Matrice-Seminarski rad-Matematika-Tehnologija
baignade
baignade

Matrice-Seminarski rad-Matematika-Tehnologija

PDF (293 KB)
13 str.
50broj preuzimanja
1000+broj poseta
100%od4broj ocena
Opis
Seminarski rad iz predmeta Matematika. Matrice. Tehnologija,seminarski rad,Matematika,algoritmi,strukture podataka,sekvencijalno pretrazivanje,efikasnost,indeks,B-stabla,VST,pretrazivanje,implementacija,transformacija,k...
40 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 13
ovo je samo pregled
3 prikazano na 13 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 13 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 13 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 13 str.
preuzmi dokument
Seminarski

Sadržaj :

Matrica………………………………………………………………………………………………………………1

Sabiranje i množenje matrica…………………………………………………………………………….4

Specijalne vrste matrica…………………………………………………………………………………….7

Linearne trnsformacije,rang………………………………………………………………………………9

Literatura…………………………………………………………………………………………………………12

1

Matrica

Osnovni pojmovi

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili uopšteno, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti. Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenta linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji zavise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, sto ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Horizontalne linije se zovu vrste, a vertikalne kolone matrice. Matrica sa m vrsta i n kolona naziva se m-sa-n matricom ( kaže se i zapisuje da je formata m x n ), a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A, koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni naziva se (ij)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvek se prvo naznačuje vrsta, pa kolona.Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom i

2

interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1xn matrica ( jedna vrsta i n kolona ) se naziva vektor vrsta, a mx1 matrica ( jedna kolona i m vrsta ) se naziva vektor kolona.

Primjer:

1. Matrica

je 4x3 matrica.

Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

2. Matrica

je 1x9 matrica ili vektor vrsta sa 9 elemenata.

Matrica formata m x n je ustvari funkcija: A: { 1,2,...,m } x { 1,2,...,n } →R,m,nЄN . Elementi matrice su: a₁₁, a₁₂,…., amn odnosno aij Є R, i=1,….,m, j=1,….,n. Ovakvu matricu označavamo sa:

A=[aij]m x n ( matrica sa m vrsta i n kolona )

Elementi i-te vrste su: ai₁ , ai₂ ,…,ain , i=1,….,m.

Elementi j-te kolone su: a₁j , a₂j ,…,anj , j=1,…,n.

3

Matrica kod koje je m=1 ili n=1 često se naziva vektor i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1xn matrica (jedna vrsta i n kolona ) naziva se vektor vrste, a mx1 matrica ( jedna kolona i m vrsta ) naziva se vektor kolone.

4

Sabiranje i množenje matrica

Ako su date matrice A i B, dimenzije m-sa-n, njihov zbir A+B izračunava se sabiranjem odgovarajućih elemenata ( tj. ( A+B) [i,j] = A[i,j] + B[i,j] ). Na primer:

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni proizvod Ac se računa množenjem skalarom c svakog elementa A matrice. Na primjer:

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M (m,n,R ) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija. On se definiše na sledeći način:

- neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označavamo sa 0 i zovemo nulti vektor

5

- neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dve binarne operacije označavamo sa 0 i 1

- na skupu FxV definisano je množenje vektora skalarom tj. preslikavanje FxV→V koje svakom skalaru αЄF i svakom vektoru pridružuje vektor , tako da su ispunjeni sledeci aksiomi:

Ovako definisano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V naziva vektorski prostor nad poljem F i piše V(F). Uobičajeno je da se vektorski prostor nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostor. Takođe, vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj kolona lijeve matrice jednak broju vrsta desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B matrica n-sa-p, tada je njihovim množenjem AB matrica dimenzija m-sa-p ( m vrsta, p kolona ) dat formulom:

6

Na primjer:

Množenje matrica ima sljedeća svojstva:

- (AB)C=A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C ( asocijativnost )

- (A+B)C=AC+BC za sve m-sa-n matrice A i B, i n-sa-k matrice C ( desna distributivnost )

- C(A+B)=CA+CB za sve m-sa-n matrice A i B, i k-sa-m matrice C ( leva distributivnost )

Treba znati da komunikativnost ne vrijedi u opštem slučaju, ako su date matrice A i B, u opštem slučaju AB≠BA.

7

Specijalne vrste matrica

Postoje specijalne vrste matrica:

1) nula-matrica je matrica čiji su svi elementi jednaki nuli;

2) kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona. Za matricu A=[aij]nxn elementi aii, 1≤ i ≤n su elementi glavne dijagonale;

3) jedinična matrica je kvadratna matrica kod koje su svi elementi dijagonale jednaki jedinici, a svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli. Jedinična matrica se označava sa E ili I. Za proizvoljnu matricu A vazi AI=IA=A. Ova matrica se još naziva identičnom, jer u proizvodu sa drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne menja ih.

Što se takođe može definisati i Kronekerovom deltom:

gde je:

Alternativni zapisi su:

Eij = δij E = (δij)

4) transponovana matrica matrice A=[aij]mxn je matrica AT=[aji]nxm koja se dobija tako što vrste i kolone zamene mesta;

8

5) simetrična matrica je kvadratna matrica kod koje su elementi simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki, odnosno aij=aji. Simetrična matrica je jednaka svojoj transponovanoj matrici AT=A;

6) inverzna matrica kvadratne matrice A formata nxn je matrica A¯¹ formata nxn za koju važi AA¯¹=A¯¹A=I, gde je I jedinična matrica formata nxn.

7) ekvivalentne matrice su dve matrice A i B istog formata ako je

A = PBQ

za neke inverzibilne matrice P i Q.

Ekvivalentnost matrica je relacija ekvivalencije. Svake dve slične matrice su i ekvivalentne, ali obrnuto ne važi. Ekvivalentne matrice imaju jednak rang i defekt. Sa druge strane se dokazuje i da je svaka m x n matrica ranga r ekvivalentna m x n matrici čiji su svi elementi nula izuzev prvih r mesta duž glavne dijagonale na kojima stoje jedinice; tako su dve matrice istog formata ekvivalente ako i samo ako su istog ranga.

Pojam ekvivalentnih matrica se u linearnoj algebri pojavljuje preko elementarnih operacija nad vrstama i kolonama matrice. Svaka elementarna operacija nad vrstama matrice odgovara njenom množenju sleva jednom od elementarnih matrica, dok svaka elementarna operacija nad kolonama matrice odgovara množenju zdesna jednom od elementarnih matrica. Dve matrice su ekvivalentne ako i samo ako se jedna od njih može dobiti od druge nizom elementarnih operacija nad vrstama i kolonama.

9

Linearne transformacije, rang matrice

Matrice mogu na zgodan način da predstave linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom u višim programskim jezicima.

Ovdje u nastavku, posmatramo Rn kao skup kolona ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f: Rn→Rm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x)=Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g: Rm→Rk, tada je njihova kompozicija takođe linearno preslikavanje Rm→Rn i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo sledi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Opštije, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m- dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generisanog vrstama A, i takodje je iste dimenzije kao prostor generisan kolonama A.

Vektorski prostor koji generišu kolone matrice naziva se i njenim prostorom

kolona, a njegova dimenzija rangom kolona.

Prostor vrsta je vektorski prostor koji generišu vrste matrice , dok njegovu dimenziju nazivamo rangom vrsta. Rang vrsta i rang kolona svake matrice su jednaki. Posebno je rang matrice jednak rangu njoj transponovane matrice.

10

Elementarne operacije nad vrstama i kolonama matrice ne mjenjaju njen rang. Stoga ekvivalentne matrice imaju jednak rang. Sve matrice linearnog preslikavanja između dva vektorska prostora u odnosu na proizvoljan par njihovih baza su ekvivalentne; njihov zajednicki rang se naziva i rangom datog linearnog preslikavanja i jednak je dimenziji njegove slike.

Matrica se moze korišćenjem elementarnih operacija i nad vrstama i nad kolonama svesti na tačno jednu ekvivalentnu joj matricu čiji su svi elementi nule izuzev što na izvesnom broju prvih mjesta duž glavne dijagonale stoje jedinice; rang polazne matrice jednak je broju jedinica u njenom tako svedenom obliku.

Rang mxn matrice između 0 i min(m,n).

Jedina matrica ranga nula je nula-matrica. Kvadratna matrica reda n je ranga n ako i samo ako je inverzibilna, stoga za inverzibilne matrice kazemo i da su “punog ranga”.

Opštije, rang dijagonalizabilne kvadratne matrice jednak je broju njenih ne-nula svojstvenih vrjednosti, racunajuci sa višestrukostima. Ako je 0≤k≤n i P matrica projekcije prostora Rn na neki njegov k dimenzioni potprostor ( ortogonalne ili duž ma kog komplementarnog (n-k) dimenzionog prostora ), tada je P ranga k. Svaka matrica ranga k je proizvod inverzibilne matrice i matrice projekcije na neki k- dimenzioni prostor.

Linearno preslikavanje L: Rn→Rm je monomorfizam ako i samo je r(L)=n, a epimorfizam ako i samo ako je r(L)=m. Za mxn matricu kazemo da je “punog ranga kolona” ako je r(A)=n, odnosno “punog ranga vrsta” ako je r(A)=m.

Jedan od najvažnijih iskaza o rangu matrice, koji ponekad nazivaju i osnovnom teoremom linearne algebre, jeste stav o rangu i defektu:

za svaku mxn matricu A je

δ(A) + r(A) = n.

11

Značajno svojstvo ranga matrice je i sledeca Silvesterova nejednakost:

r(B) + r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC),

koja važi za svake tri matrice A, B i C formata takvog da su svi matrični proizvodi u nejednakosti definisani. Posebno je za svake dve mxn matrice i nxp matrice A i B

r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min(r(A), r(B)).

Rang proizvoda AB je jednak rangu matrice A ako je B punog ranga vrsta, i rangu matrice B ako je A punog ranga kolona.

Konačno, kako je ker(ATA)=ker(A), to je prema stavu o rangu i defektu i

r(ATA) = r(A).

Prema ovoj jednakosti je rang realne matrice jednak broju njenih ne-nula singularnih vrednosti.

Rang matrice se uvjek moze izračunati Gausovim postupkom eliminacije, ali je u numeričkim izračunavanjima koja koriste aritmetiku pokretnog zareza ovaj postupak nestabilan. Umesto njega, češće se koriste dekomopozicija po singularnim vrednostima ili QR dekompozicija sa pivotima. Numeričko određivanje ranga uvek uključuje i praktični izbor praga pomoću kojeg se određuje kada element jako male numeričke vrednosti treba tretirati kao nulu, koji će zavisiti od svojstva matrice i konkretne primjene.

Rang se definiše i za matrice nad proizvoljnim prstenovima.

U ovim uopštenjima, rang kolona ( najveći broj linearno nezavisnih kolona ), rang vrsta, dimenzija prostora kolona,determinantni rang itd. mogu biti međusobno različiti i ne biti definisani.

Rang glatkog preslikavanja između dvije glatke monostrukosti u nekoj tački se definiše kao ( linearni ) rang njegovog diferencijala.

12

LITERATURA: [1] Silvija Likavec, Dragiša Žunić, Biljana Carić. Poslovna matematika. Fakultet za industrijski menadžment i ekonomiju, Novi Sad 2008.

[2] www.Vikipedija.rs

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 13 str.
preuzmi dokument