Skripta-Elektromagnetika-Elektrotehnicki fakultet Pravougaoni Talasovod, Rezime od Teorija elektromagnetnog polja

Preuzmite Skripta-Elektromagnetika-Elektrotehnicki fakultet Pravougaoni Talasovod i više Rezime u PDF od Teorija elektromagnetnog polja samo na Docsity! 5. Правоугаони таласовод 5.1. Увод У овом поглављу ћемо анализирати простирање електромагнетских таласа дуж металног таласовода правоугаоног попречног пресека, скицираног на слици 5.1. Странице правоугаоника су a и b ( ba > ). Сматраћемо, најпре, да је проводник таласовода савршен и да је диелектрик хомоген и, такође, без губитака. Као што је показано у другом поглављу, у оваквом таласоводу се могу простирати ТЕ и ТМ таласи. Детаљи извођења структуре поља ових таласа приказани су у следећем одељку. У трећем одељку разматрају се изрази за снагу која се преноси таласоводом, као и изрази за коефицијент слабљења, а у четвртом одељку приказане су неке таласоводне компоненте (прилагођења, ослабљивачи, рачве, усмерени спрежњаци итд.) и дисконтинуитети. 0 z x y a b ε, µ Слика 5.1. Правоугаони таласовод. 98 Микроталасна техника 5.2. ТЕ и ТМ таласи у правоугаоном таласоводу 5.2.1. ТЕ таласи Сматраћемо да је таласовод приказан на слици 5.1 без губитака. Основне једначине за ТЕ и ТМ таласе у оваквом систему изведене су у одељку 2.2.2. У том одељку је показано да се код ТЕ таласа трансверзалне компоненте електричног и магнетског поља могу изразити преко z-компоненте магнетског поља, према једначинама (2.40) и (2.41). У нашем случају, трансверзалне компоненте су x-компоненте и y-компоненте, тј. yyxxt EE iiE += , yyxxt HH iiH += . (5.1) Развијањем трансверзалног набла оператора у Декартовим координатама, из једначина (2.40) и (2.41) се добија: x H K E y H K E zyzx ∂ ∂ωµ = ∂ ∂ωµ −= 22 j,j , (5.2) y H K H x H K H zyzx ∂ ∂γ −= ∂ ∂γ −= 22 , , (5.3) где је β=γ j . Према једначини (2.43), скаларна функција zH зависи од Декартових координата као )exp()0,,(),,( zyxHzyxH zz γ−= , (5.4) и задовољава таласну једначину (2.42), која у Декартовим координатама гласи 022 2 2 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ z zz HK y H x H . (5.5) Електрично поље мора задовољавати граничне услове на површи проводника таласовода, тј. 0tan =E . (5.6) На левом зиду таласовода ( 0=x ) и на десном зиду ( ax = ) тангенцијална компонента је y-компонента, односно мора бити 0),,(),,0( == zyaEzyE yy . (5.7) На доњем зиду ( 0=y ) и на горњем зиду ( by = ) тангенцијална компонента је x- компонента, односно 0),,(),0,( == zbxEzxE xx . (5.8) На основу једначина (5.2), (5.7) и (5.8) добијају се гранични услови за zH (прецизније, за први извод zH по координати нормалној на зид таласовода), који се могу изразити у општем облику као 5. Правоугаони таласовод 101 )jexp(cossinj),,( 02 zb yn a xm a mH K zyxH x β− πππβ = , (5.29) )jexp(sincosj),,( 02 zb yn a xm b nH K zyxH y β− πππβ = , (5.30) где је 22 2      +     = b n a mK , (5.31) 22 2      −     −εµω=β b n a m . (5.32) Из горњих једначина је очигледно да не може истовремено бити 0=m и 0=n . У противном, не постоји електрично поље ( 0=xE и 0=yE ), па стога не постоји ни талас. За различите вредности m и n добијају се различите структуре поља, односно различити типови таласа (модови), који носе ознаку mnTE . На слици 5.2 приказана је структура електричног и магнетског поља неколико ТЕ типова таласа. На основу једначине (2.55) се за критичну учестаност mnTE типа таласа добија 22 cTE 2 1      +      εµ = b n a mf mn . (5.33) На основу једначина (5.33) и (2.70) може се израчунати таласна импеданса mnTE типа таласа. Ако је ba > , онда најнижу критичну учестаност има 10TE тип таласа, који се назива доминантним типом таласа. (Видећемо да сви ТМ типови таласа имају критичну учестаност вишу од 10TE типа таласа.) Критична учестаност доминантног типа таласа је εµ = a f 2 1 10cTE . (5.34) Испитајмо сада који mnTE тип таласа има следећу критичну учестаност. У принципу, то мора бити талас 20TE или 01TE . Ако је aba <<2 , онда најнижу критичну учестаност, после 10TE типа таласа, има 01TE тип таласа, εµ = b f 2 1 01cTE . (5.35) Међутим, ако је 2ab < , најнижу критичну учестаност после доминантног типа таласа има 20TE тип таласа, εµ = a f 120cTE . (5.36) 102 Микроталасна техника TE10 TE11 TM11 TM21 Слика 5.2. Линије електричног поља () и магнетског поља (– – –) неких ТЕ и ТМ типова таласа у уздужном и попречном пресеку правоугаоног таласовода. Стандардни таласоводи се обично праве тако да је 2ab = . У том случају је 100120 cTEcTEcTE 2 fff == . Дакле, у опсегу учестаности од једне октаве, од 10cTEf до 10cTE2 f , од свих mnTE типова таласа у таласоводу се може простирати само доминантан тип таласа. (Видећемо да се у том опсегу не може простирати ниједан од mnTM типова таласа.) С обзиром да је доминантни тип таласа најважнији, наводимо изразе за компоненте поља овог типа таласа: )jexp(cos),,( 0 za xHzyxH z β− π = , (5.37) )jexp(sinj),,( 0 za xaHzyxEy β− π π ωµ−= , (5.38) )jexp(sinj),,( 0 za xaHzyxH x β− π π β= , (5.39) док су остале компоненте поља једнаке нули. 5. Правоугаони таласовод 103 5.2.2. ТМ таласи Код ТМ таласа, на основу једначина (2.47) и (2.48), трансверзалне компоненте електричног и магнетског поља могу се изразити преко z-компоненте електричног поља као y E K E x E K E zyzx ∂ ∂β −= ∂ ∂β −= 22 j,j , (5.40) x E K H y E K H zyzx ∂ ∂ωε −= ∂ ∂ωε = 22 j,j . (5.41) Према једначини (2.50), скаларна функција zE зависи од Декартових координата као )exp()0,,(),,( zyxEzyxE zz γ−= (5.42) и задовољава таласну једначину (2.49), која у Декартовим координатама гласи 02 =+∆ zzt EKE . (5.43) Као и код ТЕ таласа, електрично поље мора задовољавати граничне услове (5.6) на површи проводника таласовода. Међутим, сада је zE тангенцијално на површ проводника, па мора бити 0=zE на сва четири зида таласовода (тј. за 0=x , ax = , 0=y и by = ). Таласна једначина (5.43) може се решити слично као код ТЕ таласа, методом раздвајања променљивих. Имамо најпре 022 2 2 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ z zz EK y E x E . (5.44) Идентичним поступком као код анализе ТЕ таласа, заменом једначине (5.44) у (5.43), добијају се диференцијалне једначине (5.19), односно (5.20). Стога је опште решење за zE дато са ( )( ) )exp()cos()sin()cos()sin(),,( 4321 zykCykCxkCxkCzyxE yyxxz γ−++= . (5.45) Према граничним условима, сада мора бити 02 =C , 0sin =akx , 04 =C и 0sin =bky . Одавде се добијају услови идентични изразима (5.25). Ако означимо производ 31CC са 0E , добија се, коначно, )jexp(sinsin),,( 0 zb yn a xmEzyxEz β− ππ = , (5.46) )jexp(sincosj),,( 02 zb yn a xm a mE K zyxEx β− πππβ −= , (5.47) )jexp(cossinj),,( 02 zb yn a xm b nE K zyxEy β− πππβ −= , (5.48) )jexp(cossinj),,( 02 zb yn a xm b nE K zyxH x β− πππωε = , (5.49)