Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part2, Ispiti' predlog Kvantna mehanika. Univerzitet u Beogradu
xbox73
xbox73

Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part2, Ispiti' predlog Kvantna mehanika. Univerzitet u Beogradu

30 str.
2broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part2
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 30
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument

Docsity.com

3.. Rekurentne relacije svojstvenih funkcija LHO 21

Odavde sledi: C2n α

2nn!

π = 1, (44)

odakle sledi:

Cn = 4 √

π~ 12nn!

(45)

Konačno, normirane svojstvene funkcije LHO imaju oblik:

ψn(ξ) = 4 √

π~ 12nn!

e−ξ 2/2Hn(ξ). (46)

3. Rekurentne relacije svojstvenih funkcija LHO

Na osnovu rekurentnih relacija za Hermiteove polinome mogu se izvesti rekurentne relacije svojstvenih funkcija

LHO Prva takva relacija je:

ξHn(ξ) = nHn−1(ξ) + 1 2 Hn+1(ξ) (47)

Napǐsimo izraz za svojstvenu funkciju u obliku:

ψn = K−1n Hn(ξ)e −ξ2/2, (48)

gde je:

K−1n = 4

π~ 12nn!

. (49)

Prema tome, Hermiteov polinom se može pisati u formi:

Hn(ξ) = Knψn(ξ)2/2. (50)

Takode:

Hn+1(ξ) = Kn+1ψn+12/2 =

√ 2(n + 1)Knψn+1

2/2. (51)

Na sličan način se može pisati:

Hn−1(ξ) = Kn−1ψn−1(ξ)2/2 =

Kn√ 2n

ψn−12/2. (52)

Zamenom dva poslednja izraza u (47) dobija se:

ξKnψn(ξ)2/2 =

n

2 Knψn−1(ξ)

2/2 +

n + 1

2 Knψn+1(ξ)

2/2. (53)

Docsity.com

22 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Ako se ova jednakost podeli sa Kneξ 2/2, dobija se:

ξψn(ξ) = √

n

2 ψn−1(ξ) +

n + 1

2 ψn+1(ξ). (54)

Ovo je I rekurentna relacija svojstvenih funkcija LHO.

Pored ove rekurentne relacije, može se izvesti i rekurentna relacija za prvi izvod talasne funkcije, polazeći

od: dHn dξ

= 2nHn−1(ξ). (55)

Na osnovu zapisa svojstvene funkcije n-tog stanja

ψn(ξ) = CnHn(ξ)e−ξ 2/2, (56)

sledi dψn dξ

= Cn dHn dξ

e−ξ 2/2 + CnHn(ξ)(−ξe−ξ

2/2), (57)

odnosno: dψn dξ

= Cn dHn dξ

e−ξ 2/2 − ξψn(ξ). (58)

S obzirom da važi:

Cn = Cn−1

2n , (59)

dobija se: dψn(ξ)

= 2

n

2 Cn−1Hn−1(ξ)e−ξ

2/2

︸ ︷︷ ︸ ψn−1(ξ)

−ξψn(ξ), (60)

odnosno, uz pomoć I rekurentne relacije:

dψn(ξ)

= 2 √

n

2 ψn−1(ξ)

n

2 ψn−1(ξ)

n + 1

2 ψn+1(ξ), (61)

što konačno daje:

dψn dξ

= √

n

2 ψn−1(ξ)

n + 1

2 ψn+1(ξ) . (62)

Ovo je II rekurentna relacija svojstvenih funkcija LHO.

4. Poredjenje klasične i kvantne gustine verovatnoće LHO

Jednačina kretanja za klasični LHO ima oblik:

x(t) = x0 sin[ω(t + τ)]. (63)

Docsity.com

4.. Poredjenje klasične i kvantne gustine verovatnoće LHO 23

Sl. 4.

Algebarska vrednost intenziteta vektora brzine je:

v(t) = −ωx0 cos[ω(t + τ)]. (64)

Može se lako pokazati da je za klasični LHO:

v = ω

x20 − x2. (65)

S obzirom da su svi elementarni vremenski intervali dužine dt ravnopravni, verovatnoća nalaženja u intervalu dx,

koju ćemo označiti sa dP = ρkldx, gde ρkl označava klasičnu gustinu verovatnoće, se može izračunati na osnovu:

dt

T/2 =

2dx Tv

. (66)

Odavde sledi:

dP = ρkldx = 2dx T · v =

2 T

dx 2π T

x20 − x2

. (67)

Prema tome, gustina verovatnoće klasičnog LHO je:

ρkl = 1

π

x20 − x2 . (68)

Klasična i kvantna gustina verovatnoće ρkv = |ψn|2, za nekoliko svojstvenih stanja LHO, prikazana je na slikama. Kvantna gustina verovatnoće za n-to stanje, dodiruje ξ osu n puta. Uočava se da klasična gustina stanja

bolje opisuje kvantnu gustinu stanja za veliko n. Ovo se slaže sa Borovim principom korespodencije koji glasi:

rezultati kvantne teorije za velike kvantne brojeve moraju asimptotski težiti rezulatima klasične fizike.

Docsity.com

24 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Sl. 5.

5. Vǐsedimenzioni linearni harmonijski oscilator

Posmatramo kretanje čestice u potencijanoj jami oblika:

U(x, y, z) = 1

2m ( ω2xx

2 + ω2yy 2 + ω2zz

2 ) . (69)

Ako je ispunjeno:

ωx = ωy = ωz (70)

oscilator je izotropan, inače je anizotropan.

Stacionarna Šredingerova jednačina ima oblik:

2ψ(x, y, z) + 2m ~2

[E − U(x, y, z)] ψ(x, y, z) = 0. (71)

Ako ovu jednačinu podelimo sa ψ(x, y, z) dobijamo:

1 ψ(x, y, z)

2ψ(x, y, z) + 2mE ~2

− m 2

~2 ( ω2xx

2 + ω2yy 2 + ω2zz

2 )

= 0. (72)

Uvedimo smene:

ξ = √

mωx ~

x, (73)

η = √

mωy ~

y, (74)

Docsity.com

5.. Vǐsedimenzioni linearni harmonijski oscilator 25

ζ = √

mωz ~

z. (75)

Zamenom u jednačinu (72) dobija se:

1 ψ(ξ, η, ζ)

m

~

( ωx

2

∂ξ2 + ωy

2

∂η2 + ωz

2

∂ζ2

) ψ(ξ, η, ζ)

+ 2mE ~2

− m ~

( ωxξ

2 + ωyη2 + ωzζ2 )

= 0.

(76)

Funkcija se može faktorizovati:

ψ(ξ, η, ζ) = X(ξ)Y (η)Z(ζ), (77)

pri čemu energiju pǐsemo u obliku:

E = Ex + Ey + Ez. (78)

Šredingerova jednačina dobija oblik:

( m

~ ωx

1 X(ξ)

d2X(ξ) 2

+ 2mEx ~2

− mωx ~

ξ2 )

+ (

m

~ ωy

1 Y (η)

d2Y (η) 2

+ 2mEy ~2

− mωy ~

η2 )

+ (

m

~ ωz

1 Z(ζ)

d2Z(ζ) 2

+ 2mEz ~2

− mωz ~

ζ2 )

= 0.

(79)

S obzirom da izrazi u zagradama zavise od različitih promenljivih, svaki izraz mora ponaosob biti jednak nuli

(ili konstanti, ali tako da zbir konstanti bude jednak nuli; lako se da zaključiti da vrednost svojstvene energije

ne zavisi od ovog izbora). Dakle za x pravac:

( m

~ ωx

1 X(ξ)

d2X(ξ) 2

+ 2mEx ~2

− mωx ~

ξ2 )

= 0 (80)

i slično za y i z. Ova jednačina se može dovesti na formu:

d2X

2 +

(Ex − ξ2 ) X(ξ) = 0, (81)

gde je:

Ex = 2Ex~ωx , (82)

kako je već uradeno u tretmanu jednodimenzonog LHO. Rešenje za Ex je:

Ex = 2 (

nx + 1 2

) . (83)

Svojstvena vrednost energije je:

Ex,nx = (

nx + 1 2

) ~ωx. (84)

Docsity.com

26 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Sl. 6. Stepen degeneracije 3D LHO.

Slično je:

Ey,ny = (

ny + 1 2

) ~ωy, (85)

Ez,nz = (

nz + 1 2

) ~ωz. (86)

Svojstvene vrednosti energije 3D LHO su:

Enx,ny,nz = Ex,nx + Ey,ny + Ez,nz = ~ωx (

nx + 1 2

) + ~ωy

( ny +

1 2

) + ~ωz

( nz +

1 2

) . (87)

Ako je oscilator izotropan (ωx = ωy = ωz):

Enx,ny,nz = ~ω (

nx + ny + nz + 3 2

) , (88)

ili

En = ~ω (

n + 3 2

) , n = 0, 1, 2, 3, ... (89)

Osnovno stanje ima energiju 3~ω/2 i nedegenerisano je, dok su vǐsa stanja degenerisana, kako je dato na slici.

Uočava se da je stepen degeneracije:

d = (n + 1)(n + 2)

2 . (90)

Za anizotropni dvodimenzioni oscilator u xy ravni se slično dobija:

Enx,ny = ~ω (nx + ny + 1) , (91)

ili

En = ~ω (n + 1) , n = 0, 1, 2, 3, ... (92)

Šema degeneracije stanja je data na slici.

Docsity.com

5.. Vǐsedimenzioni linearni harmonijski oscilator 27

Sl. 7. Stepen degeneracije 2D LHO.

Za datu vrednost kvantnog broja n, stepen degeneracije ima vrednost n + 1, kao što je prikazano na slici.

Svojstvene funkcije 2D linearnog harmonijskog oscilatora su date izrazom:

ψ(ξ, η) = 4 √

m2ωxωy π2~2

Hnx(ξ)Hny (η)√ 2nx+nynx!ny!

e−(ξ 2+η2)/2. (93)

Za slučaj izotropnog 2D LHO, tretman možemo sprovesti u polarnim koordinatama. Šredingerova jednačina

u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik:

~ 2

2m

( 2

∂x2 +

2

∂y2

) ψ +

1 2 2(x2 + y2)ψ = (94)

U polarnom sistemu, treba izvršiti zamenu:

2

∂x2 +

2

∂y2 → ∂

2

∂ρ2 +

1 ρ

∂ρ +

1 ρ2

2

∂ϕ2 . (95)

S obzirom da postoji aksijalna simetrija oko z ose, svojstvene funkcije se mogu pisati u formi:

ψ(ρ, ϕ) = 12π

eilϕR(ρ). (96)

Jednačina, prema tome, postaje:

~ 2

2m

( 2

∂ρ2 +

1 ρ

∂ρ +

l2

ρ2

) +

1 2 2ρ2R = ER. (97)

Ovde l označava orbitalni kvantni broj u cilindričnoj simetriji, koji je analogan kvantnom broju m u sfernoj

simetriji. Naime, oba kvantna broja su posledica aksijalne simetrije u odnosu na z osu.

Poslednja jednačina se rešava smenom:

ζ = mωρ2

~ . (98)

Docsity.com

28 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Svojstvene funkcije imaju oblik:

Rnl(ζ) = Ce−ζ/2e|l|/2L|l|n (ζ). (99)

Ovde L|l|n označava pridruženi Lagerov polinom (videti teoriju vodonikovog atoma). Svojstvene energije su date

izrazom:

Enl = (2n + |l|+ 1)~ω. (100)

Zaključujemo da su svojstvene vrednosti iste kao u Dekartovim koordinatama, mada su prikazane drugom

relacijom. Svako stanje u aksijalnoj simetriji je, medutim, beskonačno degenerisano. Naime, postoji beskonačno

mnogo vrednosti l i n za dato 2n + |l|.

6. Operatori kreacije i destrukcije

Posmatramo hamiltonijan 1D LHO:

= p̂2

2m +

1 2 mω2q̂2. (101)

Ovde q označava proizvoljnu koordinatu, a p njoj pridruženi linearni moment, odnosno impuls. Ove dve veličine

čine par kanonski konjugovanih promenljivih. Definǐsemo bezdimenzioni operator i njemu adjungovani operator

â†:

= 1

2m~ω (mωq̂ + ip̂), (102)

= 1

2m~ω (mωq̂ − ip̂). (103)

Operator se naziva operator destrukcije, a operator ↠je operator kreacije. Operatori koordinate i linearnog

momenta se mogu pisati:

=

√ ~

2(↠+ â), (104)

= i

m~ω

2 (↠− â). (105)

Operatori i ↠imaju jednostavne osobine i vrlo su korisni u primenama, ali ne predstavljaju dinamičke opserv-

able (merljive veličine). Proizvod operatora destrukcije i kreacije je:

â↠= 1

2m~ω ( + mω2q̂2 + imωp̂q̂ − imωq̂p̂) =

~ω − imω

2m~ω [q̂, p̂] =

~ω +

1 2 , (106)

gde smo koristili:

[q̂, p̂] = i~. (107)

Takode se može pokazati da je:

â†â =

~ω − 1

2 . (108)

Docsity.com

6.. Operatori kreacije i destrukcije 29

Na osnovu poslednje dve jednakosti:

[â, â†] = â↠− â†â = 1. (109)

Označimo ψn = |n〉. Šredingerova jednačina za LHO postaje:

Ĥ|n〉 = ~ω (

â†â + 1 2

) |n〉 = En|n〉. (110)

Množenje s leva ovog izraza sa ↠daje:

~ω(â†â†â + 1 2 â†)|n〉 = Enâ†|n〉. (111)

Ovde zamenimo â†â = â↠− 1: ~ω

( â†â↠− ↠+ 1

2 â†

) |n〉 = Enâ†|n〉, (112)

odnosno:

~ω (

â↠+ 1 2

) â†|n〉 = (En + ~ω)â†|n〉. (113)

Stanje ↠je svojstveno stanje LHO sa svojstvenom vrednošću En + ~ω. Označimo novo stanje sa Cn|n + 1:

Cn|n + 1= â†|n〉, (114)

gde je Cn normalizaciona konstanta. Slično se može pokazati:

Cn|n + 1= â†|n〉, (115)

Zaključujemo da je ↠odgovoran za kreaciju kvanta energije ~ω, je odgovoran za unǐstavanje (destrukciju)

kvanta energije ~ω, kao što je ilustrovano na slici.

Odredimo oblik normalizacione konstante. Stanja |n〉 moraju biti normirana, tj

〈n− 1|n− 1= 〈n|n〉 = 〈n + 1|n + 1= 1. (116)

Množenjem:

Cn|n− 1= â|n〉 (117)

s leva sa C∗n〈n− 1| odnosno 〈n|â†:

|Cn|2〈n− 1|n− 1= 〈n|â†â|n〉 = n〈n|n〉. (118)

Sledi:

|Cn|2 = n, (119)

Docsity.com

30 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Sl. 8. Ilustracija dejstva operatora kreacije i destrukcije.

odnosno:

â|n〉 = √n|n− 1〉. (120)

Može se pokazati da je:

â†|n〉 = √n + 1|n + 1〉. (121)

S obzirom da kinetička i potencijalna energija kod LHO moraju biti pozitivne, lako se zaključi da postoji

ograničenje za energijske nivoe sa donje strane. Na osnovu:

Ĥâ|0〉 = (E0 ~ω)â|0〉, (122)

sledi:

â|0〉 = 0. (123)

S obzirom da je:

= ~ω (

â†â + 1 2

) , (124)

za stanje |0:

Ĥ|0〉 = 1 2 ~ω|0= E0|0〉. (125)

Odavde sledi:

E0 = ~ω 2

. (126)

Docsity.com

6.. Operatori kreacije i destrukcije 31

Za stanje |n〉: Ĥ|n〉 = En|n〉. (127)

S obzirom da je:

En = En−1 + ~ω, (128)

lako se zaključi:

En = (

n + 1 2

) ~ω. (129)

Na osnovu oblika hamiltonijana:

= ~ω (

â↠+ 1 2

) , (130)

može se definisati operator broja:

= â†â. (131)

Operatori kreacije i destrukcije čine osnov za teoriju sekundarnog kvantovanja u kvantnoj mehanici.

Docsity.com

32 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Docsity.com

3

Kretanje čestice u stacionarnom

elektromagnetskom polju

Elektromagnetsko polje je opisano pomoću vektora električnog polja K(r, t) i vektora magnetskog polja B(r, t).

Alternativno se opis može izvršiti pomoću električnog potencijala ϕ(r, t) i magnetskog vektor potencijala A(r, t).

Veza izmedu potencijala i polja je poznata iz klasične elektrodinamike:

K = −∇ϕ− ∂A ∂t

, (1)

B = rotA = ∇×A. (2)

Funkcije ϕ i A nisu potpuno odredene. Ako se učine transformacije:

ϕ → ϕ + φ(t) (3)

i

A A +∇f(r), (4)

gde su φ(t) i f(r) proizvoljne funkcije, polja se ne menjaju. Ovo predstavlja invarijantnost u odnosu na izbor

kalibracije u klasičnoj elektrodinamici, u kojoj je kretanje čestice naelektrisanja q opisano jednačinom:

m dv dt

= qK + q(v ×B), (5)

dok je u kvantnoj mehanici potrebno rešiti Šredingerovu jednačinu:

Ĥψ = Eψ. (6)

33

Docsity.com

34 3. Kretanje čestice u stacionarnom elektromagnetskom polju

Može se pokazati da u elektromagnetskom polju hamiltonijan ima oblik:

= Π̂2

2m + qϕ, (7)

gde je

Π̂ = p̂− qA. (8)

Π̂ se naziva mehanički (kinematski) moment, dok se p̂ = −i~naziva kanonski moment.

Nestacionarna Šredingerova jednačina za kretanje elektrona u elektromagnetskom polju ima oblik:

i~ ∂ψ

∂t =

[ (−i~∇− qA)2

2m +

] ψ. (9)

Ovaj jednačina važi za proizvoljnu zavisnost A i ϕ od prostornih koordinata i vremena, tj

A = A(r, t); mskip12muϕ = ϕ(r, t). (10)

Posmatraćemo samo stacionarni slučaj, tj A = A(r). Za ovaj slučaj važi stacionarna Šredingerova jednačina:

[ (−i~∇− qA)2

2m +

] ψ = Eψ. (11)

Koristeći:

(−i~∇− qA)2 = (−i~∇− qA)(−i~∇− qA) = ~22 + iq~A + iq~A+ q2A2 =

~22 + 2iq~A+ iq~(A) + q2A2. (12)

Ovde smo koristili:

Aψ = ψ(A) + A(∇ψ). (13)

Stacionarna Šredingerova jednačina, uz A = divA, dakle, ima oblik:

~ 2

2m

( 2 2iq

~ A∇− iq

~ divA− q

2A2

~2

) ψ + qϕψ = Eψ. (14)

Ovo je najopštiji oblik stacionarne Šredingerove jednačine za kretanje čestice u stacionarnom elektromagnetskom

polju. Ako se čestica nalazi samo u električnom polju A = 0, pa je:

~ 2

2m ∇2ψ + qϕψ = Eψ. (15)

Docsity.com

1.. Landauovi nivoi 35

1. Landauovi nivoi

Posmatramo česticu u magnetskom polju orijentisanom duž z ose, tj

K = 0, (16)

B = Bez, (17)

gde je B = const. Za Landauovu kalibraciju:

A = −Byex, (18)

ili

A = Bxey, (19)

pri čemu ćemo ovde koristiti prvi oblik. Za ovakav izbor potencijala važi da je:

A = 0, (20)

što predstavlja uslov za Kulonovu kalibraciju, široko korǐsćenu u tretmanu optičkih prelaza. Ovo znači da je

Landauova kalibracija specijalni slučaj Kulonove kalibracije. Osim toga:

A · ∇ψ = −By∂ψ ∂x

. (21)

Diferencijalna jednačina za ψ dobija oblik:

~ 2

2m

( 2ψ

∂x2 +

2ψ

∂y2 +

2ψ

∂z2 +

2iq ~

By ∂ψ

∂x − q

2B2

~2 y2ψ

) = Eψ. (22)

Ovo je modifikovana Šredingerova jednačina u kojoj figurǐse prvi parcijalni izvod po x. Član sa y2 se ponaša kao

parabolični potencijal, dok nema potencijala duž z ose.

Rešenje gornje jednačine biramo u obliku:

ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)η(y), (23)

gde je zavisnost od kz oblika eikzz posledica nezavisnosti potencijala od z koordinate (slično kvantnoj žici), a

deo eikxx je pretpostavljen. Zamena ovog rešenja u jednačinu (22) dovodi do jednačine oblika:

~ 2

2m

( −k2xη − k2+

d2η

dy2 2qkxB

~ yη − q

2B2

~2 y2η

) = Eη. (24)

Koristeći činjenicu da je:

k2x + 2qkxB ~

y + q2B2

~2 y2 =

( kx +

qBy

~

)2 . (25)

Docsity.com

36 3. Kretanje čestice u stacionarnom elektromagnetskom polju

jednačina (24) dobija oblik

~ 2

2m d2η

dy2 + ~2

2m

( qB

~ y + kx

)2 η(y) = (E − Ez) η(y). (26)

Ovde je:

Ez = ~2k2z 2m

. (27)

Uvedimo novu promenljivu:

= y + ~

qB kx (28)

Na osnovu ove zamene, može se pisati:

( qB

~ y + kx

)2 =

( qB

~

)2 ỹ2 =

1 l4B

ỹ2. (29)

gde lB označava magnetsku dužinu

lB =

√∣∣∣∣ ~

qB

∣∣∣∣. (30)

Definǐsimo ciklotronsku (Larmorovu) učestanost

ωc = ∣∣∣∣ qB

m

∣∣∣∣ . (31)

Moguće je pokazati da je: 1 l4B

= q2B2

~2 =

m2ω2c ~2

= α4c , (32)

gde je:

αc = α(ω = ωc) = √

mωc/~. (33)

Prema tome, Šredingerova jednačina postaje:

~ 2

2m d2η

dỹ2 +

1 2 2c ỹ

2η = (E − Ez)η, (34)

Ovo je Šredingerova jednačina za LHO, pa su svojstvene vrednosti:

E = ~ωc (

n + 1 2

) + ~2k2z 2m

, n = 0, 1, 2, . . . . (35)

Ove svojstvene vrednosti se nazivaju Landauovi nivoi. Landauovi nivoi imaju disperziju u funkciji kx i kz, pri

čemu je disperzija parabolična duž kz a konstantna duž kx, kao na slikama. Dalje je:

ηn(ξ̃) = 4 √

mωx π~

12nn!

e−ξ̃ 2/2Hn(ξ̃), (36)

gde je

ξ̃ =

lB , (37)

Docsity.com

1.. Landauovi nivoi 37

Sl. 1.

jer je:

αc = √

mωc ~

= 1 lB

. (38)

Za odredenu energiju energiju En postoji beskonačno mnogo talasnih funkcija za kx ∈ (−∞, +). Ukupna talasna funkcija za odredene vrednosti kx i kz je:

ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)η(y), (39)

pa kvadrat modula talasne funkcije zavisi samo od y koordinate:

(x, y, z)|2 = η2(y). (40)

Verovatnoća nalaženja čestice u elementarnoj zapremeni dV = dxdydz je:

dP =

kx=−∞ |ψ(x, y, z)|2d. (41)

Gustina verovatnoće je dakle:

ρ(x, y, z) =

kx=−∞ |ψ(x, y, z)|2

+

−∞ η2n(kx, y)dkx =

+

−∞ η2n(y + kxl

2 B)dkx. (42)

Zamena = y + l2Bkx uz dỹ

dkx = l2B . (43)

Docsity.com

38 3. Kretanje čestice u stacionarnom elektromagnetskom polju

Prema tome:

ρ = 1 l2B

+

−∞ η2(ỹ)dỹ =

1 l2B

. (44)

Ovde je korǐsćena činjenica da je η(ỹ) normirana, na isti načina kao η(y), jer je samo pomeren u odnosu na y:

+

−∞ η2(y)dy =

+

−∞ η2(ỹ)dỹ = 1. (45)

Ovo znači da je elementarna verovatnoća

dP ∼ qB ~

d, (46)

što predstavlja činjenicu da su sve tačke ravnopravne u homogenom magnetskom polju.

Docsity.com

4

Teorija perturbacija nezavisnih od

vremena

U kvantnoj mehanici postoji uska klasa problema koji se mogu rešiti egzaktno, pa se koriste približne metode.

Mi ćemo u ovom kursu tretirati samo aproksimativne metode za diskretna stanja. Aproksimativne metode za

kontinualna stanja su tema kvantne teorije sudara. Sve metode se prema obliku Hamiltonijana mogu klasifikovati

na vremenski nezavisne i vremenski zavisne.

Vremenski nezavisne metode su:

teorija perturbacija nezavisnih od vremena;

varijacioni metod;

WBK metoda.

Vremenski zavisna metoda je:

teorija perturbacija zavisnih od vremena.

1. Rajli-Šredingerova teorija pertubacija

Pretpostavimo da se hamiltonijan sistema koji ne zavisi od vremena može pisati u formi:

= Ĥ0 + λĤ ′. (1)

Pretpostavimo da je neperturbovani hamiltonijan dovoljno jednostavan, tako da se vremenski nezavisna Šredingerova

jednačina može egzaktno rešiti:

Ĥ0ψ (0) n = E

(0) n ψ

(0) n . (2)

39

Docsity.com

40 4. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena

Realni parametar λ služi za razlikovanje različitih redova perturbacionog računa. Ako je λ = 0, tada = Ĥ0, a

za λ = 1, = Ĥ0+Ĥ ′. Svojstvene vrednosti neperturbovanog problema formirajnu potpun skup ortonormiranih

funkcija, za koji dakle važi:

〈ψ(0)i |ψ(0)j 〉 = δij . (3)

Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti nedegenerisane i da je perturbacija slaba, tako da je perturbovana

svojstvena energija En najbliža E (0) n , a ne nekom drugom svojstvenom stanju. Dakle,

lim λ→0

En = E(0)n , (4)

lim λ→0

ψn = ψ(0)n . (5)

Procenu za energiju pravimo razvojem po različitim redovima perturbacije:

En =

k=0

λkE(k)n , (6)

ψn =

k=0

λkψ(k)n . (7)

Zamenimo ovu formu rešenja u Šredingerovu jednačinu, što daje:

( Ĥ0 + λĤ ′

) ( ψ(0)n + λψ

(1) n + λ

2ψ(2)n + . . . )

= ( E(0)n + λE

(1) n + λ

2E(2)n + . . . )(

ψ(0)n + λψ (1) n + λ

2ψ(2)n + . . . )

.

(8)

Izjednačimo koeficijente s leve i desne strane koji stoji uz isti stepen λ:

λ0 : Ĥ0ψ (0) n = E

(0) n ψ

(0) n (9)

λ1 = λ : Ĥ0ψ (1) n + Ĥ ′ψ

(0) n = E

(0) n ψ

(1) n + E

(1) n ψ

(0) n (10)

λ2 : Ĥ0ψ (2) n + Ĥ ′ψ

(1) n = E

(0) n ψ

(2) n + E

(1) n ψ

(1) n + E

(2) n ψ

(0) n . (11)

Član uz λ0 se odnosi na neperturbovani problem.

1.1. Teorija perturbacija I reda

Član uz λ1 se može pisati u formi:

〈ψ(0)n |Ĥ0 − E(0)n |ψ(1)n 〉+ 〈ψ(0)n |Ĥ ′ − E(1)n |ψ(0)n 〉 = 0. (12)

S obzirom da je operator Ĥ0 hermitski, sledi:

〈ψ(0)n |Ĥ0|ψ(1)n 〉 = 〈ψ(1)n |Ĥ0|ψ(0)n 〉∗ = E(0)n 〈ψ(1)n |ψ(0)n 〉∗ = E(0)n 〈ψ(0)n |ψ(1)n 〉. (13)

Docsity.com

1.. Rajli-Šredingerova teorija pertubacija 41

Prema tome,

〈ψ(0)n |Ĥ0 − E(0)n |ψ(1)n 〉 = 0. (14)

Svojstvene funkcije neperturbovanog problema su normirane:

〈ψ(0)n |ψ(0)n 〉 = 1, (15)

pa sledi:

E(1)n = 〈ψ(0)n |H ′|ψ(0)n 〉 = H ′nn. (16)

Korekcija prvog reda energije nedegenerisanog stanja je, dakle, srednja vrednost Ĥ ′ po datom neperturbovanom

stanju.

Da bi se odredile nepoznate talasne funkcije, prema Rajli-Šredingerovom metodu reši se neperturbovana

jednačina za sve svojstvene vrednosti i svojstvene funkcije. Nepoznate funkcije ψ(1)n po teoriji perturbacija I reda

razviju se po neperturbovanim svojstvenim funkcijama.

ψ(1)n = ∑

k

c (1) nk ψ

(0) k . (17)

Zamenimo ovaj razvoj u:

Ĥ0ψ (1) n +

′ψ(0)n = E (0) n ψ

(1) n + E

(1) n ψ

(0) n . (18)

Dakle:

(Ĥ0 − E(0)n ) ∑

k

c (1) nk ψ

(0) k + (Ĥ

′ − E(1)n )ψ(0)n = 0. (19)

Pomnožimo s leva ovu jednačinu i integralimo po relevantnim koordinatama ( ∫

ψ (0)∗ m dΩ). Sledi:

k

〈ψ(0)m |Ĥ0|ψ(0)k 〉︸ ︷︷ ︸ E

(0) k δmk

c (1) nk −

k

c (1) nk E

(0) n 〈ψ(0)m |ψ(0)k 〉︸ ︷︷ ︸

δmk

+〈ψ(0)m |Ĥ ′|ψ(0)n 〉 − E(1)n 〈ψ(0)m |ψ(0)n 〉 = 0. (20)

Prema tome:

E(0)m c (1) nm − E(0)n c(1)nm + H ′mn − E(1)n δmn = 0. (21)

Ovde je:

H ′mn = 〈ψ(0)m |Ĥ ′|ψ(0)n 〉. (22)

Za m = n, dobijamo:

E(1)n = H ′ nn, (23)

što je već izvedeno. Za m 6= n: c(1)nm =

H ′mn E

(0) n − E(0)m

. (24)

Docsity.com

42 4. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena

Odavde sledi potreban uslov za primenu teorije perturbacija I reda:

∣∣∣∣ H ′mn

E (0) n − E(0)m

∣∣∣∣ ¿ 1. (25)

Treba primetiti:

na osnovu ovog računa, ne može se dobiti c(1)nn ;

stanja ne mogu biti degenerisana, jer c(1)nm divergira za E(0)n − E(0)m → 0.

Prema tome, svojstvene energije i svojstvene funkcije su u okviru teorije perturbacija I reda bez degeneracije

odredene sa:

En = E(0)n + E (1) n = E

(0) n + H

′ nn, (26)

ψn = ψ(0)n + ψ (1) n = ψ

(0) n +

m 6=n

H ′mn E

(0) n − E(0)m

ψ(0)m . (27)

1.2. Teorija perturbacija II reda

Koristimo već izvedeni izraz:

Ĥ0ψ (2) n +

′ψ(1)n = E (0) n ψ

(2) n + E

(1) n ψ

(1) n + E

(2) n ψ

(0) n . (28)

Pomnožimo ovu jednačinu sa ψ(0)∗n i integralimo po relevantnim koordinatama:

ψ(0)∗n dΩĤ0ψ(2)n − E(0)n ψ(2)n + Ĥ ′ψ(1)n − E(1)n ψ(1)n − E(2)n ψ(0)n = 0 (29)

Sledi:

〈ψ(0)n |Ĥ0 − E(0)n |ψ(2)n 〉+ 〈ψ(0)n |Ĥ ′ − E(1)n |ψ(1)n 〉 − E(2)n = 0. (30)

Na osnovu hermitivnosti Hamiltonijana H0:

〈ψ(0)n |Ĥ0|ψ(2)n 〉 = ∫

ψ(0)∗n Ĥ0ψ (2) n dΩ =

(∫ ψ(2)∗n Ĥ0ψ

(0) n d

)= E(0)n 〈ψ(2)n |ψ(0n 〉∗ = E(0)n 〈ψ(0)n |ψ(2)n 〉

(31)

sledi da je prvi sabirak u (30) jednak nuli, pa dobijamo:

E(2)n = 〈ψ(0)n |Ĥ ′ −E(1)n |ψ(1)n 〉. (32)

Da bismo odredili popravku za funkcije II reda, uvedimo razvoj, kako smo radili kod teorije pertubacija I

reda:

ψ(2)n = ∑

k

c (2) nk ψ

(0) k . (33)

Docsity.com

1.. Rajli-Šredingerova teorija pertubacija 43

Da bismo izračunali c(2)nk formirajmo matrične elemente:

ψ(0)∗m dΩ(Ĥ0 − E(0)n )

k

c (2) nk ψ

(0) k + (Ĥ

′ − E(1)n ) ∑

k

c (1) nk ψ

(0) k − E(2)n ψ(0)n = 0. (34)

Kao i kod teorije perturbacije I reda, na osnovu ortonormiranosti svojstvenih funkcija neperturbovanog problema,

lako se dobija:

(E(0)m − E(0)n )c(2)nm + ∑

k

H ′mkc (1) nk − E(1)n c(1)nm − E(2)n δmn = 0. (35)

Ako je m = n, sledi:

E(2)n = ∑

k

H ′nkc (1) nk −H ′nnc(1)nn . (36)

Ovde smo koristili E(1)n = H ′nn. Prema tome, iz sume u gornjoj relaciji treba oduzeti deo sa matričnim elementom

H ′nn. Ovo je posledica arbitrarnosti konstante c (1) nn , kao što će dole biti ilustrovano. Dakle,

E(2)n = ∑

k 6=n H ′nkc

(1) nk . (37)

Koristeći napred izvedeni izraz za koeficijent c(1)nk , dobija se:

E(2)n = ∑

k 6=n

H ′nkH ′ kn

E (0) n − E(0)k

. (38)

S obzirom da je H ′nk = H ′∗ kn:

E(2)n = ∑

k 6=n

|H ′kn|2 E

(0) n − E(0)k

(39)

Svaki član u sumi efektivno opisuje prelaz iz neperturbovanog stanja n u stanje k i nazad u stanje n. Na osnovu

poslednjeg izraza može se zaključiti da je korekcija drugog reda osnovnog stanja uvek negativna (E(0)1 −E(0)k < 0 za svako k 6= 0).

Za m 6= n, ako izdvojimo iz ∑H ′mk član H ′mn:

c(2)nm = 1

E (0) n − E(0)m

k 6=n

H ′mkH ′ kn

E (0) n − E(0)k

− H ′ nnH

′ mn

(E(0)n − E(0)m )2 +

H ′mn E

(0) n − E(0)m

c(1)nn . (40)

S obzirom da perturbacione jednačine ne odreduju c(j)nn, ovi koeficijenti nemaju uticaj na fizičku realnost.

Postoji vǐse načina da se odrede ovi koeficijenti.

Prvi način je da se perturbovana talasna funkcija normira do reda λj . Po teoriji perturbacija prvog reda:

〈ψn|ψn〉 = 〈ψ(0)n + λψ(1)n |ψ(0)n + λψ(1)n 〉 (41)

Zadržavajući se na prvom stepenu po λ:

〈ψ(0)n |ψ(1)n 〉+ 〈ψ(1)n |ψ(0)n 〉 = 0. (42)

Docsity.com

44 4. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena

S obzirom da je:

ψ(1)n = ∑

k

c (1) nk ψ

(0) k , (43)

na osnovu ortonormiranosti ψ(0)k funkcija lako se dobija:

c(1)nn + c (1)∗ nn = 0. (44)

Ovo znači da:

Re(c(1)nn) = 0, (45)

dok imaginarni deo c(1)nn nije odreden.

Ako koristimo teoriju perturbacija II reda, pored ovog uslova, mora biti ispunjeno:

〈ψ(0)n |ψ(2)n 〉+ 〈ψ(1)n |ψ(1)n 〉+ 〈ψ(2)n |ψ(0)n 〉 = 0. (46)

Koristeći:

ψ(1)n = ∑

k

c (1) nk ψ

(0) k , (47)

i ortnormiranost ψ(0)k lako se dobija:

〈ψ(1)n |ψ(1)n 〉 = ∫ ∑

k′ c (1)∗ nk′ ψ

(0)∗ k′

k

cnkψ (0) k dV =

k′

k

c (1)∗ nk′ c

(1) nk

ψ

(0)∗ k′ ψ

(0) k

︸ ︷︷ ︸ δkk′

= ∑

k

|c(1)nk |2. (48)

Pored toga:

〈ψ(0)n |ψ(2)n 〉 = ∑

k

c (2) nk

ψ(0)∗n ψ

(0) k dV

︸ ︷︷ ︸ δnk

= c(2)nn (49)

i

〈ψ(2)n |ψ(0)n 〉 = 〈ψ(0)n |ψ(2)n 〉∗ = c(2)∗nn . (50)

Prema tome, po teoriji perturbacija II reda, da bi funkcija bila normirana do reda λ2, mora biti:

c(2)nn + c (2)∗ nn︸ ︷︷ ︸

2Re(c (2) nn)

+ ∑

k

|c(1)nk |2 = 0. (51)

Imaginarni deo c(k)nn se ne može odrediti jer množenje sa eiα, gde je α realan broj ne menja |ψ|2. Imaginarni delovi c(k)nn se mogu postaviti da su svi jednaki nuli do onog reda, koliki je red perturbacione

teorije. Za teoriju perturbacija drugog reda je:

Im(c(1)nn) = 0 → c(1)nn = 0, (52)

Docsity.com

2.. Osobine perturbacionog razvoja 45

c(2)nn = 1 2

k 6=n |c(1)nk |2. (53)

Drugi način je da se usvoji c(j)nn = 0 do reda perturbacije. Po teoriji perturbacija I reda, oba predložena

načina daju isti rezultat. Po drugom načinu, funkcije se normiraju na kraju računa.

Ako se usvoji c(1)nn = 0, c (2) nn = 0, svojstvene energije su po teoriji perturbacija II reda:

En = E(0)n + E (1) n + E

(2) n = E

(0) n + H

′ nn +

k 6=n

|H ′kn|2 E

(0) n − E(0)k

, (54)

a svojstvene funkcije:

ψn = ψ(0)n + ψ (1) n + ψ

(2) n = ψ

(0) n +

m6=n

H ′mn E

(0) n − E(0)m

ψ(0)m

+ ∑

m 6=n

 ∑

k 6=n

H ′mkH ′ kn

(E(0)n − E(0)m )(E(0)n − E(0)k ) − H

′ nnH

′ mn

(E(0)n −E(0)m )2

  ψ(0)m .

(55)

2. Osobine perturbacionog razvoja

1.Ako je potencijal parna funkcija koordinata, tada se mora koristiti teorija perturbacija II reda, jer je za

Ĥ ′ = U ′ (56)

koje je neparna funkcija, matrični element

H ′nn = ∫

ψ(0)∗n U ′ψ(0)n dx = 0. (57)

Ovde je podintegralna funkcija neparna bez obzira na parnost svojstvene funkcije;

2. Svojstvene funkcije perturbovanih stanja nisu ortogonalne. Ako koristimo teoriju perturbacija I reda:

ψn = ψ(0)n + ∑

k 6=n c (1) nk ψ

(0) k , (58)

ψm = ψ(0)m + ∑

k 6=m c (1) mkψ

(0) k . (59)

Skalarni proizvod ove dve funkcije je:

〈ψm|ψn〉 = ∫

ψ∗mψndV = ∫

ψ(0)∗m ψ (0) n dV +

ψ(0)∗m

k 6=n c (1) nk ψ

(0) k dV

+ ∫ ∑

k 6=m c (1)∗ mk ψ

(0)∗ k ψ

(0) n dV +

∫ ∑

k′ 6=m c (1) mk′ψ

(0)∗ k′

k 6=n c (1) nk ψ

(0) k dV.

(60)

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument