Kvantna mehanika I, Skripte' predlog Kvantna mehanika. Drzavni Univerzitet u Novom Pazaru
punkeriki
punkeriki

Kvantna mehanika I, Skripte' predlog Kvantna mehanika. Drzavni Univerzitet u Novom Pazaru

164 str.
4broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
Udzbenik za predmet Kvantna mehanika 1, Univerzitet u Sarajevu.
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 164
ovo je samo pregled
3 prikazano na 164 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 164 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 164 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 164 str.
preuzmi dokument

Univerzitet u Sarajevu Prirodno-matematički fakultet Odsjek za fiziku

KVANTNA MEHANIKA I

UDŽBENIK

2012.

Sadržaj

1 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike 1 1.1 Zakoni zračenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Gustoća energije elektromagnetnog polja . . . . . . . . 3 1.1.2 Koordinatna zavisnost polja u rezonatoru . . . . . . . . 4 1.1.3 Broj različitih modova polja . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Srednja energija moda u rezonatoru. Rayleigh-Jeansova

i Wienova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Planckova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Einsteinovo izvodenje Planckove formule . . . . . . . . 8 1.1.7 Ekscitancija. Stefan-Boltzmannov zakon i Wienov za-

kon pomjeranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.8 Specifična toplota sistema materijalnih čestica . . . . . 11 1.1.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Kvantiziranje fizikalnih veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Fotoelektrični efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Comptonov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Linijski spektri i klasifikacija spektralnih linija . . . . . 20 1.2.4 Franck-Hertzov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.5 Stern-Gerlachov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Talasni aspekti čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 De Broglievi talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Difrakcija talasa materije . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.3 Statistička interpretacija talasa materije . . . . . . . . 35 1.3.4 Srednje (očekivane) vrijednosti u kvantnoj mehanici . . 43 1.3.5 Primjer tri kvantno-mehanička operatora . . . . . . . . 45 1.3.6 Princip superpozicije u kvantnoj mehanici . . . . . . . 46 1.3.7 Heisenbergov princip neodredenosti . . . . . . . . . . . 47 1.3.8 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4 Dodaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iv SADRŽAJ

1.4.1 Zadaci sa pismenih ispita iz kvantne mehanike . . . . . 57 1.4.2 Razvoj korpuskularno-talasnog dualizma elektromag-

netnog polja i čestica od klasične do kvantne fizike . . . 59

2 Matematičke osnove kvantne mehanike I 61 2.1 Osobine operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2 Kombinovanje dva operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 Diracova bra i ket notacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije . . . . . . . . . . . 64 2.5 Mjerljivost različitih opservabli u istim trenucima . . . . . . . 69 2.6 Operatori položaja i impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7 Heisenbergove relacije neodredenosti za proizv. opservable . . 72 2.8 Operatori momenta impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.9 Kinetička energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.10 Ukupna (totalna) energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.11 Vlastiti diferencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.12 Razvoj po vlastitim funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.13 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Schrödingerova jednačina 91 3.1 Očuvanje broja čestica u kvantnoj mehanici . . . . . . . . . . 94 3.2 Stacionarna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3 Osobine stacionarnih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4 Zadaci sa pismenih ispita iz kvantne mehanike . . . . . . . . . 98

4 Harmonijski oscilator 101 4.1 Jednodimenzionalna Schrödingerova jednačina za harmonijski

oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2 Rješenje Schrödingerove jednačine za harmonijski oscilator . . 103 4.3 Opis harmonijskog oscilatora pomoću operatora i ↠. . . . . 111 4.4 Osobine operatora i ↠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.5 Predstavljanje hamiltonijana harmonijskog oscilatora pomoću

operatora i ↠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6 Interpretacija operatora i ↠. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.7 Matematički dodatak: Hipergeometrijske funkcije . . . . . . . 116

4.7.1 Hipergeometrijska diferencijalna jednačina . . . . . . . 116 4.7.2 Konfluentna hipergeometrijska diferencijalna jednačina 118

4.8 Matematički dodatak: Hermiteovi polinomi . . . . . . . . . . . 119 4.9 Zadaci sa pismenih ispita iz kvantne mehanike . . . . . . . . . 121

5 Prelaz sa klasične na kvantnu mehaniku 123

5.1 Jednačina kretanja za srednje vrijednosti . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Ehrenfestov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.3 Konstante kretanja i zakoni očuvanja . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4 Analogija klasičnih Poissonovih zagrada i kvantno-mehaničkih

komutatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6 Sferno simetrični potencijal. Vodonikov atom 129 6.1 Schrödingerova jednačina sa

Coulombovim potencijalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Separacija varijabli u sfernim koordinatama . . . . . . . . . . 130 6.3 Rješavanje radijalne jednačine za vodonikov atom . . . . . . . 130 6.4 Spektar vodonikovog atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.5 Struje u vodonikovom atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.6 Magnetni moment atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 Teorija reprezentacija 141 7.1 Reprezentacija (predstavljanje) operatora . . . . . . . . . . . . 143 7.2 Problem vlastitih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3 Unitarne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 S matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 Schrödingerova jednačina u matričnom obliku . . . . . . . . . 154 7.6 Schrödingerova reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.7 Heisenbergova reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.8 Reprezentacija medudjelovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Poglavlje 1

Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

Kvantna mehanika se razvila tokom prve tri decenije dvadesetog vijeka kao odgovor na neuspjeh klasičnih teorija, kako Newtonove mehanike (I. New- ton (Njutn), 1642.-1727.), tako i teorije elektromagnetnog polja, da daju objašnjenje nekih osobina elektromagnetnog zračenja i strukture atoma. Poka- zalo se da se pomoću te nove teorije mogu objasniti ne samo struktura i oso- bine atoma, već i način medusobne interakcije atoma i molekula u čvrstim tijelima, kao i njihove interakcije sa elektromagnetnim zračenjem. Da bi postigla takav uspjeh kvantna mehanika se morala razviti na konceptima koji su potpuno različiti od onih u klasičnoj fizici. To je izmijenilo naš pogled na prirodu svijeta oko nas.

Na kraju devetnaestog vijeka nauka je materijalne čestice i zračenja opi- sivala potpuno različitim zakonima. Kretanje materijalnih tijela opisivano je zakonima Newtonove mehanike, dok su osobine elektromagnetnog zračenja uspješno objašnjene Maxwellovom teorijom elektromagnetnog polja (J. C. Maxwell (Maksvel), 1831.-1878.). Maxwellova teorija, potvrdena Hertzovim eksperimentima (Heinrich Rudolf Hertz (Herc), 1857.-1894.) je omogućila jedinstvenu interpretaciju niza pojava za koje se ranije smatralo da pripadaju različitim oblastima: elektricitetu, magnetizmu i optici. Interakcija zračenja i materije bila je dobro objašnjenja Lorentzovom silom (H. Lorentz (Lorenc), 1853.-1927.). Taj skup zakona je na zadovoljavajući način objašnjavao sva dotadašnja eksperimentalna zapažanja.

Početkom dvadesetog vijeka dolazi do revolucionarnog preokreta u fizici. Nezavisno jedna od druge pojavile su se relativistička fizika i kvantna fizika. Klasični zakoni prestaju da važe za materijalna tijela koja se kreću vrlo velikim brzinama, uporedljivim sa brzinom svjetlosti (relativistička oblast). Klasični zakoni su takoder podbacili na atomskoj i subatomskoj skali (kvantna

2 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

oblast). Važno je zapaziti da se na klasičnu fiziku, u obadva ta slučaja, može gledati kao na aproksimaciju novih teorija, aproksimaciju koja je ispravna za većinu fenomena sa kojima se susrećemo u svakodnevnom životu. Npr., Newtonova mehanika omogućava da se korektno predvidi kretanje čvrstog tijela ako je to kretanje nerelativističko (tj. ako mu je brzina mnogo manja od brzine svjetlosti u vakuumu) i ako je to tijelo makroskopsko (tj. ako su mu dimenzije mnogo veće od dimenzija atoma). Bez obzira na to, sa fundamen- talne tačke gledǐsta, kvantna teorija je neophodna. To je jedina teorija koja omogućava da se shvati zašto čvrsta tijela uopšte postoje, kao i da odredi vri- jednosti makroskopskih parametara (gustoće, specifične toplote, elastičnosti, itd.) koje su im pridružene. Pored toga, bitno je da je kvantna teorija dovela do ujedinjenja dvaju fundamentalnih fizikalnih koncepata: čestica i talasa. O tom tzv. čestično-talasnom odnosno korpuskularno-valnom dualizmu biće kasnije vǐse riječi.

Glavni cilj ovoga kursa Kvantna mehanika I je da se upoznamo sa os- novama nerelativističke kvantne mehanike. U okviru predmeta Kvantna mehanika II posebnu pažnju posvetit ćemo rješavanju konkretnih problema i primjenama kvantne mehanike. Zadnji dio toga kursa bit će uvod u rela- tivističku kvantnu mehaniku.

U ovom uvodnom poglavlju prvo ćemo detaljno analizirati zakone zračenja čije je objašnjenje predstavljalo prvi uspjeh kvantne teorije. Zatim ćemo navesti niz eksperimenata koji su uspješno objašnjeni tek nakon što je pri- hvaćena neophodnost kvantiziranja fizikalnih veličina. Konačno, u zadnjem odjeljku ćemo posvetiti pažnju čestično-talasnom dualizmu i principu kom- plementarnosti. Izlaganje u ovom poglavlju je nešto obimnije i može poslužiti kao dopuna kursa atomske fizike.

1.1 Zakoni zračenja

Sa istorijske tačke gledǐsta, početak razvoja kvantne teorije je povezan sa zakonima zračenja. Krajem devetnaestog vijeka zakon zračenja crnog ti- jela, koji daje zavisnost gustoće energije od frekvencije zračenja i temper- ature, bio je opisan sa dvije odvojene, medusobno kontradiktorne, formule klasične fizike. Rayleigh-Jeansov (Lord Rayleigh (Rejli), 1824.-1919., i J. Jeans (Džins), 1877.-1946.) zakon zračenja se slagao sa eksperimentima za velike talasne dužine (tj. niske frekvencije), dok je Wienov (W. Wien (Vin), 1864.-1928.) zakon bio ispravan za kratkotalasno zračenje. Tu kontradikciju je razriješio Planck (M. Planck (Plank), 1858.-1947.), izvevši formulu koja vrijedi za sve talasne dužine i sadrži u sebi (kao granične slučajeve) obadva pomenuta zakona. Pri tome je uveo novu konstantu h, koja je kasnije naz-

1.1 Zakoni zračenja 3

vana po njemu. 14. decembra 1900. godine Max Planck je predstavio svoje rezultate na sastanku Njemačkog fizičkog društva u Berlinu. Taj dan se smatra “rodendanom” kvantne teorije.1 Zato ćemo u ovom poglavlju prvo razmotriti zakone zračenja crnog tijela.

1.1.1 Gustoća energije elektromagnetnog polja

Elektromagnetno polje ćemo opisivati klasičnim jednačinama i pokazat ćemo da se hipoteza kvanta svjetlosti može uvesti u klasičnu teoriju koristeći jedan dopunski uslov za izračunavanje energije elektromagnetnog polja. Izvest ćemo Planckovu formulu koja opisuje spektralnu raspodjelu energije elek- tromagnetnog zračenja unutar rezonatora u termodinamičkoj ravnoteži pri temperaturi T . Takvo zračenje se može nazvati zračenjem crnog tijela. Pod pojmom rezonatora ovdje podrazumijevamo homogenu i izotropnu dielek- tričnu sredinu koja je zatvorena u nekoj zapremini V i koja neprekidno emi- tuje i apsorbuje elektromagnetno zračenje. Prema klasičnoj teoriji, gustoća energije elektromagnetnog polja, opisanog jačinama električnog polja E i magnetnog polja H, odredena je formulom:

w = 1

2

( εE2 + µH2

) =

0

wνdν, (1.1)

gdje je ε = ε0εr, µ = µ0µr, εr relativna (dielektrična) permitivnost, ε0 permi- tivnost za vakuum, µr relativna (magnetna) permeabilnost, a µ0 (magnetna) permeabilnost za vakuum. Te veličine su povezane sa brzinom elektromag- netnog talasa u razmatranoj sredini v formulom εµv2 = 1 (za vakuum je ε0µ0c

2 = 1).2 Drugi dio formule (1.1) daje vezu gustoće energije w i spek- tralne raspodjele gustoće energije = ∂w/∂ν. Može se pokazati da je spektralna raspodjela gustoće energije zračenja univerzalna funkcija koja ne zavisi ni od oblika rezonatora, ni od prirode dielektrične sredine, već samo od frekvencije ν i temperature T : = (ν, T ) (to je prvi Kirchhoffov (K. G. Kirchhoff (Kirhof), 1824.-1887.) zakon). Funkcionalnu zavisnost

1O istorijskom razvoju kvantne teorije pogledati npr. referencu: More Things in Heaven and Earth. A celebration of physics at the millenium, editor B. Bederson, Springer and The American Physical Society, New York, 1999.

2Vrijednosti fundamentalnih fizičkih konstanti mogu se naći npr. u: E. R. Cohen, B. N. Taylor, The 1986 Adjustment of the Fundamental Physical Constants, report of the CODATA Task Group on Fundamental Constants, CODATA Bulletin 63, Pergamon, Elmsdorf, New York, 1986.; Rev. Mod. Phys. 57, 1121 (1987). Za gore navedene slučajeve one iznose: ε0 = 8, 854 187 817 · 1012 F m1, µ0 = 4π · 107 H m1 = 4π · 107 N A2, c = 299 792 458 m s1.

4 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

= (ν, T ) ćemo odrediti u tri koraka. Prvo ćemo izvesti izraz za za- visnost polja u rezonatoru od prostorne koordinate, a zatim ćemo odrediti broj različitih modova polja.3 Treći korak će biti da izračunamo energiju moda pri temperaturi T .

1.1.2 Koordinatna zavisnost polja u rezonatoru

Iz Maxwellovih jednačina slijedi da vektor jačine električnog polja E zado- voljava talasnu jednačinu:

2E = 1 v2

2E

∂t2 , (1.2)

gdje je 2 Laplaceov (Pierre Simon de Laplace (Laplas), 1749.-1827.) opera- tor, a v brzina prostiranja talasa. Rješenje jednačine (1.2) se može dobiti razdvajanjem prostornih i vremenskih promjenljivih:

E(r, t) = f(t)u(r), (1.3)

gdje u(r) i f(t) zadovoljavaju jednačine:

2u = −k2u, (1.4a) d2f

dt2 = −ω2f, (1.4b)

k je konstanta, a ω = vk. Rješenje jednačine (1.4b) je:

f(t) = f0 sin(ωt + ϕ), (1.5)

gdje su f0 i ϕ proizvoljne konstantne veličine. Pretpostavimo da su zidovi rezonatora (pravougaonog oblika, slika 1.1)

idealno propusni, tako da je tangencijalna komponenta polja jednaka nuli na granicama rezonatora (matematički se to izražava jednačinom E × n̂ = 0, gdje je n̂ normala na površinu rezonatora). Uz takav granični uslov, rješenje Helmholtzove (H. Helmholtz (Helmholc), 1821.-1894.) jednačine (1.4a) je oblika:

ux = ex cos k1x sin k2y sin k3z,

uy = ey sin k1x cos k2y sin k3z,

uz = ez sin k1x sin k2y cos k3z, (1.6)

pri čemu, ako želimo da granični uslov bude zadovoljen na svim vanjskim površinama rezonatora, moraju biti ispunjeni uslovi:

3Jedan mod je tačno odredeno rješenje talasne jednačine za vektor jačine električnog polja, ili, pojednostavljeno rečeno, mod je zrak svjetlosti tačno odredenog smjera i polar- izacije.

1.1 Zakoni zračenja 5

Slika 1.1: Pravougaoni rezonator.

k1 = n1π

2a , k2 =

n2π

2a , k3 =

n3π

L . (1.7)

Konkretno, za x = 2a je sin k1x = 0, pa je uy = uz = 0, što se i zahtjeva (graničnim uslovom). Veličine k1, k2 i k3 su komponente valnog vektora k koji odreduje smjer prostiranja elektromagnetnog talasa, pri čemu je k2 = k21 + k22 + k

2 3, čime je odredena i frekvencija ν = kv/(2π). Pozitivni cijeli brojevi

n1, n2 i n3 predstavljaju broj čvorova moda stojećeg talasa u smjeru x, y i z, respektivno. Maxwellova jednačina ∇ · E = 0 vodi na uslov ortogonalnosti polja E i valnog vektora k:

k · e = 0. (1.8)

Uslov (1.8) ukazuje na to da vektor e leži u ravni okomitoj na k. U toj ravni za izbor smjera vektora e ostaju samo dva stepena slobode, što odgovara dvjema komponentama polarizacije polja. To znači da svaki skup brojeva (n1, n2, n3) odreduje dva moda polja koji se razlikuju po polarizaciji. Svako pobudenje elektromagnetnog polja se može predstaviti u obliku sume takvih modova polja.

1.1.3 Broj različitih modova polja

Izračunajmo broj modova u rezonatoru N(ν) koji imaju frekvenciju u inter- valu [0, ν], odnosno amplitudu valnog vektora k u intervalu [0, 2πν/v]. Na osnovu jednačine (1.7), očito je da su u sistemu koordinata k1, k2, k3 moguće vrijednosti k date vektorima koji spajaju koordinatni početak sa čvornim tačkama trodimenzionalne rešetke prikazane na slici 1.2. Pošto su veličine k1, k2 i k3 pozitivne, to uzimamo samo tačke koje leže u pozitivnom ok- tantu. Broj takvih tačaka je jednak jednoj osmini odnosa zapremine sfere sa centrom u koordinatnom početku, radijusa 2πν/v, i zapremine elementarne

6 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

ćelije dimenzija π/(2a), π/(2a) i π/L. Uzimajući u obzir da svakom vek- toru k odgovaraju dva moda polja (tj. dva nezavisna smjera polarizacije), dobijamo:

Slika 1.2: Dozvoljene vrijednosti vektora k za rezonator u obliku pravougaonika.

N(ν) = 2 1 8

4π 3

( 2πν v

)3 π 2a

π 2a

π L

= 8πν3

3v3 V, (1.9)

gdje je V zapremina rezonatora. Dakle, traženi broj modova u jedinici za- premine i u jediničnom frekventnom intervalu je:

1

V

dN(ν)

=

8πν2

v3 . (1.10)

1.1.4 Srednja energija moda u rezonatoru. Rayleigh- Jeansova i Wienova formula

Predimo sada na drugi korak našeg problema nalaženja zavisnosti (ν, T ) i izračunajmo srednju energiju proizvoljnog moda u rezonatoru na tempera- turi T . U skladu sa Boltzmannovom (L. Boltzmann (Bolcman), 1844.-1906.) statistikom, vjerovatnoća da energija datog moda rezonatora poprima vrijed- nosti izmedu E i E + dE je proporcionalna e−E/(kBT )dE, tako da je srednja

1.1 Zakoni zračenja 7

energija moda:

=

∫ 0

Ee − E

kBT dE

∫ 0

e − E

kBT dE

= kBT. (1.11)

Tražena spektralna gustoća energije je jednaka proizvodu broja modova u jedinici zapremine i u jediničnom frekventnom intervalu, (1.10), i srednje energije moda E, (1.11):

= 1

V

dN(ν)

dν Ē =

8πν2

v3 kBT. (1.12)

To je Rayleigh-Jeansova formula. Ta formula je u suprotnosti sa eksperi- mentalnim rezultatima za visoke frekvencije, dok je za niske frekvencije ν slaganje teorije i eksperimenta vrlo dobro. Lako se može pokazati da for- mula (1.12) nije ispravna ako se pokuša izračunati integralna gustoća energije w =

0

wνdν. Dobija se da w → ∞, što znači da klasična teorija ne daje ispravne rezultate za zračenje crnog tijela. Divergencija gustoće energije w je poznata pod nazivom ultraljubičasta katastrofa.

Drugačiji zakon zračenja je izveo Wien. Pretpostavljajući da je raspod- jela gustoće energije po frekvencijama analogna Maxwellovoj raspodjeli mole- kula gasa po brzinama, izveo je slijedeći rezultat:

= C1ν 3e−C2ν/T , (1.13)

gdje su C1 i C2 konstante. Wienov zakon zračenja (1.13) se slaže sa eksperi- mentima samo u oblasti malih talasnih dužina.

1.1.5 Planckova formula

Probleme do kojih je dovela primjena klasične teorije na zračenje crnog tijela riješio je Planck uvodeći hipotezu o kvantima svjetlosti. Prema toj hipotezi energija datog moda rezonatora ne može da poprima proizvoljne vrijednosti od 0 do ∞, kao što je to pretpostavljeno pri izvodenju formule (1.11), već samo“porcije” energije oblika E = nhν, gdje je n pozitivan cijeli broj, a h neka konstanta (kasnije nazvana Planckova konstanta). Tada u (1.11) umjesto integrala imamo sume i vrijedi:

=

n=0

nhνe − nhν

kBT

n=0

e − nhν

kBT

=

e hν

kBT − 1 . (1.14)

8 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

Ta formula se suštinski razlikuje od (1.11). U graničnom slučaju kada h → 0, formula (1.14) se svodi na (1.11) (upravo limes h → 0 odgovara prelazu sa kvantne na klasičnu teoriju). Tražena Planckova formula, na osnovu (1.10) i (1.14), je:

= 8πν2

v3

e hν

kBT − 1 . (1.15)

Ta formula je u saglasnosti sa eksperimentima. Za visoke frekvencije ona se svodi na Wienovu formulu (1.13). Na osnovu Planckove formule (1.15), za totalnu gustoću energije zračenja crnog tijela dobija se:

w =

0

wνdν = 8πh

v3

0

ν3

e hν

kBT − 1 =

8πk4BT 4

v3h3

0

x3dx

ex − 1 ,

w = an3T 4, a = 8π5k4B 15c3h3

= 7, 565 91(52) · 1016 J m3 K4, (1.16)

gdje je korǐstena formula ∫ 0

xdx ex−1 =

π4

15 , a n je indeks prelamanja sredine

(v = c/n).

1.1.6 Einsteinovo izvodenje Planckove formule

U ovom odjeljku ćemo predstaviti nešto drugačije izvodenje Planckove for- mule koje potiče od Einsteina (A. Einstein (Ajnštajn), 1879.-1955.) i koje se ne bazira na izračunavanju broja modova i njihove srednje energije. Pret- postavimo da imamo rezonator – crno tijelo, čiji se zidovi održavaju na kon- stantnoj temperaturi T . Kada je sistem u termodinamičkoj ravnoteži sredina unutar rezonatora se nalazi u polju zračenja čija je spektralna gustoća ener- gije . U sredini se odvijaju procesi spontane emisije, stimulisane emisije i apsorpcije. Pošto se cijeli sistem nalazi u stanju termodinamičke ravnoteže, broj prelaza sa nižeg energetskog nivoa m na vǐsi nivo n mora biti jednak broju prelaza sa nivoa n na nivo m. Označimo vjerovatnoću apsorpcije sa Wmn, vjerovatnoću stimulisane emisije sa Wnm i vjerovatnoću spontane emisije sa Anm. Uvedimo konstantne koeficijente Bmn i Bnm (tzv. Ein- steinove koeficijente B):

Wmn = Bmnwν0 , (1.17a)

Wnm = Bnmwν0 , (1.17b)

1.1 Zakoni zračenja 9

gdje je ν0 ≡ νnm = (En − Em) /h (En i Em su energije nivoa n i m, respek- tivno). Neka su Nn i Nm ravnotežne naseljenosti nivoa n i m.

4 Tada uslov termodinamičke ravnoteže glasi:

AnmNn + Bnmwν0Nn = Bmnwν0Nm. (1.18)

Prema Boltzmannovoj statistici je:

Nn Nm

= gn gm

exp

( − hν0

kBT

) , (1.19)

gdje su gn i gm statističke težine ili stepeni degeneracije datih nivoa, tj. brojevi kvantnih stanja sa istim energijama. Tada se, na osnovu (1.18), dobija:

0 = gnAnm

gmBmne hν0 kBT − gnBnm

. (1.20)

Poredenjem (1.20) sa Planckovom formulom (1.15), zaključujemo da je:

gmBmn = gnBnm, (1.21a)

Anm = Bnm 8πν20 v3

0 = Bnm8πh (ν0

v

)3 . (1.21b)

Jednačina (1.21a) pokazuje da su vjerovatnoća apsorpcije i vjerovatnoća stimulisane emisije, uzrokovane zračenjem crnog tijela, u slučaju jednake degeneracije nivoa (gn = gm), jednake. Jednačina (1.21b) omogućava da se izračuna koeficijent Anm na osnovu poznatog koeficijenta Bnm. Koeficijent Bnm se može izračunati primjenom formalizma kvantne mehanike.

1.1.7 Ekscitancija. Stefan-Boltzmannov zakon i Wienov zakon pomjeranja

Često se umjesto zapreminske gustoće w koristi veličina M – ekscitancija (emitancija ili emisiona sposobnost). Ekscitancija je gustoća izlaznog fluksa zračenja i povezana je sa gustoćom energije w formulom (vidjeti zadatak 1.1.1):

M = v

4 w, (1.22)

4Naseljenost ili populacija nivoa je broj atoma u jedinici zapremine koji se “nalazi” na tom nivou.

10 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

tako da je:

M = n2σT 4, σ = ac

4 = 5, 670 51(19) · 108 W m2 K4. (1.23)

Ova relacija predstavlja poznati Stefan-Boltzmannov zakon (J. Stefan (Šte- fan), 1835.-1893.), a konstanta σ se naziva Stefan-Boltzmannova konstanta.

Eksperimentalno se obično mjeri spektralna ekscitancija Mλ ≡ ∂M/∂λ = −vMν/λ2 kao funkcija talasne dužine (vidjeti zadatke 1.1.1 i 1.1.2). Na slici 1.3 je prikazana zavisnost od λ za četiri različite vrijednosti temperature T . Vidimo da ima maksimum pri odredenoj vrijednosti λ. Interesuje nas kakva je raspodjela gustoće energije po talasnim dužinama = 4Mλ/v i kako talasna dužina λmax, koja odgovara maksimalnoj vrijednosti , zavisi od temperature. Rezultat te analize (vidjeti zadatak 1.1.2) je Wienov zakon pomjeranja:

λmax = 1

n

b

T , b = 2, 897 756(24) · 103 m K. (1.24)

Slika 1.3: Ekscitancija zračenja crnog tijela kao funkcija talasne dužine za različite temperature. Na slici je označena vidljiva oblast spektra (osjenčeni dio) i kriva koja odgovara Wienovom zakonu pomjeranja (isprekidana linija).

Uvedimo apsorpcionu spektralnu sposobnost ili koeficijent apsorpcije zra- čenja frekvencije ν, , kao odnos energije koju apsorbuje element površine tijela u jednoj sekundi u frekventnom intervalu (ν, ν + ) i totalne energije

1.1 Zakoni zračenja 11

koja pada u jednoj sekundi na taj element površine u istom frekventnom in- tervalu. Prema drugom Kirchhoffovom zakonu odnos emisione i apsorpcione spektralne sposobnosti proizvoljnog tijela u ravnotežnom stanju je:

Mν Aν

= v

4 wν . (1.25)

Za apsolutno crno tijelo (npr. šuplji rezonator sa malim otvorom, slika 1.4; zračenje koje ude u rezonator u potpunosti se apsorbuje) je = 1. Za stvarna tijela je Aν < 1, tako da je i integralna emisiona sposobnost takvih tijela manja. Konkretno, ona je M ′ = κM , gdje je M dato sa (1.23) i odnosi se na apsolutno crno tijelo, a κ je koeficijent koji zavisi od vrste materijala i temperature (npr. za volfram pri T = 1500 K je κ = 0, 15).

Slika 1.4: Model apsolutno crnog tijela.

1.1.8 Specifična toplota sistema materijalnih čestica

Atomi u čvrstim tijelima osciluju oko ravnotežnog položaja. To oscilovanje se može opisati sistemom nezavisnih harmonijskih oscilatora. Gustoća ener- gije takvog sistema oscilatora se može opisati analogno kao gustoća energije elektromagnetnog polja. Pri tome, pored transverzalnih, treba uzeti u obzir i longitudinalne talase, tj. umjesto faktora 2 u formuli (1.9) treba uzeti faktor 3. Dakle, i klasični (1.12) i kvantni (1.15) rezultat za spektralnu gustoću energije pri odredenoj temperaturi T treba pomnožiti sa faktorom 3/2. Specifična toplota sistema čestica u čvrstim tijelima se definǐse (pri konstantnoj zapremini V ) kao cV = (∂w/∂T )V . Klasični rezultat [vidjeti jednačinu (1.12)] vodi na to da cV ne zavisi od temperature. Medutim, eksperimentalni rezultati za specifičnu toplotu pokazuju da cV → 0 kada T → 0, i to, pri niskim temperaturama, kao T 3. Dakle, i u ovom slučaju se klasična teorija ne slaže sa eksperimentima. Medutim, Planckova for- mula [vidjeti jednačine (1.15) i (1.16)] je u saglasnosti sa eksperimentima. Planckova hipoteza o kvantima je razjasnila i ovaj problem klasične teorije.

12 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

Napomenimo da je teoriju specifične toplote sistema čestica u čvrstim tije- lima formulisao Debye (P. J. W. Debye (Debaj), 1884.-1966.) 1912. godine. Nešto ranije, 1907. godine, Einstein je dao sličnu, ali vrlo pojednostavljenu teoriju.

1.1.9 Zadaci

Zadatak 1.1.1. Naći vezu izmedu gustoće energije w u rezonatoru crnoga tijela i gustoće izlaznog fluksa zračenja koje emituju zidovi crnoga tijela. Rješenje: Izračunajmo, koristeći se prikazanom slikom, gustoću emisije u

nekoj zapremini V unutar rezonatora, koja je uzrokovana zračenjem zidova rezonatora. Vrh konusa prostornog ugla dΩ se nalazi na elementu površine dS koji se od zapremine V nalazi na rastojanju r. Presjek toga konusa sa zapreminom V formira cilindar poprečnog presjeka ds i dužine l. U skladu sa Lambertovim (J. H. Lambert, 1728.-1777.) kosinusnim zakonom, snaga koju emituje element površine dS u prostorni ugao dΩ u smjeru odredenom uglom θ u odnosu na normalu na tu površinu je dε/dt = B cos θdSdΩ, gdje je B sjaj površine crnog tijela (za fizikalnu veličinu sjaj koriste se i nazivi površinska gustoća zračenja ili radijancija i oznaka L). Energija u zapremini V je ε = l

v B cos θdS ds

r2 , gdje je l/v vrijeme prolaska zračenja kroz zapreminu

V , a dΩ = ds/r2. Ukupni doprinos od elementa površine dS u zapremini V se nalazi integriranjem po svim prostornim uglovima koji polaze od elementa dS, što daje

lds = V . Nadalje, treba integrirati energiju zračenja po cijeloj

površini crnoga tijela. Tako za gustoću energije u zapremini V dobijamo: w = E v

= B v

∫ cos θ r2

dS. Veličina cos θ dS r2

je jednaka prostornom uglu dpod kojim se površina dS vidi iz bilo koje tačke zapremine V (za koju se pretpostavlja

1.1 Zakoni zračenja 13

da je vrlo mala), tako da je:

w = B

v

d= 4πB/v. (1.26)

S druge strane, gustoća izlaznog (emitovanog) fluksa zračenja (za ovu veličinu se koriste i nazivi ekscitancija, emitancija ili emisiona sposobnost) je (proračun se vrši u sfernim koordinatama):

M =

π/2∫

θ=0

2π

ϕ=0

B cos θdΩ = B

π/2∫

θ=0

2π

ϕ=0

cos θ sin θdθdϕ = B · 2π · 1 2

= πB.(1.27)

Poredenjem (1.26) i (1.27) konačno se dobija:

w = 4

v M. (1.28)

Analogno, za spektralnu gustoću zračenja vrijedi: = 4Mν/v, tako da je, na osnovu Planckove formule (1.15), spektralna gustoća izlaznog fluksa

zračenja koje emituje površina crnog tijela data sa: = 2π (

ν v

)2 exp

(

kBT

) 1

.

Zadatak 1.1.2. Izvesti Wienov zakon pomjeranja polazeći od Planckove formule. Rješenje: Planckova formula glasi: =

8πν2

v3

exp (

hν kBT

) 1

. Wienov zakon daje

vezu λmax i T . Na osnovu toga zaključujemo da nam treba izraz za spektralnu raspodjelu energije po talasnim dužinama . Vrijedi: dw = wλdλ =

∂w ∂λ

= ∂w ∂ν

= wνdν, ν = v λ ,

= − v

λ2 , =

dν dλ

= − v λ2

= 8πhvλ5[exp(hv/(λkBT ))1] . Maksimum se dobija iz uslova: ∂wλ/∂λ = 0. Ako označimo x =

vh λkBT

, uslov ∂wλ/∂λ = 0 vodi na slijedeću transcendentalnu jednačinu za x: 5 = xex/ (ex − 1), čije numeričko rješenje je x = 4, 965 114 23, odakle slijedi da je λmaxT =

hv kBx

= 1 n b, gdje je b = 2898 µm K konstanta Wienovog zakona

pomjeranja. Primjer: TSunca = 6000 K ⇒ λmax = 0, 483 µm.

Zadatak 1.1.3. Napisati Rayleigh-Jeansovu i Planckovu formulu za spektralnu gustoću raspodjele energije (u vakuumu) po ugaonoj frekvenciji ω. Rješenje: wω =

∂w ∂ω

= 1 2π

∂w ∂ν

= 1 2π

wν ⇒ wRJω = ω 2

π2c3 kBT , w

P ω =

ω2

π2c3 ~ω

e ~ω

kBT −1 .

Zadatak 1.1.4. Zanemarujući gubitke toplote na toploprovodnost izra- čunati snagu električne struje P koja je neophodna za zagrijavanje niti prečni- ka D = 0, 5 mm i dužine l = 10 cm do temperature T = 3000 K. Smatrati

14 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

da nit emituje zračenje kao apsolutno crno tijelo. Rješenje: M = P/S = σT 4, gdje je P tražena snaga, a S površina niti: S = Dπl + 2 · D2π

4 =

( l + D

2

) . P = SσT 4 =

( l + D

2

) σT 4 = 723 W.

Zadatak 1.1.5. Za otkrivanje tumora koriste se uredaji (termografi) koji registruju male promjene temperature ljudske kože. Koža iznad tumora je toplija tako da je toplotno zračenje tog dijela kože intenzivnije, što se prikazuje različitim bojama na termogramu. Kolika je procentualna razlika energije toplotnog zračenja kože na temperaturama 35C i 36C? Rješenje: Stefan-Boltzmannov zakon za temperature T1 = (273, 15+35) K = 308, 15 K i T2 = 309, 15 K glasi E1 = εσT

4 1 i E2 = εσT

4 2 , gdje je emisivnost

kože ε ista za obadvije temperature. Tražena procentualna razlika energija je: (E2 − E1)/E1 = (T 42 − T 41 )/T 41 = 1, 3%.

Zadatak 1.1.6. Oko je najosjetljivije na svjetlost talasne dužine 555 nm. Koliku temperaturu mora imati apsolutno crno tijelo da bi mu maksimum zračenja bio upravo na toj talasnoj dužini? Rješenje: T = b/λmax = 5221 K.

1.2 Kvantiziranje fizikalnih veličina

U prethodnom odjeljku smo, pomoću Planckove hipoteze o svjetlosnim kvan- tima, uspješno objasnili zakone zračenja crnog tijela. Osim zračenja crnog tijela postoje i druge pojave koje se mogu objasniti samo uvodenjem kvanata elektromagnetnog zračenja, odnosno fotona. U ovom odjeljku ćemo anal- izirati neke od tih pojava. Napomenimo da ćemo u trećem odjeljku vǐse pažnje posvetiti čestično-talasnom dualizmu po kojem se elektromagnetni talasi opisuju ili pomoću fotona ili pomoću elektromagnetnih talasa, u zav- isnosti od vrste problema koji se razmatra.

1.2.1 Fotoelektrični efekat

Druga pojava koja se nije mogla rastumačiti primjenom zakona klasične fizike je fotoelektrični efekat. To je proces emisije elektrona sa površine tijela (npr. metala) kada se ono obasja elektromagnetnim zračenjem. Ironija je da je tu pojavu otkrio upravo Hertz, čovjek koji je svojim otkrićem elektromagnet- nih talasa omogućio da se učvrsti klasična fizika. On je, uporedo sa radom na svom glavnom otkriću, 1887. godine zapazio da je preskakanje električne varnice izmedu kuglica od cinka znatno olakšano ako se jedna od njih os-

1.2 Kvantiziranje fizikalnih veličina 15

vijetli ultraljubičastom svjetlošću. 1888. godine engleski fizičar Hallwachs (W. Hallwachs (Halvaks), 1859.-1922.) je otkrio da se pri toj pojavi iz metala emituju neke negativno naelektrisane čestice. To zapaža i profesor Moskovskog univerziteta Stoljetov (Aleksandr Grigorevič Stoljetov, 1839.- 1896.). U svojim istraživanjima u periodu od 1888. do 1890. godine on kon- struǐse prvi uredaj za mjerenje fotoelektrične struje. 1899. godine Thomson (Joseph John Thomson (Tomson), 1856.-1940.) i Lenard (Philipp Lenard, 1862.-1947.) su pokazali, mjereći odnos naelektrisanja i mase tih čestica, da su te negativno naelektrisane čestice elektroni. U periodu od 1899. do 1902. godine Lenard objavljuje svoje radove u kojima je sadržan opis os- novnih karakteristika pojave fotoelektričnog efekta. Objasnimo te rezultate pomoću šeme eksperimentalnog uredaja za mjerenje fotoelektričnog efekta koja je predstavljena na slici 1.5. Katoda K i anoda A su smještene u stak-

Slika 1.5: Šema eksperimentalnog uredaja za mjerenje fotoelektričnog efekta.

leni balon iz kojeg je izvučen vazduh. Katoda se osvjetljava svjetlošću kroz prozor od kvarcnog stakla koje, za razliku od običnog stakla, propušta i ul- traljubičaste zrake. Elektroni, koji su uslijed fotoelektričnog efekta izbačeni iz katode, kreću se pod djelovanjem električnog polja prema anodi. Uslijed toga, u kolu uredaja teče fotostruja koja se mjeri galvanometrom G. Napon izmedu katode i anode mjeri se voltmetrom V , a može se mijenjati pomoću potenciometra P . Zavisnost fotostruje od napona, pri konstantnoj vrijed- nosti intenziteta svjetlosti kojom se osvjetljava katoda, predstavljena je na slici 1.6. Sa slike se vidi da pri nekoj vrijednosti napona fotostruja dostiže zasićenje (I = Iz) i svi elektroni koji su izbačeni iz katode padaju na anodu.

16 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

Nagib krive na slici ukazuje na to da elektroni izlijeću iz katode sa različitim brzinama. Vidimo da fotostruja postoji i kada je napon U = 0. Toj struji doprinose svi elektroni koji posjeduju brzine dovoljne da stignu do anode i bez pomoći napona U . Kada je napon negativan, on djeluje usporavajuće na elektrone. Povećanjem tog usporavajućeg napona, moguće je u potpunosti zaustaviti tok struje. Napon pri kojem je struja jednaka nuli naziva se napon kočenja Uk. Pri tom naponu, čak ni elektroni koji se kreću maksimalnom brzinom vm ne mogu da stignu do anode. Zato možemo pisati da je kinetička energija tih elektrona, koji se kreću brzinom vm, jednaka:

Slika 1.6: Zavisnost fotostruje od napona izmedu elektroda u eksperimentu demonstracije fotoelektričnog efekta.

1

2 mev

2 m = eUk, (1.29)

gdje je me = 9, 109 389 7(54) · 1031 kg masa, a −e naelektrisanje elektrona (e = 1, 602 177 33(49) · 1019 C je elementarno naelektrisanje). Dakle, mjere- njem napona kočenja možemo izračunati maksimalnu brzinu fotoelektrona.

Istraživanja su vršena sa katodama od različitih metala. Pokazalo se da za svaki metal postoji granična frekvencija νg svjetlosti sa kojom se još može postići fotoelektrični efekat. Čak i kada je intenzitet svjetlosti jak, ako joj je frekvencija niža od te granične frekvencije ona ne može da izazove fotoelek- trični efekat. Medutim, ako je ν > νg već i svjetlost slabog intenziteta može da izbaci elektrone iz metala. Ova pojava se nije mogla objasniti primjenom klasične fizike. Brzina fotoelektrona bi, u skladu sa klasičnim zakonima, tre- bala da raste sa povećanjem intenziteta elektromagnetnih talasa. Zato nije bilo jasno zašto svjetlost niske frekvencije, a visokog intenziteta, nije u stanju da izazove fotoelektrični efekat. S druge strane, ako je intenzitet elektromag- netnog talasa nizak, klasično gledano, potrebno je dugo vremena da elektro- magnetni talas preda svoju energiju elektronu. Nasuprot tome, eksperiment je pokazao da do fotoelektričnog efekta dolazi gotovo istovremeno kada svjet- lost frekvencije ν > νg obasja katodu, bez obzira koliko nizak njen intenzitet bio. Sa povećanjem intenziteta svjetlosti samo se povećavala struja zasićenja.

1.2 Kvantiziranje fizikalnih veličina 17

Ove probleme je riješio Einstein 1905. godine. On je pokazao da se sve zakonitosti fotoelektričnog efekta mogu objasniti ako se pretpostavi da je svjetlost, kao i sve druge vrste elektromagnetnog zračenja, kvantizirana i da se apsorbuje u tačno odredenim “porcijama” – kvantima energije hν. Ovo predstavlja dopunu Planckove hipoteze, po kojoj je energija oscilatora koji emituje elektromagnetno zračenje kvantizirana i može imati vrijednosti nhν. Dakle, po Einsteinu, svjetlost ne samo da se emituje, već se i apsorbuje u kvantima . Štavǐse, može se smatrati da se svjetlost sastoji od čestica – kvanata svjetlosti, koje se nazivaju fotoni (naziv foton predložio je 1926. godine Lewis [G. N. Lewis (Luis)]. Pri interakciji sa elektronom foton može da mu preda svoju energiju . Prema tome, energija koju elektron prima ne zavisi od intenziteta svjetlosti, već od njene frekvencije, što se slaže sa eksperimentima. Definǐsimo izlazni rad A kao najmanju energiju koju je potrebno predati elektronu da bi se on udaljio iz čvrstog ili tečnog tijela u vakuum. Dio energije fotona koju je elektron apsorbovao troši se upravo na taj izlazni rad. Ako se elektron, nakon što je osloboden, još ne nalazi na samoj površini, već na nekoj dubini, dio energije fotona se može potrošiti na slučajne sudare tog elektrona (označimo tu energiju sa Es). Preostali dio energije pretvara se u kinetičku energiju Ek = mev

2/2 elektrona koji je napustio površinu tijela. Energija Ek će biti maksimalna ako je Es = 0. Za metale je karakteristično to da se veliki broj elektrona već nalazi na površini, pa se za njih može uzeti da je Es = 0. U tom slučaju vrijedi relacija:

= 1

2 mev

2 m + A, (1.30)

koja se naziva Einsteinova formula za fotoelektrični efekat. Iz te formule je jasno da, ako je energija fotona manja od izlaznog rada A, do fotoelektričnog efekta neće doći. Prema tome, granična frekvencija svjetlosti, pri kojoj dolazi do fotoelektričnog efekta, je:

νg = A/h. (1.31)

Na osnovu relacije λ = c/ν slijedi da je fotoelektrični efekat moguć ako je talasna dužina:

λ ≤ λg = hc/A. (1.32) Frekvencija νg, odnosno talasna dužina λg, se naziva crvena granica fotoelek- tričnog efekta.

Bilo je potrebno vǐse od deset godina da se Einsteinova formula provjeri eksperimentalno sa dovoljnom tačnošću da bi se na osnovu nje mogla odredi- ti Planckova konstanta. Problem je bio u tome što izlazni rad metala zavisi

18 Istorijski uvod i fizikalne osnove kvantne mehanike

od stanja površine metala (od oksida i nečistoća na njoj). 1916. godine američki fizičar Millikan (Robert Andrews Millikan (Miliken), 1868.-1953.) je napravio uredaj pomoću koga je površinu metala čistio u vakuumu, nakon čega je mjerio izlazni rad i istraživao zavisnost maksimalne kinetičke ener- gije fotoelektrona [odredivao ju je mjereći napon kočenja, vidjeti jednačinu (1.29)] od frekvencije svjetlosti. Rezultati su se u potpunosti slagali sa Ein- steinovom formulom. Štavǐse, Millikan je odredio vrijednost Planckove kon- stante i pokazao da se ona podudara sa vrijednošću h nadenom iz spektralne raspodjele gustoće energije toplotnog zračenja (Planckova formula). Iako ra- zličiti metali imaju različite vrijednosti A i νg, eksperimenti su pokazali da za sve njih vrijedi Einsteinova formula sa istom vrijednošću Planckove kon- stante h. Za svoj eksperimentalni rad Millikan je dobio Nobelovu nagradu 1923. godine, dvije godine nakon što je Einstein dobio Nobelovu nagradu za svoje teorijsko objašnjenje fotoelektričnog efekta.

Pri razmatranju fotoelektričnog efekta pretpostavili smo da elektron ap- sorbuje energiju samo jednog fotona, tj. da se radi o jednofotonskom procesu. Sa otkrićem lasera, koji predstavljaju izvore zračenja vrlo jakog intenziteta, postalo je moguće ostvariti multifotonske procese kod kojih fotoelektron ap- sorbuje energiju N fotona (N ≥ 2). Einsteinova formula za multifotonski fotoefekat glasi:

Nhν = 1

2 mev

2 m + A. (1.33)

Granična frekvencija νg se smanjuje N puta, a crvena granica fotoefekta se pomjera prema dužim talasima (λg je N puta veće).

Osim vanjskog fotoelektričnog efekta o kojem smo do sada govorili, pos- toji i unutrašnji fotoelektrični efekat. On se zapaža u dielektricima i polupro- vodnicima. Pri njemu ne dolazi do emisije elektrona, već se oni samo odvajaju od atoma i zadržavaju se unutar dielektrika, odnosno poluprovodnika. Takvi elektroni povećavaju električnu vodljivost.

1.2.2 Comptonov efekat

I pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotoelektričnog efekta, fizičari još nisu bili u potpunosti ubijedeni u korpuskularnu prirodu fotona. Nju je definitivno potvrdio američki fizičar Compton (Arthur Compton (Kompton), 1892.-1962.), koji je 1923. godine otkrio da pri rasijanju rendgenskih zraka na različitim materijalima može doći do promjene talasne dužine upadnog zračenja (ova pojava je po njemu nazvana Comptonov efekat). Prema za- konima klasične fizike talasna dužina upadnog zračenja se ne mijenja pri rasijanju. Medutim, ako se pretpostavi da su fotoni čestice i da u elastičnom

1.2 Kvantiziranje fizikalnih veličina 19

sudaru predaju dio svoje energije elektronima, analogno elastičnom sudaru klasičnih čestica, Comptonov efekat se može sasvim dobro objasniti. Jed- nostavnim izvodenjem (primjenjuju se zakoni očuvanja energije i impulsa; vidjeti zadatak 1.2.6), dobija se da se pri rasijanju fotona energije i im- pulsa p = h

2π k = h

λ na slobodnim elektronima, pri čemu foton skreće za ugao

θ, njegova talasna dužina poveća za:

λ = λC (1cos θ) , λC = h mec

= 2, 462 310 58(22) · 1012 m. (1.34)

Konstanta λC naziva se Comptonova talasna dužina. Rezultati eksperimen- talnih istraživanja rasijanja X-zraka na elektronima u čvrstim tijelima se do- bro slažu sa ovom formulom. Ako se intenzitet zračenja rasijanog za odredeni ugao mjeri kao funkcija talasne dužine X-zraka, zapaža se maksimum upravo za talasnu dužinu koju predvida formula (1.34). Maksimum intenziteta koji je zapažen u eksperimentu ima malu, ali ipak konačnu, širinu. To se može ob- jasniti time da elektroni u čvrstim tijelima nisu obavezno u stanju mirovanja već mogu imati neki konačni impuls prije sudara. Prema tome, Comptonovo rasijanje se može koristiti da se izmjeri impuls elektrona.

I fotoelektrični i Comptonov efekat su povezani sa interakcijom izmedu elektromagnetnog zračenja i elektrona i potvrduju fotonsku prirodu elektro- magnetnih talasa. Medutim, možemo se zapitati zašto postoje dva različita efekta, tj. zašto se fotoni X-zračenja rasijavaju na elektronima uz promjenu talasne dužine, dok optički fotoni (u fotoefektu) prenose svu svoju energiju fotoelektronima. Osnovni razlog je taj što je u slučaju X-zraka energija fo- tona mnogo veća nego energija veze elektrona u čvrstom tijelu, dok je kod fotoefekta energija fotona samo malo veća od energije veze elektrona. U pro- cesu rasijanja X-zraka elektron biva direktno izbačen iz čvrstog tijela i mogu se primijeniti zakoni očuvanja energije i impulsa za foton i elektron, dok se pri fotoefektu impuls razmjenjuje izmedu elektrona i atoma metala. Pri fo- toefektu ukupna energija fotona služi za oslobadanje elektrona i povećanje njegove kinetičke energije. I pored tih razlika, u obadva slučaja zaključak je da upadno elektromagnetno zračenje pokazuje osobine koje su u saglasnosti sa tim da se ono sastoji od fotona čija energija i impuls su dati formulama:

E = = ~ω, p = ~k. (1.35)

Planckova konstanta h = 6, 626 075 5(40) · 1034 J s, koja povezuje energiju fotona sa njegovom frekvencijom, je fundamentalna konstanta. Ponekad je pogodno promijeniti notaciju i definisati konstantu ~ = h/(2π), ~ = 1, 054 572 66(63) · 1034 J s. U tom slučaju se umjesto frekvencije ν koristi ugaona frekvencija ω = 2πν.

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 164 str.
preuzmi dokument