Frekvencijske Metode-OSU, Beleške' predlog System Engineering
nikola1337
nikola1337

Frekvencijske Metode-OSU, Beleške' predlog System Engineering

21 str.
1broj preuzimanja
120broj poseta
100%od1broj ocena
Opis
Zadaci sa predmeta Osnovi Automatskog Upravljanja sa ETF-a vezani sa frekvencijsko ispitivanje sistema (Nikvistov kriterijum....)
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 21
ovo je samo pregled
3 prikazano na 21 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 21 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 21 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 21 str.

ZADATAK 5.1.

Konstruisati asimptotske logaritamske dijagrame slabljenja i faze sistema funkcije prenosa u otvorenoj povratnoj sprezi:

a) ( ) 1

210 1 1

0.5 4

s

W s s ss

 +   =

  + +     

; b) ( ) ( )2 2

10 1

1 4 4

s W s

s ss

+ =    + +     

Rešenje:a) Shodno pravilima za crtanje Bodeovih frekvencijskih karakteristika sistema iznetih u uvodnom teorijskom delu ovog poglavlja, karakteristike datog sistema su prikazane na slikama 5.1.a Koordinate tačaka na asimptotskoj amplitudskoj karakteristici sistema se mogu odrediti i analitičkim postupkom. Ako označimo sa y1 linearni segment koji sadrži tačke A i B, znajući da je to segment od -20 dB/dekadi koji preseca ω osu u tački 10 ( toliko iznosi brzinska konstanta za ovaj sistem ) možemo napisati da analitički oblik ovog segmenta, gde su ordinate izražene u decibelima, glasi:

( )1 1020 log 10y ωω  = −    

Na osnovu toga se jednostavno određuju ordinate tačaka A i B:

( )

( )

1 10

1 10

0.10.1 20log 40 10 0.50.5 20log 26.02 10

y dB

y dB

 = − =     = − =   

-20

-10

0

10

20

30

40

0.1 1 10 ω

|W(j )|ω dB

A

B

C D

A(0.1,40); B(0.5,26); C(2,1.9); D(4,-4

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0.1 1 10 ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.1.a

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 128

Analogno tome, ako sa y2 označimo linearni segment koji sadrži tačke B i C, znajući da on sadrži tačku B čije smo koordinate već sračunali, i da je njegov nagib -40dB/dekadi, možemo napisati analitički oblik ovog segmenta: ( )2 1026.02 40log 0.5y dB

ωω  = −    

Shodno tome se ordinata tačke C lako sračunava:

( )2 10 22 26.02 40log 1.94

0.5 y dB dB = − = 

 

Ovakvim postupkom je moguće odrediti koordinate bilo koje tačke koja leži na asimptotskoj amplitudskoj frekvencijskoj karakteristici sistema

b) Na slikama 5.1.b su prikazane Bodeove frekvencijske karakteristike zadatog sistema.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

0.1 1 10 ω

|W(j )|ω dB

A

B

C

A(0.1,60); B(1,20); C(4,8

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

0.1 1 10 ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.1.b

ZADATAK 5.2:

Konstruisati logaritamske dijagrame slabljenja i faze sistema funkcije prenosa u otvorenoj povratnoj sprezi za sistem funkcije prenosa ( ) 2

1 1 2 5

W s s ss

=   + +     

. Sa dijagrama odrediti: presečnu učestanost pojačanja ω1,

pretek faze Φ pf , presečnu učestanost faze ωπ i pretek pojačanja d. Da li su ispunjeni uslovi stabilnosti sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi?

Rešenje:

Na slici 5.2. su prikazani asimptotska karakteristika slabljenja i fazna karakteristika.

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 129

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0.1 1 10 ω

|W(j )|ω dB

A

B

C

A(0.1,26); B(2,0); C(5,-15.

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

0.1 1 10 ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.2.

Sa amplitudskog dijagrama se očitava vrednost presečne učestanosti pojačanja ω1 2= rad s/ a na osnovu nje se sračunava pretek faze ( ){ }1180 arg 23.19o opf W jωΦ = + = . Prilikom određivanja presečne učestanosti faze neophodno je rešiti transcedentnu jednačinu:

( )ϕ ω =− −       −

      = −90 2 5 180

0 0arctan arctan ω ω

Sa fazne frekvencijske karakteristike se uočava da se rešenje nalazi u opsegu ( )3 4rad s rad s/ , / . Jedan od jednostavnih načina da se ovo rešenje preciznije odredi jeste formiranje tabele u kojoj će se tabelirati vrednosti fazne karakteristike za učestanosti iz ovog opsega:

[ ]ω rad s/ 3 4 3.5 3.25 3.125 3.1875 3.16 ( )[ ]ϕ ω 0 -177.27 -192.09 -185.24 -181.42 -179.39 -180.41 -179.96

Na osnovu tabele se dovoljno precizno određuje presečna učestanost faze ωπ = 3 16. /rad s a na osnovu nje se pretek pojačanja sračunava, uzimajući u obzir analitički oblik segmenta koji sadrži učestanost ω ωπ= :

( ) [ ] ( )y d dB y dBω ω ωπ= −       ⇒ = − =

  

   =40 2 40

316 2 7 95log log .

.

S obzirom da je u pitanju sistem čija je funkcija povratnog prenosa stabilna i minimalne faze, dovoljan i potreban uslov za stabilnost sistema u zatvorenoj sprezi je da je pretek faze, odnosno pojačanja, pozitivan.

ZADATAK 5.3: Polazeći od logaritamskih dijagrama slabljenja i faze sistema funkcija povratnog prenosa

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 22 2 4 / 2 1 4 / 2 1

; 11

s s W s W s

ss

+ + = =

−+

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 130

dati uporednu analizu dinamičkih performansi sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Rešenje: Na slici 5.3.a data je amplitudska karakteristika (identična je za oba sistema) dok su na slikama 5.3.b i 5.3.c date njihove fazne karakteristike:

( )( ) ( )1arg arctg 2arctg ;2W j ωω ω = −   

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]arg arctg arctg arctg arctg arctg arctg

arctg

W j2 2 1 2

2

ω ω

ω ω ω

ω π ω

π ω

=     − −

−     = 

   − − −

= − −    

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.1 1 10 ω

|W(j )|ω dB

A B

C

A(0.1,12); B(1,12); C(2,0

Slika 5.3.a

-90

-60

-30

0

0.1 1 10 ω

arg(W (j ))ω1

Slika 5.3.b

-180

-150

-120

-90

0.1 1 10 ω

arg(W (j ))ω2

Slika 5.3.c

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 131

Jasno je da se fazne karakteristike ovih sistema razlikuju, jer pol koji se nalazi u desnoj poluravni s ravni se u odnosu na fazu ponaša kao nula u levoj poluravni, ali unosi i dodatni fazni pomeraj od −π . U cilju sagledavanja karakteristika sistema kao što su presečne učestanosti pojačanja i faze, kao i pretek faze i pretek pojačanja, uputno je skicirati Nikvistove krive ovih sistema (slika 5.3.d). Stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa neminimalne faze ( ima bar jednu nulu u desnoj poluravni s-ravni) ili ima najmanje jedan pol u desnoj poluravni s-ravni (nestabilan sistem u otvorenoj sprezi), ne može se određivati na osnovu

Bode-ovih frekvencijskih karakteristika, već je neophodno primeniti neki od kriterijuma stabilnosti. Zanimljivo je primetiti da se primenom Nikvistovog kriterijuma za krive prikazane slikom 5.3.d zaključuje da su oba sistema stabilna i da su istovremeno preteci faze za oba sistema pozitivna, što jesu saglasni rezultati. Međutim, nije uvek tako za sisteme koji su u otvorenoj sprezi neminimalne faze ili nestabilni, pretek faze može biti pozitivan iako je sistem u zatvorenoj sprezi nestabilan ili obrnuto.

ZADATAK 5.4.

Funkcija povratnog prenosa sistema je ( ) ( ) ( )( )2

4500 1

3 10

s W s

s s s

− =

+ +

a) Odrediti presečne učestanosti pojačanja i faze ( ω ωπ1 i ), propusni opseg sistema ω0, kao i pretek faze Φ pf i pretek pojačanja d. b) Koliko je pojačanje potrebno uvesti u sistem da bi pretek faze bio Φ pf

o= 20 ? c) Koliko je pojačanje potrebno uvesti da bi pretek pojačanja bio d = 10dB? d) Na osnovu amplitudske i fazne karakteristike skicirati Nikvistove dijagrame za sisteme pod a) i b). Da li se određujući odgovarajuća pojačanja u tačkama b) i c) obezbeđuju uslovi za stabilnost sistema? e) Ako se na ulaz sistema pod b) dovede signal ( ) ( )( )1 0.2r t h t t= + odrediti vrednost signala greške u stacionarnom stanju ( )e ∞ ( sa h(t) je označen jedinični

odskočni signal ).

Rešenje:

a) Na slici 5.4.a su prikazane frekvencijske karakteristike datog sistema. Sa njih se očitavaju sledeći parametri ω1 16 5= . /rad s, Φ pf

o= −13 5. , ωπ = 13 5. /rad s, d dB= −5 2. . Kako učestanost propusnog opsega nije definisana za nestabilne sisteme, a o stabilnosti ovog sistema još nije ništa zaključeno ( na osnovu preteka faze i preteka pojačanja se i ne može zaključiti jer je sistem u otvorenoj sprezi neminimalne faze ), u ovoj fazi analize ovu učestanost ne treba određivati.

-50 -40 -30 -20 -10

0 10 20 30 40 50

0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A

B C

A(0.1,43.5); B(1,23.5); C(3,23.5); D(10,13

D

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Re

Im

1

2

Slika 5.3.d

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 132

-270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30

0 30 60 90

0.1 1 10 100 ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.4.a

b) Uvođenjem dodatnog pojačanja u sistem ( funkcija povratnog prenosa postaje ( )'K W s ) menja se karakteristika slabljenja dok fazna karakteristika ostaje ista. Promenom pojačanja K' se menja i presečna učestanost pojačanja, pa samim tim i pretek faze. Kako je fazna karakteristika u domenu viših učestanosti monotono opadajuća funkcija, da bi se pretek faze povećao neophodno je smanjiti učestanost ω1 što znači da treba uvesti slabljenje ( pojačanje manje od 1 ). Da bi se obezbedio pretek faze Φ pf

o= 20 neophodno je sa

fazne karakteristike uočiti učestanost ω1 ' kojoj odgovara argument 20 180 160o o o− = − , odnosno ( )( )1arg 160oW jω = − Na osnovu dijagrama ili sračunavanjem faze u nekoliko iteracija dobija se ω1 10 3' . /= rad s . Traženo pojačanje K' se sada, znajući željenu presečnu učestanost pojačanja vrlo lako određuje. Naime, za početnu funkciju povratnog prenosa je analitički oblik segmenta za učestanosti veće od 10rad/s:

( ) 1013.06 60log 10y dB ωω  = −    

Otuda možemo pisati: ( ) ( )1 10.3 12dBW j y dBω = =

( ) ( )K W j dB K W j K dB K' ' log ' ' log ' ' .ω ω1 10 1 100 20 20 12 0 25= = + ⇒ = − ⇒ = Dodatno pojačanje koje treba uneti u sistem da bi se zadovolji postavljen zahtev iznosi K'=0.25.

c) Kako je presečna učestanost faze ωπ = 13 5. /rad s i kako uvođenje dodatnog pojačanja K" ne utiče na faznu karakteristiku da bi se zadovoljio postavljeni zahtev za pretekom pojačanja, možemo pisati:

( ) ( )10 10

" 10 20log "

20log " 10 15.24 " 0.173

pdB dB

dB

K W j dB K W j

K dB d dB K πω ω= − = +

⇒ = − + = − ⇒ =

d) Na slici 5.4.b su prikazane Nikvistove krive za sisteme pod a) i b). Kako je broj polova funkcije povratnog prenosa u desnoj poluravni s ravni jednak 0, zaključuje se da je sistem nestabilan za svako K, nezavisno od toga što se njegovom promenom može podesiti proizvoljno veliki pretek faze ili pretek pojačanja. Sada je jasno da se za ovaj sistem ne može definisati učestanost propusnog opsega. e) Kako je sistem nestabilan, vrednost signala greške ( )e ∞ , nezavisno od vrste signala na ulazu i unetog dodatnog pojačanja, biće beskonačna.

ZADATAK 5.5.

Funkcija povratnog prenosa sistema glasi:

( ) ( )( )( ) 1 / 5

1 / 2 1 / 300 1 /1000 sW s

s s s s +

= + + +

Slika 5.4.b

R

Im

(a) (b)

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 133

a) Nacrtati Bodeove karakteristike i odrediti pretek faze Φ pf i pretek pojačanja d.

b) U sistem je uneto kašnjenje tako da funkcija povratnog prenosa postaje ( ) ( ) ( )expW s W s Ts= −

1) odrediti najveću dozvoljenu vrednost kašnjenja T tako da sistem ostane stabilan; 2) odrediti T tako da pretek faze iznosi 45o ; 3) odrediti T tako da pretek pojačanja bude 20dB

c) Za sistem bez kašnjenja, kao i za sisteme pod 1,2 i 3 odrediti pojačanja koja se mogu uneti da bi se dobila najmanja greška ustaljenog stanja ( )e ∞ pri jediničnom nagibnom signalu na ulazu. Odrediti vrednosti tih minimalnih grešaka.

Rešenje:

a) Na slici 5.5.a su prikazane Bodeove karakteristike zadatog sistema. Sa karakteristika se očitava da je pretek pojačanja d = 70dB, presečna učestanost faze ωπ = 550rad s/ i presečna učestanost pojačanja ω1 1= rad s/ . Pretek faze se takođe može približno odrediti sa grafika ili tačno sračunati na osnovu funkcije povratnog prenosa i iznosi Φ pf

o= 74 5. . Na osnovu toga se može zaključiti da je sistem u zatvorenoj sprezi stabilan.

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0 10 20

0.1 1 10 100 1000 ω

|W(j )|ω dB A

B

C

A(0.1,20); B(2,-6); C(5,-21.9); D(300,-78

D

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

0.1 1 10 100 1000

ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.5.a

b) Unošenje transportnog kašnjenja u sistem ne utiče na amplitudsku karakteristiku jer je: ( ) ( ) ( ) ( )' expW j W j Tj W jω ω ω ω= − =

Dakle, uticaj transportnog kašnjenja se ogleda samo na faznu karakteristiku i to tako što je obara utoliko više ukoliko je kašnjenje T veće. Ukoliko sa Φ pf ' označimo pretek faze sistema sa transportnim kašnjenjem, važi sledeća relacija: ( )( ) ( )( ) 1arg ' arg 'pf pfW j W j T Tω ω ω ω= − ⇒Φ =Φ −

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 134

Argument, pa samim tim i pretek faze za sistem sa transportnim kašnjenjem se računa kao razlika argumenta ( preteka faze ) za sistem bez transportnog kašnjenja i proizvoda vremena kašnjenja i učestanosti preteka faze. Shodno tome mogu se odrediti tražena vremena na sledeći način: 1. Maksimalno vreme kašnjenja T , označimo ga sa T1 , koje se može uneti u sistem, a da on i dalje ostane stabilan, određeno je uslovom da pretek faze tako dobijenog sistema postane jednak nuli, odakle sledi Φ Φ

Φ pf pf

pf o

T T rad s

s' . /

.= − = ⇒ = = =1 1 1 1

0 74 5 1

1 3ω ω

Na slici 5.5.b je prikazana fazna karakteristika sistema sa kašnjenjem.

2. Analogno prethodnoj tački, vremensko kašnjenje koje prouzrokuje pad preteka faze na 45o se određuje na sledeći način:

Φ Φpf o

pf T T s' .= = − ⇒ =45 0 5152 1 2ω

3. Kako je W j dB dB

( . )4 5 20= − , da bi pretek pojačanja sistema sa transportnim kašnjenjem bio 20dB, neophodno je da presečna učestanost faze ovakvog sistema bude u tački 4.5 rad/s, odnosno:

( )( ) ( )( ) 3 3arg ' 4.5 180 arg 4.5 4.5 / 0.05oW j W j T rad s T s= − = − ⇒ =

-540

-450

-360

-270

-180

-90

0.1 1 10 100 1000 ω

arg(W'(j ))ω

Slika 5.5.b

c) Maksimalno pojačanje koje se može uneti u sistem a da on i dalje ostane stabilan, može se odrediti na osnovu preteka pojačanja u svakom od navedenih slučajeva. Naime unošenjem dodatnog pojačanja fazna karakteristika ostaje ista ali se amplitudska menja i to tako što se paralelno pomera na gore ili na dole, u zavisnosti od toga da li je pojačanje veće ili manje od jedan. Uvođenjem pojačanja većeg od jedan smanjuje se pretek pojačanja, pa samim tim maksimalno pojačanje koje se može uneti u sistem a da on i dalje ostane stabilan, odnosno da vrednost signala greške zadrži konačnu vrednost, određeno je slučajem da pretek pojačanja dobije vrednost nula. Na osnovu toga možemo pisati:

( )10 vmax vmax min vmax

170 20log 3000 1/ 3000d dB K K e K

= = ⇒ = ⇒ ∞ = =

1 ) ( )10 vmax vmax min0 20log 1 1d dB K K e= = ⇒ = ⇒ ∞ =

2) ( )10 vmax vmax min9.54 20log 3 1/ 3d dB K K e= = ⇒ = ⇒ ∞ =

3) ( )10 vmax vmax min20 20log 10 0.1d dB K K e= = ⇒ = ⇒ ∞ = ZADATAK 5.6 Za servosistem čiji su Bodeovi dijagrami amplitude i faze prikazani na slici 5.6.a, odrediti: a) kritične učestanosti funkcije povratnog prenosa, kao i pretek faze Φ pf , pretek pojačanja d, presečnu učestanost faze ωπ i presečnu učestanost pojačanja ω1;

b) kaskadni kompenzator takav da se brzinska konstanta Kv poveća četiri puta, a da pretek faze ostane isti.

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 135

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0.01 0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A

B

C

A(0.01,72); B(0.1,52); C(1,12); D(16,-12); E(40,-2

D E

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

0.01 0.1 1 10 100

ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.6.a

Rešenje:a) Na osnovu date amplitudske frekvencijske karakteristike moguće je odrediti funkciju povratnog prenosa: ( ) ( )( )( )( )

40 1 1 / 0.1 1 /16 1 / 40

s W s

s s s s +

= + + +

Tražene karakteristične veličine su: ω ωπ = = = =26 20 4 571rad s d dB rad s pf o/ ; ; / ; Φ

b) Do rešenja se može doći na više načina, a najjednostavniji je analitički. Kako je brzinska konstanta nekompenzovanog sistema Kvn = 40 a zahtevano je Kv = 160, mora se uvesti dodatno pojačanje K = 4. Potrebno je uvesti i integralni kompenzator tako da se posle kompenzacije presečna učestanost pojačanja ne promeni ( ω ω1 1≈ c), s tim da nula i pol kompenzatora budu dovoljno udaljeni od ove učestanosti kako ne bi značajno narušili vrednost preteka faze. Neka je funkcija prenosa integralnog kompenzatora:

( ) 1 / ; 1 /

i i i i

i

j bG j b a j a ω

ω ω

+ = > +

Za nulu integralnog kompenzatora bi dovoljno je usvojiti šesnaest puta manju vrednost od učestanosti preteka faze, kako on ne bi u velikoj meri smanjio pretek faze. Usvojimo bi c= =ω1 16 0 25/ . rad/s. Učestanost ai se određuje na osnovu uslova da se presečna učestanost pojačanja posle kompenzacije ne promeni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1 1

1 10 10

0 0

0 20log 20log 0 1 0.0625 /

i idB dB dB dB

i i i idB

i i

W j KG j W j dB KG j W j dB

a aKG j dB K K a rad s b b

ω ω ω ω ω

ω

= = ⇒ + =

⇒ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = Time je

isprojektovan integralni kompenzator koji zadovoljava postavljene zahteve. Funkcija prenosa celog kompenzatora je:

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 136

( ) ( ) 1 / 0.254 1 / 0.0625c i

sG s KG s s +

= = +

Proverom se ustanovljava da je pretek faze kompenzovanog sistema Φ pfc

o= 55 , što je vrlo blisko početnoj vrednosti. Karakteristika slabljenja kompenzovanog sistema data je na slici 5.6.b.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0.01 0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB

A B

C

A(0.01,84); B(0.0625,68.1); C(0.1,59.9); D(0.25,36.1); E(1,12); F(16,-12); G(40,-27.9)

D

E

F G

Slika 5.6.b

ZADATAK 5.7.

Dat je sistem funkcije povratnog prenosa ( ) ( ) 20

1 / 25 W s

s s =

+ . Projektovati redni kompenzator tako da se

zadovolje sledeći uslovi sistema u zatvorenoj sprezi: brzinska konstanta Kv = 100, pretek faze Φ pf o= 45 .

Rešenje: U cilju povećanja brzinske konstante sistema neophodno je uvesti pojačanje: K K Kv vn= = =/ /100 20 5 ( sa Kvn je označena brzinska konstanta nekompenzovanog sistema ). Zatim se crta asimptotska amplitudska frekvencijska karakteristika sistema ( ) dBKW jω ( slika 5.7, karakteristika je izvučena debljom linijom).

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10 100 1000 ω

|KW(j )|ω dB

A B

C D

A(10,20); B(25,12); C(50,0); D(100.3,-

Slika 5.7.

Neposrednim proveravanjem preteka faze vidi se da zahtev nije ispunjen ( Φ pfn o= 26 56. ) , te se pristupa

projektovanju diferencijalnog kompenzatora:

( ) 1 / 1 /

d d

d

s aG s s b +

= +

Za nulu diferencijalnog kompenzatora usvojimo vrednost a rad sd = 50 / . Kako je presečna učestanost pojačanja nekompenzovanog sistema takođe 50rad/s, ovakvim izborom nule diferencijalnog kompenzatora će i presečna

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 137

učestanost pojačanja kompenzovanog sistema ostati ista. Na osnovu uslova za željenu vrednost preteka faze određuje se pol kompenzatora bd :

( ) ( ){ }0

0 0 0

180 arg 50 50

50 50 50180 arctan arctan 90 arctan 45 25

100.28 /

pf d

d d

d

G j W j

a b b rad s

Φ = +

     = + − − − =          

⇒ =

Dakle funkcija prenosa kompenzatora postaje:

( ) ( ) 1 / 505 1 /100.28c d

sG s KG s s +

= = +

Na slici 5.7. je data i frekvencijske karakteristike slabljenja kompenzovanog sistema i izvučena je tanjom linijom. Zadatak je bilo moguće rešiti i primenom integralnog kompenzatora. Naime, jednostavno se da zaključiti da ukoliko bi presečna učestanost pojačanja iznosila 25rad/s pretek faze bi bio 45o , tako da posle unošenja dodatnog pojačanja ( u cilju obezbeđivanja željene vrednosti brzinske konstante ) treba spustiti karakteristiku slabljenja integralnim kompenzatorom kako bi presečna učestanost pojačanja dobila željenu vrednost .Pri tome treba voditi računa da nula integralnog kompenzatora bude dovoljno manja od zahtevane presečne učestanosti pojačanja kako bi uticaj kompenzatora na pretek faze bio zanemarljiv.

ZADATAK 5.8:

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( ) 1

1 1 / 2 W s

s s s =

+ + . Projektovati redni kompenzator tako da budu

zadovoljeni sledeći zahtevi: brzinska konstanta Kv = 5, pretek faze Φ pf o≥ 40 i pretek pojačanja d dB≥ 10 .

Rešenje: U sistem se mora uneti pojačanje K takvo da je: K K Kv vn= =/ 5 a potom se nacrta frekvencijska karakteristika slabljenja sistema sa prethodno određenim pojačanjem K, koja je prikazana na slici 5.8. Ispitivanjem faze u pojedinim tačkama zaključuje se da je

( ){ }0 0180 arg 0.5 40W j+ > , te je dovoljno da se za učestanost preteka faze usvoji ω1 0 5= . /rad s . U cilju obezbeđenja ovog zahteva treba isprojektovati integralni kompenzator:

( ) 1 / 1 /

i i

i

s bG s s a +

= +

Nula kompenzatora određuje se iz uslova da ona bude dovoljno udaljena od presečne učestanosti pojačanja kako bi integralni kompenzator što manje uticao na fazu kompenzovanog sistema:

b rad si = = ω1 16

0 03. /

Grafičkim postupkom se određuje pol integralnog kompenzatora na sledeći način: počev od tačke ( )1,0ω crta se amplitudska karakteristika u smeru opadanja učestanosti, dakle u levo, koja je u segmentima paralelna sa početnom krivom ( puna linija ), sve do vrednosti učestanosti ω = bi , odnosno do tačke E. Od ove tačke na levo potrebno je povući pravu pod nagibom za 20dB manjim ( pol integralnog kompenzatora smanjuje nagib karakteristike slabljenja za 20 decibela po dekadi ) od nagiba početne krive na tim učestanostima, dakle pod nagibom od -40dB po dekadi. U preseku ove prave i početne karakteristike dobija se vrednost pola integralnog kompenzatora u tački D: a rad si = 0 003. / . Proverom se ustanovljava da je za usklađeni sistem Φ pf

o= 46 . Još je važno proveriti pretek pojačanja. Kako je: ( ) ( ) ( ) ( ){ } 0 01.2 1.2 10 ; arg 1.2 1.2 172.5 180i idBKG j W j dB KG j W j= − = − > − zaključuje se da je učestanost preteka pojačanja (ωπ ) veća od učestanosti 1.2rad/s, što znači da je vrednost slabljenja na učestanosti ωπ manja nego na učestanosti 1.2rad/s ( amplitudska karakteristika je opadajuća

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 138

funkcija na višim učestanostima, kao i fazna karakteristika ). Samim tim je i pretek pojačanja veći od 10dB. Amplitudska karakteristika kompenzovanog sistema data je na slici 5.8. tanjom linijom.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0.001 0.01 0.1 1 10

ω

|KW(j )|ω dB

A

B C

A(0.001,73.98); B(1,13.98); C(2,1.94); D(0.003,64.44); E(0.03,24.44)

D

E

Slika 5.8.

ZADATAK 5.9.

Zadati deo sistema opisan je funkcijom prenosa ( ) ( )( )( ) 25

0.14 4 15 W s

s s s = + + +

. Izvršiti sintezu rednog

kompenzatora tako da usklađeni sistem zadovoljava sledeće zahteve: - konstanta greške položaja Kp = 100;

- pretek faze Φ pf o≥ 30 ;

- presečna učestanost pojačanja ω1 5= rad s/ ;

- slabljenje u opsegu niskih učestanosti ( ) ( ) 20c dBG j W j dBω ω ≥ za svako ω ≤ 1rad s/ . Rešenje: Kompenzator mora da sadrži dodatno statičko pojačanje K jer je postojeća konstanta položaja u sistemu

( )0 2.97pnK W= = manja od željene. Otuda se ovo pojačanje računa kao količnik željene i postojeće konstante položaja: K K Kp pn= = =/ / . .100 2 976 336 Na slici 5.9 je debljom linijom nacrtana amplitudska asimptotska karakteristika nekompenzovanog sistema sa dodatim pojačanjem K.

-20

-10

0

10

20

30

40

0.1 1 10 100

ω

|KW(j )|ω dB A B

C

D

E

F

G

A(0.1,40); B(0.14,40); C(4,10.9); D (15,-12.1); E(0.71,25.8); F (1.63,11.5); G(5,0)

Slika 5.9.

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 139

Zahtev za ω1 5= rad s/ postiže se integralnim kompenzatorom. Kako je potrebno da integralni kompenzator bude što udaljeniji od ove učestanosti, da bi njegov uticaj na pretek faze bio što manji, a kako, sa druge strane, zabranjena oblast u opsegu niskih učestanosti iz postavke zadatka uslovljava položaj amplitudske karakteristike, jedan od načina projektovanja integralnog kompenzatora je da amplitudska karakteristika kompenzovanog sistema prolazi kroz teme zabranjene oblasti (1 20rad s dB/ , ). Deo karakteristike koja sadrži tačku temena mora imati nagib za 20dB manji od nagiba početne karakteristike na toj učestanosti. U preseku ovog dela novoformirane karakteristike sa početnom dobija se tačka E, na osnovu koje se očitava pol integralnog kompenzatora a rad si = 0 714. / . Da bi se odredila i nula integralnog kompenzatora potrebno je crtati segmente amplitudske karakteristike u levo, počevši od tačke G, jer je to željena tačka presečne učestanosti pojačanja, koji su paralelni sa segmentima početne amplitudske karakteristike, sve do preseka F sa segmentom koji prolazi kroz teme zabranjene oblasti. Tačka F definiše nulu integralnog kompenzatora i njena apscisa određuje nulu integralnog kompenzatora b rad si = 1 63. / . Na taj način se grafičkom metodom određuje funkcija prenosa integralnog kompenzatora:

( ) 1 /1.63 1 / 0.71i

sG s s +

= +

Ukoliko se proveri faza, videće se da taj zahtev nije zadovoljen, pa je potrebno uvesti diferencijalni kompenzator oblika:

( ) 1 / 1 /

d d

d

s aG s s b +

= +

Diferencijalni kompenzator je određen sa dva parametra, a kako postoji samo jedan zahtev koji oni treba da zadovolje, a to je zahtevani pretek faze, postoji jedan stepen slobode. Uobičajeno je da se usvoji nula diferencijalnog kompenzatora i neka je to vrednost a rad sd = 5 / . Iz uslova za pretek faze numerički se određuje pol diferencijalnog kompenzatora:

( ) ( ) ( ){ }0 0180 arg 5 5 5 30 9.43 /i d dKG j G j W j b rad s+ ≥ ⇒ ≥ Može se usvojiti b rad sd = 10 / . Amplitudske karakteristika kompenzovanog sistema data je na slici 5.9 tanjom linijom. Definitivno redni kompenzator postaje:

( ) ( ) ( ) 1 /1.63 1 / 533.67 1 / 0.711 /10c i d

s sG s KG s G s s s + +

= = + +

ZADATAK 5.10.

Na slici 5.10.a je prikazana asimptotska karakteristika slabljenja sistema u otvorenoj sprezi.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A B

C

A(1,60); B(4,48); B(20,20

Slika 5.10.a.

a) Skicirati faznu karakteristiku. Odrediti pretek faze, pretek pojačanja i propusni opseg ovog sistema.

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 140

b) Ako sistem ima promenljivo pojačanje K odrediti ga tako da za jedinični nagibni ulazni signal ( ) ( )r t th t= signal greške u stacionarnom stanju zadovolji uslov ( ) 0.01e ∞ < . Može li se ova greška proizvoljno smanjivati? c) Izvršiti sintezu rednog kompenzatora tako da kompenzovani sistem ispunjava sledeće zahteve: - zahtevana konstanta položaja Kp = 10;

- pretek faze Φpf ≥ 60 0 ;

- ograničenje u opsegu niskih učestanosti ( ) ( ) ( )0.6 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≤ ≥ ; - ograničenje u opsegu visokih učestanosti ( ) ( ) ( )20 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≥ ≤ −

Rešenje: a) Sa asimptotske amplitudske karakteristike se očitavaju kritične učestanosti funkcije povratnog prenosa, pa je njen analitički izraz:

( ) ( )( ) 1000

1 / 4 1 / 20 W s

s s s =

+ +

Fazna karakteristika ovog sistema data je na slici 5.10.b.

-270

-240

-210

-180

-150

-120

-90

1 10 100

ω

arg(W(j ))ω

Slika 5.10.b

Ispitivanjem fazne karakteristike u okolini učestanosti 10rad/s, približno se određuje učestanost preteka pojačanja ωπ ≈ 9rad s/ . Otuda se može pisati: ω ωπ1 42 76 59 8 9 34= = − = = −. / ; ; . / ;rad s rad s d dBpf

oΦ Sistem je nestabilan, pa shodno tome učestanost propusnog opsega nije definisana. b) Uvođenjem promenljivog pojačanja K funkcija povratnog prenosa sistema postaje ( ) ( )1W s KW s= . Uticaj ovog parametra na stabilnost sistema se može ispitati ili primenom Rausovog kriterijuma, za šta je potrebno prethodno odrediti karakteristični polinom ili direktno na osnovu dobijenih Bodeovih karakteristika. Dobijeni rezultati neće biti isti jer su Bodeove karakteristike aproksimativne, međutim, moraju biti bliski. Ako se odlučimo za prvi način, karakteristični polinom sistema biće:

( ) ( )( )f s s s s K s s s K= + + + = + + +4 20 80000 24 80 80000 3 2

Na osnovu dobijenog polinoma formira se Rausova šema brojeva:

s3 1 80

s2 24 80000K

s1 80(24-1000K)

s0 80000K

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 141

Jasno je da će sistem biti stabilan samo u opsegu pojačanja K ∈[ , . )0 0 024 . U tom kontekstu brzinska konstanta sistema se može kretati u opsegu K Kv = ∈1000 0 24[ , ) a samim tim vrednost signala greške u stacionarnom

stanju na jediničnu usponsku funkciju na ulazu biće iz opsega ( ) 1 1 , 24v

e K

 ∞ = ∈ ∞   

. Drugim rečima, ne

postoji vrednost pojačanja K koja bi obezbedila zahtevanu vrednost signala greške od ( ) 0.01e ∞ ≤ . c) Iz uslova za konstantu pozicije kompenzovanog sistema, zaključuje se da se u kompenzator mora uneti pojačanje:

K K K

p

pn = = =

10 1000 001.

Zbog zahtevanog uslova za presečnu učestanost pojačanja ω1, usvaja se integralni kompenzator na red sa procesom tako da asimptotski dijagram slabljenja kompenzovanog sistema prolazi kroz teme zabranjene oblasti. Kritične učestanosti kompenzatora određuju se grafičkim putem, na način koji je opisan u prethodnim zadacima:

( ) 1 /1.2 1 / 0.36i

sG s s +

= +

Ispitujući pretek faze dobijaju se sledeći rezultati:

( ){ } ( ){ }0 0 0 0180 arg 3 44.5 ; arg 3 13.29 31.21i pfKW j G j+ = = − ⇒Φ = Da bi se ostvarila željena vrednost preteka faze Φ pf

o≥ 60 mora se uneti diferencijalni kompenzator na red sa procesom:

( ) 1 / 1 /

d d

d

s aG s s b +

= +

Usvajajući za nulu diferencijalnog kompenzatora a rad sd = 4 / ( kako bi se skratio pol funkcije prenosa procesa ) iz uslova za pretek faze numerički se dobija b rad sd ≥ 20 6. / . Crtanjem ovako dobijene karakteristike slabljenja uočava se da je pojačanje na 20rad/s veće od -20dB, što je u suprotnosti sa zahtevom zadatka po pitanju slabljenja na visokim učestanostima. Da bi se ovaj zahtev ispoštovao, neophodno je da se pol diferencijalnog kompenzatora nalazi levo od tačke 20rad/s.. Ukoliko se iz temena zabranjene oblasti na visokim učestanostima (20rad/s,-20dB) pod nagibom od -40dB/dekadi povuče prava na levo do preseka sa kompenzovanom krivom slabljenja dobiće se tačka pola diferencijalnog kompenzatora koja obezbeđuje zadovoljenje uslova slabljenja na visokim učestanostima (b rad sd = 13 5. / ). Međutim, ovakvim izborom pola nije zadovoljen zahtev za pretekom faze ( ostvareno je Φ pf

o= 54 ). Stoga je potrebno uvesti još jedan diferencijalni kompenzator koji će doprineti dodatnom povećanju faze od 6. Postavljanjem njegove nule i pola u tačkama 20rad/s i 60rad/s, respektivno, ovaj se uslov ispunjava. Definitivno kompenzator ima formu:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 /1.2 1 / 4 1 / 200.01

1 / 0.36 1 /13.5 1 / 60c i d d s s sG s KG s G s G s

s s s + + +

= = + + +

Amplitudska karakteristika kompenzovanog sistema data je na slici 5.10.c.

-60

-40

-20

0

20

40

0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A B

C

D

E

A(0.1,40); B(0.36,28.9); C(1.2,8); D(13.5,-39.1); E(60,5

Slika 5.10.c

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 142

ZADATAK 5.11.

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( ) ( )2

400 2 5 20

W s s s s s =

+ + + . Projektovati redni kompenzator tako da se

zadovolje sledeći zahtevi sistema u zatvorenoj sprezi: - brzinska konstanta Kv = 20; - presečna učestanost pojačanja ω1 3= rad s/ ; - pretek faze Φ pf

o≥ 25 ;

- slabljenje u opsegu niskih učestanosti ( ) ( ) ( )0.4 / 25c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≤ ≥ ; - slabljenje u opsegu visokih učestanosti ( ) ( ) ( )20 / 25c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≥ ≤ − .

Rešenje: Kompenzator mora da sadrži statičko pojačanje K K Kv vn= = =/ / .20 0 4 50. Tada se može nacrtati asimptotska amplitudska frekvencijska karakteristika za proces sa pojačanjem ( na slici 5.11. prikazana debljom linijom ).

-75

-50

-25

0

25

50

0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A

B

C

D

E

A(0.1,46); B(2,20); C(5,4); D(20,-44); E(0.14,43); F(0.95

F

Slika 5.11.

Iz uslova za presečnu učestanost pojačanja jasno je da treba isprojektovati integralni kompenzator. On se projektuje tako da dijagram slabljenja prođe kroz teme zabranjene oblasti. Međutim, kako je

( ){ }0 0180 arg 3 36.7W j+ = − a zahteva se pretek faze Φ pf

o≥ 25 , jasno je da kompenzator mora da bude jako efikasan i da doprinese popravci faze od ∆Φ pf

o≥ 62 . Zbog toga se integralni kompenzator projektuje tako da presečna učestanost pojačanja ω1 3= rad s/ bude obuhvaćena polom i nulom diferencijalnog kompenzatora, jer je onda uticaj diferencijalnog kompenzatora na povećanje preteka faze maksimalan. Pri tome se za nulu diferencijalnog kompenzatora usvaja tačka a rad sd = 2 / kako bi se skratio pol procesa. Na taj način se dobija:

( ) ( )1 1

1 / 0.948 1 / 2; 1 / 0.142 1 /i d d

s sG s G s s s b + +

= = + +

Pol diferencijalnog kompenzatora određujemo iz uslova za željeni pretek faze, odakle se dobija : ( ){ } ( ){ } ( )∆Φ pf d i o o d oG j G j b= + ≥ ⇒ − ≥arg arg . arctg /1 13 3 62 40 35 3 62

Jasno je da se ovakav zahtev nikakvim izborom pola diferencijalnog kompenzatora ne može ispuniti. Treba uvesti još jedan diferencijalni kompenzator, pri čemu je potrebno da njegova nula bude što je moguće bliže učestanosti preteka faze ω1. Pogodna vrednost za nulu ovog kompenzatora je a rad sd 2 5= / čime se skraćuje pol procesa :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

G s s s b

G j G j G j

b b

d d

d d i o

d d o

2 2

1 2

1 2

1 5 1

3 3 3 62

7131 3 3 62

= + +

⇒ ≥

⇒ − − ≥

/ /

arg

. arctg / arctg /

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 143

Pošto postoji jedan zahtev za priraštaj preteka faze a dva slobodna parametra bd1 i bd 2 , može se usvojiti da su oni jednaki:

( ) 01 2 2arctan 3 / 9.31 40 /d d d d db b b b b rad s= = ⇒ ≤ ⇒ ≥ Ovakvim izborom polova bio bi ispunjen zahtev za pretekom faze, međutim količinik pola i nule prvog diferencijalnog kompenzatora bi iznosio b ad d1 1 20/ = . Smatra se da je vrednost ovog količnika do 10 prihvatljiva u smislu realizacije kompenzatora pomoću elemenata linearne elektronike.Ako se izabere maksimalna pogodna vrednost b rad sd 1 20= / , tada se iz uslova za pretek faze dobija nejednakost b rad sd 2 220≥ / što je neprihvatljivo sa stanovišta realizacije drugog diferencijalnog kompenzatora. Problem se može rešiti uvođenjem još jednog diferencijalnog kompenzatora, čijom se nulom skraćuje pol procesa:

( )3 3

1 / 5 1 /d d

sG s s b +

= +

Pol prvog diferencijalnog kompenzatora biramo iz uslova prolaska dijagrama slabljenja kroz teme zabranjene oblasti za visoke učestanosti: b rad sd 1 7 49= . / . Iz uslova preteka faze određujemo sledeća dva pola:

( ) ( )8171 3 3 62 17 22 3 2 3. arctg / arctg / . / o

d d o

d d db b b b b rad s− − ≥ ⇒ = = ≥ posle čega se može usvojiti b rad sd = 20 / . Definitivno funkcija prenosa kompenzatora postaje:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s KG s G s G s G s s

s s

s s

sc i d d d = =

+ +

+ +

+ +

 

 1 2 3

2

50 1 0 948 1 0142

1 2 1 7 49

1 5 1 20

/ . / .

/ / .

/ /

Na slici 5.11. tanjom linijom nacrtana je amplitudska karakteristika kompenzovanog sistema.

ZADATAK 5.12:

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( )( )2 1120

4 8 16 sW s

s s s s s +

= + + + +

. Isprojektovati redni kompenzator tako

da budu zadovoljeni sledeći zahtevi: - brzinska konstanta Kv = 30; - presečna učestanost pojačanja ω1 3= rad s/ ; - pretek faze Φ pf

o≥ 25 ;

- presečna učestanost faze ωπ ≥ 8rad s/ .

Rešenje: U kompenzator je potrebno uneti pojačanje: K K

K v

vn

= = 128

Pretek faze za nekompenzovan sistem je:

( ){ }0 0180 arg 3 19.03pf W jΦ = + = − Priraštaj preteka faze koji mora da unese kompenzator je veliki, pa je dobro diferencijalni kompenzator projektovati tako da njegove kritične učestanosti budu što bliže učestanosti preteka faze ω1. S druge strane, kako je potrebno da integralni kompenzator u velikoj meri spusti karakteristiku slabljenja, a da odnos njegovog pola i nule ostane zadovoljavajući, dobro bi bilo odlučiti se za dvostruki integralni kompenzator. Grafičkim putem se dolazi do funkcija prenosa kompenzatora:

( ) ( ) 21 / 0.37 1 / 3;

1 / 0.1 1 /i d d

s sG s G s s s b

+ + = = + + 

gde se bd bira iz uslova za pretek faze i presečnu učestanost pojačanja. Prvi od uslova se svodi na sledeću nejednakost:

( ){ } ( ){ } ( )0 0arg 3 arg 3 34.75 arctan 3 / 44pf d i dG j G j b∆Φ = + = − ≥ Jasno je da se ovaj uslov ne može zadovoljiti, pa je potrebno uvesti još jedan diferencijalni kompenzator:

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 144

( )2 2

1 / 8 1 /d d

sG s s b +

= +

Postavljanjem navedenih uslova za pretek faze i presečnu učestanost faze dobijamo relacije:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

0 0 1 2

1 2

0 0 1 2

55.3 arctan 3 / arctan 3 / 44

arg 8 8 8 8

39.48 arctan 8 / arctan 8 / 180

pf d d

i d d

d d

b b

G j G j G j W j

b b

∆Φ = − − ≥

=

= − − > −

Pod pretpostavkom b b bd d d1 2= = ove dve nejednakosti daju sledeća ograničenja: b rad sd ≥ 33 2. / i b rad sd ≥ 22 9. / . Može se usvojiti vrednost b rad sd1 30= / (kako bi bilo b ad d1 1 10/ ≤ ) i sračunava se na osnovu gornjih relacija b rad sd 2 37 3≥ . / , pa je onda moguće usvojiti b rad sd 2 40= / . Definitivno funkcija prenosa kompenzatora postaje:

( ) 21 / 0.37 1 / 3 1 / 8128

1 / 0.1 1 / 30 1 / 40c s s sG s s s s

+ + + =  + + + 

Navedeno rešenje je jedno od mogućih, jer postoje različite mogućnosti u izboru nula diferencijalnih kompenzatora, kao i kritičnih učestanosti integralnih kompenzatora. Prilikom izbora nula diferencijalnih kompenzatora uobičajeno je koristiti princip skraćivanja polova funkcije prenosa procesa, što je pogodno sa aspekta crtanja asimptotskih karakteristika kompenzovanog sistema. Na slici 5.12. su prikazane amplitudske asimptotske karakteristike nekompenzovanog sistema sa pojačanjem (deblja linija) i kompenzovanog sistema (tanja linija).

-75

-50

-25

0

25

50

0.1 1 10 100 ω

|W(j )|ω dB A

B

C

D

E

A(0.1,49.5); B(1,29.5); C(8,5.5); D(16,-12.6); E(0.37,15.8); F(1

F

Slika 5.12.

ZADATAK 5.13.

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( )( ) 118

1.6 3 30 sW s

s s s s +

= + + +

. Isprojektovati redni kompenzator tako da

budu zadovoljeni sledeći zahtevi: - brzinska konstanta Kv = 10;

- ograničenje u opsegu niskih učestanosti ( ) ( ) ( )0.4 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≤ ≥ ; - ograničenje na visokim učestanostima ( ) ( ) ( )30 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≥ ≤ − ; - presečna učestanost pojačanja ω1 4 5≥ . /rad s ; - pretek faze Φ pf

o≥ 55 .

Rešenje: U sistem je neophodno uneti pojačanje K: K K

K K Kv

vn vn= = ⋅ ⋅

= ⇒ =; .

.18 1 6 3 30

0 125 80

Sa druge strane je:

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 145

( ){ }0 0 0 0 0180 arg 4.5 32.2 55 32.2 22.8pfW j+ = ⇒ ∆Φ = − = Projektuje se integralni kompenzator da obori karakteristiku slabljenja tako da kompenzovana karakteristika slabljenja dodiruje zabranjenu oblast u temenu a pod pretpostavkom da će diferencijalni kompenzator obuhvati željenu presečnu učestanost pojačanja i da će se njogova nula nalaziti u tački 3rad/s:

( ) ( )( )G s s si = + +1 0 6 1 015/ . / . Usvajajući za nulu diferencijalnog kompenzatora a rad sd = 3 / kako bi se skratio pol procesa, njegova funkcija prenosa je:

( ) ( )( )G s s s bd d= + +1 3 1/ /

-60

-40

-20

0

20

40

0.1 1 10 100

ω

|KW(j )ω dB A(0.1,40); B(3,14.5); C(30,-25.5); D(0.15,36.50; E(0.6,12.4); F

A

B

C

D

E F

Slika 5.13.

Pol diferencijalnog kompenzatora se bira iz uslova za pretek faze:

( ){ } ( ){ } ( )arg . arg . . arctg . / . . /G j G j b b rad si d o

d o

d4 5 4 5 50 62 4 5 22 8 852+ = − ≥ ⇒ ≥ Pol kompenzatora se može izabrati tako da karakteristika slabljenja prođe kroz teme zabranjene oblasti za visoke učestanosti: b rad sd = 22 / . Definitivno funkcija prenosa kompenzatora postaje:

( ) 1 / 0.6 1 / 380 1 / 0.15 1 / 22c

s sG s s s + +

= + +

Asimptotske amplitudske frekvencijske karakteristike sistema date su na slici 5.13.

ZADATAK 5.14.

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( )( )2

400 0.02 4 60 1000

W s s s s s

= + + + +

. Isprojektovati kompenzator tako da

budu zadovoljeni sledeći zahtevi: - brzinska konstanta Kv = 100; - presečna učestanost pojačanja ω1 20= rad s/ ; - pretek faze Φ pf

o≥ 30 ;

- pretek pojačanja d dB≥ 4 ;

- ograničenje u opsegu niskih učestanosti: ( ) ( ) ( )1 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≤ ≥ .

Rešenje: Proces je zadat sa astatizmom nultog reda, a od kompenzatora se zahteva da podesi brzinsku konstantu. Zbog toga je jasno da kompenzator mora da poveća astatizam, pa ćemo uvesti PID kompenzator :

( ) ( )( )1 21 / /PID s z s s z

G s K s

+ + =

Potrebno je odrediti tri parametra PID kompenzatora. Njegovo pojačanje određujemo na osnovu zahtevane brzinske konstante:

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 146

0

20 lim ( )

v v

pn s

K KK K W s

= = =

Dalje se crta karakteristika procesa sa ovako određenim pojačanjem i uvećanim astatizmom ( funkcija ( ) ( )/ dBKW j jω ω data je na slici 5.14. debljom linijom ), a prva nula PID-a z1 se grafički određuje na

osnovu uslova da nacrtana karakteristika slabljenja ne prolazi kroz zabranjenu oblast, već da je dodiruje u temenu ( )1 / , 20rad s dB . Na taj način se dobija z rad s1 0 19= . / . Druga nula kompenzatora se određuje takođe grafičkim putem na osnovu željene presečne učestanosti pojačanja w rad s1 20= / . Kod određivanja druge nule postoje dve mogućnosti: ona se može odrediti pod pretpostavkom da je veća ili manja od pola sistema λ = −4. Ukoliko se pretpostavi da je z rad s2 4> / , pokazuje se da nema rešenja, jer segmenti dveju pravih od kojih jedna sa leve strane prolazi kroz teme zabranjene oblasti a druga sa desne strane prolazi kroz tačku (ω1 ,0), nemaju preseka u oblasti ω > 4rad s/ . Usvajanjem z rad s2 4< / , dobija se rešenje grafičkim putem z rad s2 2= / . Ostaje još da se proveri pretek faze:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0

0 0

90 arctan 20 / 0.19 arctan 20 / 2 arctan 20 / 0.02

arctan 20 / 4 arctan 0.06 20 / 1 400 /1000 31.6 30 pfΦ = + + −

− − × − = ≥

Da bi se proverio pretek pojačanja izvrši se sledeća analiza:

( ) ( ) ( ) ( ){ } 0 0

30 30 4

arg 30 30 173.4 180 4

PID dB

PID

G j W j dB

G j W j d dB

= −

= − > − ⇒ >

Konačno, funkcija prenosa kompenzatora postaje:

( ) ( ) ( )( )1 / 0.19 1 / 220c PID s s

G s G s s

+ + = =

Karakteristike slabljenja sistema sa pojačanjem i astatizmom kao i kompenzovanog sistema date su na slici 5.14.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0.01 0.1 1 10 100 ω

|KW(j )/j ω ω dB

A

B

C

D

A(0.02,74); B(4,-18); C(0.19,34.9); D(2,14

Slika 5.14.

ZADATAK 5.15.

Funkcija prenosa procesa je ( ) ( )( )( ) 800

1 12 40 W s

s s s = + + +

. Isprojektovati kompenzator da se zadovolje

sledeći zahtevi: - brzinska konstanta Kv = 10; - pretek faze Φ pf

o≥ 40 ; - propusni opseg ω0 6= rad s/ ;

- slabljenje u opsegu niskih učestanosti ( ) ( ) ( )1 / 20c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≤ ≥ ; - slabljenje u opsegu visokih učestanosti ( ) ( ) ( )10 / 10c dBrad s G j W j dBω ω ω∀ ≥ ≤ − .

5. Frekvencijske metode analize i sinteze sistema upravljanja 147

Rešenje: Kompenzator mora da poveća red astatizma te se uvodi PID kompenzator:

( ) ( )( )1 21 / /PID s z s s z

G s K s

+ + =

U cilju povećanja brzinske konstante uvodi se dodatno pojačanje: ( )K K Kv pn= =/ 6 iza čega se može nacrtati amplitudska asimptotska karakteristika sistema koji se sastoji od funkcije prenosa procesa, uvedenog pojačanja K i astatizma (ova funkcija je izvučena na slici 5.15. debljom linijom). Na osnovu činjenice da su kod sistema sa jediničnom negativnom povratnom spregom učestanost propusnog opsega i presečna učestanost pojačanja bliske (ω ωo ≈ 1 ) i na osnovu zabranjene oblasti u opsegu niskih učestanosti određuje se grafičkim putem prva nula PID kompenzatora z rad s1 1 6= . / . Uočava se da karakteristika prolazi kroz zabranjenu oblast u opsegu visokih učestanosti a preostala nula PID kompenzatora z2 ne može da obezbedi zadovoljenje slabljenja na visokim učestanostima.. Zbog toga je potrebno uvesti dvostruki integralni kompenzator:

( ) 21 /10

1 / 7i sG s s + =  + 

pri čemu je nula integralnog kompenzatora podešena tako da kompenzovana karakteristika slabljenja prolazi kroz teme zabranjene oblasti na visokim učestanostima. Kako je potrebno da razmak između nule i pola integralnog kompenzatora bude što manji, kako bi njegov negativni uticaj na pretek faze bio što manji, pogodno je za nulu ovog kompenzatora usvojiti teme zabranjene oblasti. Pol kompenzatora se određuje grafičkim putem u preseku prave kroz teme zabranjene oblasti i odgovarajućeg linearnog segmenta nekompenzovane karakteristike slabljenja odgovarajućeg nagiba. Nula PID-a z2 se određuje na osnovu željenog preteka faze:

( )0 02 236.16 arctan 6 / 40 38 /pf z z rad sΦ = + ≥ ⇒ < Može se usvojiti z rad s2 12= / , kako bi se skratio pol procesa. Konačno se dobija:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 /1.6 1 /121 /10 6

1 / 7c i PID s ssG s G s G s

s s  + + + = =   +   

Amplitudne frekvencijske karakteristike sistema date su na slici 5.15. ( debljom linijom je izvučena karakteristika nekompenzovanog sistema sa dodatim pojačanjem i astatizmom, dok je tanjom linijom izvučena karakteristika kompenzovanog sistema ).

-60

-40

-20

0

20

40

0.1 1 10 100 ω

|KW(j )/j ω ω dB

A

B

C

D

A(1,20); B(12,-23.2); C(1.6,11.8); D(7,

Slika 5.15.

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 21 str.