kvadratna jednacnina srednja skola, Šeme' predlog Matematika
frizider123
frizider123

kvadratna jednacnina srednja skola, Šeme' predlog Matematika

9 str.
12broj poseta
Opis
opis kvadratne jednacine, formule, kako se resava
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 9
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.
Microsoft Word - KVADRATNA JEDNACINA.doc

1

KVADRATNA JEDNAČINA 02 =++ cbxax Jednačina oblika 02 =++ cbxax , gde je −x nepoznata. ba, i c realni brojevi, ,0≠a je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima ba, i c . Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti 0≠b i 0≠c . Ako je 0=b ili 0=c (ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna. Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako.

Nepotpune kvadratne jednačine

Primeri:

0)52( 052 2

=+ =+

xx xx

0=x

Potpuna kvadratna jednačina: 02 =++ cbxax

Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa 1x i 2x i tradicionalno se piše

2

1,2 4

2 b b acx

a − ± − = www.matematiranje.com

0)( 02

=+ =+ baxx bxax

0=+bax0=x

a bx −=

a bx

a cx

cax cax

−±=

−=

−=

=+

2

2

2 0 0

02

= =

x ax

2 5 52

052

−=

−= =+

x

x x

2 3

2 3 2 3

4 9

4 9 94

094

2

1

2

2

2

−=

=

±=

±=

=

=

=−

x

x

x

x

x

x x

0 0

5 0 05

21

2

2

== =

=

=

xx x

x

x

2

Primer 1) Reši jednačine: a) 026 2 =−− xx b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx a) 026 2 =−− xx Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.

22

1,2

1,2

1

2

( 1) ( 1) 4 6 ( 2)4 2 2 6

1 49 1 17 12 12

1 7 8 2 12 12 3

1 7 6 1 12 12 2

b b acx a

x

x

x

− − ± − − ⋅ ⋅ −− ± − = =

⋅ ± ±

= =

+ = = =

− − = = = −

b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx Dakle: Pazi jer je:

www.matematiranje.com

2 1

6

−= −= =

c b a

1 2

1

= −= =

c b a

22

1,2

1,2

1

2

( 2) ( 2) 4 1 14 2 2 1

2 4 4 2 0 2 2

2 1 2 2 1 2

b b acx a

x

x

x

− − ± − − ⋅ ⋅− ± − = =

⋅ ± − ±

= =

= =

= =

5 4

1

= −= =

c b a

2

1,2

1,2

4 ( 4) 16 20 2 2 1

4 4 4 2 2 2 2

b b acx a

ix

− ± − − − ± − = =

⋅ ± − ±

= = = (2 )

2 i± 2 i= ±

1

2

2 2

x i x i = + = −

i

i

=−

=−=−

1

2)1(44

3

Primer 2) Rešiti jednačinu:

xxxx 112)2)(1()32( 2 −=+−+− Rešenje: →=+ 012x Nepotpuna kvadratna jednačina

ix ix

x

x

−= += −±=

−=

2

1

2

1

1

Primer 3) Rešiti jednačinu:

→ −

= +

− − 4

8 2

3 2 2xxx x najpre rastavimo na činioce imenilac

→ +−

= +

− − )2)(2(

8 2

3 2 xxxx x Množimo sve sa NZS )2)(2( +−= xx uz uslov:

i →=−− 022 xx Sad radimo kao kvadratnu jednačinu

→==+= 2 2 4

2 31

1x PAZI: nije rešenje jer 2≠x

→−=−=−= 1 2 2

2 31

2x Dakle 1x = −

Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4 dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više. Koliko je u toj grupi bilo dečaka? Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku

www.matematiranje.com

5:/055 0112229124

112)2)(1()32(

2

22

2

=+

=+−−−+++−

−=+−+−

x xxxxxx

xxxx

2≠x 2−≠x 08632

8)2(3)2( 2 =−+−+

=−−+

xxx xxx

2 1

1

−= −= =

c b a

2 31

2 )2(14)1()1(

2 4

2,1

22

2,1

± =

−⋅⋅−−±−− =

−±− =

x

a acbbx

4

→=+⋅− =⋅

____________________________ 400)5()4(

400 yx

yx Sredimo ovu drugu jednačinu...

4002045400 4002045 =−−+ =−−+

yx yxxy

→=−− 02045 yx Iz prve jednačine izrazimo x

y 400=

x x

x ⋅=−⋅− /02040045

→=−− 02016005 2 xx (poredjamo) →=−− 01600205 2 xx (podelimo sa 5)

→=−− 032042 xx sad radimo kvadratnu jednačinu

Nemogućex

x

x

a acbbx

→−= −

=

= +

=

± =

± =

+± =

−⋅⋅−−±−− =

−±− =

16 2 364

20 2 364

2 364

2 12964

2 1280164

2 )320(14)4()4(

2 4

2

1

2,1

22

2,1

Dakle bilo je 20 dečaka u grupi.

Priroda rešenja kvadratne jednačine Diskriminanta (D) kvadratne jednačine 02 =++ cbxax je izraz acb 42 − (ono pod korenom) Dakle: 2 4D b ac= −

Sada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: a Dbx

22,1 ±−

=

Za kvadratnu jednačinu cbxax ++2 sa realnim koeficijentima važi: 1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je 0>D

21( xx = R∈ 21 xx ≠ akko )0>D 2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je 0=D

21( xx = R∈ akko )0=D www.matematiranje.com

320 4

1

−= −= =

c b a

5

3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je 0<D biaxbiax −=+= 21 ,( akko )0<D

Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara: a) 032 =++ mxx b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn a) 032 =++ mxx

mmacbD 491434 22 −=⋅⋅−=−= 1) 0>D ⇒ 049 >− m →−>− 94m PAZI: Okreće se znak

4 9

4 9

<

− − <

m

m

2) 0=D ⇒ 049 =− m ⇒ 4 9 =m

3) 0<D ⇒ 049 <− m ⇒ 4 9 >m

Dakle: - za 4 9 <m rešenja su realna i različita

- za 4 9 =m rešenja su realna i jednaka

- za 4 9 >m rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi

b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn

5 )1(2

3

−= +−=

+=

nc nb

na PAZI: ovde je odmah 03 ≠+n da bi jednačina bila kvadratna

www.matematiranje.com

mc b a

= = =

3 1

6

[ ]22

2 2

2

4 2( 1) 4( 3)( 5)

4( 2 1) 4( 5 3 15)

4

D b ac n n n

n n n n n

n

= − = − + − + −

= + + − − + −

= 28 4 4n n+ + − 20 12 60 16 64

n n D n

+ − + = +

1) 0>D 16 64 0 16 64 4, 4n n n n+ > ⇒ > − ⇒ > − > − Rxx ∈≠ 21 2) 0=D 16 64 0 4n n+ = ⇒ = − Rxx ∈= 21 3) 0<D 16 64 0 4n n+ < ⇒ < − 1x i 2x su konjugovano-kompleksni brojevi. Primer 2) Za koje vrednosti parametra Rk ∈ jednačina 02)1(2 =+++ xkkx ima dvostruko rešenje? Rešenje: Ovde nam treba da je 0=D i naravno 0≠a , jer ako je 0=a jednačina nije kvadratna. 02)1(2 =+++ xkkx ⇒ ⇒ 0≠k

016 1681224)1(4

2

2222

=+−=

+−=−++=⋅⋅−+=−=

kkD kkkkkkkacbD

Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ 0162 =+− kk

22

1,2 ( 6) ( 6) 4 1 14 6 32

2 2 2 Malo sredimo : 32 16 2 4 2

b b ack a

− − ± − − ⋅ ⋅− ± − ± = = =

= ⋅ =

Pa je:

www.matematiranje.com

2 1

= +=

=

c kb ka

1 6

1

= −= =

c b a

7

( )

223

223

223 2

2232 2

246

2

1

2,1

−=

+=

±= ±

= ±

=

k

k

k

Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!! Primer 3) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 142 +− xmx ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde dakle mora biti 0>D i naravno 0≠a

1

4 0

= −=

≠⇒=

c b

mma

nula ne sme! Dakle, rešenje je )4,0()0,( ∪−∞∈m Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina mxx +−82 ima konjugovano- kompleksno rešenja? Rešenje: Mora biti 0<D i 0≠a

mc b a

= −= ≠= 8

01

Primer 5) Za koje vrednosti parametra Rk∈ jednačina 0362 =++ xkx nema realna rešenja? Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno 0<D i naravno 0≠a .

www.matematiranje.com

4 164 0416

0464 14)4(

4 2

2

< −>− >− >−= ⋅⋅−−=

−=

m m m

mD mD

acbD

),16(16 644

0464 14)8(

4 2

2

∞∈⇒> −<−

<−= ⋅⋅−−=

−=

mm m

mD mD

acbD

8

0362 =++ xkx ⇒ ⇒ 0≠k

),3(3 3612

01236 1236346

4 2

2

∞∈⇒> −<− <−

−=⋅⋅−=

−=

kk k k

kkD acbD

Primer 6) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 05,2)12()12( 2 =++−+ xmxm ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde je 0>D i 0≠a

0≠a ⇒ 012 ≠+m ⇒ 2 1 −≠m

[ ] [ ]

2

2

2

2

2

4

(2 1) 4 2 1 2,5

(2 1) 10(2 1) 4 4 1 20 10 4 16 9 0

D b ac

D m m

D m m D m m m D m m

= −

= − + − ⋅ + ⋅

= + − +

= + + − −

= − − >

Rešimo najpre 09164 2 =−− mm

9 16

4

−= −= =

c b a

(Pogledaj kvadratne nejednačine):

www.matematiranje.com

3 6 = = =

c b ka

5,2 )12(

12

−= +−= +=

c mb

ma

2

1,2

1,2

1

2

4 2

16 256 144 16 20 8 8

36 9 8 2

4 1 8 2

b b acm a

m

m

m

− ± − =

± + ± = =

= =

= − = −

9

→> 0D biramo gde je +

www.matematiranje.com

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ ∞∪⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −∞−∈ ,

2 9

2 1,m

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 9 str.