PROSTIRANJE SVETLOSTI U KOMPLEKSNIM FOTONSKIM REŠETKAMA SA ZASIĆUJUĆOM NELINEARNOŠĆU, Master's thesis' predlog Fizika. University of Belgrade
ninoslav6
ninoslav618 September 2017

PROSTIRANJE SVETLOSTI U KOMPLEKSNIM FOTONSKIM REŠETKAMA SA ZASIĆUJUĆOM NELINEARNOŠĆU, Master's thesis' predlog Fizika. University of Belgrade

PDF (10 MB)
116 strane
37broj poseta
Opis
PROSTIRANJE SVETLOSTI U KOMPLEKSNIM FOTONSKIM REŠETKAMA SA ZASIĆUJUĆOM NELINEARNOŠĆU
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 strane / 116

ovo je samo pregled

3 shown on 116 pages

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 shown on 116 pages

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 shown on 116 pages

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 shown on 116 pages

preuzmi dokument
Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću

UNIVERZITET U BEOGRADU

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

Petra P. Beličev

PROSTIRANJE SVETLOSTI U

KOMPLEKSNIM FOTONSKIM REŠETKAMA SA ZASIĆUJUĆOM NELINEARNOŠĆU

doktorska disertacija

Beograd, 2012.

UNIVERSITY OF BELGRADE

FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING

Petra P. Beličev

PROPAGATION OF LIGHT IN

COMPLEX PHOTONIC LATTICES WITH SATURABLE NONLINEARITY

Doctoral Dissertation

Belgrade, 2012.

Mentor:

redovni profesor, dr Vitomir Milanović, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički fakultet

Članovi komisije:

1. viši naučni saradnik, dr Milutin Stepić, Univerzitet u Beogradu, Institut za nuklearne nauke "Vinča"

2. redovni profesor, dr Vitomir Milanović, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički fakultet 3. vanredni profesor, dr Jelena Radovanović, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički

fakultet 4. naučni savetnik, dr Ljupčo Hadžievski, Univerzitet u Beogradu, Institut za nuklearne

nauke "Vinča" 5. redovni profesor, dr Jovan Radunović, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički fakultet 6. vanredni profesor, dr Jovan Elazar, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnički fakultet

Datum odbrane: 17.05.2012.

Imajući u vidu stih jedne pesme koji glasi:”Zahvalnost je stanovište kojim pokazujete da znate šta imate.”, želela bih da jednostavnom zahvalnicom pomenem sve koji su mi, neposredno ili posredno, pomogli pri izradi ove disertacije.

Na prvom mestu želela bih da se zahvalim dr Milutinu Stepiću na interesantnoj temi koju mi je predložio, kao i na ukazanoj pomoći, strpljenju i brojnim savetima koji su bili od izuzetnog značaja tokom istraživanja i izrade doktorske teze.

Veliku zahvalnost dugujem dr Ljupču Hadžievskom na korisnim komentarima i smernicama, kao i na neverovatnom optimizmu zbog kojeg se ništa ne čini nedostižnim i dalekim. Jedno veliko hvala dugujem i dr Aleksandri Maluckov, čija su stručnost i mnogobrojne sugestije pomogle da “idem dalje”. Moj istraživački rad ne bi bio potpun da nije bilo izvanredne saradnje sa prof. Vitomirom Milanovićem i dr Jelenom Radovanović, profesorima sa Elektrotehničkog fakulteta uz koje sam i krenula u istraživačke vode.

Ovom prilikom želela bih da pomenem prof. Detlefa Kipa (Detlef Kip), dr Feng Čena (Feng Chen) i Andreja Kanšua (Андрей Каншу), kao i ostale saradnike istraživačkih grupa u Nemačkoj i Kini koji su doprineli da se teorijski rezultati predstavljeni u ovoj tezi potvrde i eksperimentalno.

Zahvalnost dugujem i sjajnim kolegama i, pre svega, prijateljima: dr Goranu Gligoriću (koji je uvek bio spreman za diskusiju i nikada se nije požalio na more postavljenih pitanja), Neveni Raičević, Aleksandru Daničiću, Mariji Petrović, dr Jovani Petrović, Sabini Ramović, dr Slobodanu Zdravkoviću i teta Anđi, na velikoj podršci i timskom radu, zbog čega sam ponosna što sam deo ove grupe.

Želela bih da izrazim najdublju zahvalnost svojim roditeljima, sestri Tei i Mladenu na stalnoj ljubavi, razumevanju i ohrabrivanju da istrajem. I za sam kraj, posebno hvala dugujem velikom prijatelju i kolegi dr Igoru Iliću, na konstantnoj podršci i pomoći koju mi je pružao tokom svih godina našeg poznanstva.

Petra Beličev

PROSTIRANJE SVETLOSTI U KOMPLEKSNIM FOTONSKIM REŠETKAMA SA ZASIĆUJUĆOM NELINEARNOŠĆU

Rezime - U ovoj disertaciji teorijski i eksperimentalno su analizirani linearni i nelinearni efekti koji prate prostiranje vidljive laserske svetlosti kroz različite jednodimenzionalne (1D) fotonske rešetke napravljene od materijala sa zasićujućom (saturacionom) nelinearnošću, kao što je, na primer, litijum niobat (LiNbO3). Zbog nelinearnog odziva kakvim se odlikuju ovakvi materijali, moguće je formiranje stabilnih prostornih lokalizovanih struktura na granicama između dve uniformne rešetke istih, odnosno različitih perioda, kao i unutar binarnih superrešetki, kako u nelinearnom režimu, tako i u linearnom kada do lokalizacije dolazi u okolini defekta. U doktorskoj tezi razvijeni su odgovarajući matematički modeli i primenjene različite numeričke metode za dobijanje odgovarajućih rezultata, dok su neki od rezultata potvrđeni i eksperimentalno u nelinearnim 1D fotonskim rešetkama proizvedenim u LiNbO3. Korišćeni matematički modeli zasnovani su na sistemima spregnutih diferencno-diferencijalnih jednačina, tačnije 1D diskretnim nelinearnim Šredingerovim (Schrödinger) jednačinama sa nelinearnostima Kerovog (Kerr) i zasićujućeg tipa, dok je stabilnost dobijenih rešenja ispitivana primenom metoda linearne analize stabilnosti. Za rešavanje stacionarnih i dinamičkih jednačina izloženih u tezi, korišćene su numeričke metode pod nazivom Gaus-Njutnova metoda (Gauss-Newton) i Runge-Kuta (Runge-Kutta) metoda, respektivno. Dobijeni numerički i eksperimentalni rezultati pokazuju da prisustvo defekta utiče na formiranje lokalizovanih modova kako u nelinearnom, tako i u linearnom režimu, tj. pri malim upadnim snagama nedovoljnim za ispoljavanje nelinearnog odziva sredine. Rezultati pokazuju da pored pojave linearnih lokalizovanih stanja, u nelinearnom režimu dolazi do narušavanja simetrije lokalizovanih rešenja kada su ispunjeni odgovarajući uslovi. U slučaju prostiranja svetlosti kroz binarne superrešetke, rezultati ukazuju na postojanje novih tipova lokalizovanih rešenja, kao i otvaranje dodatnog procepa u zonskoj strukturi posmatrane rešetke. Pored ovoga, prikazani su i numerički rezultati dobijeni analizom međusobnih interakcija solitonskih rešenja, kao i ispitivanjem osobina modova lokalizovanih na površini rešetke.

Ključne reči: Nelinearni optički talasovodi, Optički solitoni, Lokalizovani modovi, Nelinearna dinamika solitona, Optički prekidači, Optički uređaji

Naučna oblast: Elektrotehnika

UDK broj: 621.3

PROPAGATION OF LIGHT IN COMPLEX PHOTONIC LATTICES WITH SATURABLE NONLINEARITY

Summary - In this dissertation the linear and nonlinear effects accompanying the propagation of visible laser light through a different one-dimensional (1D) photonic lattices made of material with a saturable nonlinearity, such as, for example, lithium niobate (LiNbO3) are both investigated, theoretically and experimentally. Due to the nonlinear response of these materials to the intensity of incident radiation, the light passing through the photonic lattice causes local change in the refractive index, providing necessary conditions for the formation of stable localized spatial structures at the interfaces between two uniform lattices of the same or different periods, and also within the binary superlattices, in the nonlinear regime, as well as in the linear regime when the localization occurs in the vicinity of the defect. In this dissertation, appropriate mathematical models are developed and various numerical methods for obtaining the relevant results are applied. Some of the results have been confirmed experimentally in 1D nonlinear photonic lattices fabricated in LiNbO3. Mathematical models are based on systems of coupled difference- differential equations, namely the 1D discrete nonlinear Schrödinger equation with the nonlinear term of Kerr and saturable type, while the stability of the obtained solutions was investigated using the method of linear stability analysis. To solve stationary and dynamic equations presented in this dissertation, numerical methods such as the Gauss-Newton and Runge-Kutta methods are performed, respectively. The obtained numerical and experimental results show that the presence of the defect affects the formation of localized modes in the nonlinear, as well as in the linear regime, i.e. for intensities insufficient for the manifestation of the nonlinear response of the medium. Furthermore, the results indicate to the possible appearance of the symmetry breaking of the mode profiles of certain nonlinear localized solutions when appropriate conditions are met. In the case of light propagation through binary superlattices, results show the emergence of new types of localized solutions and the opening of an additional gap in the observed energy spectrum of the lattice. Additionally, numerical results obtained by analyzing the mutual interaction of soliton solutions, as well as examining the properties of localized modes at the surface of the lattice, are presented as well.

Keywords: Nonlinear optical waveguides,Optical solitons, Localized modes, Nonlinear dynamics of solitons, Optical switches, Optical devices

Scientific field: Electrical engineering

UDC code: 621.3

Sadržaj

1 Uvod ................................................................................. 1

2 O fotonskim strukturama ............................................... 3

2.1 Prirodne fotonske strukture ............................................................................... 3

2.2 Veštačke fotonske strukture ............................................................................... 4

2.3 Zonski spektar u 1D fotonskim kristalima ....................................................... 8

2.4 Linearna svojstva rešetki talasovoda ............................................................... 11

• Teorija spregnutih modova (Coupled mode theory) .................................................................. 12

Floke-Blohov formalizam .............................................................................................................. 15

3 Nelinearni efekti u rešetkama talasovoda ..................... 18

3.1 O nelinearnim sistemima .................................................................................. 18

3.2 Kerova i zasićujuća nelinearnost ..................................................................... 19

3.3 Matematički model nelinearnog prostiranja talasa kroz 1D rešetke

talasovoda ..................................................................................................................... 23

3.4 Optički solitoni –nelinearne lokalizovane strukture...................................... 25

3.4.1 Izgled nelinearnih lokalizovanih struktura ................................................................... 29

3.4.2 Stabilnost nelinearnih lokalizovanih struktura ............................................................. 30

3.4.3 Interakcije solitona u optičkim rešetkama .................................................................... 32

4 Prostiranje svetlosti u 1D rešetkama talasovoda sa

defektom ........................................................................ 35

4.1 Uticaj defekta na prostiranje svetlosti u fotonskim kristalima ..................... 35

4.2 Defektni modovi u nelinearnoj uniformnoj 1D rešetki talasovoda ............ 37

4.2.1 Model ................................................................................................................................. 37

4.2.2 Numerički i eksperimentalni rezultati ........................................................................... 48

4.3 Lokalizacija polja u nelinearnoj asimetričnoj 1D rešetki talasovoda ........... 54

4.3.1 Model ................................................................................................................................. 54

4.3.2 Numerički i eksperimentalni rezultati ........................................................................... 57

5 Optički solitoni u binarnim 1D rešetkama talasovoda .. 65

5.1 Zonska struktura binarnih 1D rešetki talasovoda ......................................... 65

5.2 Prostiranje svetlosti kroz 1D binarne rešetke talasovoda sa zasićujućom

nelinearnošću i naizmeničnom promenom rastojanja između talasovoda ........... 66

5.2.1 Model ................................................................................................................................. 66

5.2.2 Numerički i eksperimentalni rezultati ........................................................................... 69

6 Zaključak ....................................................................... 86

7 Literatura ....................................................................... 90

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 1

1 Uvod Fotonski kristali predstavljaju specijalnu vrstu optičkih talasovoda u kojima je moguće potpuno kontrolisati prostiranje svetlosti promenom parametara posmatranog sistema, kao što su indeks prelamanja sredine i period rešetke. Kao posledica periodičnosti sistema mogu se definisati odgovarajuće zonske strukture s dozvoljenim i zabranjenim zonama za prostiranje svetlosti, slične onim koje se javljaju u fizici čvrstog stanja za elektrone koji se kreću kroz kristalnu rešetku. U zavisnosti od strukture fotonskih kristala postoje jednodimenzionalni (1D), dvodimenzionalni (2D) i trodimenzionalni (3D) fotonski kristali. S povećavanjem dimenzionalnosti sistema usložnjava se i zonski spektar strukture, što s druge strane povećava mogućnost kontrolisanja svetlosti koja se prostire. 1D fotonski kristali predstavljaju rešetke sačinjene od međusobno paralelnih optičkih talasovoda koji su na takvom rastojanju da je omogućeno slabo (linearno) sprezanje između susednih elemenata rešetke. U takvim periodičnim sistemima se javljaju efekti Blohovih oscilacija, diskretne difrakcije i različitih lokalizovanih struktura, a koji nisu mogući u uniformnim sistemima. Uz dodatno prisustvo nelinearnosti u ovakvim sredinama može doći i do formiranja prostorno lokalizovanih struktura - solitona, bilo unutar polubeskonačne zabranjene zone (diskretnih solitona), bilo unutar zabranjenih zonskih procepa (tzv. gap solitona).

Različita geometrija fotonskih sistema bitno utiče na tip lokalizovanih rešenja koja se mogu pojaviti u posmatranim fotonskim rešetkama. Neki od primera 1D fotonskih rešetki su rešetke s defektom i binarne rešetke. Defekti u fotonskim rešetkama predstavljaju nepravilnosti u periodičnosti rešetke. Mogu nastati kao posledica spajanja dve (ne obavezno identične) rešetke talasovoda čije se međusobno rastojanje može kontrolisati tokom proizvodnog procesa. Binarne rešetke predstavljaju posebnu vrstu superrešetki u kojima se naizmenično menja ili širina talasovoda u rešetki (pri čemu rastojanje između talasovoda ostaje isto) ili rastojanje između talasovoda, pri čemu se širina talasovoda rešetke zadržava konstantom.

Predmet ove disertacije je ispitivanje linearnih i nelinearnih efekata koji prate prostiranje vidljive laserske svetlosti kroz različite (1D) fotonske rešetke napravljene od materijala sa zasićujućom (saturacionom) nelinearnošću, kao što je, na primer, litijum niobat (LiNbO3). Usled nelinearnog odziva ovakvih materijala na intenzitet upadnog zračenja, prolaskom svetlosti kroz fotonsku rešetku dolazi do lokalne promene indeksa prelamanja sredine, pri čemu se ostvaruju uslovi za lokalizaciju svetlosti duž rešetke.

Cilj istraživanja bio je ispitivanje i određivanje uslova koji omogućavaju formiranje stabilnih prostornih lokalizovanih struktura u nelinearnom režimu na granicama između dve uniformne rešetke istih, odnosno različitih perioda i unutar binarnih superrešetki, kao i ispitivanje uslova pod kojima je moguća lokalizacija energije u linearnom režimu unutar rešetki koje u sebi sadrže defekt. Osobine prostornih solitona u pomenutim sistemima analizirane su analitički i numerički, dok je deo rezultata potvrđen i eksperimentalno.

Druga glava teze sadrži uvod u osnove fotonskih sistema, kao i hronološki pregled dosadašnjih rezultata postignutih u oblasti prostiranja svetlosti u fotonskim rešetkama, pre svega 1D rešetkama talasovoda. U ovoj glavi akcenat je stavljen na opis zonske strukture 1D rešetki talasovoda i njenog uticaja na linearno prostiranje svetlosti.

Treća glava teze obuhvata uvod u osnove nelinearnih sistema (pre svega 1D rešetki talasovoda s Kerovom (Kerr) i zasićujućom nelinearnošću) i opis lokalizacije energije u formi prostorno nepromenljive strukture – solitona, koja se može javiti u ovakvim sredinama. Pored hronološkog

Uvod 2

pregleda vezanog za istraživanja koja se bave fenomenima solitona, predstavljeni su odgovarajući matematički modeli kojima su opisani pomenuti nelinearni sistemi, data je klasifikacija solitona, uvedeni su kriterijumi po kojima se ispituje stabilnost solitona i opisani su fenomeni koji nastaju pri interakcijama solitona.

U četvrtoj glavi predstavljeni su odgovarajući diskretni modeli kojima su opisane 1D rešetke (uniformna i asimetrična) koje u sebi sadrže defekt. Dobijeni numerički i eksperimentalni rezultati pokazuju da prisustvo defekta utiče na formiranje lokalizovanih modova kako u nelinearnom, tako i u linearnom režimu, tj. pri malim upadnim snagama nedovoljnim za ispoljavanje nelinearnog odziva sredine. Rezultati pokazuju da pored pojave linearnih lokalizovanih stanja, u nelinearnom režimu dolazi do narušavanja simetrije lokalizovanih rešenja kada su ispunjeni odgovarajući uslovi.

U petoj glavi teze dat je diskretan matematički model kojim je opisana binarna rešetka sa zasićujućom nelinearnošću kod koje postoji naizmenična promena rastojanja među talasovodima, dok je širina talasovoda konstantna. Numerički i eksperimentalni rezultati pokazuju pojavu novih tipova lokalizovanih rešenja, kao i otvaranje dodatnog procepa u zonskoj strukturi posmatrane rešetke. Pored ovoga, prikazani su i numerički rezultati dobijeni analizom međusobnih interakcija solitonskih rešenja, kao i ispitivanjem osobina modova lokalizovanih na površini rešetke.

U šestoj glavi teze sažeti su najbitniji zaključci u vezi s rezultatima iznesenim u radu.

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 3

2 O fotonskim strukturama

U ovoj glavi biće izneti osnovni pojmovi koji se tiču strukture fotonskih kristala, načina njihovog funkcionisanja, kao i kratak osvrt na njihovu primenu u različitim oblastima. Pored primera fotonskih kristala koje je moguće naći u prirodi, biće reči o analogiji između prostiranja elektrona i svetlosnog snopa kroz periodičnu sredinu. Uticaj fizičkih i elektromagnetskih svojstava pomenutih sistema na prostiranje elektronskog i svetlosnog talasa ogleda se kroz zonsku strukturu sistema, što će biti propraćeno odgovarajućim matematičkim izvođenjima.

2.1 Prirodne fotonske strukture

Jedan od najvećih majstora na polju optike je sigurno Priroda. Mnogi organizmi imaju sposobnost obojenja (iridiscencije) koristeći fenomene interferencije, odbijanja ili difrakcije svetlosti o strukturne promene na njihovoj površini, pri čemu su dimenzije ovih promena reda talasne dužine upadne svetlosti. Neki od primera prirodnih fotonskih kristala prikazani su na Slici 1. Uopšteno govoreći, iridiscencija je svojstvo pojedinih površina koje se manifestuje u vidu menjanja talasne dužine svetlosti (boje) u zavisnosti od ugla pod kojim se površina posmatra, odnosno od ugla pod kojim svetlosni snop pada na posmatranu površinu. Sam raspored bioloških materijala na površini različitih organizama uticaće na pojavu mnoštva optičkih efekata [1,2,3,4,5].

Slika 1.1: Primeri prirodnih fotonskih kristala (a) sedefasta školjka (Haliotis rufescens) [6], (b) plavi leptir (Polyommatus daphnis) s planine Elbrus [7], (c) brazilska buba (Lamprocyphus augustus) - prirodni "šampion" u

kategoriji najbolje fotonske strukture [8] i (d) paunovo pero [9], s mikroskopskim prikazom delova površine odgovarajućih jedinki.

O fotonskim strukturama 4

Istraživanja fenomena iridiscencije su veoma stara. U vremenima kada su čuda nanotehnologija bila neshvatljiva, brojni fizičari su se okretali prirodi i koristeći se intuicijom, pokušavali da prepoznaju i fenomenološki objasne optičke strukture koje nisu bili u mogućnosti da vide. Jedan od pionira u oblasti mikroskopije Robert Huk (Robert Hook) je 1665. godine u svojoj knjizi Micrographia opisao fenomen iridiscencije na primeru insekta Lepisma sacharinna, primetivši da je njihova sedefasta boja posledica rasporeda i sastava oklopa koji pokriva njihovo telo [10]. Na primeru paunovog pera, Isak Njutn (Isaac Newton) je dao objašnjenje o poreklu neverovatnih i intenzivnih šara koje ono poseduje, poredeći strukturu pera s nizom tankih transparentnih pločica [11]. Danas su ovakvi sistemi poznati pod nazivom fotonske mikro- i nanostrukture, i poznato je da njihov sastav, geometrija, periodičnost i dimenzije periode reda talasne dužine upadne svetlosti utiču na tip interakcije sa svetlošću, što često rezultuje veoma uskim opsezima učestanosti transmitovane svetlosti čime se postiže visoka čistoća boje i sjaj. Po ugledu na prirodu i s razvojem tehnologije, istraživački timovi uspevaju da naprave veštačke fotonske sisteme različite složenosti, otvarajući novo polje u oblasti optike s velikim potencijalom u praktičnim primenama [12,13,14,15].

2.2 Veštačke fotonske strukture

Neobične fenomene koji se ispoljavaju pri prostiranju svetlosti kroz sredinu s periodičnom promenom indeksa prelamanja uvideo je još 1887. godine lord Rejli (Rayleigh) [16]. Prilikom ispitivanja komada stakla čija je površina usled nekorišćenja i hemijske reakcije s okolinom imala izmenjena optička svojstva, Rejli je primetio da se manji deo svetlosnog snopa odbio (reflektovao) o površinu stakla u poređenju sa slučajem kada je upotrebljavao potpuno novo staklo. Kombinujući više ovakvih stakala dizajnirao je sistem kojim je bilo moguće upravljati svetlošću, tj. preteču današnjih struktura koje nazivamo fotonskim kristalima.

Fotonski kristal predstavlja optičku mikro- ili nanostrukturu, s periodičnom promenom indeksa prelamanja. U ovom kontekstu, termin mikro- (nano-) se odnosi na sve strukture čije su dimenzije uporedive s talasnom dužinom upadnog zračenja, a kreću se od nekoliko stotina mikrona naniže. Smanjivanje optičkih sistema na ovako male dimenzije i pojava interesantnih efekata kojima je moguće upravljati jesu potvrda Fejnmanove (Feynman) rečenice da: “Ima dosta prostora tamo dole.” [17], misleći upravo na brojne mogućnosti koje se otvaraju u smislu manipulacije signalom, ukoliko se dimenzije posmatrane sredine smanje. Samo kontrolisanje i ponašanje svetlosti u ovakvim sistemima u mnogome podseća na ponašanje elektrona prilikom kretanja kroz čvrsta tela s kristalnom strukturom [18,19]. Kristalna rešetka, sačinjena od niza atoma i molekula koji se periodično ponavljaju, predstavlja periodični potencijal za elektron koji se kreće kroz kristalnu strukturu [20]. Kretanje elektrona kroz posmatranu kristalnu rešetku uslovljeno je strukturom energijskog spektra sredine, tj. naizmenično raspoređenim dozvoljenim i zabranjenim energijskim intervalima, koje nazivamo energijskim zonama i procepima, respektivno. Na ovaj način je omogućeno kretanje onih elektrona čija energija "upada" u interval dozvoljenih zona, dok je ostatku elektrona prolazak kroz rešetku onemogućen. Ideju o zonskoj strukturi matematički je formulisao Floke (Floquet) 1883. godine, radeći na svojstvenim problemima u periodičnim sistemima. Četiri decenije kasnije, Feliks Bloh (Felix Bloch) proširuje i prenosi Flokeov koncept na problematiku koja proučava kretanje elektrona unutar periodične kristalne rešetke, razvijajući detaljnije pojmove poput zonske

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 5

strukture, Floke-Blohovih modova i Briluenovih (Brillouin) zona [21]. Prvi je Bikov (Bykov), 1972. godine, dao detaljnu i opsežnu teorijsku studiju o uticaju zonske strukture na spontanu emisiju fotona u 1D fotonskim sistemima [22]. Postojanje spektra dozvoljenih i zabranjenih fotonskih zona u 1D i 2D planarnim talasovodima, eksperimentalno potvrđuje Cengerle (Zengerle) 1981. godine [23]. S obzirom na činjenicu da elektroni i fotoni imaju talasno-čestičnu prirodu [24,25], optički analogon kristalnoj rešetki bila bi fotonska rešetka, tj. fotonski kristal. Idejno, ova struktura dosta podseća na kristalnu rešetku, s tim da su atomi i molekuli kristalne rešetke zamenjeni makroskopskim sredinama različitih dielektričnih konstanti, dok je potencijal zamenjen periodičnom dielektričnom funkcijom, odnosno periodičnom funkcijom indeksa prelamanja sredine, što je šematski prikazano na Slici 2.1. Ukoliko su gubici u fotonskom kristali mali, svetlosni fenomeni koji se mogu uočiti u mnogome podsećaju na one koji su posledica dejstva potencijala kristalne rešetke na elektron.

Slika 2.1: Šematski prikaz (a) kristalne rešetke i funkcije potencijala koji je posledica

Kulonovih (Coulomb) sila između atoma u rešetki i (b) fotonskog kristala i funkcije dielektrične konstante kao optičkog parametra slojeva fotonske rešetke.

Koristeći se pomenutom analogijom i konceptima razvijenim u fizici čvrstog tela, danas postoje različiti tipovi fotonskih kristala u jednoj, dve i tri dimenzije, čiji je uporedni prikaz šematski dat na Slici 2.2. Kao što je već pomenuto, prvi 1D fotonski kristal napravio je lord Rejli [26] služeći se slojevitom strukturom kod koje se indeks prelamanja pojedinih slojeva malo razlikovao. Ukoliko svetlosni zrak pada upravno na ovakav optički sistem doći će do destruktivnih interferencija između nadolazećeg svetlosnog talasa i dela svetlosti suprotnog smera kretanja, nastalog usled odbijanja o površine slojeva, kao što je prikazano na Slici 2.3(a). Na ovaj način ostvariće se uslovi za pojavu spektralnog prozora visoke refleksivnosti za upadnu svetlost, što će za posledicu imati sputavanje prolaska pojedinih talasnih dužina kroz sistem, formirajući zonski procep (zabranjenu zonu) u pravcu prostiranja svetlosti za talase pomenute učestanosti. S povećavanjem upadnog ugla svetlosti refleksivnost sistema opada, dok se zonski procep smanjuje, omogućavajući vođenje svetlosti kroz datu strukturu. Bragovi (Bragg) reflektori i dielektrična ogledala samo su neki od primera 1D fotonskih struktura koji rade po principu opisanog sistema [26,27,28]. Pored njih treba napomenuti i tanke filmove (Slika 2.2(c)) [29,30], dielektrične Fabri-Peroove (Fabry-Perot) filtere [31,32,33], kao i poluprovodnicke lasere s raspodeljenim Bragovim ogledalima (DBR – Distributed Bragg Reflectors)

O fotonskim strukturama 6

[34] i poluprovodničke lasere s raspodeljenom povratnom spregom (DBF – Distributed Bragg Feedback) [35]. Mikroskopske slike tankih filtera i Bragovog ogledala date su na Slici 2.2(c) i 2.2(d), respektivno.

Slika 2.2: Šematski prikaz 1D (a)-(d), 2D (e)-(h) i 3D (i)-(n) fotonskih kristala sa mikroskopskim slikama različitih tipova pomenutih struktura. Promena indeksa prelamanja u

fotonskim kristalima šematski je predstavljena različitim bojama. Interesantna karakteristika 1D fotonskih kristala jeste ispoljavanje zonskog spektra i u slučaju drugačijeg pravca upadne svetlosti na posmatranu strukturu. Ukoliko svetlosni snop pada na sistem s njegove frontalne strane, kao što je prikazano na Slici 2.3(b), pomenutu strukturu možemo posmatrati kao niz talasovoda, odnosno rešetku talasovoda u kojoj će se svetlost prostirati duž kanala. Tipični primeri 1D rešetki talasovoda prikazani su na Slici 2.2(a) [36] i 2.2(b) [37]. U ovakvoj postavci za fiksiranu talasnu dužinu upadne svetlosti, struktura omogućava prolazak pojedinih talasnih komponenti s odgovarajućom konstantom prostiranja kojom se opisuje promena talasa u pravcu u kom se svetlost prostire [38]. Na ovaj način, formira se zonski spektar koji se odnosi na konstantu prostiranja svetlosnog talasa, podrazumevajući isključivo karakteristiku prostornog prostiranja u sistemu. Nagli porast interesovanja za složenije fotonske strukture započinje 1987. godine, publikacijama Jablonoviča (Yablonovitch) [39] i Džona (John) [40] koje su usmerile tok mnogobrojnih istraživanja ka fotonskim kristalima u dve i tri dimenzije. Šematski prikaz 2D i 3D fotonskih kristala, dat je na Slici 2.2. Za razliku od 1D fotonskih kristala, kod 2D struktura je prostiranje svetlosti kontrolisano u dva pravca što je postignuto periodičnom promenom indeksa prelamanja u dve dimenzije [12]. Tipični predstavnici 2D fotonskih kristala su fotonsko kristalna optička vlakna (holey fibers) koja se već nalaze u komercijalnoj upotrebi (Slika 2.2(e)-2.2(g)) [41]. Postupak proizvodnje "šupljikavih" vlakana se svodi na postavljanje staklenih valjkova u šestougaonu strukturu nakon čega se sistem izlaže zagrevanju i istezanju sve dok se cilindri ne spoje, ostavljajući šupljine ispunjene vazduhom

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 7

unutar kojih će biti omogućeno zarobljavanje i vođenje svetlosti. Pored fotonsko kristalnih vlakana 2D fotonske strukture je moguće realizovati i kontrolisanim bušenjem sitnih rupa unutar dielektričnog supstrata koji bi vodio one talasne dužine čije je prostiranje onemogućeno usled dizajna zonske strukture. Primer jedne ovakve strukture je dat na Slici 2.2(h) [42,43] Opisani sistemi predstavljaju pandan električnim kolima na silicijumskim supstratima, s tom razlikom što bi fotonski čipovi bili mnogo manjih dimenzija i bržeg odziva.

Slika 2.3: Uporedni šematski prikaz prostiranja svetlosti kroz (a) Bragov reflektor i (b) rešetku talasovoda. Crvenom bojom je označena upadna svetlost koja u slučaju Bragovog reflektora dolazi s bočne strane na strukturu, dok je kod

rešetki talasovoda smer prostiranja upadne svetlosti paralelan s osom talasovoda. Oblasti sa većim indeksom prelamanja označene su svetlijom bojom.

Fotonski kristali u tri dimenzije predstavljaju strukture s tzv. omnidirekcionalnim zonskim spektrom, zbog čega je u sistemima ovog tipa moguća kontrola svetlosti u sva tri pravca. Sa stanovišta geometrijske konfiguracije kristalne rešetke postoji ogroman broj vrsta 3D fotonskih kristala. Najznačajniji primeri ovakvih sistema su Jablonovit (Slike 2.2(i) i 2.2(k)) [44], wood-pile struktura (Slika 2.2(j)) [45,46], i strukture geometrije opala (Slika 2.2(l)) [47] i inverznog opala (Slike 2.2(m) i 2.2(n)) [48,49]. Izgled kristalne rešetke u pomenutim sistemima geometrijski veoma podseća na kristalnu strukturu dijamanta. Zbog sposobnosti kontrolisanja upadne svetlosti bilo koje polarizacije, pri bilo kom upadnom uglu, 2D i 3D fotonski kristali predstavljaju glavne kandidate za optičko upravljanje signalima u sveoptičkim mrežama. Interesantno je pomenuti i uticaj defekata na prostiranje svetlosti u fotonskim kristalima, pri čemu se pod defektom smatra bilo lokalna promena indeksa prelamanja sredine, bilo promena dimenzije jednog ili više gradivnih slojeva koji sačinjavaju strukturu. Na ovaj način povećava se broj dozvoljenih modova koji se mogu prostirati kroz sistem, što je dovelo do pojave raznih fotonskih kola u kojima su upravo defekti ti koji diktiraju kretanje svetlosti kroz strukturu [50,51]. Još jedna mogućnost jeste ubacivanje izuzetno tankih metalnih žica u dielektrični fotonski kristal, čime se menja zonski spektar strukture. Pokazuje se da se upotrebom tankih metalnih žica unutar dielektričnog fotonskog kristala mogu kreirati podesive zabranjene zone, što nalazi veliku primenu u poboljšavanju performansi već postojećih optičkih uređaja [52]. Superprizme [53], senzori za gas [54], pojava negativne refrakcije [55] i fenomeni tunelovanja [56], samo su neke oblasti u kojima su fotonski kristali našli primenu. Sama proizvodnja višedimenzionalnih fotonskih sistema je složena i zahteva napredne tehnike poput: nagrizanja strukture pod uglom [57,58], elektronske i holografske litografije [59,60], koloidalnog

O fotonskim strukturama 8

samoodabiranja [61], mikrofabrikacije slojeva [62,63] i sl. Jedan od problema u realizaciji mikro- i nanostrukturnih fotonskih komponenti jeste i održavanje svetlosti u ravni kod 2D fotonskih kristala, tj. pokušaj da se ona održava unutar dielektričnog sloja. Teorijska istraživanja pomenutog problema su veoma komplikovana usled konačne debljine kristalnog sloja, kao i zbog lokalnih nečistoća ili nepravilnosti u periodičnosti samog kristala. S druge strane, proizvodnja 1D fotonskih rešetki zahteva relativno jednostavne procese izrade, dok se najveći deo eksperimenata izvodi pri normalnim uslovima, misleći pre svega na sobnu temperaturu i standardni pritisak. Iz ovih razloga, 1D fotonski kristali i dalje prednjače u pogledu proizvodnje i primena u komercijalne svrhe.

2.3 Zonski spektar u 1D fotonskim kristalima Za razliku od tradicionalnih kristalnih rešetki sačinjenih od atoma i molekula, fotonski kristali ne ispoljavaju kontinualnu translacionu simetriju za svetlost koja se kroz njih prostire. Umesto toga, oni se odlikuju diskretnom translacionom simetrijom, tj. nepromenjivost u osobinama njihove strukture nije ostvariva na bilo kom rastojanju usled translacije, već samo na onim rastojanjima koja predstavljaju celobrojni umnožak određenog koraka – perioda rešetke. Najjednostavniji primer ovakvih sistema jesu 1D fotonski kristali, kao što je rešetka talasovoda prikazana na Slici 2.4.

U pravcu prikazanog sistema i dalje postoji kontinualna translaciona simetrija, dok u pravcu sistem ispoljava diskretnu translacionu simetriju. Dužina osnovnog koraka nakon kog struktura ponavlja svoje ponašanje u geometrijskom smislu, naziva se konstanta rešetke ili period rešetke i biće označena slovom d. Osnovni vektor naziva se primitivni vektor rešetke i u ovom slučaju glasi d=d∙ ix, gde ix predstavlja ort u pravcu. Usled postojanja diskretne translacione simetrije važi i periodičnost funkcije dielektrične konstante koja se matematički može zapisati u obliku:

, gde je m proizvoljan ceo broj, što znači da se čitava struktura može opisati periodičnim ponavljanjem jedinične ćelije, oivičene na Slici 2.4 isprekidanom linijom. Kao što će i biti pokazano, upravo ova periodičnost sistema doprinosi stvaranju zonske strukture kakva nije moguća u slučaju kontinualnih sredina.

Slika 2.4: Prikaz 1D dielektrične rešetke s diskretnom translacionom simetrijom i odgovarajućih komponenti

talasnog vektora svetlosti k: propagacione konstante β i transverzalnog talasnog vektora . Period rešetke iznosi d, što je ujedno i širina osnovne ćelije strukture.

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 9

U prethodnom poglavlju je već napomenuto da formiranje zonske strukture u mnogome podseća na slučaj naizmeničnog smenjivanja dozvoljenih i zabranjenih energijskih stanja za elektrone u kristalnim rešetkama. U fizici čvrstog stanja kretanje elektrona kroz poluprovodnik opisano je Šredingerovom (Schrödinger) jednačinom, dok se za opisivanje prostiranja svetlosnog talasa kroz fotonski kristal polazi od Helmholcove (Helmholtz) jednačine, koja je po matematičkoj formi slična prethodnoj. Samim tim će i brojni fenomeni primećeni u fotonskim rešetkama biti analogni onima viđenim u fizici čvrstog stanja. Polazeći od Maksvelovih (Maxwell) jednačina i pretpostavljajući da rešetka talasovoda ne ispoljava magnetska svojstva , kao i da je sistem homogen u pravcu prostiranja svetlosti i da na njega ne deluje nikakvo spoljašnje polje, moguće je izvesti Helmholcovu jednačinu u sledećem obliku:

(2.1)

gde je s , označen talasni vektor u vakuumu, dok predstavlja talasnu dužinu svetlosti u vakuumu.

Neka je komponenta upadnog polja u pravcu. Iz jednačine (2.1) i uslova da je dielektrična konstanta fotonskog kristala periodična funkcija samo u pravcu može se pokazati da je ukupno polje oblika , gde je β propagaciona konstanta svetlosti. Propagaciona konstanta svetlosti predstavlja longitudinalnu komponentu talasnog vektora, tj. komponentu u pravcu -ose. Veza između ove dve veličine data je relacijom

, gde neff predstavlja efektivni indeks prelamanja sredine za mod koji se prostire, dok je s označena transverzalna komponenta talasnog vektora k0. Ubacujući pretpostavljeno polje u jednačinu (2.1), relacija dobija formu svojstvenog problema:

(2.2)

čijim se rešavanjem dolazi do disperzione relacije sistema kojom je diktiran zonski spektar.

Prema Blohovoj teoremi [64], usled postojanja translacione simetrije u profilu dielektrične konstante , a samim tim i u indeksu prelamanja sredine , svojstvene funkcije ovakvog sistema se mogu predstaviti u obliku Blohovih funkcija: , gde je

. Ovo znači da posmatrana talasna funkcija predstavlja ravanski talas koji je modulisan funkcijom iste periodičnosti kao i rešetka talasovoda. Svaka talasna funkcija koja predstavlja rešenje jednačine (2.2) se naziva Floke-Blohov (FB) mod, i određena je odgovarajućim parom transverzalnog talasnog vektora i propagacione konstante β.Međusobni odnos talasnog vektora, dielektrične i propagacione konstante, uticaće na izgled zonske strukture posmatranog sistema. Pogodnim izborom pomenutih parametara pokazuje se da je vođenje talasa moguće u pravcu, ukoliko je indeks prelamanja talasovoda u kom se prostire talas veći u odnosu na indeks prelamanja susednih talasovoda. U ovom slučaju će najveći deo polja biti skoncentrisan unutar posmatranog talasovoda, dok će u susednoj sredini s manjim indeksom prelamanja polje eksponencijalno opadati. Na graničnim površinama između oblasti s manjim i većim indeksom prelamanja moraju biti zadovoljeni granični uslovi neprekidnosti tangencijalnih komponenti električnog i magnetskog polja. Usled periodične promene indeksa prelamanja, periodični granični uslovi će nametnuti izvesna ograničenja u pogledu konfiniranih rešenja, utičući na kvantizaciju transverzalne komponente , slično kao i u fizici čvrstog stanja.

O fotonskim strukturama 10

Ovo “odabiranje” pojedinih vrednosti transverzalne komponente talasnog vektora usloviće postojanje beskonačnog skupa diskretnih vrednosti talasnih rešenja koja predstavljaju vođene modove za posmatranu strukturu. Kako je , to će postojati i odgovarajući skup propagacionih konstanti za koje je vođenje modova kroz strukturu moguće. U zavisnosti od učestanosti polja, može biti realna ili kompleksna veličina. Za realne vrednosti propagacione konstante u sistemu će postojati već pomenuti vođeni modovi, dok će za kompleksne vrednosti polje eksponencijalno opadati u pravcu prostiranja, što znači da u tom slučaju neće biti prostiranja svetlosti kroz fotonsku strukturu. Drugim rečima, ovaj skup propagacionih konstanti predstavlja zabranjene zone, odnosno procepe u zonskom spektru za one učestanosti talasa za koje vođenje svetlosti kroz strukturu nije moguće.

Slika 2.5: Uporedni prikaz zonskih struktura kristalne i rešetke talasovoda u slučaju: (a) i (b) uniformne sredine i

sredine s diskretnom translacionom simetrijom ((c) i (d)), usled čega dolazi do pojave procepa u zonskoj strukturi. Slike (e) i (f) predstavljaju redukovani zonski dijagram, tj. celokupni zonski spektar preslikan je u prvu Briluenovu

zonu.

Na ovaj način, rešavanjem jednačine (2.2) određen je čitav skup realnih i kompleksnih vrednosti propagacionih konstanti koje zajedno s transverzalnim vektorom čine zonsku strukturu. Na Slici 2.5 dat je uporedni prikaz zonskih struktura kristalne rešetke i rešetke talasovoda.

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 11

Na - djagramu, koji je jedan od načina predstavljanja zonskog spektra rešetki talasovoda, prikazan je naizmenični niz dozvoljenih i zabranjenih zona za učestanosti talasa koje mogu ili ne mogu biti vođene kroz strukturu. Propagaciona konstanta posmatranog FB moda istovremeno je određena i transverzalnim talasnim vektorom i rednim brojem zone. Kao i u fizici čvrstog stanja, u slučaju prostiranja svetlosti kroz homogenu i kontinualnu sredinu, kakav je planarni talasovod, disperziona relacija predstavlja parabolu (Slika 2.5(b)). Procep koji se ovde javlja je posledica efekta totalne unutrašnje refleksije upadne svetlosti o graničnu površinu između slojeva s većim i manjim indeksom prelamanja. Nastanak novih procepa u zonskom spektru uslovljen je upravo periodičnošću strukture zbog čega dolazi do pojave Bragove refleksije talasa koji padaju na graničnu površ pod malim uglovima. Odabirom parametara rešetke talasovoda direktno se utiče na izgled zonske strukture, te je na taj način moguće kontrolisati izgled disperzione krive, broj dozvoljenih zona i procepa, kao i njihovu veličinu.

Usled već pomenute analogije između Šredingerove i Helmholcove jednačine, jasno je da je i izgled zonskog spektra u ova dva slučaja sličan. Treba napomenuti da razlika u znaku prvog člana ovih jednačina utiče na obrnut raspored zona. Način predstavljanja disperzionih krivih je takođe podudaran s reprezentacijom zonskog dijagrama u fizici čvrstog stanja, pa se zonski spektar može prikazati i u formi redukovane Briluenove zone (Slike 2.5(e,f)).

Eksperimentalni rezultati objavljeni u [65] potkrepili su teorijska predviđanja o izgledu disperzione relacije u slučaju planarnog talasovoda, kao i u slučaju 1D rešetki talasovoda.

2.4 Linearna svojstva rešetki talasovoda Kako bi se shvatili osnovni efekti nelinearne optike u rešetkama talasovoda, za početak je potrebno upoznati se s elementima linearnih osobina pomenutih sistema. Kao što je već naglašeno u prethodnom poglavlju, sistem sastavljen od niza međusobno paralelnih talasovoda predstavlja 1D periodičnu strukturu čiji normalni modovi jesu (prošireni) FB modovi, a koji nastaju kao posledica Bragovih refleksija o granične površine talasovoda i efekata interferencije ravanskih talasa koji postoje u homogenoj sredini.

Da bi predstavljali rešenja talasne jednačine, FB modovi moraju biti u skladu s osobinama odgovarajuće disperzione relacije kojom je opisana zonska struktura sistema. Drugim rečima, propagacione konstante FB modova moraju biti uključene u dozvoljene zone koje su, u zonskom spektru, međusobno odvojene zabranjenim zonama (procepima) za čije učestanosti nema prostiranja talasa.

Postoje dva komplementarna pristupa za analiziranje linearnih svojstava rešetki talasovoda, a to su:

1) Teorija spregnutih modova (Coupled mode theory); 2) Floke-Blohov formalizam.

O fotonskim strukturama 12

Teorija spregnutih modova (Coupled mode theory)

Teorija spregnutih modova predstavlja jedan od pristupa kojima je moguće dobiti približna rešenja Maksvelovih jednačina. Prema ovoj teoriji se periodična promena indeksa prelamanja, tj. postojanje niza talasovoda, posmatra kao slaba perturbacija koja spreže normalne modove talasovoda posmatrane rešetke. Osnovna ideja pomenutog formalizma je da se ukupno polje u talasovodu predstavi kao superpozicija osnovnih, ortonormiranih modova koji su rešenja neperturbovanog talasovoda, dok je međusobno sprezanje susednih talasovoda posledica preklapanja evanescentnih "repova" odgovarajućih modova. Na ovaj način je ostvaren prenos energije kroz dati sistem, što je šematski prikazano na Slici 2.6(a). Razmena energije između normalnih modova nastala kao posledica perturbacije u dielektričnoj konstanti, analogna je prelasku elektrona s jednog atomskog stanja na drugo u kristalnoj rešetki [64], što je u fizici čvrstog tela opisano tzv. tight-binding teorijom.

Opisanim postupkom zanemaruje se uticaj viših zona na rešenje talasne jednačine, pa je zbog toga teorija spregnutih modova primenljiva samo u analizi prostiranja svetlosti u okviru prve dozvoljene zone, kada je svetlost konfinirana u talasovodima s većim indeksom prelamanja u odnosu na okolnu sredinu. Ipak, ovaj pristup daje jasniju sliku o fenomenu difrakcije, nego što je to slučaj s Floke-Blohovim formalizmom.

Kao što se vidi sa Slike 2.6(a), da bi uopšte došlo do sprezanja između talasovoda, potrebno je da postoji dovoljno veliko evanescentno optičko polje, što je uslovljeno i punom širinom polumaksimuma (FWHM - Full Width at Half Maximum) upadnog zraka, a koja će, radi jednostavnosti, ubuduće biti nazivana prosto širinom snopa. Ukoliko je ova veličina manja od perioda rešetke d, tada modovi koji se prostiru duž svakog talasovoda neće osećati jedan drugog i njihove amplitude će se razvijati nezavisno tokom kretanja kroz sistem. Međutim, u slučaju kada je širina snopa uporediva sa širinom talasovoda rešetke, doći će do malog preklapanja između modova u susednim talasovodima i amplituda polja više neće biti konstantna duž pravca prostiranja. Štaviše, kada je intenzitet upadnog polja dovoljno velik, tada će i indeks prelamanja strukture zavisiti od intenziteta svetlosti, kao što će biti pokazano u sledećem poglavlju.

U linearnom režimu, tj. pri malim upadnim snagama svetlosti nedovoljnim za ispoljavanje nelinearnih karakteristika materijala, prostiranje svetlosti kroz uniformnu rešetku talasovoda se može opisati sistemom međusobno spregnutih linearnih diferencijalnih jednačina oblika [66,67]:

(2.3)

gde predstavlja kompleksnu amplitudu električnog polja u n-tom talasovodu rešetke, je propagaciona konstanta posmatranog moda u longitudinalnom, tj. pravcu, dok je s C označena konstanta sprezanja kojom je opisano sprezanje dva susedna talasovoda. Matematički gledano, konstanta sprezanja je srazmerna integralu preklapanja dva moda koji potiču iz susednih talasovoda.

Ukoliko je samo jedan element rešetke pobuđen, recimo talasovod s indeksom n=0, tako da važi i , tada sistem jednačina (2.3) ima analitičko rešenje koje

glasi:

(2.4)

gde predstavlja Beselovu (Bessel) funkciju I vrste n-tog reda. Zbog periodične prirode strukture, optičko polje tuneluje kroz sistem udaljavajući se od centralnog, pobuđenog talasovoda i svetlost ostaje skoncentrisana duž bokova, što je u potpunosti suprotno situaciji koja se javlja u

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 13

kontinualnim sredinama kada je najveći deo svetlosti skoncentrisan upravo oko centra snopa. Izgled diskretne difrakcije u uniformnoj rešetki talasovoda je prikazan na Slici 2.6(b).

Slika 2.6: (a) Šematski prikaz sistema spregnutih talasovoda, gde je sprezanje posledica preklapanja evanescentnih

"repova" optičkog polja, što je u matematičkom modelu opisano konstantom sprezanja C i (b) izgled diskretne difrakcije u uniformnoj rešetki talasovoda (pogled iz ptičje perspektive).

Da bi se bolje razumeo fenomen diskretne difrakcije, potrebno je dati kratak osvrt na fenomen difrakcije u kontinualnim sredinama. Kao što je već poznato, difrakcija predstavlja efekat koji dovodi do širenja profila optičkog polja prilikom prostiranja kroz neku sredinu. Pomenuti fenomen je posledica postojanja gradijenta u akumulaciji faze različitih komponenti optičkog talasa koji se prostire. Difrakciju je moguće kontrolisati promenom optičkih parametara, tj. menjanjem indeksa prelamanja sredine. U izvođenju koje sledi biće pokazano i kako. Posmatra se prostiranje ravanskog talasa oblika u 2D slobodnom prostoru, kakav je npr. planarni talasovod. U prethodnom izrazu k predstavlja talasni vektor čije su i komponente redom označene s i . Sam pravac vektora k je upravan na ravan talasnog fronta, a apsolutna vrednost iznosi , gde predstavlja indeks prelamanja sredine u kojoj se talas prostire. Analogno definiciji disperzije, moguće je definisati i difrakcionu relaciju Helmholcove jednačine koja glasi:

(2.5)

Ukoliko upadni talas putuje pod malim uglom u odnosu na z-osu sistema, tako da važi , moguće je primeniti paraksijalnu aproksimaciju , pa difrakciona relacija postaje [68]:

. (2.6)

Konačni snop svetlosti predstavlja superpoziciju više ravanskih talasa, pri čemu svaki od talasa ima drugačiju vrednost transverzalnog vektora . Kako se tokom prostiranja faza svakog od ovih talasa menja nezavisno u odnosu na druge komponente snopa, to će nakon rastojanja i odgovarajuća prostorna frekvencijska komponenta imati drugačiju relativnu promenu faze

. Ove različite promene faze svake od komponenti talasa usloviće pomeraj talasnog paketa centriranog na spektralnoj komponenti u transverzalnom pravcu za

. Kao rezultat postojanja divergencije transverzalnih pomeraja između spektralnih komponenti talasa, početni profil snopa počeće da se širi tokom svog prostiranja

O fotonskim strukturama 14

kroz sredinu. Veličina koja opisuje jačinu ovog širenja, tj. difrakcije snopa naziva se koeficijentom difrakcije, a definisana je kao:

(2.7)

Difrakciona svojstva talasnog paketa biće određena izgledom difrakcione krive, dobijene iz relacije (2.7). U paraksijalnoj aproksimaciji koeficijent difrakcije snopa koji se prostire u kontinualnoj sredini biće srazmeran . Očito je da, u ovom slučaju, koeficijent difrakcije ne zavisi od transverzalne komponente talasnog vektora , kao i da je ova veličina uvek negativna, što odgovara slučaju normalne difrakcije. Kod diskretnih sistema, kakva je 1D rešetka talasovoda, situacija je znatno komplikovanija. Razlog za ovo jeste ponašanje snopa koji pobuđuje sve talasovode u rešetki, a ne samo jedan. Pretpostavimo da se upadni svetlosni snop može predstaviti kao beskonačni ravanski talas koji pobuđuje sve elemente rešetke jednakom amplitudom s fiksnim odnosom faza. Matematički formulisano, amplitude ovog ravanskog talasa mogu biti izražene u obliku:

, gde d predstavlja rastojanje između centara dva susedna elementa, tj. talasovoda, a transverzalni talasni vektor opisuje fazu. Relativna fazna razlika ove obvojnice polja između susednih talasovoda je opisana proizvodom , dok propagaciona konstanta odgovara longitudinalnoj komponenti talasnog vektora, koja je u slučaju kontinualne sredine bila označena s . Ubacivanjem pretpostavljenog stacionarnog rešenja u jednačinu (2.3), dolazi se do izraza za disperzonu relaciju u slučaju diskretnih sistema [66,67]:

(2.8)

gde predstavlja propagacionu konstantu u pojedinačnom talasovodu. Na sličan način kao i u slučaju kontinualne sredine moguće je definisati i koeficijent difrakcije:

(2.9)

Na osnovu prethodne dve relacije, vidi se da oblik difrakcione krive zavisi od konstante sprezanja C, a samim tim i od parametara rešetke.

Na Slici 2.7 je dat izgled difrakcionih krivih u slučaju kontinualne i periodične sredine. Zanimljivo je primetiti da se u slučaju rešetki talasovoda pored oblasti s normalnom difrakcijom

u kojoj je koeficijent difrakcije pozitivan, pojavljuje i oblast tzv. anomalne difrakcije za koju je ovaj parametar negativan. U slučaju kada je

, koeficijent difrakcije jednak je nuli i tada ne dolazi do promene u profilu polja tokom prostiranja snopa kroz rešetku. Na osnovu ovoga vidi se da je na znak difrakcije moguće uticati ubacivanjem svetlosti u strukturu pod pogodnim uglom ili spajanjem manjih rešetki koje, svaka za sebe, imaju različite znake difrakcije [68,69,70,71].

Pravac prostiranja svakog od Blohovih modova u rešetki određen je Pointingovim (Poynting) vektorom za odgovarajuću komponentu transverzalnog talasnog vektora i u realnom prostoru je usmeren normalno na difrakcionu krivu [72]. Izgled obvojnice FB modova je takođe određen i transverzalnim vektorom , pa će tako FB modovi pobuđeni u centru Briluenove zone, tj. za

, imati amplitudu koja će od talasovoda do talasovoda biti u fazi formirajući na taj način tzv. unstaggered mod, dok će u slučaju pobude FB moda s kraja Briluenove zone ( ) faza

Prostiranje svetlosti u kompleksnim fotonskim rešetkama sa zasićujućom nelinearnošću 15

amplitude menjati znak od talasovoda do talasovoda obrazujući tzv. staggered mod. Izgled unstaggered i staggered moda, šematski je prikazan žutim strelicama na Slici 2.7(b).

Slika 2.7: Difrakcione krive u slučaju (a) kontinualne sredine kada je paraksijalna aproksimacija uzeta u obzir (crvena linija) i kada nije (zelena isprekidana linija) i (b) periodične sredine. Strelice na krivama pokazuju pravac prostiranja Blohovog moda određenog talasnim vektorom . U slučaju periodične

sredine, dolazi do pojave anomalne difrakcije, dok je kod kontinualnih sredina prisutna samo normalna difrakcija. Žute strelice na zonskom dijagramu periodične strukture predstavljaju faznu relaciju amplitude

FB moda u centru (unstaggered mod) i na krajevima Briluenove zone (staggered mod).

Floke-Blohov formalizam Drugi pristup kojim je moguće opisati linearno prostiranje svetlosti kroz rešetke talasovoda jeste Floke-Blohov formalizam, nastao iz Blohove teoreme [73]. Za razliku od teorije spregnutih modova Floke-Blohov pristup je uopšteniji. Pomenuti pristup omogućava dobijanje kompletne zonske strukture fotonske rešetke, a ne samo prve zone, kao što je to slučaj s teorijom spregnutih modova. Samim tim moguće je opisati i ponašanje modova višeg reda koji se prostiru između talasovoda u rešetki [72]. Pri malim optičkim snagama, tj. u linearnom režimu kada se nelinearnost materijala može zanemariti, prostiranje svetlosti u rešetki talasovoda opisano je paraksijalnom talasnom jednačinom [74]:

O fotonskim strukturama 16

(2.10)

gde predstavlja amplitudu optičkog polja, talasni vektor, a i označavaju indeks prelamanja supstrata i talasnu dužinu upadne svetlosti u vakuumu, respektivno. Ukupan indeks prelamanja rešetke jeste periodična funkcija za koju važi . Fizički gledano, prvi član jednačine opisuje prostiranje talasa u pravcu, dok drugi član opisuje efekat difrakcije u transverzalnom, odnosno pravcu.

Rešenje prethodne jednačine moguće je napisati u sledećem obliku:

(2.11)

gde se, na osnovu Blohove teoreme, amplituda može predstaviti u obliku Blohovog talasa kao:

(2.12)

što će ubacivanjem u jednačinu (2.10) i nakon sređivanja čitavog izraza dati disperzionu relaciju:

(2.13)

Dobijena disperziona relacija predstavlja svojstveni problem, čije će svojstvene funkcije u kombinaciji s odgovarajućom svojstvenom vrednosti, tj. propagacionom konstantom , predstavljati FB modove koje dati sistem podržava. Na ovaj način za svaku transverzalnu komponentu , postojaće odgovarajuća longitudinalna komponenta , čime će svaki FB mod biti potpuno određen, što je prikazano primerom zonskog dijagrama na Slici 2.8 [65].

Slika 2.8: Prikaz redukovanog zonskog dijagrama uniformne rešetke talasovoda dobijene FB pristupom. Propagaciona konstanta je prikazana kao funkcija Blohovog talasnog vektora . Plave oblasti

predstavljaju procepe, odnosno zone u kojima je prostiranje svetlosti zabranjeno.

Sa zonskog dijagrama očito je da za svaku transverzalnu komponentu postoji više svojstvenih vrednosti, tj. više propagacionih konstanti , pri čemu svaka od njih pripada različitoj zoni koje su međusobno razdvojene zonskim procepima. Samo oni FB modovi čije se propagacione konstante nalaze u nekoj od dozvoljenih zona će moći da se prostiru kroz strukturu. Treba primetiti da se oblik krive u prvoj dozvoljenoj zoni poklapa s odgovarajućom krivom u teoriji spregnutih modova.

komentari (0)

nema postavljenih komentara

budi prvi koji ce napisati!

ovo je samo pregled

3 shown on 116 pages

preuzmi dokument