skripta- Skripta- Diskretna matematika- Građevinski, Skripte' predlog Diskretna matematika. Univerzitet u Beogradu
petricj
petricj

skripta- Skripta- Diskretna matematika- Građevinski, Skripte' predlog Diskretna matematika. Univerzitet u Beogradu

45 str.
664broj poseta
Opis
Građevinski fakultet,Skripta,Diskretna matematika,Indukcija,Procena znanja,Ocenivanje,Univerzalni kvantor,Formule,Ispitna pitanja,
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 45
ovo je samo pregled
3 prikazano na 45 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 45 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 45 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 45 str.
preuzmi dokument

Glava 1

Elementi matematičke logike

1.1 Pojam iskaza

Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I može utvrditi da li posjeduje odredeno svojstvo ili ga ne posjeduje. Elementi skupa I nazivaju se iskazi i obično se označavaju malim slovima latinice p, q, r, . . . Činjenica da iskaz p ∈ I posjeduje uočeno svojstvo označava se sa τ(p) = >, dok se činjenica da iskaz q ∈ I ne posjeduje uočeno svojstvo označava sa τ(q) = ⊥.

Tipičan primjer skupa I je skup svih izjavnih rečenica (izjavnih u užem smislu) nekog govornog (npr. bosanskog) jezika. Uočeno svojstvo, koju pos- jeduje svaka izjavna rečenica, je njena istinitost. Drugim riječima svaka iz- javna rečenica je tačna (istinita) ili netačna (lažna). U ovom primjeru iskazi su rečenice:

Sarajevo je glavni grad Bosne i Hercegovine. Bihać je najveći grad u Bosni i Hercegovini. U svakom trouglu može se upisati krug. Oko svakog četverougla može se opisati krug.

Pri tome su prvi i treći iskaz tačni, dok su drugi i četvrti netačni. Ranije upotrebljeni termin “izjavna rečenica u užem smislu” zahtijeva ipak dodatno objašnjenje. Naime, postoje izjavne rečenice čija se istinitost ne može utvrditi. Takve su npr. rečenice:

Možda ću doći, a možda ne. Žedan sam.

i one nisu iskazi. Upitne i uzvične rečenice, npr.:

1

2 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

Koliko je sati? ili Ustani!

takode nisu iskazi. Upravo ovaj primjer opravdava opšteprihvaćenu terminologiju kojom se umjesto fraze “posjedovanje odredenog svojstva” koristi fraza “istini- tosna vrijednost”. I u ovom tekstu će uglavnom biti zastupljena upravo ova terminologija.

Sljedeći primjer skupa I ima izuzetno važnu praktičnu realizaciju. Sada su elementi skupa I prekidači koji mogu biti u jednom od dva moguća položaja. Prekidač može biti uključen (posjeduje uočeno svojstvo, “tačan je”) ili isključen (ne posjeduje uočeno svojstvo, “netačan je”).

Naravno, svaka matematička formula takode predstavlja (tačan ili netačan) iskaz. Npr.:

3 9 (netačan iskaz), 4 + 8 = 12 (tačan iskaz), itd.

1.2 Logičke operacije i iskazne formule

Slobodno govoreći, logička operacija je postupak kojim se iskaz-u/ima pridružuje iskaz. Unarne opeacije djeluju na jedan iskaz, dok binarne opeacije djeluju na dva iskaza. Na skupu iskaza moguće je definisati četiri unarne i šesnaest bina- rnih operacija. Medu njima se ističu jedna unarna (negacija) i četiri binarne opeacije (konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija). Slijede definicije ovih logičkih operacija.

Definicija 1 Neka je zadan iskaz p. Negacija iskaza p, u oznaci ¬p, je iskaz koji ima suprotnu istinitosnu vrijednost od iskaza p.

Oznaka ¬p čita se na jedan od sljedećih načina: ne p, nije p, negacija iskaza p. Definicija 2 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Konjunkcija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ∧ q, je iskaz koji je tačan kada su tačni i iskaz p i iskaz q. U svim preostalim slučajevima konjunkcija iskaza p i iskaza q je netačna.

Oznaka p ∧ q čita se kao p i q. Definicija 3 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Disjunkcija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ∨ q, je iskaz koji je netačan kada su netačni i iskaz p i iskaz q. U svim preostalim slučajevima disjunkcija iskaza p i iskaza q je tačna.

Oznaka p ∨ q čita se kao p ili q. Definicija 4 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Implikacija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ⇒ q, je iskaz koji je netačan kada je iskaz p tačan, a iskaz q netačan. U svim preostalim slučajevima implikacija iskaza p i iskaza q je tačna.

1.2. LOGIČKE OPERACIJE I ISKAZNE FORMULE 3

Oznaka p ⇒ q čita se na jedan od sljedećih načina: p implicira q, iz p slijedi q, ako p onda q, uslov p je dovoljan za uslov q, uslov q je potreban za uslov p.

Definicija 5 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Ekvivalencija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ⇔ q, je iskaz koji je tačan kada iskazi p i q imaju jednake istinitosne vrijednosti, a netačan kada iskazi p i q imaju različite istinitosne vrijednosti.

Oznaka p ⇔ q čita se na jedan od sljedećih načina: p je ekvivalentno sa q, važi p ako i samo ako važi q, uslov p je potreban i dovoljan uslov za q

Navedene operacije mogu se definisati i pomoću sljedeće tabele:

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q > > ⊥ > > > > > ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥ ⊥ > > ⊥ > > ⊥ ⊥ ⊥ > ⊥ ⊥ > >

Koristeći definiciju, trivijalno je dokazati osnovne osobine logičkih operacija. Osobine negacije

1. ¬(¬p) = p Osobine konjunkcije

1. p ∧ ¬p = ⊥, 2. p ∧ > = p i 3. p ∧ ⊥ = ⊥. Osobine disjunkcije

1. p ∨ ¬p = >, 2. p ∨ > = > i 3. p ∨ ⊥ = p. Osobine implikacije

1. p ⇒ ¬p = ¬p, 2. p ⇒ > = >, 3. p ⇒ ⊥ = ¬p, 4. > ⇒ p = p i 5. ⊥ ⇒ p = >. Osobine ekvivalencije

1. p ⇔ ¬p = ⊥,

4 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

2. p ⇔ > = p i 3. p ⇔ ⊥ = ¬p. Djelovanjem logičkih operacija na vǐse od dva iskaza dobijaju se tzv. iskazne

formule.

Definicija 6 Iskazna slova su simboli kojima se označavaju iskazi.

• Iskazna slova su iskazne formule. • Ako su P i Q iskazne formule, onda su i ¬P, P∧Q,P∨Q,P ⇒ Q i P ⇔ Q

takode iskazne formule.

• Iskazne formule mogu se dobiti samo primjenom prethodna dva pravila. Prilikom djelovanja, dogovorom se usvaja da najvǐsi prioritet ima negacija,

zatim konjunkcija, disjunkcija i implikacija, dok najniži prioritet ima ekvivalen- cija. Ukoliko se želi promjeniti redosljed izvršavanja logičkih operacija koriste se zagrade. Tako je npr. ¬> ∨ > = ⊥ ∨> = >, dok je ¬(> ∨>) = ¬> = ⊥.

1.3 Zadaci

Zadatak 1 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedećih iskaza:

1. −5 je prirodan broj,

2. 1 3

je iracionalan broj,

3. NZD(12, 24) = 8,

4. 13 je prost broj,

5. 5 · (8) = 5 · 8,

6. 3 8 · 11

6 =

33 24

= 11 8

,

7. 0.2 · 0.3 = 0.6, 8. √

9 = 3,

9. 1 5

> 1 3 ,

10. 6 7

> 7 8 ,

11. | − 1| ≥ 1, 12. |32| = |3| − |2| i 13. | − 52| = | − 2|+ 5.

1.3. ZADACI 5

Zadatak 2 Na odgovarajućem mjestu napisati broj, tako da dobijeni iskaz bude tačan:

1. . . . je najmanji prirodan broj.

2. . . . je najveći negativni cijeli broj.

3. . . . nije ni pozitivan, ni negativan broj.

4. . . . je najveći element skupa {

1 2 , 1 3 , 1 4 , 2 5

} .

5. . . . je najmanji element skupa {

1 2 , 1 3 , 1 4 , 2 5

} .

6. . . . je najveći prirodan broj čiji je kvadrat manji od 100.

7. . . . je jedini prost broj u skupu {8, 9, 10, 11}. 8. . . . je jedini složen broj u skupu {5, 7, 9, 11, 13}.

Zadatak 3 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedećih iskaza:

1. 2 3 N 2 > 0.

2. 1 25

> 0.4 ( 1 25

)2 > 0.004.

3.

[( 1 2 1

3

) : (

1 4 1

5

) =

10 3

] ∨ ¬

[( 1 2 1

3

) :

1 4 1

5 = 7

]

Zadatak 4 Simbolički napisati sljedeće rečenice:

1. Oba prirodna broja a i b su parna.

2. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je neparan.

3. Oba prirodna broja a i b su neparna.

4. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je paran.

Zadatak 5 Zadani su iskazi p : “ 2 3 ≤ −1′′, q : “Godina ima 8 mjeseci.′′ i

r : “Dijagonale romba su medusobno normalne.′′ Odrediti istinitosnu vrijednost sljedećih formula:

1. ¬p ∨ (q ∧ r).

2. {

q ∨ [p ∧ (¬q ∧ r)] } [¬p ∧ (q ∨ r)].

Zadatak 6 Nacrtati električna kola koja odgovaraju iskaznim formulama:

6 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

1. (p ∧ q) (r ∧ s). 2.

[ (p ∧ q) ∨ r] ∨ s.

3. (p ∨ ¬q) ∧ r.

Zadatak 7 Sastaviti istinitosne tablice sljedećih iskaznih formula:

1. (p ∨ ¬q) ∧ r. 2. ¬p ∧ (q ∨ r).

3. {

q ∨ [p ∧ (¬q ∨ r)] } [¬p ∧ (q ∨ r)].

Zadatak 8 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedećih iskaza:

1. 2 + 2 = 4 2 + 3 = 4. 2. 3 = 7 5 = 4. 3. ¬(2 > 1) ”Glavni grad Španije je Torino.“.

Zadatak 9 Odrediti vrijednosti promjenjljive x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} tako da zadana iskazna formula bude tačna:

1. x > 7 ∨ x + 2 < 5. 2. x 6= 7 ∧ x− 2 > 4. 3. x 6= 1 ∨ x 6= 2 ∨ x 6= 3. 4. x− 2 < 2 ⇒ x + 1 = 2.

Zadatak 10 Odrediti vrijednosti promjenjljive x ∈ R tako da zadana iskazna formula bude tačna:

1. x− 2 > 0 2x− 10 < 0. 2. x− 3 > 0 ∨ x2 3x + 2 < 0.

3. x− 1 x− 4 0 3x− 15 > 0.

4. |x| < 4 ∨ x− 6 8− x > 0.

Zadatak 11 Sastaviti istinitosne tablice sljedećih iskaznih formula:

1. (p ⇒ q) (q ⇒ p).

2. [ (p ⇒ q) ⇒ p

] ⇒ p.

3. ¬(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q).

1.4. TAUTOLOGIJE 7

4. (p ⇒ ¬q) (q ⇒ ¬p). Zadatak 12 Ako je τ(p ⇒ q) = > i τ(p ⇔ q) = ⊥ odrediti τ(q ⇒ p).

Zadatak 13 Ako je τ(p ⇔ q) = > odrediti τ(¬p ⇔ q), τ(¬p ⇒ q) i τ(q ⇒ p). Zadatak 14 Sastaviti istinitosne tablice sljedećih iskaznih formula:

1. (p ∧ q) ⇒ r. 2. (p ∧ ¬r) ⇒ ¬q.

3. [ (p ⇒ q) (r ⇒ ¬p)

] (¬q ⇒ ¬r).

4. {[ ¬p ⇒ (q ⇔ r)

] (¬p ⇒ r) (q ⇒ ¬r)

} ⇒ ¬r.

5. (p ⇒ q) {[

p ⇒ (q ⇒ r) ] (p ⇒ r)

} .

Zadatak 15 Riješiti po p, q, r ∈ {>,⊥} jednačine: 1. τ [(p ⇒ ¬q) ∨ r] = ⊥. 2. τ [(p ∧ ¬r) ⇒ q] = >.

1.4 Tautologije

Definicija 7 Iskazna formula koja je tačna za sve vrijednosti svojih iskaznih slova naziva se tautologija.

Teorema 1 Sljedeće iskazne formule su tautologije

1. p ∧ q ⇔ q ∧ p, p ∨ q ⇔ q ∨ p.

2. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r).

3. p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) (p ∨ r).

4. ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q.

5. (p ⇒ q) (¬q ⇒ ¬p). 6. p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q. 7. (p ⇔ q) [(p ⇒ q) (q ⇒ p)],

(p ⇔ q) [(p ∧ q) (q ∧ p)].

8 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

Dokaz:Tabela istinitosti za šestu formulu glasi

p q ¬p p ⇒ q ¬p ∨ q F > > ⊥ > > > > ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ > > > > > > > > ⊥ > > > >

odakle se zaključuje da posljednja formula zaista jeste tautologija. Na isti način se dokazuje da su i ostale formule tautologije. ¥

Treba primjetiti da tautologija 6. omogućava “električnu” realizaciju imp- likacije.

1.5 Zadaci

Zadatak 16 Ne koristeći istinitosne tabele dokazati da su sljedeće iskazne for- mule tautologije

1. {

p ∧ [p ⇔ (¬q ∧ r)] } [q ⇒ (s ∨ t)],

2. [ (p ⇔ q) ⇒ ¬r] [(s ∧ ¬t) (r ∨ p)]

3. [ p ⇔ (q ∨ r)] [(q ∧ s) (t ∨ p)]

4. [ (¬p ∧ ¬q) (r ∨ s)] [(r ∧ t) ⇔ p]

1.6 Osnovi predikatskog računa

1.6.1 Pojam predikata

Definicija 8 Predikat dužine n ∈ N, definsan na skupu S 6= ∅, je svako pres- likavanje P : Sn 7→ {>,⊥}. Specijalno, predikati dužine nula su iskazi.

U daljem tekstu pažnja će se posvetiti isključivo predikatima dužine jedan i dva.

Primjer 1 Neka je S skup svih studenata Univerziteta u Sarajevu i neka je P predikat dužine jedan definisan na skupu S sa: “biti student Gradevinskog fakulteta.”

Primjer 2 Neka je S skup prirodnih brojeva i neka je P predikat dužine jedan definisan na skupu S sa: “broj n je djeljiv sa tri.”

Primjer 3 Neka je S skup svih planeta sunčevog sistema i neka je P predikat dužine dva definisan na skupu S sa: “planete p1 i p2 su susjedne.”

Primjer 4 Neka je S skup prirodnih brojeva i neka je P predikat dužine dva definisan na skupu S sa: “zbir brojeva n1 i n2 je prost broj.”

1.6. OSNOVI PREDIKATSKOG RAČUNA 9

Važno je uočiti razliku izmedu predikata i iskaza. Naime, predikat dužine jedan (dva) nije iskaz, ali taj predikat svakom elementu skupa S (S2) pridružuje iskaz. Na izvjestan način, predikati se mogu poistovjetiti sa formularima. Prazan for- mular predstavlja predikat (student Univerziteta u Sarajevu jeste ili nije student Gradevinskog fakulteta), dok se nakon njegovog ispunjavanja (za konkretnog studenta se utvrduje da li je student Gradevinskog fakulteta) dobija konkretna činjenica.

Medu svim predikatima (dužine jedan ili dva) treba istaći tzv. identički istinit i identički lažan predikat. Identički istinit predikat svakom elementu skupa na kojem je definisan pridružuje tačan iskaz, dok identički lažan predikat svakom elementu skupa na kojem je definisan pridružuje netačan iskaz.

1.6.2 Kvantori (kvantifikatori)

Kvantori predikatima dužine jedan pridružuju iskaze, a predikatima dužine dva pridružuju predikate dužine jedan.

Definicija 9 Neka je P predikat dužine jedan definisan na skupu S. Egzisten- cijalni kvantor, u oznaci ∃, predikatu P pridružuje iskaz

(∃x ∈ S)(P (x)) (1.1)

koji je tačan ako postoji (barem jedan) element a ∈ S takav da je P (a) = >. Dakle, iskaz (1.1) je netačan ako i samo ako je predikat P identički lažan.

Definicija 10 Neka je P predikat dužine jedan definisan na skupu S. Uni- verzalni kvantor, u oznaci ∀, predikatu P pridružuje iskaz

(∀x ∈ S)(P (x)) (1.2)

koji je tačan ako za sve elemente a ∈ S važi P (a) = >. Dakle, iskaz (1.2) je tačan ako i samo ako je predikat P identički istinit.

Na osnovu prethodnih definicija zaključuje se da je negacija iskaza (1.1) iskaz

(∀x ∈ S)(¬P (x)),

dok je negacija iskaza (1.2) iskaz

(∃x ∈ S)(¬P (x)).

Definicija 11 Neka je P predikat dužine dva definisan na skupu S 6= ∅. Djelo- vanjem egzistencijalnog, odnosno univoerzalnog kvantora na predikat P dobijaju se dva dva predikata dužine jedan definisana na skupu S. To su predikati

P1(y) = (∃x ∈ S)(P (x, y)) (1.3)

i P2(x) = (∃y ∈ S)(P (x, y)), (1.4)

10 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

odnosno predikati P3(y) = (∀x ∈ S)(P (x, y)) (1.5)

i P4(x) = (∀y ∈ S)(P (x, y)). (1.6)

Ako je Y ∈ S, onda je P1(Y ) = > ako je P (a, Y ) = > za neko a ∈ S. Ako je Y ∈ S, onda je P3(Y ) = > ako je P (a, Y ) = > za sve a ∈ S. Analogno se definǐsu vrijednosti predikata P2 i P4.

Kaže se da je u predikatima (1.3) i (1.5) prva promjenjljiva je vezana (odgo- varajućim kvantorom), dok je druga promjenjljiva slobodna. Analogno, u predika- tima (1.4) i (1.6) slobodna je prva, a vezana (naravno, odgovarajućim kvan- torom) druga promjenjljiva.

Dalje se, djelovanjem univerzalnog i egzistencijalnog kvantora na predikate (dužine jedan) (1.3), (1.4), (1.5) i (1.6) dobija osam iskaza

I1 (∃y ∈ S)P1(y) = (∃y ∈ S)(∃x ∈ S)(P (x, y)) I2 (∀y ∈ S)P1(y) = (∀y ∈ S)(∃x ∈ S)(P (x, y)) I3 (∃x ∈ S)P2(x) = (∃x ∈ S)(∃y ∈ S)(P (x, y)) I4 (∀x ∈ S)P2(x) = (∀x ∈ S)(∃y ∈ S)(P (x, y)) I5 (∃y ∈ S)P3(y) = (∃y ∈ S)(∀x ∈ S)(P (x, y)) I6 (∀y ∈ S)P3(y) = (∀y ∈ S)(∀x ∈ S)(P (x, y)) I7 (∃x ∈ S)P4(x) = (∃x ∈ S)(∀y ∈ S)(P (x, y)) I8 (∀x ∈ S)P4(x) = (∀x ∈ S)(∀y ∈ S)(P (x, y)),

čije se istinitosne vrijednosti odreduju na osnovu definicije egzistencijalnog, odnosno univerzalnog kvantora.

1.7 Zadaci

Zadatak 17 Neka je predikat P definisan na skupu S = {x ∈ N ∣∣∣1 ≤ x ≤ 15}

sa “x je prost broj”. Sastaviti istinitosnu tabelu predikata P.

Zadatak 18 Sastaviti istinitosne tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a, b, c}. Zadatak 19 Sastaviti istinitosne tabele svih dvomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a, b}. Zadatak 20 Sastaviti istinitosne tablice svih jednomjesnih predikata P, defin- isanih na skupu S = {a, b, c, d}, takvih da je ¬P (a) ⇒ P (c) = ⊥. Zadatak 21 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedećih iskaza

1. (∃x ∈ N)(x < 5),

1.7. ZADACI 11

2. (∀x ∈ N)(x ≥ 0), 3. (∃x ∈ N)(3x + 2 = 3), 4. (∀x ∈ N)(1 · x = x), 5. ¬(∃x ∈ N)(x ≤ 2), 6. ¬(∃x ∈ N)(x > 5 ∧ x < 10).

Zadatak 22 Napisati negaciju sljedećih iskaza

1. (∀x ∈ R)(x = 0), 2. (∃x ∈ N)(x2 < 0), 3. (∀x ∈ R)(x · 0 = 0), 4. (∃x ∈ Z)(x + 5 > 0), 5. (∀x ∈ N)(x + 1 2 ∨ x = 1).

Zadatak 23 Koristeći kvantore (i odgovarajuće simbole) simbolički napisati sljedeće rečenice

1. “x je potpun kvadrat”,

2. “Postoji broj čiji je kvadrat nula”,

3. “Izmedu svaka dva racionalna broja postoji racionalan broj”,

4. “Za svaki realan broj x postoji realan broj y ≥ 0 takav da je x2 = y”. Zadatak 24 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedećih iskaza

1. (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x < y), 2. (∃x ∈ N)(∀y ∈ N)(x ≤ y), 3. (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x > y), 4. (∀x ∈ N)(∀y ∈ N)(x + y = y + x), 5. (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(xy = x), 6. (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∃z ∈ R)(x · z + y = 0), 7. (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∃z ∈ R)(x · z + y 6= 0), 8. (∃x ∈ R)(∃y ∈ R)(∀z ∈ R)(x · z + y = 0), 9. (∃x ∈ R)(∃y ∈ R)(∀z ∈ R)(x · z + y 6= 0).

Zadatak 25 Neka je P predikat dužine dva definisan na skupu S = {a, b, c, d} sljedećom tabelom

12 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

y ↓ x → a b c d a > ⊥ > > b > ⊥ > ⊥ c ⊥ > > > d > ⊥ > ⊥

Riješiti po t ∈ S jednačine 1. P (t, b) ∨ ¬P (c, t) = ⊥, 2. P (a, t) ∧ P (d, t) = >.

Zadatak 26 Neka je P predikat dužine dva definisan na skupu S = {a, b, c, d} sljedećom tabelom

y ↓ x → a b c d a > ⊥ > > b > ⊥ > ⊥ c ⊥ > > > d > ⊥ > ⊥

1. Sastaviti tabele četiri predikata dužine jedan koji nastaju djelovanjem egzis- tencijalnog i univerzalnog kvantora na predikat P.

2. Odrediti istinitosnu vrijednost osam iskaza koji nastaju djelovanjem egzis- tencijalnog i univerzalnog kvantora na prethodno formirana četiri predikata dužine jedan.

Glava 2

Skup, binarna relacija, funkcija

2.1 Pojam skupa

Teoriju skupova moguće je zasnovati aksiomatski ili naivno. Aksiomatsko za- snivanje teorije skupova pretpostavlja da je skup svaki objekat koji zadovoljava zadanu grupu aksioma. Sa druge strane, naivno zasnivanje teorije skupova (u ovom tekstu teorija skupova će biti zasnovana na ovaj način) polazi od stanovǐsta da je skup jedan od osnovnih matematičkih pojmova i da se ne definǐse. Po- drazumijeva se da se svaki skup sastoji od svojih elemenata i da je skup korektno zadan ako se za svako objekat može utvrditi da li je element zadanog skupa ili ne. Uobičajeno je da se skupovi označavaju velikim slovima latinice A, B,C, . . . i da se elementi skupova označavaju malim slovima latinice a, b, c, . . .1 Činjenica da je a element skupa A označava se sa a ∈ A, dok se činjenica da b nije element skupa A označava sa b /∈ A. Oznaka a ∈ A svakako može biti shvaćena i kao iskaz koji je tačan ako a jeste element skupa A, a netačan ako a nije element skupa A.

Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i označava se sa ∅, dok se skup koji sadrži sve elemente naziva univerzalni skup i označava se sa U. Pojam unoiverzalnog skupa obično se relativizira u zavisnosti od predmeta izučavanja odredene discipline.

Skupovi A i B su medusobno jednaki, u oznaci A = B, ako su svi elementi skupa A ujedno elementi skupa B i svi elementi skupa B ujedno elementi skupa A. Skup A je podskup skupa B (odnosno skup B je nadskup skupa A), u oznaci A ⊆ B (odnosno B ⊇ A), ako su svi elementi skupa A ujedno elementi skupa B. Drugim riječima, skupovi A i B su medusobno jednaki ako je tačna ekvivalencija x ∈ A ⇔ x ∈ B, a skup A je podskup skupa B ako je tačna implikacija

1Tipičan primjer odstupanja od ove prakse je označavanje u geometriji. Naime, u geometriji je uobičajeno da se prave (koje su skupovi tačaka) označavaju malim slovima latinice, dok se tačke, iako elementi ovih skupova označavaju velikim slovima latinice.

13

14 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

x ∈ A ⇒ x ∈ B. Prema prethodno rečenom, prazan skup je podskup svakog skupa, dok je univerzalni skup nadskup svakog skupa.

Najjednostavniji način zadavanja nekog skupa je navodenje svih njegovih ele- menata. Naravno, ovakvo zadavanje supa je moguće samo ako je broj elemenata skupa konačan, (relativno) mali broj. Prilikom zadavanja skupa svaki element se navodi samo jednom, jer ponavljanje istog elementa vǐse puta nema značaja. U tom smislu, skupovi {1, 2, 3} i {2, 1, 2, 3, 1, 3, 3} su medusobno jednaki.

Kada je broj elemenata nekog skupa konačan (relativno) veliki ili beskonačan broj, skupovi se zadaju na drugi način. Na primjer,

• {x ∈ N ∣∣∣x ≤ 1012},

• {x ∈ Z ∣∣∣x ≥ −100},

• {x ∈ Q ∣∣∣0 ≤ x ≤ 1},

• {(x, y) ∣∣∣x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y2 = 1}.

2.2 Skupovne operacije

Kao i u slučju logičke operacije, skupovna operacija može biti shvaćena kao postupak kojim se skup-u/ovima pridružuje skup. Od skupovnih operacija u daljem tekstu će se obraditi jedna unarna operacija (operacija koja jednom skupu pridružuje skup), tzv. komplementiranje i tri binarne operacije (operacija koja paru skupova pridružuje skup), tzv. presjek, unija i razlika.

Definicija 12 Komplement skupa A, u oznaci AC je skup svih elemenata uni- verzalnog skupa koji ne pripadaju skupu A. Simbolički,

AC = {x ∈ U ∣∣∣x /∈ A}.

Iz posljednje definicije neposredno slijedi da je ∅C = U kao i da je UC = ∅. Definicija 13 Presjek skupova A i B, u oznaci A ∩ B je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju i skupu A i skupu B. Simbolički,

A ∩B = {x ∈ U ∣∣∣x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Jednostavno se provjeravaju osnovne osobine presjeka

za svaki skup A važi A ∩ ∅ = ∅, A ∩U = A i A ∩A = A, • za svaka dva skupa A i B važi A ∩B = B ∩A, • za svaka tri skupa A,B i C važi A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

2.3. ZADACI 15

Definicija 14 Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju ili skupu A ili skupu B. Simbolički,

A ∪B = {x ∈ U ∣∣∣x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Jednostavno se provjeravaju osnovne osobine unije

za svaki skup A važi A ∪ ∅ = A,A ∪U = U i A ∪A = A. • za svaka dva skupa A i B važi A ∪B = B ∪A, • za svaka tri skupa A, B i C važi A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

Definicija 15 Razlika skupova A i B, u oznaci A/B je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Simbolički,

A/B = {x ∈ U ∣∣∣x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Treba napomenuti da u opštem slučju ne vrijedi jednakost A/B = B/A, što potvrduje primjer skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {1, 3, 5, 6}. Zaista, A/B = {2, 4}, dok je B/A = {5, 6}. Dakle, A/B 6= B/A. Teorema 2 Za svaka tri skupa A,B i C važe sljedeće skupovne jednakosti

1. (AC)C = A,

2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) (A ∩ C) i A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) (A ∪ C), 3. A/B = A ∩BC . 4. (A ∩B)C = AC ∪BC i (A ∪B)C = AC ∩BC i specijalno

A/(B ∩ C) = (A/B) (A/C) i A/(B ∪ C) = (A/B) (A/C). Dokaz ovog tvrdenja može se pronaći npr. u [1].

Definicija 16 Partitivni skup skupa A, u oznaci P(A), je skup svih podskupova skupa A. Specijalno, prazan skup i skup A su elementi partitivnog skupa skupa A.

2.3 Zadaci

Zadatak 27 Neka je A = {x ∈ Z ∣∣∣x2 4}, B = {x ∈ N

∣∣∣x − 2 < 3}, C = {x ∈ N

∣∣∣x|12}, D = {x ∈ N ∣∣∣xje prost broj ∧ x < 8}. Odrediti skupove (A/B)

(C/D), (A ∪B)/(C ∪D), (A/B) (C/D), (A ∩B)/(C/D).

Zadatak 28 Neka je A = {x ∈ R ∣∣∣4x− 1 < 2x + 1}, B = {x ∈ R

∣∣∣2x ≤ 4x− 6}. Odrediti skupove A ∩ N i B ∩ N (N je oznaka za skup prirodnih, a R za skup realnih brojeva).

16 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

Zadatak 29 Neka su [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) uobičajene oznake za zatvoreni, poluotvoreni i otvoreni interval na brojnoj osi. Odrediti i grafički predstaviti sljedeće skupove:

1. [0, 3] (1, 7), 2. (5, 2] (2, 4), 3. (−∞, 0) (2, 3), 4. (−∞,−1) (2,∞), 5. ((−∞,−1) (1,∞)) (2, 2), 6. ((5, 4] (7, 9]) (0, 10].

Zadatak 30 Napisati partitivni skup skupa A = {a, b, c}.

Zadatak 31 Neka je A = {a, b, c, d, e, f, g} i neka je B = {b, c, e, f, g}. Odrediti skup X ako je poznato da je A ∩X = {c, d} i B ∪X = {b, c, d, e, f, h, i}.

Zadatak 32 Unije dva skupa ima 15 elemenata, jedan od njih ima 8, a njihov presjek 5 elemenata. Koliko elemenata ima drugi skup?

Zadatak 33 Svaki učenik jedne škole uči barem jedan od tri strana jezika en- gleski, francuski ili njemački. Pri tome engleski jezik uči 280 učenika, francuski 230 i njemački 230. Dalje, engleski i francuski uči 120 učenika, 80 francuski i njemački i 110 učenika njemački i engleski. Sva tri jezika uči 50 učenika. Koliko učenika ima u toj školi?

2.4 Pojam binarne relacije

Definicija 17 Uredeni par sa prvom koordinatom a i drugom koordinatom b, u oznaci (a, b) je skup

{{a}, {a, b}}.

Najvažniju osobinu uredenog para opisuje sljedeća

Lema 1 (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

Dokaz ovog tvrdenja može se pronaći u [1]. Dakle, u opštem slučaju je (a, b) 6= (b, a). Tipični primjeri uredenih parova iz svakodnevnog života su par cipela, rukavica, itd.

Definicija 18 Dekartov proizvod nepraznih skupova A i B, u oznaci A×B, je skup

{(a, b) ∣∣∣a ∈ A ∧ b ∈ B}.

2.5. OSNOVNE OSOBINE BINARNE RELACIJE 17

Ukoliko je A = B, umjesto oznake A×A, koristi se oznaka A2.

Definicija 19 Svaki podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B naziva se binarna relacija iz skupa A u skup B. Ako je A = B za binarnu relaciju se kaže da je definisana na skupu A.

Iz prethodne definicije se zaključuje da je sasvim korektno utvrdivati da li neki par pripada binarnoj relaciji ρ ⊆ A × B ili ne. Ukoliko je (a, b) ∈ ρ ⊂ A × B, koristi se oznaka aρb, a ukoliko (a, b) /∈ ρ ⊂ A×B, koristi se oznaka ¬(aρb).

2.5 Osnovne osobine binarne relacije

Definicija 20 Neka je binarna relacija ρ definsana na nepraznom skupu A. Relacija ρ je:

• refleksivna ako (∀a ∈ A)(aρa),

• antirefleksivna ako (∀a ∈ A)¬(aρa)

• simetrična ako (∀a, b ∈ A)(aρb ⇒ bρa),

• antisimetrična ako (∀a, b ∈ A)(aρb ∧ bρa ⇒ a = b),

• tranzitivna ako (∀a, b, c ∈ A)(aρb ∧ bρc ⇒ aρc).

Binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna naziva se relacija ekvivalencije. Binarna relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna naziva se relacija poretka. Ako je ρ ⊂ A2 relacija ekvivalencije, onda se za svaki element a ∈ A uočava skup svih elemenata skupa A koji su u relaciji sa elementom a. Taj skup se naziva klasa elementa a i označava se sa [a]ρ. Dakle,

[a]ρ = {x ∈ A ∣∣∣xρa}

Teorema 3 Neka je ρ ∈ A2 relacija ekvivalencije. Tada:

(∀a, b ∈ A)([a]ρ = [b]ρ ∨ [a]ρ ∩ [b]ρ = )

Pri tome je tačan samo jedan od dva iskaza u prethodnoj disjunkciji.

Dokaz ovog tvrdenja može se naći u [1]. Slobodno govoreći, svaka relacija ekvi- valencije, definisana na skupu A, “razbija” skup A na tzv. klase ekvivalencije. Pomenuto “razbijanje” je takvo da svake dvije particije razbijanja nemaju za- jedničkih elemenata, a unija svih particija je upravo skup A.

18 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

2.6 Zadaci

Zadatak 34 Odrediti i grafički predstaviti skupove A×A,A×B, B×A,B×B ako je:

• A = {−1, 0, 1, 2}, B = {a, b, c},

• A = {x ∈ R ∣∣∣1 ≤ x ≤ 1}, A = {x ∈ R

∣∣∣1 ≤ x ≤ 2}

Zadatak 35 Odrediti skupove A i B ako je A×B = {(m, 0), (m, 1), (n, 0), (n, 1), (p, 0), (p, 1)}.

Zadatak 36 Zadani su skupovi E1 = {(x, y) ∣∣∣x, y ∈ N ∧ x + 2y = 10} i E2 =

{(x, y) ∣∣∣x, y ∈ N ∧ x + y = 3}. Odrediti skupove E1 ∩ E2, E1 ∪ E2, E1 × E2.

Zadatak 37 Na skupu {a, b, c} definisana je relacija ρ = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c)}. Predstaviti binarnu relaciju ρ mrežom i tablicom.

Zadatak 38 Na skupu A = {1, 2, 3, 4} definisana je binarna relacija ρ sa:

1. xρy ⇔ x > y + 1 i

2. xρy ⇔ x < y − 1

Predstaviti relaciju ρ tablicom i mrežom i ispitati njenu refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost.

Zadatak 39 Koja od svojstava refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti i refleksivnosti imaju binarne relacije:

1. xρy ⇔ x2 − xy + y2 = 1 i

2. xρy ⇔ x2 ≤ y2.

Zadatak 40 Na skupu A = {a, b, c, d, e} definisana je binarna relacija ρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c, d), (d, c)}. Dokazati da je ρ relacija ekvivalencije i odrediti njene klase.

Zadatak 41 Na skupu Z definisana je binarna relacija ρ na sljedeći način:

(∀x, y ∈ Z)(xρy ⇔)2 ∣∣∣(x + y).

Dokazati da je ρ relacija ekvivalencije i odrediti njene klase.

2.7. POJAM FUNKCIJE 19

2.7 Pojam funkcije

Definicija 21 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Binarna relacija f ⊆ A×B je funkcija koja skup A preslikava u skup B ako za svaki element a ∈ A postoji najvǐse jedan element skupa b ∈ B takav da je afb.

Ukoliko funkcija f preslikava skup A u skup B, koristi se oznaka f : A 7→ B. Dalje, umjesto oznake afb koristi se oznaka f(a) = b. Skup A naziva se domen, a skup B kodomen funkcije f. Elementi skupa A nazivaju se originali, a elementi skupa B slike. Skup svih elemenata skupa A kojima odogovara (tačno jedan) elemet skupa B naziva se prirodni domen funkcije f, a skup svih elemenata skupa B koji imaju odgovarajući original u skupu A naziva se skup vrijednosti funkcije f (faktički, to je skup f(A) = {b ∈ B

∣∣∣(∃a ∈ A)f(a) = b}). Naravno, izbacivanjem onih elemenata skupa A koji nemaju odgovarajuću sliku u skupu B dobija se prirodni domen funkcije f.

Dakle, svaka funkcija je odredena sa tri objekata. To su dva skupa i prav- ilo kojim se elementima jednog skupa pridružuju elementi drugog skupa. Dvije funkcije su jednake ako su im jednaki i domen, i kodomen, i pravilo pridruživanja.

2.7.1 Primjeri

Primjer 5 Neka je A = {1, 2, 3, 4} i neka je B = {a, b, c}. Binarna relacija ρ = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, a), (4, a), (4, c)} nije funkcija iz skupa A u skup B jer originalima 2 i 4 odgovaraju po dvije različite slike iz skupa B.

Primjer 6 Neka su skupovi A i B definisan kao i u prethodnom primjeru. Sli- jede primjeri binarnih relacija koje jesu funkcije f : A 7→ B

• f : (

1 2 3 4 a b a c

) ,

• f : (

1 2 3 4 a b a b

) i

• f : (

1 2 3 4 c c c c

) .

Primjer 7 Neka je A skup svih stanovnika Kantona Sarajevo i neka je B skup svih ulica u Kantonu Sarajevo. Dalje, neke se svakom stanovniku Kantona Sarajevo (elementu skupa A) pridružuje ulica (elementu skupa B) u kojoj taj stanovnik živi. Na ovaj način (pod pretpostavkom da svaki stanovnik živi u tačno jednoj ulici) definisana je funkcija f : A 7→ B.

Primjer 8 Neka je A skup svih knjiga u nekoj biblioteci i neka je B = N (skup prirodnoh brojeva). Funkcije f : A 7→ B svakoj knjizi (elementu skupa A) pridružuje broj njenih strana (element skupa B).

20 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

Primjer 9 Neka je uočena ravan π, neka je p ∈ π fiksirana prava i neka je A = B = π. Primjer jedne funkcije iz skupa A u skup B je osna simetrija u odnosu na pravu p.

Primjer 10 Neka je A = B = R i neka je funkcija f : A 7→ B definisana sa f(x) = 2x− 1.

Primjer 11 Neka je zadan neprazan skup A. Važan primjer funkcije koja skup A preslikava u sebe je tzv. identičko preslkikavanje skupa A (identitet). Ova funkcija se najčešće označava sa I i definǐse se na sljedeći način:

(∀a ∈ A)(I(a) = a).

Definicija 22 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Funkcija f : A 7→ B je: • sirjekcija (na) ako

(∀b ∈ B)(∃a ∈ A)(f(a) = b)

• injekcija (1-1) ako

(∀a1, a2 ∈ A)(a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2))

• bijekcija ako je sirjekcija i injekcija.

Očigledno je da je uslov injektivnosti moguće zamijeniti uslovom

(∀a1, a2 ∈ A)(f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2).

Slobodno govoreći, funkcija je sirjekcija ako svaka slika (element skupa B) ima odgovarajući original (element skupa A). Sa druge strane, funkcija je injek- cija ako različitim originalima odgovaraju različite slike (isim slikama odgovaraju isti originali).

2.8 Složena funkcija i inverzna funkcija

Definicija 23 Neka su zadani neprazni skupovi A,B i C i neka f : A 7→ B i g : B 7→ C. Kompozicija funkcija f i g, u oznaci g ◦ f, je funkcija koja skup A preslikava u skup C na sljedeći način:

(∀a ∈ A)((g ◦ f)(a) = g(f(a))).

Treba primjetiti da gornja definicija podrazumijeva da je skup B prirodni domen funkcije g. U protivnom bi mogao postojati element a ∈ A takav da ne postoji g(f(a)). Dalje, očigledno je da funkcija f ◦ g uopšte ne postoji. Medutim, ako je A = B = C i ako f, g : A 7→ A, onda postoje i funkcija g ◦ f i funkcija f ◦ g, ali u opštem slučaju ne važi jednakost g ◦ f = f ◦ g, što ilustruje sljedeći

2.9. ZADACI 21

Primjer 12 Neka je A = {a, b, c} i neka su funkcije f, g : A 7→ A definisane sa: f :

( a b c b c a

) i g :

( a b c c b a

) . Očigledno je da je f ◦ g :

( a b c a c b

) ,

dok je g ◦ f : (

a b c b a c

) .

Definicija 24 Neka su zadani neprazni skupovi A i B i neka f : A 7→ B. Ukoliko postoji funkcija f−1 : B 7→ A takva da je

(∀a ∈ A)f−1 ◦ f = I,

gdje je I identičko preslikavanje skupa A, onda se funkcija f−1 naziva inverzna funkcija funkcije f.

Iz prethodne definicije neposredno slijedi da je (f−1)1 = f, tj. da je inverzna funkcija inverzne funkcije upravo polazna funkcija. Dalje, ako je A = B, onda je f−1 ◦ f = f ◦ f−1. Slobodno govoreći, funkcija f elemente skupa A “prebacuje” u skup B, a inverzna funkcija f−1 ih “vraća” na polaznu poziciju.

Teorema 4 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Za funkciju f : A 7→ B postoji inverzna funkcija f−1 ako i samo ako je funkcija f bijekcija.

Formalan dokaz ovog tvrdenja izostavljamo (može se naći npr. u [1]), ali ipak ukazujemo na to da činjenica da je funkcija f bijekcija znači da svakom elementu skupa A odgovara tačno jedan element skupa B, što inverznoj funkciji omogućava da slike “vrati” na pozicije originala.

2.9 Zadaci

Zadatak 42 Neka je zadan skup A = {a, b, c, d} i neka je funkcija f : A 7→ A definisana sa f :

( a b c d d a b c

) .

1. Izračunati: f(a), f(f(b)), f(f(f(c))), f(f(f(f(d))))

2. Riješiti po x ∈ A jednačine: f(x) = a, f(f(x)) = b, f(f(f(x))) = d.

Zadatak 43 Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5} i neka je funkcija f : A 7→ B definisana sa f :

( a b c d 5 3 1 2

) . Odrediti istinitosnu vrijednost

sljedećih iskaza:

1. (∃x ∈ A)(f(x) = 4), 2. (∃x ∈ A)(f(x) = 1), 3. (∀x ∈ A)(f(x) 5), 4. (∃x1, x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2)) i

22 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

5. (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(f(x) = y). Zadatak 44 Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} i neka su funkcije f1, f2, f3, f4, f5 : A 7→ B definisane sa:

1. f1 : (

a b c d 1 3 1 2

) ,

2. f2 : (

a b c d 1 4 3 2

) ,

3. f3 : (

a b c d 1 3 4 2

) ,

4. f4 : (

a b c d 1 4 1 3

) i

5. f5 : (

a b c d 2 3 1 4

) .

Koja od navedenih preslikavanja su sirjekacije, a koja injekcije?

Zadatak 45 Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} i neka je funkcija f : A 7→ B definisana sa: f :

( a b c d 1 3 4

)

1. Koji element skupa B treba stajati na poziciji simbola ∗ tako da dobijeno preslikavanje bude bijekcija?

2. Koji element skupa B može stajati na poziciji simbola ∗ tako da dobijeno preslikavanje ne bude bijekcija?

Zadatak 46 Neka je A = {a, b, c, d}, B = {p, q, r} i C = {α, β}. Dalje, neka su funkcije f : A 7→ B i g : B 7→ C definisane na sljedeći način:

1. f : (

a b c d p q p r

) , g :

( p q r α α β

) i

2. f : (

a b c d q q r p

) , g :

( p q r α β α

) .

Odrediti funkcije g ◦ f. Zadatak 47 Neka je A = {1, 2, 3} i neka je funkcija f : A 7→ A definisana sa f :

( 1 2 3 2 3 1

) . Riješiti po n ∈ N jednačine:

1. fn = I (I je identičko preslikavanje skupa A),

2. fn = f i

3. fn = f2,

2.9. ZADACI 23

gdje je fn = f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸ ︷︷ ︸ n

.

Zadatak 48 Neka je A = {a, b, c, d} i neka je funkcija f : A 7→ A definisana sa f :

( a b c d a c d b

) . Riješiti po x ∈ A jednačine:

1. f(x) = c,

2. f2(x) = b,

3. f3(x) = d,

4. fn(x) = a, n ∈ N, 5. f−1(x) = b,

6. (f−1)3(x) = d i

7. (f−1)n(x) = a.

Zadatak 49 Neka je A = {a, b, c, d} i neka su funkcije f, g : A 7→ A definisane sa f :

( a b c d b c a d

) i g :

( a b c d c b d a

) . Riješiti po x ∈ A jednačine:

1. (g ◦ f−1)(x) = b, 2. (g−1 ◦ f)(x) = d, 3. (g−1 ◦ f−1)(x) = a, 4. (g ◦ f−1 ◦ g)(x) = c i 5. (g−1 ◦ f ◦ g−1)(x) = c.

Zadatak 50 Odrediti vrijednost parametra a ∈ R tako da funkcija f : R 7→ R definisana sa f(x) = −x− a:

1. bude sama sebi inverzna.

2. zadovoljava uslov (g ◦ f)(x) = 2x, gdje je funkcija g : R 7→ R definisana sa: g(x) = 2x− 1.

3. zadovoljava uslov (g ◦ f)(x) = 2x, gdje je funkcija g : R 7→ R definisana sa: g(x) = 3x− 1.

Zadatak 51 Neka je funkcija f : R 7→ R definisana sa f(x) = 2x− a. Odrediti vrijednost parametra A ∈ R tako da važi (f ◦ f)(3) = 2.

24 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA

Glava 3

Kombinatorika

3.1 Matematička indukcija

Matematička indukcija1 je posebna tehnika dokazivanja kojom se dokazuje da odredeno tvrdenje važi za sve prirodne brojeve (počevši od nekog prirodnog broja). Dokaz matematičkom indukcijom se realizuje u tri koraka.

U prvom se koraku dokaže da je tvrdenje tačno za prirodan broj jedan. Eventualno, dokaže se da je tvrdenje tačno za neki prirodan broj n0 takav da je tvrdenje tačno za sve ostale prirodne brojeve n ≥ n0. Drugi korak je tzv. indukcijska hipoteza 2. Indukcijska hipoteza je pretpostavka da je tvrdenje tačno za sve prirodne brojeve koji nisu veći od nekog prirodnog broja n. U posljednjem se koraku dokazuje (uz obavezno korǐstenje indukcijske hipoteze) da je tvrdenje tačno i za prirodan broj n + 1. Simbolički se dokaz matematičkom indukcijom može opisati na sljedeći način:

1. T (1)(T (n0)), za neko n0 N,

2. pretpostavlja se da je (∀k ∈ N)(k ≤ n ⇒ T (k)) i

3. T (n + 1).

Dakle, matematičkom indukcijom se dokazuje niz implikacija

T (1) ⇒ T (2) ⇒ . . . T (n) ⇒ T (n + 1) ⇒ . . .

Neformalno govoreći, matematička indukcija se može shvatiti kao rušenje niza beskonačno mnogo domina. Naime, u prvom se koraku sruši prva domina, a dva posljednja koraka znače da svaka domina koja padne obara sljedeću. Na taj će način biti srušene sve domine.

1indukcija-zaključivanje iz pojedinačnog ka opštem. 2hipoteza-pretpostavka čija je tačnost provjerena na velikom uzorku, nije dokazana u

opštem slučaju, ali nije ni opovrgnuta.

25

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 45 str.
preuzmi dokument