LAPLASOVA TRANSFORMACIJA-Zavrsni rad-Primenjena matematika-Matematika
jakestyle
jakestyle23 April 2013

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA-Zavrsni rad-Primenjena matematika-Matematika

PDF (719 KB)
85 str.
13broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA,Zavrsni rad,Primenjena matematika,Matematika, Osnovna Laplace-ova transformacija,Egzistencija Laplace-ove transformacije,Osobine Laplace-ove transformacije,Laplace-ova transformacija periodicnih ...
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 85

ovo je samo pregled

3 prikazano na 85 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 85 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 85 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 85 str.

preuzmi dokument

Master rad

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježana Maksimović

Mentor: Akademik dr Stevan Pilipović

Novi Sad, april 2011.

iii

Sadržaj

Predgovor vi

1. Osnovna Laplace-ova transformacija 1 1.1. Egzistencija Laplace-ove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Osobine Laplace-ove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Laplace-ova transformacija periodičnih funkcija . . . . . . . . . . 10 1.4. Suština Laplace-ove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Inverzna Laplace-ova

transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Gama funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Konvolucija Laplace-ove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Beta funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9. Bessel-ova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.10. Integralne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11. Laplace-ova transformacija distribucija . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.12. Riemann-Stieltjes-ov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.13. Primjena Laplace-ove transformacije na obične diferencijalne jed-

načine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.14. Primjena Laplace-ove transformacije na parcijalne diferencijalne

jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Uopštenje Laplace-ove transformacije 35 2.1. Bochner-ov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Radon-Nikodym-ova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Egzistencija Laplace-ovog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. Osobine Laplace-ovog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv

2.6. Teoreme jedinstvenosti, aproksimacije i inverzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7. Riemann-Stieltjesov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8. Laplace-Stiltjes-ov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.9. Riesz-Stieltjes-ov operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.10. Laplace-Stieltjes-ova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A. Tablice 65

Biografija 72

Literatura 73

v

Predgovor

Laplace-ova transformacija predstavlja jako dobar "alat" za rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednaćina. Integralne transformacije pojavljuju se u radu Leonarda Euler-a, koji ih je prilikom rješavanja običnih diferencijalnih jed- načina drugog reda, predstavljao u obliku inverzne Laplace-ove transformacije. Laplace u svom velikom djelu Théorie analytique des probabilités (1812), pominje Euler-a kao začetnika integralnih transformacija. Krajem devetnaestog vijeka, Laplace-ova transformacija je proširena do njenog kompleksnog oblika zaslugama Poincaré-a and Pincherle-a, i proširena na dvije promjenjive zaslugom Picard- a. Jedna od najljepših formula iz teorije Laplace-ove transformacije je svakako formula kompleksne inverzije. Prva primjena savremene Laplace-ove transforma- cije pojavljuje se u radu Bateman-a (1910). Berstein je 1920-te u svom radu o teta funkcijama izraz f(s) =

∫∞ 0 e

stφ(t)dt nazvao Laplace-ovom transforma- cijom. Određeni podsticaj i doprinos ovome dao je Deutch 1920-ih i 1930-ih godina koji primjenjuje Laplace-ovu transformaciju za rješavanje diferencijalnih, integralnih i integrodiferencijalni jednačina. Rezultate toga rad je izložio u djelu Theorie und Anwendungen der Laplace Transformation (1937). Važnu ulogu u primjeni Laplace-ove transformacije u Elektrotehnici odigrao je Oliver Heaviside. On je izumio Heaviside-ovu stepenastu funkciju i primjenio je na modelu stuje u elektičnom kolu. Pronašao je i metodu za rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina, za koju je kasnije utvrđeno da odgovara Laplace-ovoj transformaciji. Mnogi naučnici su pokušali da Heaviside-ov račun učine složenijim i povežu ga sa Laplace-ovom transformacijom. Jedan od njih bio je i Bromwich, koji je otkrio inverznu Laplace-ovu transformaciju. Laplace-ova transformacija primjenjuje se u fizici (na primjer, provođenje toplote) kao i u analizi prenosa signala u različi- tim sistemima (elektične mreže, komunikacioni sistemi, ...). Optički sistemi, kao i kompjuterski programi za obradu digitalizovane slike i zvukova se takođe mogu smatrati sistemima na koje se može primjeniti Laplace-ova transformacija. U ovom master radu sam pokušala da na najbolji način približim čitaocu Laplace- ovu transformaciju, njene osnovne osobine i primjene. Rad se sastoji od dve glava. Prva glava predviđena je za čitaoce koji se prvi put upoznaju sa pojmom Laplace- ove transformacije i koji nisu upoznati sa Banahovim prostorima, dok je druga glava napredniji nivo i ona je namjenjena čitaocima koji su upoznati sa ovim

vi

pojmovima, kao i sa teorijom operatora. Prva glava se sastoji četrnaest poglavlja. Tu su izložene neke osnovne oso-

bine Laplace-ovog integrala. U prva četiri poglavlja su date osobine Laplace-ove transformacije. U petom poglavlju je definisana inverzna Laplace-ova transfor- macija i dokazana je formula kompleksne inverzije. U narednih šest poglavlja su definisane Gama, Beta i Beselova funkcija, definisan je pojam konvolucije funk- cija i dokazana je teorema za konvoluciju Laplace-ove transformacije. Takođe je definisan pojam distribucija i dokazana teorema za konvoluciju distibucija. Je- danaesto poglavlje je posvećeno Riemann-Stieltjes-ovom integralu. Tu su date osnovne definicije Riemann-Stieltjes-ovog integrala, funkcija ograničene varijacije i Laplace-Stieltjes-ove transformacije , a sve to na prostorima R i C. Posljednja dva poglavlja su posvećena primjenama Laplace-ove transformacije. Druga glava se sastoji od deset poglavlja. To je uopštenje prethodne glave na

Banahovim prostorima. Ovde su još uvedeni dodatni pojmovi kao što su funk- cije ograničene semivarijacije, slabe ograničene varijacije, apscise konvergencije, Riesz-ovog operatora, Riesz-Stieltjes-ove transformacije i drugih. Laplace-ova i Laplace-Stieltjes-ova transformacije su predstavljene kao operatori koji djeluju na određenim prostorima.

vii

1. Osnovna Laplace-ova transformacija

1.1. Egzistencija Laplace-ove transformacije

Definicija 1.1.1. Pretpostavimo da je t 7→ f(t) realna ili kompleksna funkcija (t > 0) i s realan ili kompleksan parametar. Definišimo Laplace-ovu transforma- ciju funkcije f sa

F (s) = L(f(t)) = ∫ ∞

0 estf(t)dt = lim

τ→∞

τ 0 estf(t)dt (1.1)

pod uslovom da ovaj limes postoji.

Ako ovaj limes postoji, onda kažemo da integral (1.1) konvergira. U suprot- nom slučaju integral divergira i ne možemo definisati Laplace-ovu transformaciju za f . U nastavku ćemo se baviti konvergencijom integrala (1.1).

Definicija 1.1.2. Integral (1.1) je apsolutno konvergentan ako postoji

lim τ→∞

τ 0 |estf(t)|dt.

Ako L(f(t)) konvergira apsolutno, onda vrijedi

| ∫ τ τ estf(t)dt| ≤

τ τ |estf(t)|dt→ 0, kad τ →∞

za sve τ > τ .

Definicija 1.1.3. Funkcija f je dio po dio neprekidna na intervalu [0,∞) ako: i) limt→0+ f(t) = f(0+) postoji ii) f je neprekidna na svakom konačnom intervalu (a, b) osim u eventualno ko- načno mnogo tačaka r1, r2, ..., rn ∈ (a, b) u kojima funkcija f ima prekide.

1

Definicija 1.1.4. Funkcija f je eksponencijanlo ograničena ako postoje kons- tante M > 0 i α ∈ R takve da za neko t0 ≥ 0 vrijedi

|f(t)| ≤Meαt, t t0

Teorema 1.1.1. Ako je f dio po dio neprekidna na [0,∞) i eksponencijalno ograničena, tada Laplace-ova transformacija postoji ako je Re(s) > α i konvergira apsolutno.

Dokaz. Kako je funkcija f eksponencijalno ograničena (eksponencijalnog reda α), tada postoji konstanta M1 > 0 tako da vrijedi

|f(t)| ≤M1eαt, t t0,

za neko realno α. Funkcija f je dio po dio neprekidna na [0, t0] i odatle imamo ograničenost tj.

|f(t)| ≤M2, 0 < t < t0

Kako funkcija eαt ima pozitivan minimum na [0, t0], a konstantu M možemo izabrati dovoljno veliku, pa imamo

|f(t)| ≤Meαt, t > 0

Dakle,∫ τ 0 |estf(t)|dt M

τ 0 e−(xα)tdt = Me

−(xα)t

−(xα) | τ 0 =

M

xα Me

−(xα)τ

xα .

Kada pustimo τ →∞ i Re(s) = x > α daje∫ ∞ 0 |estf(t)|dt M

xα . (1.2)

1.2. Osobine Laplace-ove transformacije

Neka je L := {f : (0,∞)→ R (C) | F (s) postoji za neko s}.

Teorema 1.2.1. (Teorema linearnosti) Ako f1 ∈ L za Re(s) > α, f2 ∈ L za Re(s) > β, tada f1 + f2 ∈ L za Re(s) > max{α, β} i

L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2)

za proizvoljne konstante c1 i c2.

2

Dokaz. Iz (1.1) i linearnosti integrala dobijamo∫ ∞ 0

est(c1f1(t) + c2f2(t))dt = c1 ∫ ∞

0 estf1(t)dt+ c2

∫ ∞ 0

estf2(t)dt.

Teorema 1.2.2. (Teorema sličnosti) Ako je f L, Re(s) > α i a > 0, onda je i Re(s) > aα i vrijedi

L(f(at)) = 1 a F (s a

).

Dokaz. Po definiciji Laplace-ove transformacije imamo

L(f(at)) = ∫ ∞

0 estf(at)dt.

Smjenom at = u, a dt = du gornji integral postaje

L(f(u)) = 1 a

∫ ∞ 0

es a uf(u)du.

Teorema 1.2.3. (Prva teorema pomjeranja) Ako je F (s) = L(f(t)), Re(s) > 0, tada je F (sa) = L(eatf(t)) , Re(s) > a, a ∈ R.

Dokaz. Za Re(s) > a, važi

F (sa) = ∫ ∞

0 e−(sa)tf(t)dt =

∫ ∞ 0

esteatf(t)dt = L(eatf(t)).

Teorema 1.2.4. (Druga teorema pomjeranja) Ako je F (s) = L(f(t)), tada je

L(ua(t)f(ta)) = easF (s), (a ≥ 0)

gdje je

ua(t) =

 1 , t > a

0 , t < a .

Dokaz.

L(ua(t)f(ta)) = ∫ ∞

0 estua(t)f(ta)dt =

∫ ∞ 0

estf(ta)dt.

Uvodeći smjenu τ = ta, dobijamo∫ ∞ 0

es(τ+a)f(τ)= eas ∫ ∞

0 esτf(τ)= easF (s).

3

Napomena 1.2.1. Za a ≥ 0, funkcija ua(t) se naziva Heaviside-ova stepenasta funkcija.

Teorema 1.2.5. Ako f(t) =

∞∑ n=0

ant n

konvergira za t ≥ 0 uz uslov da je

|an| ≤ Kαn

n!

za sve dovoljno velike n i α > 0, K > 0, tada je

L(f(t)) = ∞∑ n=0

anL(tn) = ∞∑ n=0

ann! sn+1

(Re(s) > α) .

Dokaz. Kako je funkcija f(t) predstavljena pomoću stepenog reda, ona je nepre- kidna na [0,∞). Želimo da pokažemo da razlika

|L(f(t))− Nn=0

anL(tn)| = |L(f(t)− Nn=0

ant n)| ≤ Lx(|f(t)−

Nn=0

ant n|)

konvergira nuli kad N →∞, gdje je Lx(h(t)) = ∫∞ 0 e

xth(t)dt , za neku funkciju h gdje je x = Re(s). Prema tome je

|f(t)− Nn=0

ant n| = |

∞∑ n=N+1

ant n| ≤ K

∞∑ n=N+1

(αt)n n! = K(e

αt Nn=0

(αt)n n! ).

Kako za proizvoljne Laplace transformabilne funkcije h i g takve da je h g vrijedi Lx(h) ≤ Lx(g), onda vrijedi

Lx(|f(t)− Nn=0

ant n|) ≤ KLx(eαt

Nn=0

(αt)n n! ) = K(

1 xα

Nn=0

αn

xn+1 ) =

= K( 1 xα

− 1 x

Nn=0

(α x

)n)→ 0 kad N →∞, (Re(s) = x > α).

Ovdje smo iskoristi činjenicu da je ∞∑ n=0

zn = 11− z , |z| < 1.

Prema tome je

L(f(t)) = lim N→∞

Nn=0

anL(tn) = ∞∑ n=0

ann! sn+1

, (Re(s) > α).

4

Teorema 1.2.6. Ako je f dio po dio neprekidna na [0,∞) i eksponencijalno ograničena, tada

F (s) = L(f(t))→ 0 kad Re(s)→∞.

Dokaz. Iz (1.2) slijedi da za proizvoljnu konstantu M > 0 važi

| ∫ ∞

0 estf(t)dt| ≤ M

xα , (Re(s) = x > α).

Puštajući u prethodnoj nejednakosti x→∞ dobijamo tvrdnju.

Teorema 1.2.7. Neka je f neprekidna na (0,∞) eksponencijalnog reda α i f

dio po dio neprekidna na [0,∞). Tada

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0+) (Re(s) > α).

Dokaz. Parcijalnom integracijom dobijamo∫ ∞ 0

estf ′(t)dt = lim τ→∞, δ→0

τ δ estf ′(t)dt = lim

τ→∞, δ→0 [estf(t) |τδ +s

τ δ estf(t)dt] =

= lim τ→∞, δ→0

[esτf(τ)− esδf(δ) + s τ δ estf(t)dt] =

= −f(0+) + s ∫ ∞

0 estf(t)dt (Re(s) > α).

Prema tome je L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0+).

Ovdje smo koristi činjenicu da za Re(s) = x > α važi

|esτf(τ)| ≤ exτMeατ =

= Me−(xα)τ → 0 kad τ →∞ .

Primjetimo da f(0+) postoji jer f ′(0+) = limt→0+ f ′(t) postoji. Jasno, ako je f neprekidna u nuli, onda je f(0+) = f(0) i naša formula postaje

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0).

Teorema 1.2.8. Pretpostavimo da je f neprekidna na [0,∞) osim u tački t1 > 0 u kojoj ima prekid i neka je f eksponencijalno ograničena, a f dio po dio neprekidna na [0,∞). Tada

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0)− et1s(f(t+1 )− f(t−1 )) (Re(s) > α).

5

Dokaz.∫ ∞ 0

estf ′(t)dt = lim τ→∞

τ 0 estf ′(t)dt = lim

τ→∞ [estf(t) |t

− 1

0 +estf(t) |τt+1 +s τ

0 estf(t)dt] =

= lim τ→∞

[estf(t−1 )− f(0) + esτf(τ)− estf(t+1 ) + s τ

0 estf(t)dt].

Odatle je L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0)− et1s(f(t+1 )− f(t−1 )).

Ako su 0 < t1 < t2 < ... < tn prekidi funkcije f , a n je konačan broj, tada prethodna formula postaje

L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0)− nk=1

etks(f(t+k )− f(tk )).

Napomena 1.2.2. Primjetimo da ako je f neprekidna na [0,∞) eksponencijal- nog reda α, tada isto vrijedi i za funkciju f .

Slijedeća teorema je uopštenje Teoreme 1.2.7 i glasi:

Teorema 1.2.9. Pretpostavimo da su f(t), f ′(t), ...f (n−1)(t) neprekidne na (0,∞) eksponencijalnog reda α, a f (n)(t) dio po dio neprekidna na [0,∞) . Tada je

L(f (n)(t)) = snL(f(t))− sn−1f(0+)− sn−2f ′(0+)− ...f (n−1)(0+).

Teorema 1.2.10. (Teorema o diferenciranju slike) Neka je f(t) dio po dio ne- prekidna na [0,∞), eksponencijalnog reda α i L(f(t)) = F (s). Tada

dn

dsn F (s) = L((−1)ntnf(t)) n = 1, 2, 3, ... (Re(s) > α).

Dokaz. Poći ćemo od same definicije Laplace-ove transformacije funkcije f

F (s) = ∫ ∞

0 estf(t)dt.

Diferenciranjem lijeve i desne strane prethodne nejednakosti po s dobijamo d

ds F (s) = d

ds

∫ ∞ 0

estf(t)dt = ∫ ∞

0

∂s estf(t)dt

= ∫ ∞

0 −testf(t)dt = L(−tf(t))

Ovdje smo koristili teoremu o zamjeni mjesta izvoda i integrala. Nastavljajući postupak dobijamo tvrdnju.

6

Teorema 1.2.11. (Teorema o početnoj vrijednosti) Pretpostavimo da f i f za- dovoljavaju uslove Teoreme 1.2.7 i F (s) = L(f(t)). Tada

f(0+) = lim t→0+

f(t) = lim s→∞

sF (s) (s je realno).

Dokaz. Na osnovu Teoreme 1.2.6 je L(f ′(t)) = G(s)→ 0 kad s→∞. Na osnovu Teoreme 1.2.7 je

G(s) = sF (s)− f(0+), s > α.

Puštajući limes u prethodnoj jednakosti dobijamo

0 = lim s→∞

G(s) = lim s→∞

sF (s)− f(0+).

Prema tome je f(0+) = lim

s→∞ sF (s).

Teorema 1.2.12. Pretpostavimo da funkcija f zadovoljava uslove Teoreme 1.2.7, L(f ′(t)) = G(s) postoji za sve s > 0 i limt→∞ f(t) postoji. Tada

lim s→0+

∫ ∞ 0

estf ′(t)dt = ∫ ∞

0 f ′(t)dt.

Dokaz. Vidjeti u [1].

Teorema 1.2.13. (Teorema o krajnjoj vrijednosti) Pretpostavimo da f zadovo- ljava uslove Teoreme 1.2.7 i limt→∞ f(t) postoji. Tada je

lim t→∞

f(t) = lim s→0

sF (s) (s je realno).

Dokaz. Na osnovu pretpostavke funkcija f je ograničena, pa primjetimo da je eksponencijalni red ove funkcije α = 0. Na osnovu Teoreme 1.2.7 je

G(s) = L(f ′(t)) = sF (s)− f(0+) (s > 0).

Puštajući limes kad s→ 0 u prethodnoj jednačini dobijamo

lim s→0

G(s) = lim s→0

sF (s)− f(0+). (1.3)

Na osnovu Teoreme 1.2.12 limes može ući ispod znaka integrala, pa dobijamo

lim s→0

G(s) = lim s→0

∫ ∞ 0

estf ′(t)dt = ∫ ∞

0 f ′(t)dt. (1.4)

Integral ∫∞

0 f ′(t)dt postoji, jer∫ ∞

0 f ′(t)dt = lim

τ→∞

τ 0 f ′(t)dt = lim

τ→∞ (f(τ)− f(0+)). (1.5)

Iz jednačina (1.3), (1.4) i (1.5) dobijamo tvrdnju.

7

Definicija 1.2.1. Ako je kompleksna funkcija f(z) diferencijabilna u svim tač- kama u nekoj okolini |z z0| < r, tada je f(z) analitička (holomorfna) u tački z0. Ako je f(z) analitička u svakoj tački u oblasti D, onda je f(z) analitička (holomorfna) na D.

Teorema 1.2.14. Ako je funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definisana u oblasti D i njeni parcijalni izvodi ux, uy, vx, vy su neprekidni i zadovoljavaju Cauchy- Riemann-ove (C-R)1 uslove. Tada je f(z) analitička (holomorfna) na D.

Dokaz. Vidjeti u [5].

Teorema 1.2.15. Ako je f dio po dio neprekidna funkcija i integral

F (s) = ∫ ∞

0 estf(t)dt

uniformno konvergira za sve s E ⊆ C , onda je F (s) neprekidna na E, tj. za ss0 ∈ E je

lim ss0

∫ ∞ 0

estf(t)dt = ∫ ∞

0 lim ss0

estf(t)dt = F (s0).

Dokaz. Vidjeti u [1].

Teorema 1.2.16. Pretpostavimo da su f(x, y) i ∂ ∂x f(x, y) neprekidne u pravo-

ugaoniku a x b, 0 ≤ y T, T > 0, osim u možda konačno mnogo tačaka u kojima ima prekide duž pravih y = yi, i = 1, 2, ..., n i neka

∫∞ 0 f(x, y)dy konver-

gira, a ∫∞

0 ∂ ∂x f(x, y)dy konvergira uniformno. Tada je

∂x

∫ ∞ 0

f(x, y)dy = ∫ ∞

0

∂x f(x, y)dy (a < x < b).

Dokaz. Vidjeti u [1].

Teorema 1.2.17. Neka je f(t) dio po dio neprekidna na [0,∞) eksponencijalnog reda α, onda je F (s) = L(f(t)) analitička funkcija u domenu Re(s) > α.

Dokaz. Neka je s = x+ iy.

F (s) = ∫ ∞

0 estf(t)dt =

∫ ∞ 0

e−(x+iy)tf(t)dt = ext ∫ ∞

0 (cos(yt)−i sin(yt))f(t)dt =

= ∫ ∞

0 (ext cos(yt))f(t)dt+

∫ ∞ 0

(−ext sin(yt))f(t)dt = u(x, y) + iv(x, y)

1Ovi uslovi se dosta često koriste u kompleksnoj analizi u dati su u [5]

8

Uzmimo u obzir

| ∫ ∞ t0

∂x (ext cos(yt))f(t)dt| = |

∫ ∞ t0

(−text cos(yt))f(t)dt| ≤ ∫ ∞ t0

text|f(t)|dt

M ∫ ∞ t0

e−(xαδ)tdt M xαδ

e−(xαδ)t0

gdje je δ > 0 izabrano proizvoljno malo. Tada za x x0 > α (x x0 > α + δ), desna strana prethodne nejednakosti može biti dovoljno mala birajući t0 dovoljno veliko. Iz toga slijedi da integral

∫∞ 0

∂ ∂x

(ext cos(yt))f(t)dt unifor- mno konvergira za Re(s) ≥ x0 > α. Na isti način zaključujemo da integral∫∞

0 ∂ ∂y

(−ext sin(yt))f(t)dt konvergira uniformno za Re(s) ≥ x0 > α. Na osnovu ove uniformne konvergencije i apsolutne konvergencije L(f(t)) po Teoremi 1.2.16 zaključujemo da možemo diferencirati ispod znaka integrala. Iz toga je

ux = ∫ ∞

0

∂x (ext cos(yt))f(t)dt =

∫ ∞ 0

(−text cos(yt))f(t)dt

vy = ∫ ∞

0

∂y (−ext sin(yt))f(t)dt =

∫ ∞ 0

(−text cos(yt))f(t)dt

tj. ux = vy. Na sličan način pokažemo da je uy = −vx. Neprekidnost par- cijalnih izvoda ux, uy, vx, vy slijedi iz Teoreme 1.2.15 primjenjene na funkciju g(t) = −tf(t). Na osnovu Teoreme 1.2.14 slijedi tvrdnja.

Teorema 1.2.18. Ako je f dio po dio neprekidna na [0,∞) eksponencijalnog reda α ≥ 0 i

g(t) = ∫ t

0 f(u)du,

onda je L(g(t)) = 1

s L(f(t)) (Re(s) > α).

Dokaz. Kako je g′(t) = f(t), osim u tačkama prekida funkcije f , pa parcijalnom integracijom dobijamo∫ ∞

0 estg(t)dt = lim

τ→∞ [g(t)e

st

s |τ0 +

1 s

τ 0 estf(t)dt].

Kako je g(0) = 0, trebamo odrediti

lim τ→∞

g(τ)es

.

U tom cilju je , |g(τ)e| ≤ e

τ 0 |f(u)|du

Meτ

0 eαudu

9

= M α

(e−(xα)τ e)→ 0 kad τ →∞

gdje je x = Re(s) > α > 0. Ovo vrijedi i za α = 0. Otuda je

L(g(t)) = 1 s L(f(t)) (Re(s) > α).

Teorema 1.2.19. Ako je f dio po dio neprekidna na [0,∞) eksponencijalnog reda α ≥ 0 i ako postoji

∫∞ 0 F (u)du, tada je

L(f(t) t

) = ∫ ∞ s

F (u)du (Re(s) > α).

Dokaz. ∫ ∞ s

F (u)du = ∫ ∞ s

du ∫ ∞

0 eutf(t)dt =

∫ ∞ 0

f(t)dt ∫ ∞ s

eutdu =

= ∫ ∞

0 f(t)e

ut

t |sdt =

∫ ∞ 0

f(t)e st

t dt = L(f(t)

t ).

Ovdje smo koristili Fubini2-jevu teoremu o zamjeni mjesta integrala.

1.3. Laplace-ova transformacija periodičnih funk- cija

Neka je data funkcija t f(t) takva da je f(t) = 0 za svako t < 0 koja je periodična na intervalu [0,∞) sa periodom T . Tada vrijedi jednakost f(t+kT ) = f(t) gdje je k prirodan broj.

Teorema 1.3.1. Ako je F (s) = L(f(t)) i ako je f periodična sa periodom T na intervalu [0,∞), onda vrijedi

F (s) = 11− esT T

0 estf(t)dt.

Dokaz. Na osnovu definicije Laplace-ove transformacije, imamo

F (s) = ∫ ∞

0 estf(t)dt =

T 0 estf(t)dt+

∫ ∞ T

estf(t)dt.

Uvodeći smjenu τ = tT , dobijamo∫ ∞ T

estf(t)dt = ∫ ∞

0 es(τ+T )f(τ + T )= esT

∫ ∞ 0

esτf(τ)dτ.

Prema tome je F (s) =

T 0 estf(t)dt+ esTF (s),

pa na osnovu ovoga dobijamo tvrdnju. 2Formulacija i dokaz Fubini-jeve teoreme se nalazi u [3]

10

1.4. Suština Laplace-ove transformacije

Definicija 1.4.1. Orginalom se naziva svaka kompleksna funkcija realne pro- mjenjive t 7→ f(t) koja ispunjava slijedeće uslove: i) Za svako t < 0 je f(t) = 0. Funkcija koja ispunjava ovaj uslov se naziva ka- uzalna funkcija. ii) Funkcija f je integrabilna na svakom konačnom intervalu koji pripada oblasti [0, a], gdje je a <. iii) Funkcija f je eksponencijalno ograničena.

Definicija 1.4.2. Neka je funkcija t 7→ f(t) apsolutno integrabilna na intervalu (−∞,+∞). Fourier-ova transformacija ove funkcije je

(Ff)(y) = ∫ +∞ −∞

eityf(t)dt. (1.6)

Njena inverzna Fourier-ova transformacija glasi:

f(t) = 12π

∫ +∞ −∞

eity(Ff)(y)dy.

Ako je f kauzalna funkcija, tada je donja granica integrala (1.6) umjesto −∞ jednaka 0. Pomnožimo podintegralnu funkciju jednakosti (1.6) sa funkcijom ext, gdje je x realni parametar izabran tako da integral (1.1) konvergira za svaki original f(t). Na taj način Fourier-ova transformacija od extf(t), gdje je f(t) original, jednaka je∫ +∞

0 eityextf(t)dt =

∫ +∞ 0

e−(x+iy)tf(t)dt = ∫ +∞

0 estf(t)dt = F (s)

gdje je s = x + iy. Do inverzne Laplace-ove transformacije dolazimo pomoću inverzne Fourier-ove transformacije. Imamo da je

extf(t) = 12π

∫ +∞ −∞

eityF (s)dy.

Odavde je f(t) = 12π

∫ +∞ −∞

exteityF (s)dy = 12π

∫ +∞ −∞

estF (s)dy.

Ako uvedemo smjenu s = x+ iy, za koju je ds = idy, dobijamo

f(t) = 12πi

x+ixi

estF (s)ds. (1.7)

Ovo je inverzna Laplace-ove transformacija i integral na desnoj strani jednakosti (1.7) naziva se Bromwichov integral.

11

1.5. Inverzna Laplace-ova transformacija

Definicija 1.5.1. Vrijednost limA→∞ ∫ A A f(t)dt se naziva Cauchy-jeva glavna

vrijednost integrala ∫ +∞ −∞ f(t)dt, pod uslovom da ovaj integral postoji.

Teorema 1.5.1. (Fundamentalna teorema Fourier-ovih integrala) Neka je f ap- solutno neprekidna i dio po dio glatka funkcija na R i neka je (Ff)(y) Fourier-ova transformacija od f . Tada integral (1.6) konvergira za svako t ∈ R kao Cauchy- jeva glavna vrijednost i vrijedi

1 2π

∫ +∞ −∞

eity(Ff)(y)dy = 12(f(t +) + f(t−)), (1.8)

gdje je f(t+) = limh→0 f(t+ h) i f(t−) = limh→0 f(th).

Dokaz. Vidjeti u [2].

Teorema 1.5.2. Neka je f(t) dio po dio glatka (i kauzalna) funkcija eksponen- cijalnog reda α ∈ R i neka je F (s) Laplace-ova transformacija od f(t). Onda za t ≥ 0 i s = x+ iy takvo da je Re(s) > α vrijedi

lim A→∞

1 2π

A A

F (s)estdy = 12(f(t +) + f(t−)).

Dokaz. Definišimo funkciju g(t) = ua(t)f(t)ext (a ≥ 0). Primjetimo da je funk- cija g(t) apsolutno integrabilna, jer je f(t) eksponencijalnog reda α. Odatle zaključujemo da Fourier-ova transformacija od g(t) postoji za Re(s) > α i

(Fg)(y) = ∫ +∞ −∞

eityua(t)f(t)extdt = ∫ +∞

0 e−(x+iy)tf(t)dt = F (s).

Kako je f dio po dio glatka, onda je i g dio po dio glatka i apsolutno integrabilna. Prema tome, Teoremu 1.5.1 možemo primjeniti na funkciju g. Kako je (Fg)(y) = F (s) iz (1.8) dobijamo

1 2π

∫ ∞ −∞

F (x+ iy)eitydy = 12(g(t +) + g(t−)).

Za t ≥ 0 imamo g(t+) = ua(t+)f(t+)ext = f(t+)ext i g(t−) = f(t−)ext, što nam daje

lim A→∞

1 2π

A A

F (s)eitydy = 12(f(t +) + f(t−))ext.

Ako pomnožimo lijevu i desnu stranu prethodne nejednakosti sa ext, dobijamo tvrdnju koja važi za Re(s) > α i t ≥ 0.

12

Teorema 1.5.3. (Laplace-ova transformacija je 1-1) Neka su f(t) i g(t) dio po dio neprekidne funkcije eksponencijalnog reda α i neka su F (s) i G(s) Laplace-ove transformacije od f(t) i g(t) respektivno. Tada, ako je F (s) = G(s) u poluravni Re(s) > α, onda je f(t) = g(t) u svim tačkama u kojima su f(t) i g(t) neprekidne.

Dokaz. Neka je t ∈ R tačka u kojoj su f(t) i g(t) neprekidne. Kako je F (s) = G(s) za Re(s) > α, iz Teoreme 1.5.1 dobijamo da je

f(t) = lim A→∞

1 2π

A A

F (s)estdy = lim A→∞

1 2π

A A

G(s)estdy = g(t).

Definicija 1.5.2. Neka je funkcija f(z) regularna u prstenu 0 < |zz0| < r i nije definisana u tački z = a, (a 6= 0). Tada se a naziva izolovanim singularitetom funkcije f .

Definicija 1.5.3. Izolovani singularitet a funkcije f se naziva: i) otklonjivim , ako limza f(z) postoji i konačan je. ii) polom, ako limza f(z) =∞. iii) esencijalnim singularitetom, ako limza f(z) ne postoji.

Definicija 1.5.4. Ako analitičku funkciju z 7→ f(z) razvijemo u Laurentov red u okolini njenog pola ili esencijalnog singulariteta, tj.

f(z) = ∞∑ n=0

An(z a)n + ∞∑ n=1

Bn (z a)n

onda se koeficijent B1 uz 1za naziva ostatkom funkcije f u tački z = a. Ostatak se označava sa resz=af(z) ili res(f(z), z = a).

Teorema 1.5.4. (Cauchy-jeva teorema o ostacima) Ako je L kontura koja obu- hvata polove ili esencijalne singularitete zk, (k = 1, 2, ..., n) uniformne funkcije z 7→ f(z), tada je

L f(z)dz = 2πi

nk=1

res(f(z), z = zk).

Dokaz. Vidjeti u [5].

Osnovna osobina inverzne Laplace-ove transformacije je linearnost koju mo- žemo dokazati po definiciji. U nastavku ćemo se baviti nekim osobinama inverzne Laplace-ove transformacije.

13

Teorema 1.5.5. Ako se funkcija s 7→ F (s) može razložiti u Laurent-ov red

F (s) = ∞∑ k=0

ak sk+1

, (1.9)

tada je

f(t) = L−1(F (s)) = ∞∑ k=0

ak tk

k! , (1.10)

gdje je L−1(F (s)) inverzna Laplace-ova transformacija od F (s).

Dokaz. Primjenimo jednakost L(tn) = n! sn+1

, odnosno L−1( 1 sn+1

) = tn n! na (1.9).

Zamjenom mjesta sume i inverzne Laplace-ove transformacije dolazimo do jedna- kosti (1.10).

Teorema 1.5.6. Ako je F (s) = Qm(s) Pn(s) , gdje su Qm(s) i Pn(s) polinomi (m < n)

i ako Pn(s) ima proste nule s1, s2, ..., sn, tada je

f(t) = L−1(F (s)) = nk=1

Qm(sk) P n(sk)

eskt. (1.11)

Formula (1.11) poznata je kao Heaviside-ova formula.

Dokaz. Primjenom Bromwich-ovog integrala i Cauchy-jeve teoreme o ostacima imamo

f(t) = nk=1

res(Qm(s) Pn(s)

est, s = sk).

Kako je res(Qm(s)

Pn(s) est, s = sk) = lim

ssk (ssk)

Qm(s) Pn(s)

est =

= Qm(sk)eskt lim ssk

ssk Pn(s)

=

= Qm(sk)e skt

P n(sk) gdje je na posljednji limes primjenjeno L’Hospital-ovo pravilo.

Postoji i opštija formula od ove. Pretpostavimo da je s1 = s2 = ... = = a, tj. s = a je nula polinoma Pn(s) reda ϑ. Neka su ostale nule +1, ..., sn proste. Tada se racionalna funkcija Qm(s)

Pn(s) može prikazati u obliku

Qm(s) Pn(s)

= c1 sa

+...+ ck(sa)k+...+ −1

(sa)ϑ−1 +

(sa)ϑ+ n

k=ϑ+1

Qm(sk) P n(sk)

· 1(ssk) .

14

Prethodnu jednakost pomnožimo sa (sa)ϑ, a zatim diferencirajmo ϑk puta i pustimo da sa. Tada dobijamo

ck = 1

(ϑk)! limsa dϑk

ks ((sa)ϑQm(s)

Pn(s) ).

Inverzna transformacija racionalne funkcije Qm(s) Pn(s) daje

L−1(Qm(s) Pn(s)

) = ϑk=1

ck (k − 1)!t

k−1eat + n

k=ϑ+1

Qm(sk) P n(sk)

eskt.

Lema 1.5.1. Pretpostavimo da za s na konturi kruga CR (Slika 1.1), funkcija F (s) zadovoljava

|F (s)| ≤ M |s|p

, za neko p > 0 i sve R > R0.

Tada je lim R→∞

CR etsF (s)ds = 0 (t > 0).

Dokaz. U tačkama s = Reiθ na CR je |ets| = etR cos θ. Prema tome, za dovoljno

Slika 1.1: Figura 1

veliko R takvo da su svi polovi funkcije F (s) u unutrašnjosti konture ΓR = ABCDEA, funkcija F (s) će biti neprekidna na CR i |F (s)| ≤ MRp , za dovoljno veliko R. Otuda dobijamo da na kružnom luku BCD vrijedi

| ∫ BCD

estF (s)ds| ≤ ∫ BCD |ets||F (s)||ds| ≤ M

Rp−1

∫ 3π 2

π 2

etR cos θdθ .

15

Uvodeći smjenu θ = ϕ+ π2 , dobijamo

| ∫ BCD

estF (s)ds| ≤ M Rp−1

π 0 etR sinϕdϕ = 2M

Rp−1

π 2

0 etR sinϕdϕ. (1.12)

Posljednja jednakost je posljedica toga da je funkcija sinϕ simetrična oko ϕ = π2 , za 0 ≤ ϕ π. Da bismo odredili granicu za integral (1.12), posmatrajmo grafik funkcije y = sinϕ, 0 ≤ ϕ π2 . Kriva od tačke (0, 0) do tačke (

π 2 , 1) ima nagib

Slika 1.2: Figura 2

β = 2 π < 1, pa na osnovu toga zaključujemo da prava 2

π ϕ leži ispod krive y = sinϕ,

tj. sinϕ ≥ 2

π ϕ, 0 ≤ ϕ π2 .

Zbog toga jednačina (1.12) daje,

| ∫ BCD

estF (s)ds| ≤ 2M Rp−1

π 2

0 e

2Rtϕ π dϕ = 2M

Rp−1 (− π2Rte

− 2Rtϕ π |

π 2 0 ) =

= Mπ Rpt

(1− eRt)→ 0 kad R→∞.

Iznad luka AB imamo da je |ets| ≤ etx = c, za fikcno t > 0 i dužina luka AB, u oznaci l(AB), ostaje ograničena kad R→∞. Prema tome je

| ∫ AB

estF (s)ds| ≤ cMl(AB) Rp

→ 0 kad R→∞.

Na sličan način pokazuje se da

| ∫ DE

estF (s)ds| → 0 kad R→∞.

Iz ovog zaključujemo da je

lim R→∞

CR estF (s)ds = 0.

16

Teorema 1.5.7. Pretpostavimo da je f neprekidna i eksponencijalno ograničena na [0,∞), a f dio po dio neprekidna na [0,∞). Ako je F (s) = L(f(t)), za Re(s) = x > α i zadovoljava

|F (s)| ≤ M |s|p

, p > 0

za sve |s| dovoljno velike i neko p i ako je F (s) analitička na C osim u konačno mnogo polova z1, z2, ..., zn, tada je

f(t) = 12πi

x+ixi

estF (s)ds = nk=1

res(estF (s), s = zk). (1.13)

Dokaz. Po Teoremi 1.1.1, F (s) konvergira apsolutno za Re(s) = x > α, tj.∫ ∞ 0 |estf(t)|dt =

∫ ∞ −∞

ext|f(t)|dt <, x > α.

Iz toga zaključujemo da je funkcija g(t) = extf(t) apsolutno integrabilna, pa na osnovu Teoreme 1.5.1 je

g(t) = 12π

∫ +∞ −∞

eity(Fg)(y)dy, t > 0.

Ako pomnožimo lijevu i desnu stranu prethodne jednakosti sa ext dobijamo

f(t) = 12π

∫ +∞ −∞

est(Fg)(y)dy, t > 0.

Ako uvedemo smjenu s = x+ iy, x > α, prethodna jednačina postaje

f(t) = 12πi

x+ixi

estF (s)ds = lim y→∞

1 2πi

x+iy xiy

estF (s)ds.

Da bismo dokazali tvrdnju, uzmimo CR radijusa R i centra u koordinatnom početku. Tada za neko s koje se nalazi na konturi ΓR = ABCDEA vrijedi

1 2πi

∫ ΓR estF (s)ds = 12πi

CR estF (s)ds+ 12πi

EA

estF (s)ds. (1.14)

Kako je F (s) analitička, za Re(s) = x > α, tada svi singulariteti funkcije F (s) moraju ležati lijevo od prave Re(s) = α (Bromwich-ova linija). Ako je F (s) analitička za Re(s) < α osim u konačno mnogo polova z1, z2, ..., zn, onda je F (s) oblika F (s) = Q(s)

P (s) , gdje su Q(s) i P (s) polinomi. Uzimajući R dovoljno veliko, svi polovi funkcije F (s) će ležati unutar konture ΓR. Na osnovu Cauchy-jeve teoreme o ostacima dobijamo

1 2πi

∫ ΓR estF (s)ds =

nk=1

res(estF (s), s = zk). (1.15)

17

Iz (1.14) i (1.15) dobijamo nk=1

res(estF (s), s = zk) = 1

2πi

CR estF (s)ds+ 12πi

x+iy xiy

estF (s)ds.

Iz Leme 1.5.1 i puštajuči R→∞ dobijamo tvrdnju.

Napomena 1.5.1. Ako funkcija F (s) iz prethodne teoreme ima beskonačno mnogo polova {zk}∞k=1 koji se nalaze lijevo od linije Re(s) = x0 > 0 i |z1| ≤ |z2| ≤ ..., |zk| → ∞ kad k →∞. Tada vrijedi

f(t) = 12πi

x0+ix0−i

estF (s)ds = ∞∑ k=1

res(estF (s), s = zk).

1.6. Gama funkcije

Definicija 1.6.1. Funkcija p 7→ Γ(p), definisana pomoću integrala

Γ(p) = ∫ ∞

0 xp−1exdx, (p > 0)

naziva se (Euler-ova) gama funkcija.

Posmatrajmo Laplace-ovu transformaciju funkcije koja postoji za ϑ > −1 i glasi

L() = ∫ ∞

0 esttϑdt.

Uvodeći smjenu x = st, (s > 0), dobijamo

L() = ∫ ∞

0 ex(x

s )ϑ1 s dx = 1

+1

∫ ∞ 0

exxϑdx.

Koristeći Gama funkcije, prethodna jednakost postaje

L() = Γ(ϑ+ 1) +1

, ϑ > −1, s > 0.

Koristeći jednakost L() = ϑ! +1

(pogledati Teoremu 1.2.5) i stavljajući ϑ = n = 0, 1, 2, ..., dobijamo Γ(n+ 1) = n!.

Teorema 1.6.1. Ako

f(t) = ∞∑ n=0

ant n+ϑ (ϑ > −1) (1.16)

konvergira za sve t ≥ 0 i |an| ≤ K α n

n! , pri čemu su K,α > 0 i jednakost (1.16) važi za sve dovoljno velike n. Tada

L(f(t)) = ∞∑ n=0

anΓ(n+ ϑ+ 1) sn+ϑ+1

(Re(s) > α).

18

Dokaz. Vidjeti u [7].

Teorema 1.6.2. Ako F (s) =

∞∑ n=0

an sn+1

(1.17)

konvergira za |s| > R, tada je

f(t) = L−1(F (s)) = ∞∑ n=0

ant n

n! , (t ≥ 0). (1.18)

Dokaz. Primjetimo da ako red (1.17) konvergira za |s| > R, onda je

|an sn | ≤ K,

za neku konstantu K > 0 i sve n. Tada za |s| = r > R vrijedi

|an| ≤ Krn. (1.19)

Vrijedi i rn <

2n n rn = α

n

n , (1.20)

gdje je α = 2r. Kako je Γ(n+ϑ+ 1) ≥ Γ(n) za ϑ > −1 i n > 1, pa (1.19) i (1.20) daju

|an| Γ(n+ ϑ+ 1) ≤

Kαn

nΓ(n) = Kαn

n! .

Množeći lijevu i desnu stranu prethodne jednakosti sa tn, t ≥ 0, dobijamo

| anΓ(n+ ϑ+ 1) |t n K(αt)

n

n! .

Kako red eαt = ∑∞n=0 (αt)nn! konvergira, onda red f(t) =

∞∑ n=0

an Γ(n+ ϑ+ 1)t

n+ϑ (1.21)

konvergira apsolutno. Iz ovoga vidimo da je funkcija f eksponencijalno ograničena i savljajući ϑ = 0 u (1.21) dobijamo (1.18).

19

komentari (0)

nema postavljenih komentara

budi prvi koji ce napisati!

ovo je samo pregled

3 prikazano na 85 str.

preuzmi dokument