Ispitati tok i skicirati grafik funkcije funkcije, Vežbe od Matematika

Preuzmite Ispitati tok i skicirati grafik funkcije funkcije i više Vežbe u PDF od Matematika samo na Docsity! 1. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije funkcije 2 2 2 3( ) 2 x xf x x x − − = − . !) Domen funkcije je interval ( ) ( ) ( ),0 0, 2 2,−∞ ∪ ∪ ∞ , jer je za x=2 i za x=0 imenilac razlomka kojim je predstavljena funkcija jednak nuli. ( ) ( ) ( ) ( ) 22 0 2 0 0 2 ,0 0,2 2, y R x x x x x x y R x ∈ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ ∈ ⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ ∞ tj 2) funkcija nije ni parna ni neparna jer ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( )2 3 2 3( ) ( )22 f xx x x xf x f xx xx x ≠− − − − ⎧+ − − = = ⎨ ≠ −− −− − − ⎩ 3) Potražimo asimptote ove funkcije. Prvo tražimo vertikalne asimptote jer funkcija ima prekide u tačkama x=0 i x=2. Kvadratna funkcija 2x - x2 je okrenuta na dole pa je pozitivna između svojih nula: X 0 2 2x - x2 - - - - - 0 + + + + + +0 - - - - - - - Znak ove funkcije koristimo za određivanje graničnih vrednosti: 2 2 2 20 0 2 2 2 22 2 2 3 3 2 3 3lim lim 2 0 2 0 2 3 3 2 3 3lim lim 2 0 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → − → + → − → + − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +∞ = = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −∞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +∞ Funkcija ima dve vertikalne asimptoze, x = 0 i x = 2. Potražimo horizontalnu asimptotu: 2 2 2 3lim 1 2x x x x x→±∞ − − = − − , pa funkcija ima horizontalnu asimptotu y = -1. 4) Razmotrimo nule i znak funkcije: 2 2 2 2 3( ) 0 2 3 0 3 1 2 x xf x x x x x x x − − = = ⇔ − − = ⇔ = ∨ − = − x -1 0 2 3 x2 – 2x - 3 + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + + + + 2x - x2 - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - f(x) - - - - - - - 0+ + + - - - - - - - - + + + +0 - - - - - - - - Dakle , nule funkcije su x=-1 i x = 3 Znak funkcije: ( ) ( ( ) ( ) ( ) 0 , 1 3, ( ) 0 1,0 2,3 f x x f x x < ∈ −∞ − ∪ +∞ > ∈ − ∪ za za ) 5) prvi izvod funkcije 2 2 2 3( ) 2 x xf x x x − − = − je ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x − − − − − − ′ = = − − − + − − = = − − − = − 6) Nule prvog izvoda : ( ) ( )22 3 2 2 ( ) 0 2 2 1 2 x f x x x x x − − ′ = = ⇔ − ⇔ = − x 0 1 2 2x - 3 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + (2x - x2)2 + + + + + + 0 + + + + + + + + + 0 + + + + -3(2x - 3) + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - F’(x) + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - Funkcija f(x) max Monotonost: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 ( ) ( ) ( )2 2 f xx xf x f xx x ≠− ⎧ − = = − ⎨≠ −− − + ⎩ 3) Potražimo asimptote ove funkcije. Prvo tražimo vertikalnu asimptotu jer funkcija ima prekid u tački x=2. ( ) ( ) 3 3 2 22 2 2lim lim 02 2x x x x x x→ − → + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠− − = ∞ , pa funkcija ima vertikalnu asimptotu u x=2. Potražimo horizontalnu asimptotu: ( ) 3 2lim 2x x x→±∞ = ±∞ − , ( gore je polinom trećeg stepena a dole polinom drugog stepena pa se ovaj limes ponaša kao 3 2limx x x→±∞ = ±∞ , pa funkcija nema horizontalnu asimptotu. Potražimo zato kosu asimptotu: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 22 2 3 3 233 2 2 2 2 ( )lim lim lim lim 1 4 44 42 4 42 lim ( ) lim lim lim 2 2 2 4 4lim 4 4 4 x x x x x x x x x f x x x xk x x xx x xx x 2 x x x x xx x xxn f x kx x x x x x x x x →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ →±∞ = = = = = − +− +− ⎡ ⎤ − − +− − = − = − = =⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ − = = − + = Pa funkcija ima kosu asimptotu 4y x= + . 4) Razmotrimo nule i znak funkcije: ( ) 3 2( ) 0 02 xf x x x = = ⇔ − = 2 Kako je imenilac ( ) , to znak funkcije zavisi samo od znaka 22 0,x x− > ≠ 3x a on se poklapa sa znakom x. Dakle, za x>0 funkcija je pozitivna a za x<0 funkcija je negativna, pri čemu je x različito od dva. 5) prvi izvod funkcije f(x) je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 2 3 23 2 4 3 3 3 2 2 2 3 2 2 6( ) 2 2 2 x x x x x x x x xx xf x x x x ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −−′ = = = − − − 3 6 2x = − Nule prvog izvoda su 1 2 3 0, 6x x= = , pa su kritične tačke funkcije f(x) tačke A(0,0) i B(6,27/2). x 0 2 6 x2 + + + + + 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x-6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + (x-2)3 - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + Prvi izvod + + + + + 0 ++ + + + + - - - - - - - - - - 0 + + + + + ++ Funkcija f(x) min Dakle, funkcija raste na ( ) ( ), 2 6,−∞ ∪ ∞ , a opada na intervalu ( )2,6 . Primetimo da u x=2 funkcija, pa ni prvi izvod nisu definisani. 6) Funkcija ima lokalni minimum u x=6 i tada je y=27/2. U x=0 , i ako je prvi izvod jednak nuli, funkcija nema ekstremnu vrednost jer prvi izvod ne menja znak , pa ova stacionarna tačka nije tačka u kojoj postoji ekstremna vrednost. 7) Drugi izvod funkcije f(x) je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 22 3 23 2 3 6 2 3 2 3 2 2 3 2 4 4 4 3 12 2 6 3 26( ) 2 2 3 12 2 6 3 3 6 12 24 3 18 2 2 24 2 x x x x x xx xf x x x x x x x x x x x x x x x x x x ′⎡ ⎤ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ −−′′ = = =⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ − ⋅ − − − ⋅ − − + − + = = − − = − = On ima nulu za x=0, i u njoj drugi izvod menja znak. Naime, imenilac je na celoj oblasti definisanosti kao kvadrat realnog broja različitog od nule stalno pozitivan, pa se znak poklapa sa znakom brojioca odnosno sa 24x, tj sa znakom x. Zato je x=0 prevojna tačka. Kako je imenilac stalno pozitivan, i znak zavisi samo od brojioca i poklapa se za znakom x, funkcija je konveksna kada je ( ) 0f x′′ > odnosno na intervalu , a konkavna na intervalu ( ) (0, 2 2,∪ ∞) ( ),0−∞ . Na osnovu drugog izvoda može se ispitati i karakter kritične tačke B, jer iz sledi da je tačka B minimum funkije. ( )6 0f ′′ > 8) Grafik Na osnovu gornjih ispitivanja, možemo da skiciramo grafik funkcije. Unesemo na grafik nule funkcije i ucrtamo asimptote. Nakon toga , poštujući, znak, monotonost i konkavnost, skiciramo grafik cele funkcije. -40 -20 20 40 -40 -20 20 40 60 80 3. Ispitati tok I skicirati grafik funkcije ( ) 1 xef x x − = − 1) Domen ove funkcije je ( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ 2) Funkcija nije ni parna ni neparna. 3) Vertikalna asimptota : 1 1 1 1 lim 1 0 funkcija ima vertikalnu asimptotu 1 lim 1 0 x x x x e e x x e e x − − → − − − → + ⎫⎛ ⎞ = = ∞ ⎪⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎪ =⎬ ⎛ ⎞ ⎪= = −∞⎜ ⎟ ⎪− −⎝ ⎠ ⎭ Horizontalna asimptota: ( ) ( ) 1lim lim 0 0 0 1 1 lim lim (Lopitalovo pravilo) lim 1 1 x x x x x x x x x x e e x x e e e e x − − →+∞ →+∞ − − − ∞ →−∞ →−∞ →−∞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ∞ −⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟− ∞ −⎝ ⎠ ∞