Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part3, Ispiti' predlog Kvantna mehanika. Univerzitet u Beogradu
xbox73
xbox73

Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part3, Ispiti' predlog Kvantna mehanika. Univerzitet u Beogradu

30 str.
2broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
Kvantna mehanika-Ispit-Fizicka elektronika Binder1_Part3
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 30
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument

Docsity.com

2.. Ricova teorema 51

Ricova teorema. I formulacija. Srednja vrednost hamiltonijana je stacionarna u okolini njegovih diskretnih

svojstvenih vrednosti.

II formulacija. Funkcional 〈E〉 je stacionaran ako i samo ako je funkcija od koje zavisi svojstvena funkcija Hamiltonijana i stacionarna vrednost 〈E〉 je svojstvena vrednost hamiltonijana. Dokaz. Variramo f za δf , tj

f = f + δf. (15)

Napǐsemo:

〈E〉〈f |f〉 = 〈f |Ĥ|f〉. (16)

Diferenciramo obe strane ove jednakosti:

( ∫

f∗fdx)δ〈E〉+ 〈E〉 [∫

f∗δfdx + ∫

δf∗fdx ]

= ∫

f∗Ĥδfdx + ∫

δf∗Ĥfdx. (17)

〈E〉 nije operator, pa se može pisati:

( ∫

f∗fdx)δ〈E〉 = ∫

f∗(Ĥ − 〈E〉)δfdx + ∫

δf∗(Ĥ − 〈E〉)fdx. (18)

Ako je 〈E〉 stacionarno (δ〈E〉 = 0), što znači: ∫

f∗(Ĥ − 〈E〉)δfdx + ∫

δf∗(Ĥ − 〈E〉)fdx = 0. (19)

Ako je hermitski operator, tada je Ĥ − 〈E〉 hermitski operator. Pored toga, označimo sa:

ϕ = (Ĥ − 〈E〉)f. (20)

To znači da se može pisati:

f∗(Ĥ − 〈E〉)δfdx =

(∫ δf∗(Ĥ − 〈E〉)fdx

)=

(∫ δfϕdx

)=

ϕ∗δfdx. (21)

Prema tome, uslov da varijacija funkcionala bude jednaka nuli, svodi se na:

ϕ∗δfdx +

δf∗ϕdx = 0. (22)

Ova relacija mora biti zadovoljena za proizvoljno δϕ. Ako izaberemo δf = δλϕ, gde je δλ realni broj:

ϕ∗δλϕdx +

δλϕ∗ϕdx = 0, (23)

odnosno

2δλ

ϕ∗ϕdx = 0. (24)

Docsity.com

52 5. Varijacioni metod

Odavde sledi da ϕ mora biti jednako nuli, jer je ∫ |ϕ|2dx = 0, što znači:

Ĥf = 〈E〉f. (25)

Obrnuto se može dokazati da na osnovu prethodne jednačine sledi δ〈E〉 = 0. Prema tome,

δ〈E〉 = 0 ⇔ Ĥf = 〈E〉f, (26)

što znači da je funkcional 〈E〉 stacionaran ako i samo ako je funkcija od koje zavisi svojstvena funkcija Hamil- tonijana i stacionarna vrednost 〈E〉 je svojstvena vrednost hamiltonijana.

3. Postupak izračunavanja energije osnovnog stanja pomoću varija-

cionog metoda

Iznete osobine osnovnog stanja sistema i Ricova teorema čine osnovu za varijacioni metod. U ovom metodu se za

računanje koristi varijaciona (probna) funkcija, koja zavisi od nekoliko varijacionih parametara: f(x, α1, α2, . . . , αn).

Obično broj parametara nije veći od 3. Funkcional 〈E〉(f) se minimizuje da bi se dobila najbolja aproksimativna vrednost za energiju osnovnog stanja.

Ako varijaciona funkcija zavisi od jednog parametra f = f(x, α), postupak je sledeći:

pretpostavimo oblik f = f(x, α);

izračunamo: 〈E〉(α) = 〈f |Ĥ|f〉〈f |f〉 =

f∗(x, α)Ĥf(x, α)dxf∗(x, α)f(x, α)dx

; (27)

Odredimo položaj ekstremuma 〈E〉(α): d〈E〉 dα

∣∣∣∣ α=α0

= 0; (28)

proveri se da li je ekstremum u α = α0 minimum;

odredi se 〈E〉(α0).

Često se varijaciona funkcija zadaje u formi Cf(x, α). Tada treba prvo odrediti normalizacionu konstantu

C, na osnovu uslova 〈f |f〉 = 1, a zatim minimizovati funkcional:

〈E〉(α) = 〈f |Ĥ|f〉 = ∫

f∗(x, α)Ĥf(x, α)dx, (29)

po α. Za vrednost α = α0 zadovoljena je jednačina (na osnovu Ricove teoreme):

Ĥf(x, α0) = 〈E〉(α0)f(x, α0). (30)

Kako se dobija varijaciona funkcija?

Docsity.com

3.. Postupak izračunavanja energije osnovnog stanja pomoću varijacionog metoda 53

Dobra varijaciona funkcija sadrži dovoljan broj karakteristika tačne talasne funkcije za računanje svo- jstvene energije osnovnog stanja sa malom greškom.

Neke od karakteristika se mogu dobiti na osnovu simetrije, na primer parnosti ili simetrije u odnosu na ugaoni moment. Tada se probna funkcija bira u skladu sa simetrijom i stanja jedne simetrije su ortogonalna

na stanja II simetrije. Na primer, ako je potencijal simetričan, za najniža stanja različite parnosti biraju

se različite probne funkcije.

Oblik varijacione funkcije treba da bude jednostavan, tako da se, ako je moguće, integrali koji se rešavaju u varijacionom postupku mogu analitički odrediti.

Docsity.com

54 5. Varijacioni metod

Docsity.com

6

Teorija perturbacija zavisnih od

vremena

Posmatramo sistem, čiji se ukupni Hamiltonijan

= Ĥ0 + λĤ ′(~r, t), (1)

sastoji od vremenski nezavisnog hamiltonijana Ĥ0 i hamiltonijana λĤ ′ koji je eksplicitna funkcija vremena i pred-

stavlja vremenski zavisnu perturbaciju. Ovde, kao i kod teorije perturbacija nezavisnih od vremena, koristimo

parametar λ da bi uspostavili vezu izmedu različitih stepena u jednačini sa vremenski zavisnom perturbacijom.

Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti E(0)k i svojstvene funkcije Ψ (0) k hamiltonijana Ĥ0 poznate, kao i da

funkcije Ψ(0)k čine potpun skup ortonormiranih funkcija.

Opšte rešenje nestacionarne Šredingerove jednačine u odsustvu perturbacije je:

i~ Ψ0 ∂t

= Ĥ0Ψ0 (2)

je oblika:1

Ψ0 = ∑

k

c (0) k ψ

(0) k e

−iE(0)k t/~. (3)

Na osnovu uslova normiranja Ψ0|Ψ0= 1, sledi ∫

(∑

k

c (0)∗ k ψ

(0)∗ k e

iE (0) k t/~

)(∑

k′ c (0)∗ k′ ψ

(0) k′ e

−iE(0) k′ t/~

) dV

= ∑

k

k′ ei(E

(0) k −Ek′ (0))t/~c(0)∗k c

(0) k′

ψ (0)∗ k ψ

(0) k′ d

︸ ︷︷ ︸ δk,k′

= ∑

k

|c(0)k |2. (4)

1Za kontinuum, suma prelazi u integral.

55

Docsity.com

56 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

|c(0)k |2 je verovatnoća nalaženja sistema u stanju k, c(0)k je amplituda verovatnoće.Za vremenski nezavisni hamil- tonijan c(0)k ne zavisi od t.

Razmotrimo sada vremenski zavisni hamiltonijan Ĥ, tj Šredingerovu jednačinu:

i~ Ψ ∂t

= ĤΨ. (5)

S obzirom da za opšti oblik vremenski zavisne perturbacije norma nije očuvana, nema smisla tražiti korekcije

svojstvenih vrednosti energije. Ako je Ĥ ′ malo, Ψ se može izračunati na osnovu neperturbovanih talasnih funkcija

i svojstvenih vrednosti Dirakovim metodom varijacije konstanti. U tu svrhu, razvijmo rešenje za talasnu funkciju

sa perturbacijom

Ψ(t) = ∑

k

ck(t)ψ (0) k e

−iE(0)k t/~, (6)

gde su ck(t) vremenski zavisni koeficijenti (Hamiltonijan zavisi od vremena). Projekcija ove funkcije na ψ (0) k

daje:

|〈ψ(0)k |Ψ(t)〉|2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k′ ck′(t)e−iE

(0) k′ t/~

ψ

(0)∗ k ψ

(0) k′ d

︸ ︷︷ ︸ δkk′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

= |ck(t)|2. (7)

|ck(t)|2 je verovatnoća da se sistem nade u neperturbovanom stanju ψ(0)k u trenutku t.

Bez perturbacije

ck(t) = c (0) k . (8)

c (0) k su početne vrednosti za ck(t), tj vrednosti ck(t) pre nego što je primenjena perturbacija. Zamenom (6) u (5)

sledi:

i~

∂t

k

ck(t)ψ (0) k e

−iE(0)k t/~ = (Ĥ0 + λĤ ′) ∑

k

ck(t)ψ (0) k e

−iE(0)k t/~. (9)

Ova jednačina se transformǐse u:

i~ ∑

k

ċk(t)ψ (0) k e

−iE(0)k t/~ + i~ ∑

k

ck(t)ψ (0) k

( −iE(0)k ~

) e−iE

(0) k t/~

= ∑

k

ck(t) Ĥ0ψ (0) k︸ ︷︷ ︸

E (0) k ψ

(0) k

e−iE (0) k t/~ + λ

k

Ĥ ′(~r, t)ck(t)ψ (0) k e

−iE(0)k t/~. (10)

Drugi član na levoj strani i prvi član na desnoj strani se potiru. Množenjem ove jednačine sa ψ(0)b i integracijom

po relevantnom prostoru dobijamo:

i~ ∑

k

ċk(t)e−iE (0) k t/~

ψ

(0) b ψ

(0) k d

︸ ︷︷ ︸ δbk

= λ

k

〈ψ(0)b |Ĥ ′(~r, t)(0)k 〉︸ ︷︷ ︸ H′bk

e−iE (0) k t/~ck(t), (11)

Docsity.com

57

tj

ċb = 1 i~

λ

k

H ′bke iωbktck(t). (12)

Ovde je:

ωbk = E

(0) b − E(0)k ~

(13)

Borova ugaona učestanost.

Na osnovu jednačine (12) sledi da vremenska evolucija cb zavisi od ostalih koeficijenata ck. Postavljajući

jednačinu za ostale koeficijente dobijamo sistem linearnih diferencijalnih jednačina. Ovaj sistem jednačina

možemo rešiti aproksimativno za slučaj slabe perturbacije.2

Razvijmo koeficijent ck(t) u red po λ:

ck(t) = c (0) k + λc

(1) k (t) + λ

2c (2) k (t) + . . . (14)

Prema tome, jednačina (12) ima oblik:

(0) b + λċ

(1) b + λ

2ċ (2) b + . . . =

1 i~

λ

k

H ′bke iωbkt(c(0)k + λc

(1) k + λc

(2) k + . . .). (15)

Izjednačenjem članova uz isti stepen λ sa leve i desne strane ove jednačine, dobijamo:

(0) b = 0 (16)

(1) b =

1 i~

k

H ′bke iωbktc

(0) k (17)

(s+1) b =

1 i~

k

H ′bke iωbktc

(s) k . (18)

Pretpostavimo da je sistem u vremenskim trenucima t ≤ t0 bio u neperturbovanom stanju ψ(0)a :

c (0) k = δka (19)

Prema tome, uz zamenu b → a, dobijamo

ċ(1)a = 1 i~

k

H ′ake iωaktδka, (20)

odnosno:

ċ(1)a = 1 i~

H ′aa, (21)

što daje:

c(1)a (t) = 1 i~

t

t0

H ′aa(t ′)dt′ , (22)

2Kriterijum šta je slaba perturbacija biće kasnije definisan.

Docsity.com

58 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

Sl. 1. Vremenski zavisna teorija perturbacija se svodi na odredjivanje Furijeovog transforma

perturbacije ”aktivne” u konačnom vremenskom intervalu.

pri čemu je uzeto da je c(1)a (t0) = 0. Do prvog reda, koeficijent ca stanja a je dat sa:

ca(t) = c(0)a + c (1) a (t) = 1 +

1 i~

t

t0

H ′aa(t ′)dt′ ≈ exp

 − i

~

t

t0

H ′aa(t ′)dt′

  . (23)

Prema tome, glavni efekat perturbacije je u promeni faze koeficijenta ca, koja je pre delovanja perturbacije bila

jednaka nuli.

Za stanje b uz c(1)b (t0) = 0:

c (1) b (t) =

1 i~

t

t0

H ′ba(t ′)eiωbat

′ dt′ . (24)

H ′ba se naziva matrični element prelaza. Verovatnoća da se sistem koji se nalazio u stanju a nade u trenutku t u

stanju b 6= a je:

P (1) ba (t) = |c(1)b (t)|2 =

1 ~2

∣∣∣∣∣∣

t

t0

H ′ba(t ′)eiωbat

′ dt′

∣∣∣∣∣∣

2

. (25)

Posmatramo perturbaciju H̃ ′ba, koja deluje od t0 = 0 do t. Ova perturbacija se poklapa sa H ′ ba u oblasti

0 < t′ < t, inače je jednaka nuli. Prema tome, P (1)ba (t) se može pisati u obliku:

P (1) ba (t) = |c(1)b (t)|2 =

1 ~2

∣∣∣∣∣∣

+

−∞ H̃ ′ba(t

)eiωbat ′ dt′

∣∣∣∣∣∣

2

. (26)

što znači da P (1)ba (t) predstavlja skalirani kvadrat modula Furijeove transformacije H̃ ′ ba za Borovu kružnu učestanost

ωba.

Docsity.com

1.. Perturbacija nezavisna od vremena 59

Sl. 2. Vremenski nezavisna perturbacija uključena u trenutku t = 0.

1. Perturbacija nezavisna od vremena

Posmatramo perturbaciju koja je uključena u trenutku t = 0 i koja je konstantna u funkciji vremena. Na osnovu

c(1)a (t) = 1 i~

t

0

H ′aa(t ′)dt′. (27)

Ako Hamiltonijan ne zavisi od vremena, H ′aa = const:

c(1)a (t) = 1 i~

H ′aat. (28)

Dakle, za stanje a:

ca(t) = 1 + 1 i~

H ′aat ≈ e− i ~H

′ aat. (29)

Na osnovu vremenski zavisne forme svojstvene funkcije stanja a:

ca(t)ψ(0)a e −iE(0)a t/~ ≈ ψ(0)a e−i(E

(0) a +H

′ aa)t/~. (30)

Efekat vremenski konstantne perturbacije na stanje a je kao u vremenski nezavisnoj teoriji perturbacija I reda:

Ea = E(0)a + H ′ aa. (31)

Koeficijent stanja b je:

c (1) b (t) =

1 i~

t

0

H ′ba(t ′)eiωbat

′ dt′ =

1 i~

H ′ba eiωbat − 1

iωba . (32)

Verovatnoća prelaza sa stanja a na stanje b je:

P (1) ba (t) =

|H ′ba|2 ~2ω2ba

|1cos ωbat− i sin ωbat|2. (33)

Moduo koji figurǐse u poslednjem izrazu je:

|1cosωbat− i sinωbat|2 = 2(1cos ωbat) = 4 sin2 (

ωbat

2

) . (34)

Docsity.com

60 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

Sl. 3. Funkcija F.

Konačno verovatnoća prelaza je data izrazom:

P (1) ba (t) =

2 ~2 |H ′ba|2F (t, ωba) , (35)

gde je:

F (t, ω) = 2 sin2

( ωt 2

)

ω2 . (36)

Oblike krive je prikazan na slici. Površina ispod krive F (t, ω) je:

+

−∞ F (t, ω)= t

+

−∞

sin2 u u2

du

︸ ︷︷ ︸ π

= πt (37)

S druge strane, Dirakova delta funkcija može se pisati kao:

δ(x) = lim t→∞

2 sin2(tx/2) πtx2

. (38)

Prema tome, za t →∞: F (t, ω) = πtδ(ω). (39)

Kriva F (t, ω) favorizuje stanja čije se energije razlikuju za manje od δωba = 2πt po apsolutnoj vrednosti od E (0) a

(položaj prve nule krive F (t, ω)). Prema tome, prelaz se uglavnom odigrava na stanja E(0)b sa energijama koje

su u opsegu δE ∼ 2π~t oko energije E (0) a . Perturbacija predstavlja način za merenje energije sistema pomoću

prelaza za stanja a na stanje b. S obzirom da perturbacija traje vreme t, neodredenost merenja energije je reda

h t , što se poklapa sa zaključkom izvedenim na osnovu širine krive F (t, ω).

Srednja vrednost u jednom periodu je (sin2(ωt/2) = 1/2):

P (1) ba =

2|H ′ba|2 ~2ω2ba

. (40)

Docsity.com

2.. Harmonijska perturbacija 61

Sl. 4. Harmonijska perturbacija.

Ako je vreme t malo u poredenju sa periodom:

sin ωbat

2 ≈ ωbat

2 , (41)

pa je:

P (1) ba (t) =

|H ′ba|2t2 ~2

. (42)

Odavde se može zaključiti da bi važila pertubacija I reda (P (1)ba (t) ¿ 1) mora biti ispunjeno:

t ¿ ~ H ′ba

. (43)

Ovo je potreban ali ne i dovoljan uslov za važenje teorije perturbacija I reda. Naime, u teoriji perturbacija II

reda, postoje matrični element H ′kn na koje se moraju primeniti odredeni uslovi da bi bili mali.

2. Harmonijska perturbacija

Smatramo da se perturbacija menja po:

Ĥ ′ = Ĥ ′1 sin ωt = Âe iωt + †e−iωt. (44)

Ovde Ĥ ′1 zavisi of prostornih koordinata Ĥ ′ 1 =

1(~r), a:

= Ĥ ′1 2i

, (45)

čiji je adjungovani operator:

† = −Ĥ ′ 1

2i , (46)

pri čemu smo koristili činjenicu da je Ĥ ′1 hermitski operator. Tipičan primer je elektromagnetsko polje koherentne

monohromatske svetlosti.

Docsity.com

62 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

Sl. 5. Uz razmatranje uslova za rezonantnu aproksimaciju.

Pretpostavljamo da je sistem u početnom trenutku u stanju E(0)a sa funkcijom ψ (0) a , tako da je:

ca(t ≤ 0) = 1, (47)

cb(t ≤ 0) = 0, (48)

za b 6= a. Na osnovu teorije perturbacija I reda:

c (1) b (t) =

1 i~

t

0

H ′bae iωbat

′ dt′. (49)

Ovo znači da je:

c (1) b (t) =

1 i~

 

t

0

Aeiωt ′ eiωbat

′ dt′ +

t

0

A†e−iωt ′ eiωbat

′ dt′

  . (50)

Rešenje se može pisati u obliku:

c (1) b (t) =

Aba i~

F+(t, ω) + A†ba i~

F−(t, ω). (51)

Ovde je:

F−(t, ω) = ei(ωba−ω)t − 1

i(ωba − ω) = 2e i(ωba−ω)t/2 sin

( ω−ωba

2 t )

ω − ωba , (52)

F+(t, ω) = ei(ωba+ω)t − 1

i(ω + ωba) = 2ei(ωba+ω)t/2

sin (

ω+ωba 2 t

)

ω + ωba . (53)

U izrazu za F− je iskorǐsćena neparnost funkcije sinu/u. Ako je Eba = ~ωba > 0, F− opisuje apsorpciju. Osim

toga:

|F−(t, ω)|2 = 2F (t, ω − ωba), (54)

|F+(t, ω)|2 = 2F (t, ω + ωba). (55)

Krive |F−|2 i |F+|2 su centrirane na ωba i −ωba i nazivaju se rezonantna i antirezonantna kriva, respektivno. Označimo sa ∆ω širinu krive F (t, ω), koja je jednaka ∆ω = 4πt . Ako je |ωba| À ω, može se uvesti rezonatna

Docsity.com

3.. Fermijevo zlatno pravilo 63

aproksimacija, tj može se smatrati da samo jedna kriva, |F+|2 ili |F−|2 daje značajan doprinos P (1)ba (t). Naime, rastojanje izmedu maksimuma dve krive je 2|ωba|. Za malo ∆ω:

2|ωba| À ω = 4π t

. (56)

Odavde se jednostavno dobija:

t À 1|ωba| ≈ 1 ω

, (57)

gde je uzeto u obzir da se praktično eksperimenti izvode sa ω ≈ |ωba|. Za t À 1sistem napravi dovoljan broj oscilacija tako da se pojavi kao harmonijska perturbacija (sin2(ωt/2)2 je harmonijska funkcija vremena). Ako

je ω ≈ ωba i t À 1:

P (1) ba (t) = |c(1)b (t)|2 = 2

|A†ba|2 ~2

F (t, ωba − ω). (58)

U rezonanciji, za ω = ωba je:

F (t, 0) = t2

2 , (59)

što daje:

P (1) ba (t) =

|A†ba|2t2 ~2

. (60)

Da bi važila teorija perturbacija P (1)ba (t) ¿ 1, mora biti:

t ¿ ~ |A†ba|

(61)

Zajedno sa (57): 1

ωba ¿ ~ |A†ba|

, (62)

što znači:

|Eba| À |A†ba|. (63)

Razlika energija mora, dakle, biti mnogo veća od matričnog elementa prelaza.

Ako je t malo u odnosu na 1, F+ i F− interferiraju, što znači da verovatnoća prelaza nema vremena da

zaosciluje.

3. Fermijevo zlatno pravilo

Posmatramo harmonijsku perturbaciju, za slučaj rezonantne aproksimacije:

P (1) ba (t) = |c(1)b (t)|2 = 2

|A†ba|2 ~2

F (t, ω︸︷︷︸ ωba−ω

). (64)

Docsity.com

64 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

Sl. 6. Prelazi na grupu stanja.

U slučaju kada t → ∞: F (t,ω) → πtδ(∆ω). Prema tome za dugo vreme trajanja perturbacije je aproksima- tivno:

P (1) ba (t)

2 ~2 |A†ba|2πtδ(∆ω). (65)

Definǐsemo brzinu verovatnoće prelaza:

Wba(t) = P

(1) ba (t)

t =

2π ~ |A†ba|2δ(E(0)b − E(0)a − ~ω). (66)

Ovde smo koristili:

δ(ax) = 1 a δ(x), a = const. (67)

Ovo je brzina verovatnoće prelaza izmedu dva diskretna nivoa. Posmatrajmo sada grupu nivoa na koja se dešavaju

prelazi. Ova stanja su rasporedene tako da je njihov broj u intervalu (Eb, Eb + dEb) jednak ρ(Eb)dEb.

Za ovaj slučaj

Wba(t) = ∫

2π ~ |A†ba|2ρ(Eb)δ(Eb − E(0)a − ~ω)dEb. (68)

Odavde sledi:

Wba(t) = 2π ~ |A†ba|2ρ(Eb) , (69)

gde je Eb = E (0) a + ~ω.

Prethodni izraz predstavlja Fermijevo zlatno pravilo. Sličan oblik Fermijevog zlatnog pravila može se izvesti

za vremenski nezavisnu perturbaciju. Za obe razmatrane perturbacije zavisnost od vremena je sadržana u

Docsity.com

3.. Fermijevo zlatno pravilo 65

relevantnoj F funkciji. Za proizvoljnu perturbaciju ovo pravilo takode važi pod uslovom da se matrični element

prelaza iz koga je izdvojena funkcija F sporo menja u funkciji vremena.

Docsity.com

66 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

Docsity.com

7

WBK metod

Ovo je kvaziklasični metod za rešavanje Šredingerove jednačine, koji su razvili G. Wentzel, L. Brillouin i H. A.

Kramers. Za konzervativna fizička polja važi zakon o održanju mehaničke energije:

E = T + U = const. (1)

Definǐsemo funkciju dejstva:

S(r, t) =

t

0

L(r, t)dt, (2)

gde

L(r, t) = T − U (3)

označava Lagranžijan. Prema zakonu o održanju mehaničke energije:

S(r, t) =

t

0

(2T − E)dt = 2 t

0

Tdt− Et. (4)

Nadalje, označimo sa Sk = 2 ∫ t 0

Tdt. Pokazaćemo da Sk zavisi samo od prostornih koordinata. Diferencijal Sk

je:

dSk(r) = 2Tdt = mv2dt = m(v2x + v 2 y + v

2 z)dt = m

( vx

dvx dt

+ dvy dt

+ dvz dt

) dt

= pxdx + pydy + pzdz = p · dr. (5)

Uzimajući u obzir varijaciju sve 3 prostorne koordinate i vremena, totalni diferencijal ima oblik:

dSk(r) = ∂Sk ∂x

dx + ∂Sk ∂y

dy + ∂Sk ∂z

dz + ∂Sk ∂t

dt, (6)

Uporedujući prethodne dve relacije, sledi: ∂Sk ∂t

= 0, (7)

67

Docsity.com

68 7. WBK metod

odnosno zaklučujemo da Sk nije eksplicitna funkcija vremena. S obzirom da je:

px = ∂Sk ∂x

, py = ∂Sk ∂y

, pz = ∂Sk ∂z

. (8)

Prema tome:

p = gradSk = gradS. (9)

∂S

∂t = −E. (10)

Dakle:

S(r, t) =

r∫

0

pdr− Et. (11)

Za funkciju dejstva važi klasična Hamilton-Jakobijeva jednačina. Na osnovu:

p2

2m + U = E. (12)

Sledi: (∇S)2

2m + U = −∂S

∂t . (13)

Izvedimo sada kvantnu Hamilton-Jakobijevu jednačinu. Na osnovu definicije funkcije dejstva, sledi da ako

je U = const, tada je vektor impulsa je konstantan, p = const, odnosno:

S = p · r− Et. (14)

Ovo je slučaj slobodne čestice, za koji je talasna funkcija:

ψ(r, t) = 12π

e i ~ (p·r−Et) =

12π

e i ~S(r,t). (15)

Pretpostavićemo ovaj oblik rešenja za proizvoljno U(r, t):

ψ(r, t) = Ce i ~S(r,t). (16)

Za proizvoljnu varijaciju potencijala od prostornih koordinata i vremena koordinata, U = U(r, t), važi Šredingerova

jednačina:

~ 2

2m ∇2ψ + = i~∂ψ

∂t . (17)

Važi:

∇ψ = C i ~ ∇Se i~S = i

~ ∇Sψ; (18)

2ψ = i ~

( 2+ (∇S)2 i

~ ψ

) ; (19)

Docsity.com

69

∂ψ

∂t =

i

~ ∂S

∂t ψ. (20)

Prema tome, kvantna Hamilton-Jakobijeva jednačina ima oblik:

(∇S)2 2m

+ U − i~ 2m

2S = −∂S ∂t

. (21)

Pod odredenim uslovima kvantna Hamilton-Jakobijeva jednačina može se svesti na klasičnu. Naime, ako je

m →∞, tada se treći član može zanemariti u odnosu na prvi. Takode ako je

|~2S| ¿ (∇S)2 (22)

odnosno ako je:

~|∇p| ¿ p2. (23)

U 1D slučaju:

p2 À ~ ∣∣∣∣ dp

dx

∣∣∣∣ . (24)

ili:

~

∣∣∣∣∣ 1 p2 dp

dx

∣∣∣∣∣ ¿ 1. (25)

Odavde sledi:

~

∣∣∣∣∣∣ d

( 1 p

)

dx

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ d

( ~ p

)

dx

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣

dx

∣∣∣∣ ¿ 1 (26)

Dakle uslov je da je promena talasne dužine mala.

Može se odrediti i alternativni uslov na osnovu:

p = √

2m(E − U), (27)

što važi za slobodnu česticu. ∂p

∂x =

−∂U∂x 2 √

2m(E − U(x)) , (28)

odakle sledi: ∣∣∣∣ ∂p

∂x

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣

dU dx

2p

∣∣∣∣∣ . (29)

Prema tome kvantna Hamilton-Jakobijeva jednačina može se svesti na klasičnu Hamilton-Jakobijeva jednačinu,

ako je:

~ = 0, trivijalan uslov, koji će poslužiti da se kvantno rešenje razvije u red po ~;

• m veliko;

Docsity.com

70 7. WBK metod

Sl. 1. Analizirani oblik barijere. U x = b je desna povratna tačka.

• p veliko;

∣∣dU

dx

∣∣ malo;

∣∣dλdx ∣∣ malo.

Kvantna Hamilton-Jakobijeva jednačina može se aproksimativno rešiti razvojem u red po ~, pri čemu se ~

se tretira kao mali parametar (slično λ u teoriji perturbacija).

Posmatramo potencijalnu barijeru oblika, kao na slici.

U oblasti I kvantna Hamilton-Jakobijeva jednačina je (uz zamenu −∂S/∂t = E):

S′2 − i~S′′ = 2m[E − U(x)] = p2 = p2kl(x), (30)

gde p označava klasični impuls, koji zavisi od koordinate x, jer je potencijal zavisan od x. Pretpostavimo da je

S oblika:

S = S0 + ~S1 + ~2S2 + · · · (31)

i napravimo aproksimaciju I reda, tj do I stepena ~1. Dakle:

(S′0 + ~S′1)2 − i~(S′′0 + i~S′′1 ) = p2, (32)

S′20 + 2~S′0S′1 − i~S′′0 = p2. (33)

Koeficijenti uz ~0 i ~1 moraju biti jednaki nuli:

S′20 = p 2, (34)

2S′0S ′ 1 − iS′′0 = 0. (35)

Docsity.com

71

Prva jednačina daje:

S′0 = ±p, (36)

odakle sledi:

S0 = ±

pdx + const, (37)

gde konstantu treba odrediti na osnovu graničnog uslova. Druga jednačina postaje:

±2pS′1 = ±i dp

dx (38)

odnosno

S′1 = ip′

2p , (39)

odakle sledi:

S1 = iln

p + const. (40)

Prema tome, funkcija dejstva je:

S = S0 + ~S1 = ± b

x

pdx + i~ln

p + const. (41)

Ovde su dve konstante u izrazima za S0 i S1 sumirane u jednu konstantu u gornjem izrazu, pri čemu su dodatno

u integralu za S0 pogodno uvedene granice. Prema tome:

ψ ∼ ei/~(S0+~S1) = ei/~(± b

x pdx+i~ln√p = e±i/~

b x

pdxe−ln

p (42)

ψ ∼ 1√ p e±i/~

b x

pdx . (43)

U klasično zabranjenoj oblasti je:

p = √

2m(E − U(x)) = i

2m(U(x)− E) = i|p|, (44)

a talasna funkcija je oblika:

ψ ∼ 1√|p|e ±1/~ ∫ b

x |p|dx . (45)

S obzirom da je linearni moment p jednak nuli u povratnoj tački, rešenja postaju beskonačno velika. U okolini

povratne tačke je E ≈ T , što znači da je p ≈ 0, pa uslov p2 À ∣∣∣~ dpdx

∣∣∣, koji smo ranije dobili za aproksimaciju kvantne Hamilton-Jakobijeve jednačine klasičnom jednačinom nije ispunjen. Potrebno je na poseban način

Docsity.com

72 7. WBK metod

Sl. 2. Analizirani oblik barijere. U x = a je leva povratna tačka.

povezati rešenja s jedne i s druge strane, preko oblasti u kojoj kvaziklaični izrazi po WBK ne važe. Taj postupak

ovde neće biti prikazan, već ćemo dati samo krajnji rezultat.

Rešenje levo od desne povratne tačke je linearna kombinacija dva rešenja, dok je sa desne strane, samo

opadajuće rešenje fizički dozvoljeno:

ψ(x) = A1

p ei/~

b x

pdx + B1

p e−i/~

b x

pdx, (46)

ψ(x) = C1√ |p|e

1/~ ∫ x b |p|dx, x > b. (47)

Povezivanje funkcija s leve i desne strane, daje

A1 = C1eiπ/4, (48)

B1 = C1e−iπ/4. (49)

Dakle,

ψ(x) = 2C1

p cos

 1 ~

b

x

pdx + π

4

  , x < b ; (50)

ψ(x) = C1√ |p|e

1/~ ∫ x b |p|dx, x > b . (51)

Slično je za levu povratnu tačku, prikazanu na slici:

ψ(x) = C2√ |p|e

1/~ ∫ a x |p|dx, x < a . (52)

ψ(x) = 2C2

p cos

 1 ~

x

a

pdx + π

4

  , x > a . (53)

Za potencijalnu jamu, oblici rešenja u različitim oblastima su prikazani na slici.

Docsity.com

1.. Odredjivanje koeficijenta transmisije kroz potencijalnu barijeru po WBK metodu 73

Sl. 3. Oblik rešenja u pojedinim oblastima potencijalne jame.

Sl. 4. Analizirana potencijalna barijera.

1. Odredjivanje koeficijenta transmisije kroz potencijalnu barijeru

po WBK metodu

Posmatramo potencijal, oblika kao na slici:

U(x) =

  

0; −∞ < x < 0

U(x); 0 ≤ x ≤ d

0; d < x ≤ +

. (54)

U oblastima 1 i 3 može se oblik svojstvene funkcije odrediti analitički. Šredingerova jednačina u oblasti 1 ima

formu: d2ψ1 dx2

+ k2ψ1 = 0, (55)

gde je:

k =

√ 2mE ~2

. (56)

Docsity.com

74 7. WBK metod

Talasna funkcija u 1. oblasti ima oblik:

ψ1(x) = Aeikx + Be−ikx. (57)

Talasna funkcija u 2. oblasti ima formu: d2ψ

dx2 − κ2(x)ψ2 = 0, (58)

gde je:

κ =

√ 2m ~2

[U(x)− E]. (59)

Prema WBK metodu:

ψ2 = A2√ |p|e

1 ~

x 0 |p|dx +

B2√ |p|e

1~ ∫ x 0 |p|dx, (60)

odnosno:

ψ2(x) = A2√ |p|e

I(x) + B2√ |p|e

−I(x). (61)

U trećoj oblasti, talasna funkcija je oblika: d2ψ3 dx2

+ k2ψ3 = 0 (62)

i rešenje je oblika:

ψ3(x) = A3eikx, (63)

jer, zbog nepostojanja rasejavača desno od barijere, postoji samo transmitovani talas.

Koeficijent transmisije je:

T = Jtrans Jinc

= |A3|2 |A1|2 . (64)

Da bismo odredili odnos A3/A1, potrebno je postaviti granične uslove za talasnu funkciju i I izvod:

ψ1(0) = ψ2(0) → A1 + B1 = 1√|p0| (A2 + B2) ; (65)

ψ′1(0) = ψ ′ 2(0) → ik(A−B) =

|p0| ~

(A2 −B2) ; (66)

ψ2(d) = ψ3(d) 1√|pd| ( A2e

I + B2e−I )

= A3eikd; (67)

ψ2(d) = ψ3(d) |pd| ~

( A2e

I −B2e−I )

= ikA3eikd. (68)

Ovde je p0 = p(0) i pd = p(d). Na osnovu I dve jednačine sledi:

A1 + B1 = 1 |p0| (A2 + B2) , (69)

A1 −B1 = √ |p0|

i~k (A2 −B2) . (70)

Docsity.com

1.. Odredjivanje koeficijenta transmisije kroz potencijalnu barijeru po WBK metodu 75

Odavde se lako dobija:

A1 = A2 2

( 1√ |p0|

+

|p0|

i~k

) +

B2 2

( 1√ |p0|

|p0|

i~k

) . (71)

Granični uslovi na mestu x = d daju:

A2e I + B2e−I = A3

|pd|eikd, (72)

A2e I −B2e−I = i~k|pd|

A3e ikd. (73)

Dalje sledi:

A2 = A3 1 2 eikd

(√ |pd|+ i~k|pd|

) e−I , (74)

B2 = A3 1 2 eikd

(√ |pd| − i~k|pd|

) eI . (75)

Zamenimo upravo izvedene izraze u prethodno dobijeni izraz za A1:

A1 = 1 4 A3e

ikd

(√ |pd|+ i~k|pd|

) ( 1√ |p0|

+

|p0|

i~k

) e−I

+ 1 4 A3e

ikd

(√ |pd| − i~k|pd|

)( 1√ |p0|

|p0|

i~k

) eI .

(76)

Ako je barijera široka, tada je eI À 1, što znači da je u prethodnom izrazu drugi sabirak s desne strane dominantan. Prema tome:

16|A1|2 = |A3|2|eikd|2e2I ( |pd| − ~

2k2

|pd| )(

1 |p0| −

|p0| ~2k2

) e2I . (77)

Prema tome, |A3|2 |A|2 =

16e−2I |pd| |p0| +

|p0| |pd| +

|pd||p0| ~2k2 +

~2k2 |pd||p0|

. (78)

Izraz u eminicou je veći ili jednak od 4, jer se mogu izdvojiti dva faktora oblika a/b + b/a, za koje važi:

(a− b)2 0 → a2 + b2 2ab/ : ab → a b

+ b

a ≥ 2. (79)

Odavde sledi:

T = A3 A1

4e−2I . (80)

Ova formula važi kada je U(x) sporo promenljivo i kada su povratne tačke dovoljno razdvojene. Ako je |p0| = |pd| tada je:

T = 4e−2I . (81)

U praksi U(x) nije tačno poznato, pa se daje procena za vrednost koeficijenta transmisije:

T ≈ e−2 ∫ d 0

2m(U(x)−E)

~ dx. (82)

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 30 str.
preuzmi dokument