неједнакости, парности, дељивости,

дискриминанте, Ојлера и Диофанта. Трећи део садржи неке типове

Диофантових једначина: математички ребуси, магичне фигуре, једначине

једне променљиве, линеарне једначине, једначине степена већег од 1,

ирационалне једначине, експоненцијалне једначине и Пелова једначина.

Моје образовање, као и овај рад, није плод само мог труда већ и

залагања других људи, па је ред да се овом приликом захвалим. Кроз

школовање помогли су ми у мом математичком образовању наставници:

Желимир Станојевић, Анђелија Чугуровић и Душан Томић. У стицању нових

знања током основних и мастер студија ми је пуно помогао ментор овог

мастер рада професор др Драгослав Херцег, на чему му захваљујем. Такође

захвалност и професорима др Ђури Паунић и др Ђурђици Такачи, који су

прихватили да буду чланови комисије у оцени мог мастер рада и помогли

својим сугестијама.

Посебну захвалност дугујем мојој породици: брату Немањи, мајци

Гордани и оцу Велемиру, који су много помогли да истрајем, завршим студије

и стекнем звање дипломирани професор математике-мастер.

Хвала свима!

Нови Сад, септембар 2012. Бојана Јанковић

4

1.Увод

1.1 Зашто Диофантове једначине

Од више, веома битних разлога, за избор Диофантових једначина у

основној и средњој школи, за тему овог мастер рада, издвајам следеће:

 Програмски садржаји кроз основно и средњошколско

образовање

Диофантове једначине нису експлицитно садржане у програмима

редовне наставе математике у основној и средњој школи. Међутим, појављују

се често у задацима и проблемима који се решавају, а посебно на

такмичењима вишег нивоа из математике. Скоро на сваком такмичењу

појављују се задаци из алгебре који су везани за проблематику Диофантових

једначина.

 Историјски

Допринос Диофанта математици, а пре свега аритметици, је значајан.

Њега зову „оцем“ аритметике, и сматрам да заслужује да се његов допринос

више изучава и публикује, и да би наставници математике требало да

ученицима приближе Диофантове једначине.

 Значај Диофантових једначина

Диофантове једначине су значајне јер представљају синтезу скоро свих

садржаја теорије бројева (дељивост бројева, прости бројеви, конгруенција ...),

теорије једначина, полинома, неједнакости, математичке логике...

 Методички

Ово је можда и најважнији разлог. Замисао ми је била да на једном

месту обрадим важније Диофантове једначине и да се на основу мог рада

може овладати методама за решавање Диофантових једначина, развити

способност за уочавање, формулисање, анализирање и решавање проблема

који се своде на Диофантове једначине.

Појам Диофантове једначине уводим кроз примере, водећи рачуна о

њиховој разноврсности (по типу, по броју променљивих, по степену...) и

указујући на постојање Диoфантских проблема које треба описати помоћу

Диофантове једначине. Диофантове једначине не обрађујем као наставну

јединицу, већ их представљам као широку лепезу алгебарских проблема који

имају своју методологију решавања. За решавање ових проблема потребно је

познавање Диофантових једначина и начина њиховог решавања.

5

1.2 Диофантове једначине у основној и средњој школи

Као наставни садржаји, Диофантове једначине нису експлицитно

присутне у наставним програмима редовне наставе математике у основној

школи. Међутим, то не значи да проблеми, који се своде на Диофантове

једначине, нису заступљени у настави. Оне су присутне у настави и користе

се као погодан материјал за увежбавања наставних садржаја у скоро свим

разредима. Нигде се не истиче да је дата Диофантова једначина и не

објашњава се њен појам.

Већ од четвртог разреда основне школе Диофантове једначине су

присутне кроз разне математичке ребусе и проблеме везане за дељивост

бројева, просте бројеве, принцип парности, растављање полинома на

чиниоце... У програмима додатне наставе математике у основној школи

Диофантове једначине су практично присутне већ од самог почетка њене

реализације. У оквиру наставне теме „Математички ребуси и магичне

фигуре“, за четврти разред, почиње се са изучавањем Диофантових једначина,

наравно, не помињући сам назив једначина. У петом разреду основне школе

се реализација наставног садржаја из области дељивости и простих бројева,

такође одвија преко Диофантових једначина. Диофантове једначине су

присутне и у шестом разреду, кроз обраду разломака и целих бројева. У

седмом разреду садржаји о Диофантовим једначинама се реализују кроз

проблеме везане за степеновање (коришћење последње цифре), али и у

реализацији растављања полинома (коришћење производа) као и реализација

„дељивости“. Диофантове једначине се први пут експлицитно, као наставна

тема додатне наставе, помињу тек у програмима наставе математике за осми

разред. Ту се обрађују линеарне Диофантове једначине, једноставнији

системи линеарних Диофантових једначина и њихова примена. Затим се

решавају Дифантове једначине коришћењем количника, збира, неједнакости,

дељивости... Друштво математичара Србије, за такмичење ученика осмог

разреда, већ на окружном нивоу, ставља Диофантове једначине у план и

програм. Скоро увек су осмацима на такмичењима задаване Диофантове

једначине.

У програмима додатне наставе математике за гимназије и средње

стручне школе Диофантове једначине су заступљене у првом и другом

разреду. У првом разреду се обрађују сложеније линеарне Диофантове

једначине, јер се подразумева да су елементрна знања ученици донели из

основне школе. Такође се обрађује и примена алгебарских трансформација на

решавање сложенијих нелинеарних Диофантових једначина. У другом

разреду средње школе програм додатне наставе предвиђа реализацију

садржаја о нелинеарним Диофантовим једначинама. Такође се обрађују

неелементарне квадратне Диофантове једначине, једначине које се на њих

своде, као и експоненцијалне Диофантове једначине. Програми за трећи и

четврти разред средње школе не садрже Диофантове једначине. Математичке

гимназије у свом редовном наставном плану и програму имају у другом

разреду средње школе превиђену обраду Диофантових једначина. Такође се

посебно обрађује Пелова једначина.

6

2.Историјски осврт на Диофанта и његову

аритметику

2.1 Увод

У другој половини 20. века Диофантова анализа постала је модерна

због близине са алгебарском геометријом. Изненађујуће, практично ништа

није било записано о Диофанту, чије име је везано за неодређену анализу и

који је један од најинтересантнијих научника антике. Чак и историчари

математике понекад имају погрешан поглед на његов рад. Већина њих мисли

да је он решио специфичан проблем, еквивалентан неодређеној једначини,

неким специфичним методама.

Чак и једноставни Диофантови проблеми из анализе показују да он

није само поставио проблем налажења рационалних решења у неодређеним

једначинама, него је дао и неке генералне методе за њихово добијање. Треба

имати на уму да у античкој математици генереалне методе нису представљане

у „чистој форми”, поред општих проблема. Нпр. када је Архимед израчунао

површину елипсе и запремину сфере, користио је метод интегралних сума и

пут до лимеса без икаквог генералног давања, апстрактног описа овог

проблема. У 17. и 18. веку научници су пажљиво морали да проучавају његове

радове и да их интерпретирају у циљу изучавања генералног метода. Исто

важи и за Диофанта. Његове методе су разумели и претворили у решење

новог проблема Вијет и Ферма.

Док нису откривени диференцијални и интегрални рачун од стране

Њутна и Лајбница, еволуција Диофантових метода продужена је за неколико

векова и преплитала се са теоријом алгебарских функција и са алгебарском

геометријом. Еволуција Диофантових идеја може се пратити све до рада

Поенкареа и Вијета. Ово чини историју Диофантове анализе занимљивом.

Многи историчари науке мисле да се Диофант ограничио на позитивне

рационалне бројеве и да није знао за негативне бројеве. Покушаћемо да

покажемо да то није случај, да је у његовој „Аритметици” продужио домен на

поље рационалних бројева.

Диофант отвара пред нама једнако богат и леп свет аритметике и

алгебре.

7

Базираћемо се на подручје познато као артиметика алгебарских

кривих. Ова област се бави проналажењем рационалних тачака на таквим

кривама и изучавањем њихове структуре.

2.2 Диофант

Диофант представља једну од највећих загонетки у историји науке. Не

знамо када је живео и не знамо његове претходнике који су можда радили у

истој области.

Могао је да живи у било које доба током 500 година! Његову доњу

границу лако је одредити. У његовој књизи о полиномима Диофант често

помиње математичара Хипсиклеса из Александрије који је живео у 2. веку

пне. Са друге стране, Теон Александријски је у коментарима Птоломејевог

"Алмагеста" наводи изводе из Диофантовог рада. Теон је живео средином 4.

века не. Отуда 500 годишњи период.

Француски историчар математике Пол Танери, уредник многих

текстова о Диофанту, покушао је да сузи овај интервал. У Escurial библиотеци

он је пронашао изводе рукописа Михаела Пселуса, византијског учењака 11.

века, који сведочи да " најчитанији Анадоли, који сакупља многе есенцијалне

делове ове науке посвећен је пријатељу Диофанту". Анадоли Александријски

је заправо писао "Увод у аритметику" и изводи из овог рада су наведени из

сачуваних дела од Iamblichus и Eusebius. Анадоли је живео у Александрији

средином 3. века нове ере, прецизније до 270. године, када је постао бискуп

од Лоадицеје . То значи да његово пријатељство са Диофантом мора

претходити овом датуму. Тако, ако су познати Александријски математичар и

Анадолијев пријатељ Диофант исте особе, онда је Диофант морао живети

средином 3. века нове ере.

Диофантова "Аритметика" је посвећена "свештенику Дионису" који је

био заинтересован за аритметику и који ју је проучавао. Док је употреба

Диофантовог имена била релативно честа временом, Танери претпоставља да

је "свештеник Дионис" морао да се тражи међу добро познатим људима тог

периода који су заузимали високе позиције. Испоставило се да је известан

Дионис, који је од 231. био директор Александријске Хришћанске средње

школе, постао градски епископ 247. Због тога је Танери идентификовао овог

Диониса са оним којем се Диофант посветио у свом раду, и тако се долази до

закључка да је Диофант живео средином 3. века не. Али место где је Диофант

живео добро је познато. То је позната Александрија, центар науке за време

Хеленског периода.

После распада велике империје Александра Македонског, Египтом је

владао Птоломеј, један од Александријских генерала, који је „створио” нови

град Александрију као главни град. Овај мултијезички комерцијални центар

је ускоро постао један од најлепших градова антике. Кроз много векова, град

је био научни и културни центар старог света, зато што је Птоломеј основао

8

Музеј, неку врсту Академије Наука, који је привлачио водеће учењаке. Овим

учењацима исплаћиване су плате и њихова дужност је била да медитирају и

учествују у дискусијама са њиховим студентима. То је укључивало сјајну

библиотеку која је у једном тренутку имала 700 000 рукописа. Мало је чудно

што су се научници и млади људи жедни знања сјатили у Александрију да

слушају различите филозофе, да уче астрономију и математику и задубљују се

у студирање различитих рукописа у хладним собама библиотеке.

На прелазу из 3. у 2. век пне. Музеј је сијао са именима Еуклида,

Аполонија, Ератостена и Хипарха. У раним вековима пне. претрпео је

привремени пад, због пада Птоломеја и Римских освајања (Александрија је

освојена 31. године нове ере), али у раним вековима нове ере била је

регенерисана због подршке Римских императора. Од 1. до 3. века научници

као што су Херон, Птоломеј, Диофант радили су овде. Александрија је

наставила да буде центар научног света. У том погледу Рим никада није био

ривал. Једноставно није било таквих ствари у Римској науци.

Како би искористили сво знање о личности Дофанта, цитирамо

следећи чланак: „Путниче! Овде је сахрањен Диофант. Бројеви говоре колико

је био дуг његов живот. Шестину његовог живота чини прекрасно детињство.

Дванаестину чини његова младост. Седмину свог живота Диофант је провео у

браку без деце. Прошло је још пет година док му Химен, бог брака и свадбе,

није подарио сина. Судбина је хтела да син поживи два пута мање од свог оца.

Још четири године поживео је старац у дубоком болу за изгубљеним сином.

Колико је живео Диофант?”

Ако текст преведемо на језик алгебре то би значило следеће:

Бројеви говоре колико је дуг био његов живот Шестину његовог живота чини прекрасно детињство

 

Дванаестину чини његова младост 

Седмину свог живота Диофант је провео у браку без деце

 

Прошло је још пет година док му Химен није подарио сина 5 Судбина је хтела да син поживи два пута мање од свог оца

 

Још четири године поживео је старац

у дубоком болу за изгубљеним сином 4 Ако ово преведемо у алгебарску једначину:

       5    4   Из овога је лако закључити да је Диофант живео 84 године. Да би се

ово савладало није потребно познавати Диофантову уметност. Довољно је

9

знати да решиш једначину првог реда са једном непознатом, нешто што су

египатски писари знали да ураде 2000 године пне.

Најмистичнији део је Диофантов рад. Од 13 књига "Аритметике" до

нас је стигло десет1. Њихов стил и садржај радикално се разликују од

класичних античких дела теорије бројева и алгебре чији модел смо упознали у

Еуклидовим "Елементима" и у његовој "Дати" и из лема Архимеда и

Аполонија. "Аритметика" је несумљиво резултат бројних истраживања који

су нама непознати. Једино можемо да погађамо њихове корене, дивно

богатство и лепоту његових резултата.

Диофантова "Аритметика" је колекција проблема (њих 290) од којих је

сваки са једним или више решења и потребним објашњењем. Отуда, први

утисак је да ово није само теоретски рад. Али темељан преглед показује да су

проблеми посебно селектовани и служе да илуструју одређену методу.

Пратећи правила антике, методе нису наведене у општем облику него се

појављују решења проблема истог типа.

Али првој књизи претходи ауторево "генерално објашњење", на којем

ћу се задржати неко време.

2.3 Бројеви и симболи

Диофант је почео са фундаменталним дефиницијама и са дословним

описом симбола које је користио.

У класичној Грчкој математици, чије је достигнуће комплетирано

Еуклидовим "Елементима", бројеви (` , од ове речи је име добила "аритметика" као наука о бројевима) су значили колекције јединица, то су

били цели бројеви. Разломљене и ирационалне величине нису звали

бројевима. Стриктно говорећи, није било разломака у "Елементима".

Јединицу су гледали као недељиву. Ирационалне величине имају облик

односа несамерљивих величина. Тако, за Грке класичног периода, број који се

сада означава са 2 био је дијагонала квадрата странице један. Тамо није било негативних бројева. Нити је било еквивалената за негативне бројеве. У

Диофантовом случају слика је радикално различита.

Диофант је дао традиционалну дефиницују бројева као колекције

јединица, али када је дошао до свог проблема он је тражио позитивна

рационална решења и сваки од њих је звао бројевима.

1 У уводу Диофант је изнео да је „Аритметика" подељена на 13 књига. Шест од 10 књига

које су дошле до нас су на грчком, а 1973. су пронађене 4 на арапском преводу.

10

Али то није све. Диофант је увео и негативне бројеве: за њих користи

посебан израз !"#$ , изведен од речи !"#%& што значи недостаје, недовољно - тако да термин може бити преведен као "недостатак". Диофант је позитивне

бројеве звао '(%)* , што значи постојање. Множина ове речи означава прави (истинит). Тако, Диофантови термини за знак бројева слични су онима

који су коришћени за време средњег века на Истоку и у Европи.

Највероватније су ови термини врло једноставно преведени са грчког на

арапски, латински, а затим и на различите европске језике.

Многи преводи Диофантовог !"#$ су одузимање. Ово је погрешно. Заправо, за индикацију операције одузимање Диофант је користио термине `+"!"#, или `+)"#,, изведен од речи `+)"&, за одузимање. Када је трансформисао једначине Диофант је често користио стандардан израз "са обе

стране ћемо додати !"#$ ". Диофант је формулисао однос бројева следећим правилом за знакове:

негативан помножен са негативним даје позитиван, а негативан поможен са

позитивним даје негативан, а карактеристичан знак зе негативно је обрнуто и

скраћено слово $, тј. -. Он наставља: „Сада када сам вам објаснио множење степенa подела

таквих израза је јаснија. То ће сада бити добра ствар за почетника да ради

примере који укључују сабирање, одузимање и множење алгебарских израза.

Он мора знати како да дода позитиван или негативан израз са различитим

коефицијентима другом изразу, који може бити позитиван или, једнако,

негативан, и одузет од израза који може бити сума или разлика других

величина које саме могу бити суме или разлике.”

Имајте на уму да, иако је Диофант гледао само позитивна рационална

решења, он је лако користио и негативне бројеве у помоћним

израчунавањима. Тако, сигурно је рећи да је Диофант продужио домен

бројева на поље рационалних, где је једноставно спроводити све четири

алгебарске операције. У "Аритметици" ми се први пут срећемо са буквалним

симболизмом. Диофант је увео нотацију за шест степена , ,  ,  , /,  непознате :

први степен – други степен - Δ12, од Δύναµις, снага трећи степен – Κ12, од Κ́; , куб четврти степен - Δ12Δ, од Δ́,<́, , квадрат квадрата пети степен - ΔΚ12, од Δ́,=́; , квадрат куба шести степен - Κ12Κ, од Κ́;=́; , куб куба

11

Диофант означава константан израз, то је >, симболом М>, то је од прва два слова речи ,́ . Увео је специјалан термин = за негативне експоненте. Тако да је могао да означи првих шест негативних степена. Нпр. @ означавао је са Δ12A, @ са Κ12A.

Тако Диофант има симболизам за означавање позитивних и негативних

степена једне непознате, укључујући шест степена. Он није увео симболе за

другу променљиву, што у великој мери компликује проблем. Понекад, у

оквиру једног проблема означава више од једног непознатог броја. У додатку ових симбола, Диофант користи симбол □ за неодређене квадрате.

Нпр. ако је сума производа два броја и једног од њих квадрат онда се словима

означава са □.

Затим је Диофант дао правило за множење B са  за позитивно и негативно Cи  (|C| E 6, || E 6).

За једнаке знаке Диофант користи симбол `Ǵ прва два слова речи `Ǵ , што значи једнако. Све ово му омогућава да једначину напише у словној форми. Нпр. он је писао једначину 202  13 K 10  13, прецизније  · 202  > · 13 K  · 10  > · 13 као M12G;NNNN°P2 -  Q̀ ŔGS>P2 .

Грци су користили слова алфабета са цртама да означе бројеве. Првих

девет слова N, ;Q, … , 'Q означавају бројеве од 1 до 9. Следећих девет представљају бројеве од 10 до 90, а последњих девет представљају хиљаде

(Грчки алфабет има 24 слова, али су за означавање бројева увели и три стара

слова). Тако нпр. ;Q  2, G2  200, G;NNNN  202, PQ  3,  Q  10, P2  13. У Уводу Диофант је формулисао правило за трансформацију једначина

које имају једнаке изразе са обе стране једнакости и редукцију на њима

еквивалентне. Касније, ова два правила су постала позната под арабијским

именима al-jabr и al-muqabala.

Видимо да када је у питању именовање и означавање степена

непознате Диофант, као и ми, користи геометријске изразе „квадрат” и „куб”.

Када решава једначину он мирно са обе стране једнакости додаје квадрат или

куб, тј. он их разматра као бројеве не као геметријске слике. Такође,

пронашао је да је могуће увести „квадрат квадрата”, „квадрат куба”, итд. без

било какве помисли да их везује за вишедимензионе просторе.

Тако се ми овде сусрећемо са комплетно новом конструкцијом алгебре,

базиране на аритметици, а не на геометрији као у случају Еуклида. Ово је

почетак конструкције словне алгебре која је пронашла сопствени језик у раду

Диофанта.

12

2.4 Диофантове једначине

Оно што највише изненађује у вези са Диофантовом „Аритметиком”

није само то што Диофант користи сасвим нов језик и његово смело

проширење домена бројева већ и проблеми које је постављао и решавао.

Да бисмо разумели суштину проблема и истражили Диофантове

методе морамо почети пружањем неких информација из алгебарске

геометрије и тeорије неодређених једначина. У садашњости, проблем решења

неодређених једначина формулисан је на следећи начин: имамо Cполинома са непознатих, C V , WX, , … , Y, WX, , … , Y, … , WBX, , … , Y чији су коефицијенти из неког поља Z, наћи скуп M(ZY свих рационалних решења система

WX, , … , Y  0, WX, , … , Y  0, (1) ...

WBX, , … , Y  0, и одредити њихову алгебарску структуру. Решење XX>Y, X>Y, … , X>YY зове се рационалан ако су сви [X>Y \ Z.

Наравно, скуп M(Z) зависи од поља Z. Најважнији случај за теорију бројева је када је Z  ] и случај када је Z поље остатака по модулу ^, ^ је прост број. Диофант је први размотрио овај случај.

Ограничићемо се на разматрање Диофантовог проблема који може

бити редукован на једну једначину са две непознате, то је случај C=1,   2: WX, Y  0 (2) Ова једначина одређује алгебарску криву Γ у равни `. Ми ћемо

рационално решење (2) звати рационална тачка на Γ. Прво, неопходно је дати неку класификацију једначина облика (2).

Најприродније, и историјски најраније, је класификација на основу степена.

Међутим, са гледишта Диофантове анализе2 класификација по степенима се

испоставила као прилично груба (сирова). Пример ће разјаснити ову тврдњу.

Размотримо круг a:     1 и произвољну праву са рационалним коефицијентима, рецимо c:   0. Показаћемо да постоји „1-1”

2 Ово је име гране математике која је настала из проблема решења неодређене једначине

13

кореспонденција између рационалних тачака ове две криве. Један начин да се

ово покаже је следећи: фиксирамо тачку dX0, K1Y на a и придружимо свакој рационалној тачки e на c тачку e на a у којој права de сече a (слика 1). Координате тачке e су такође рационалне. Очигледно, могуће је овакву кореспонденцију између рационалних тачака успоставити са било којим

конусним пресеком са рационалном тачком на било којој правој. Ово показује

да се са гледишта Диофантове анализе круг a и права c не разликују. Њихови одговарајући скупови рационалних тачака су еквивалентни без

обзира што су њихови степени различити.

Слика 1

Лепша класфикација алгебарских кривих је на основу рода. Ова

класификација је настала у 19. веку од стране Римана и Абела и узима у обзир

појединачне тачке на кривој Γ. Претпоставићемо да је полином у једначини (2), односно крива Γ,

несводљив у пољу рационалних бројева, тј. не може бити написан као

производ полинома са рационалним коефицијентима. Тангента на Γ у тачки fX>, >Y је дата са  K >  ZX K >Y где је Z  K ghXij,kjYglXij,kjY. Ако су Wi или Wk различити од нуле у f, онда је коефицијент Z тангенте коначна вредност (ако су WkX>, >Y  0 и WiX>, >Y n 0, онда је Z  ∞ и тангента у f је вертикална). Ако су оба парцијална извода једнака 0, онда је тачка сингуларна

тачка. Најједноставније сингуларне тачке су двојне тачке, у којој барем један

парцијални извод није 0. Постоје двојне тачке у којима крива има две

различите тангенте, али и много комплексније сингуларне тачке .

14

Алгебарске криве могу имати највише коначно много сингуларних

тачака. Заиста, нека је WX, Y  0 једначина криве, где је дати полином несводљив над пољем рационалних бројева. Координате сингуларних тачака

морају задовољавати дату једначину, као и WiX, Y  0, WkX, Y  0. Али систем ове три алгебарске једначине може имати само коначно много

рационалних решења.

Сада ћемо дефинисати род раванских кривих чије су једине сингуларне

тачке двојне тачке. Нека је Γ просторна крива са p двојних тачака (p q 0). Тада је род r од Γ дефинисан следећом формулом

r  X@YX@Y K p где је  степен криве Γ. Могуће је показати да је r q 0.

Ако је Γ права или крива другог реда, онда је r  0, тј. криве су истог рода. Криве трећег реда имају род 1 ако немају двојну тачку, и род 0 ако имају

једну двојну тачку.

Класификација по роду не узима у обзир аритметичка својства криве.

Нпр. криве     1 и     3 имају род 0, али прва има коначно много рационалних тачака, а друга нема. Да бисмо пронашли класификацију

кривих која је адекватна гледишту Диофантове анализе када решавамо

једначину (2) ми често уводимо смену променљивих

  +Xs, tY,   $Xs, tY (3) где су + и $ рационалне функције, тј. количници полинома. Заменом

(3) у (2) добијамо

uXs, tY  0 (4) Ове једначине детерминишу неку криву Γ`. Да би се успоставила

кореспонденција између рационалних тачака на кривама Γ и Γ` потребно и довољно је да функције + и $ имају рационалне коефицијенте и да једначина (3) буде инвертибилна, то значи да је могуће да нађемо рационалне

функције + и $ са рационалним коефицијентима такве да важи s  +X, Y и t  $X, Y (3`) Ако је могуће успоставити кореспонденцију између кривих Γ и Γ`

помоћу формула (3) и (3`) са рационалним коефицијентима, тада кажемо да су

те две криве бирационално еквивалентне.

Са гледишта Диофантове анализе еквивалентне криве имају „исти

положај”. Њихови степени не морају бити исти. Али могуће је показати да две

бирационално еквивалентне криве имају исти род. Обрнута тврдња је

15

погрешна, тј. криве са истим родом не морају бити бирационално

еквивалентне. (Пример     1 и     3) Тако су криве истог рода подељене у класе еквиваленције

бирационалних кривих. Пун значај овог концепта долази на свет у раду

Поенкареа који је направио класу бирационалних трансформација засновану

на класификацији и истраживању проблема Диофантове анализе.

Приметићемо чињеницу која ће нам бити важна убудуће: ако је Γ кубна крива са бар једном рационалном тачком, тада је могуће редуковати

њену једначину бирационалном трансформацијом у једначину облика

      , где су  и  рационални бројеви. Надаље претпоставићемо да је Γ дата у овом трансформисаном облику.

2.4.1Неодређене квадратне једначине

Пре Диофанта разматрала су се два типа квадратних једначина, наиме:      и  K   1. Првом од ових су се бавили Вавилонци. Формула за њено решење је   Z K 1,   2Z,  Z  1 које су пронашли питагорејци. За   2 сва цела решења друге од ових једначина су пронађена у Еуклидовим „Елементима”. Архимед, који поставља пре

Ератостена добро познат „проблем говеда”, је вероватно знао њено решење за

произвољно неквадратно . У II књизи Диофантове „Аритметике” он посматра различите

неодређене једначине другог реда и основни пратећи резултат: неодређене

једначне другог реда са две непознате са или без рационалних решења или

бесконачно много. У каснијим случајевима сва решења су представљена као

рационалне функције једног параметра   +XZY,   $XZY, где су + и $ рационалне функције.

Да бисмо ово показали прво ћемо навести 8. проблем II књиге:

„Поделити дати квадрат на суму два квадрата. ”

Конкретно Диофант је рекао: „Поделити 16 на суму два квадрата.”

Нека је прва сума  , а друга 16 K . Друга треба да буде квадрат, нека је то квадрат броја 2 K 4. То је 4  16 K 16 , ставио сам да је овај израз једнак 16 K . Обема странама сам додао   16 и K16. На овај начин сам добио 5  16 , дакле   / . Тако је један број // , а други  / . Сума ових бројева је 16 и сваки суманд је квадрат.

Сада ћемо покушати да изложимо Диофантов метод у „чистој форми”.

Тако разматрамо једначину

16

     (4) која представља круг са центром у нули. Једно од њених решења је X0, KY. Диофант је направио смену:    ,   Z K . (5) Како он није имао симбол за произвољно Z, ставио је да је 2, али

напомиње да би требало да је облика „квадрат из неког умношка броја  умањеног за корен из 16”, а то је у нашим симболима квадрат од Z K 4.

У општем смислу, замена за (5) је цртање праве   Z K  кроз X0, KY. Ова права сече круг (4) у другој тачки чије координате су рационалне функције од Z. Заиста,

  XZ K Y  и

  vwwxy ,   Z K    w x@

wxy .

Тако свакој рационалној вредности Z одговара само једна рационална тачка криве (4). Једноставно је видети да, обрнуто, ако спојимо било коју

рационалну тачку на кривој (4) са X0, KY добијамо праву са рационалним нагибом.

Решење деветог проблема у II књизи чине Диофантов метод још

једноставнијим. Формулисао је проблем на следећи начин: „Поделити дати

број који је сума два квадрата у суму друга два квадрата. ”

Диофант је дао број 13 који је једнак суми бројева 4 и 9. Тако је једно

решење већ познато то је (2,-3). Да би нашао друго решење, Диофант је

ставио за први број    2, а за други   2 K 3. Другим речима, повукао је праву кроз тачку (2,-3) и забележио, као и раније, да се уместо множитеља 2

може узети било који други број.

Вреди напоменути да Диофант даје као познату тачку, не тачку са

позитивним координатама, већ тачку са негативним координатама. То

одговара негативном решењу. Дакле, у помоћним прорачунима Диофант је

радио са негативним бројевима, иако је свако коначно решење увек било

рационално и позитивно.

Диофант даје сличну процедуру у проблемима 16, 17 и осталим

проблемима из II књиге.

Лако је видети да је Диофантов метод доста уопштен и да даје

могућност проналажења свих рационалних тачака на квадратној кривој са

најмање једном рационалном тачком. Заиста, посматрањем квадратне криве

17

WX, Y  0 са две променљиве са рационалном тачком X, Y пратећи Диофанта уводимо смену

    ,     Z и добијамо

WX  ,   Z Y  WX, Y  dX, Y  Z eX, Y  aX, , ZY  0. Како је WX, Y  0 следи да је

 K zXv,{Yyw|Xv,{Y}Xv,{,wY . Тако за свако рационално Z добијамо само једно рационално решење.

Ако је дата једначина облика

       (6) тада је Диофант благо мењао свој метод и стављао     C. Па је тада   ~@BxvB@{.

Покушаћемо да објаснимо геометријски смисао ове смене. Да бисмо то

урадили пребацићемо се на хомогене координате, тј. уводимо смену   € ,  € па једначина WX, Y  0 постаје ΦXs, t, Y  0,

где је ΦXs, t, Y полином по s, t, . Тако, користећи хомогене коориднате једначина (6) прелази у једначину

t  s  s   . Његове рационалне тачке у бесконачности су X1, , 0Y и X1, K, 0Y. Повућићемо праву кроз прву тачку. Уопштена једначина праве у хомогеним

координатама је

ds  et  a  0. X1, , 0Y је на правој

d · 1  e ·   a · 0  0. Стога можемо ставити

d  Z, e  KZ, a  ZC , где је C произвољно.

18

Дакле, једначина праве је s K t  C  0 или у терминима афиних координата     C. Ову смену је Диофант користио. Таква смена еквивалентна је цртању праве кроз рационалне тачке у бесконачности на

кривој (6).

Не може се тврдити да је Диофант знао тачке у бесконачности, али је

свакако користио еквивалентне аргументе. У историји математике има пуно

примера када су основне чињенице теорије откривене пре теорије и њених

фундаменталних концепата. Тако је било и са Диофантовом Аритметиком.

Овде су нека разматрања алгебарске геометрије развијена и истражена у

оквиру чисте алгебре и теорије бројева, без икакве геометријске

интерпретације.

Питамо се да ли је Диофант био свестан да његов проблем има

бесконачно много решења или је он у ствари био задовољан налажењем

једног рационалног решења? У другој књизи Диофант ништа не каже о овом

питању. Али у 19. проблему III књиге он је написао „и ми смо сада научили

како можемо репрезентовати квадрат као суму квадрата на бесконачно много

начина”.

Коначно, у две леме повезане са проблемом у VI књизи Диофант је

доказао следеће: Ако неодређена једначина      има рационално решење X>, >Y, онда она има и бесконачно много решења. Прва лема се односи на 12. проблем и наводи да: „Када су дата два броја чија је сума

квадрат, онда су квадрати нађени на бесконачно много начина такви да сваки

од њих, када га помножимо са једним од датих бројева и додамо другом, даје

квадрат.”

Другим речима, ако је у горњој једначини  позитивно и    је квадрат, онда једначина има бесконачно много решења.

Али који је значај услова да је    квадрат? То није тешко видети. Ако је     C, онда наша једначина има рационално решење X1, CY. Да би доказао тврдњу Диофант је ставио

   1,    и добио једначину

   2  C  , чији је константни терм квадрат. Тако је он могао да нађе преостала

рационална решења користећи уобичајени метод, тј. стављајући   Z K C. Онда добија  2 vywBwx@v . Сада непознате  и  могу бити изражене као рационалне функције једног параметра. Током својих дискусија Диофант је

користио вредности   3,   6, па је C  9, али његов метод доказивања је генералан (општи).

19

Друга лема се односи на 15. проблем VI књиге и има много општији

карактер: „Дата су два броја. Ако одузмемо један од њих од производа

квадрата неког броја и другог од њих, онда је могуће наћи други квадрат, већи

од првог, који даје сличан исход.”

Другим речима, ако једначина

 K    X „ 0Y има рационално решење X^, …Y, онда има и веће решење X^, …Y. Почевши са X^, …Y, може се добити веће решење X^, …Y. Овде веће значи да је ^ V ^ V ^ V † и … V … V … V †.

Диофант врши доказ за   3,   11. Његово прво решење је (5,8). Користећи замену    ^ X^  5Y, добија једначину

   2^  …  , коју решава методом из претходне леме.

У обе леме Диофантов метод доказивања, иако је илустрован

примерима, је потпуно генералан.

Видимо да Диофант није само открио теорему са почетка поглавља

него је и доказао у пуној општости.

Напомињемо да се Диофантов метод за решавање неодређене

једначине облика        поклапа са такозваном „Ојлеровом заменом”.

2.4.2Неодређене кубне једначине

У четвртој књизи Диофант је разматрао неодређене кубне и квадратне

једначине. Овде су ствари далеко више обухваћене (уплетене). Чак иако кубна

крива има рационалне тачке њене координате, у општем случају, не могу бити

изражене као рационалне функције једног параметра. Међутим, ако знамо

једну од две рационалне тачке на кубној кривој, онда можемо наћи додатну

рационалну тачку на њој. Заиста, на произвољној правој која сече кубну

криву у три тачке чије координате могу бити одређене из кубне једначине

тако што елиминишемо  из једначине криве Γ, W X, Y  0 и праве. Ако су два корена резултујуће једначине рационална, онда је и трећи. Ово запажање

повлачи следеће две процедуре:

Ако је f рационалана тачка на кривој Γ, онда у f цртамо тангенту на криву Γ са рационалним нагибом Z која ће сећи Γ у додатној рационалној тачки. (Заиста, решавајући једначину криве и тангенте добијамо кубну

једначину са дуплим рационалним кореном. Ово значи да је и трећи корен

такође рационалан.)

20

Ако су f, f рационалне тачке на Γ, онда права ff сече Γ у додатној рационалној тачки.

Ове две процедуре представљају Диофантове методе тангенте и методе

сечице. Да бисмо оправдали име вратићемо се на његов проблем.

Проблем 24. у IV књизи: „Поделити дати број на два броја таква да

њихов производ представља куб минус његов корен.”

Дат је број 6. Стављам да је први број . Онда је други 6 K . Услов који треба да буде задовољен је

   K . Али   6 K . Овај израз треба да буде једнак са  K . Тако, ставим да је    K 1,  је произвољно, нпр.   2. Сада имам

X2 K 1Y K X2 K 1Y  8 K 12  4. Сада овај израз треба да буде једнак са 6 K . Ако су коефицијенти уз  у оба израза једнаки,  ће бити рационалан. 4 настаје од 3 · 2 K 2, али 6 долази из података. Морам детерминисати  тако да је 3–   6. Ставим

  3 K 1 и добијам

 K   27 K 27  6. Овај израз мора бити једнак са 6 K . Одатле следи да је   . Па је    ,     .

Сада ћу покушати да прикажем Диофантов метод у „чистој форми”.

Нека са  означимо дати број и  и  K  потребне бројеве. Знамо да је X K Y   K  (7) Једно од рационалних решења је (0,-1). Пратећи Диофанта, кроз ову

тачку прођемо са правом   Z K 1 (*) (Диофант је ставио Z  2) и тражимо њен пресек са кривом (7):  K   Z  K 3Z  2Z. За , да би био рационалан, довољно је ставити 2Z   (**) што је чинио и Диофант. Тада добијамо   wx@w‹  2 v

x@ v‹ .

Да бисмо објаснили значај услова (**) за праву (*) применићемо

Диофантов метод на произвољну кубну једначину са две непознате W X, Y 0 са рационалним решењем (, ): W X, Y  0. Кроз fX, Y цртамо праву  K   ZX K Y (8)

21

или

    ,     Z (9) Тада

W X  ,   Z Y  W X, Y  dX, Y  Z eX, Y  aX, , ZY  ŒX, , ZY  0. Али W X, Y  0 и ако ставимо dX, Y  ZeX, Y  0 добијамо Z  K zXv,{Y|Xv,{Y  K 

Ž‹ŽhŽ‹Žl  XfY, тј. нагиб праве (8) мора бити изабран да је тангента

криве W X, Y  0 у тачки fX, Y. Тако овде Диофант користи метод тангенте.

Диофант је користио исти метод да реши 18. проблем у VI књизи, као

и, врло вероватно проблем      K  . У 26. проблему у IV књизи користи се метод сечице. Проблем гласи:

„Наћи два броја чији производ увећан за неки од њих даје куб.”

Ставим    , где је   2, па је   8. Ставим    K 1. Онда је један услов задовољен, за    је куб. Остаје да се испуни услов да је    такође куб. Али     8   K 8 K 1. Ставим да је овај израз једнак са X2 K 1Y , тј. 8 K 12  6 K 1. Тада је     . Али тада је    ,   ‘.

Пратећи Диофанта, прву непознату означимо са  , а другу са  K 1. Онда је први услов проблема задовољен, а за други добијамо

    K   K 1   (10) Диофант је ставио замену    K 1 и добио   v‹y vy vx. Размотрићемо неке детаље методе које је Диофант користио у овом

случају. Једно од рационалних решења (10) је (0,-1). Цртамо праву   Z K1 кроз ову тачку и нађемо тачку пресека са (10): X K Z Y  X1  3ZY K X  3ZY  0.

У претходном случају Диофант је ставио да је коефицијент уз  нула. Овде је ставио да је коефицијент уз  нула и добио  K Z  0, Z   .

Шта је геометријско значење овог корака? Да бисмо одговорили на ово

питање написаћемо (10) у хомогеним координатама. Стављајући   € ,   € добијамо

22

 s  s K  s  K  t (10`) Видимо да ова крива има рационалне тачке fX0, K1,1Y и fX1, , 0Y

које детерминишу праву t  s K . Пресек (10`) и ове праве даје трећу рационалну тачку. Тако, у овом случају, Диофант користи метод сечице када

је једно рационално решење коначно, а друго је тачка у бесконачности.

Диофант је методе сечице и тангенте користио и у другим проблемима

у четвртој и шестој књизи.

2.5 Диофант и теорија бројева

„Аритметика” која је дошла до нас не садржи истраживања из теорије

бројева у строгом смислу те речи. Ипак, када наводи проблем или га решава,

Диофант понекад укључује услове под којима је она решива или нерешива

или примећује да број решења добијен у процесу не може бити представљен

као сума два квадрата. Овако је теорија бројева откривена у „Аритметици”.

Судећи по Диофантовим опажањима он је разматрао ове и сличне проблеме у

специјалној књизи названој „Поризми”, која није стигла до нас. Тако, најбоље

што можемо да учинимо да се формира мишњеље о Диофантовом знању о

теорији бројева се ослања на опажањима и ограничењима пронађеним у

„Аритметици”. Почињемо са 19. проблемом у трећој књизи: „Наћи четири

броја таква да квадрат њихове суме неки од њих даје квадрат.” „Како у сваком правоуглом троуглу, ако додамо или одузмемо на

квадрат хипотенузе дупли производ страна добијамо квадрат, прво сам

посматрао четири правоугла троугла са истом хипотенузом. Ово је исто као

подела квадрата на суму два квадрата на четири начина, а знамо бесконачно

много начина да поделимо квадрат на суму два квадрата.”

Узмимо два правоугла троугла са страницама 3, 4 и 5 и 5, 12 и 13.

Помножите први са хипотенузом другог и обрнуто. Тада ће први правоугли

троугао бити са страницама 39, 52 и 65, а други 25, 60 и 65. Ово су два

троугла са једнаким хипотенузама.

65 може бити представљен као сума два квадрата на два начина, 16+49

и 1+64. То је зато јер је 65  13 · 5, а сваки од ових бројева је сума два квдрата (13=4+9, а 5=1+4).

Сада корени из 49 и 16 су 7 и 4 и формирам од два броја 7 и 4

правоугли троугао са страницама 33, 56 и 65.

Слично, корени из 64 и 1 су 8 и 1 и формирамо други правоугли

троугао са страницама 16, 63 и 65. Тако смо добили четири правоугла троугла

са истим хипотенузама. Сада се враћамо на првобитан проблем. Ставим да је

сума четири броја једнака 65 , они формирају четири површине сваког од троуглова, помножим са  и у овом случају добијем   4056,  

23

3000,   3696,   2016. Збир ова четири броја је 12768 и то је једнако 65. Ово даје да је   /’. Па је

  17136600 · 1,

  12675000 · 1,

  15615600 · 1,

  85176 · 1 са   163021824. Овај проблем је вредан пажње у многим погледима. Овде Диофант

први пут прича о троугловима „у најмањим бројевима” и формирању сваког

троугла из „два броја”. Наравно, овде је проблем наћи рационално решење

неодређене једначине     , о којој смо дискутовали. Најопштија формулација овог решења дата је у Еуклидовим „Елементима”. Те формуле

су

 ^  …,   2^…,   ^ K …. Оне дају сва примитивна решења једначина, за узајамно просте ^ и …. Ова решења се могу добити из истог метода које је Диофант користио у 8.

Проблему II књиге да подели дати квадрат на суму два квадрата.

Штавише, овај проблем садржи тврдњу да је производ два цела броја,

где је сваки од њих сума два квадрата, представљив као сума два квадрата у

најмање два начина. Уопштено, ако је ^     и …    p,

онда је

^…  X  pY  p K   Xp  Y  X K pY. То је било у напоменама у вези са овим проблемом где је Ферма рекао

своју чувену тврдњу да се прост број облика 4  1 може представити као сума два квадрата у само два начина. На том месту он је дао и метод за

детерминисање у колико начина се дати број може представити као збир два

квадрата.

Да ли је Диофант знао ову пропозицију? Да бисмо одговорили на ово

питање размотрићемо други проблем, опремљен са ограничењем који даје

репрезентацију броја као суме два квадрата. Ово је 9. проблем у V књизи:

24

„Поделити јединицу на два дела тако да, ако се исти број дода сваком делу

резултат ће бити квадрат.”

Изјава је праћена ограничењем које мора бити наметнуто од датог

броја за проблем да би био решен. На срећу, текст прате речи: „Дати број не

сме бити непаран и удвостручен број плус један,...”. Текст проблема је био:

„Додати на сваки део 6 тако да резултат буде квадрат.”

Како желимо да поделимо јединицу тако да након додавања 6 сваком

делу добијемо квадрат, сума квадрата ће бити 13. Како 13 мора бити подељен

на два квадрата где је сваки већи од 6.

Ако раставим 13 на два квадрата чија је разлика мања од 1, проблем је

решен. Поделим 13 на два дела и добијем 6 , и питам се који разломак повећан за 6  је квадрат. Помножим са 4. Тако, тражим квадрат разломка који када му додам 26 даје квадрат. Тако 26  ix је квадрат, отуда је такође 26  1 квадрат. Ставим 26  1  X5  1Y и добијем   10. Тако је   100, ix  >>. Ово значи да 26 додам >>, тј. да 6  додам  >>, што је X/>Y.

Па ако је неопходно извадити корен из сваког од квадрата, чија је сума

13, а блиска / >. И питам који број одузети од 3 и додат 2 ће дати толико,

наиме / >.

Тако формирам квадрате од 11  2 и 3 K 9. Њихова сума треба да буде 13. Отуда 202 K 10  13  13.

Ово значи да је корен једног квадрата / >, а другог

/’ >. И ако од сваког

квадрата одузмем 6, тада добијам делове јединице / /’

>> и ’ >>, и јасно је да сваки заједно са 6 даје квадрате.

Диофант је када је решавао овај проблем користио нове интересантне

методе на које су историчари математике скренули мало пажњу. Једначина   1   X  26Y коју је он посматрао је данас позната као Фермаова једначина. Она је била јако интересантна у 17. и 18. веку. У каснијим

проблемима Диофант се бавио процедуром проналажења квадрата дате суме

од којих свака мора да задовољава неједнакост апроксимационе процедуре. У

основи, проблем се бави представљањем подела са апроксимацијом √26. Нећемо истраживати многе проблеме те области које су повезане са овим

проблемом и фокусираћемо се на Диофантова ограничења. Услове проблема

можемо написати као систем једначина:

    1,     s,

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 89 str.
preuzmi dokument