Stohastičke diferencijalne jednačine-Zavrsni rad-Primenjena matematika-Matematika
jakestyle
jakestyle23 April 2013

Stohastičke diferencijalne jednačine-Zavrsni rad-Primenjena matematika-Matematika

PDF (532 KB)
86 str.
14broj preuzimanja
1000+broj poseta
100%od1broj ocena
Opis
Stohastičke diferencijalne jednačine,Zavrsni rad,Primenjena matematika,Matematika, Obicne diferencijalne jednacine,Egzistencija i jedinstvenost resenja,Sistemi diferencijalnih jednacina, Osnovni pojmovi i definicije iz v...
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 86

ovo je samo pregled

3 prikazano na 86 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 86 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 86 str.

preuzmi dokument

ovo je samo pregled

3 prikazano na 86 str.

preuzmi dokument

Slađan Dimitrijević

Stohastičke diferencijalne jednačine

master rad

Mentor: dr Danijela Rajter-Ćirić

Novi Sad, 2009.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI

FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

I INFORMATIKU

Sadržaj

Predgovor 3

1 Oznake 5

2 Uvod 7 2.1 Obične diferencijalne jednačine (ODJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Egzistencija i jedinstvenost rešenja . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Sistemi diferencijalnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Osnovni pojmovi i definicije iz verovatnoće . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Vrste konvergencija u teoriji verovatnoće . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Nezavisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Borel-Cantellijeva lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Stohastički procesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Neka svojstva stohastičkih procesa . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Brownovo kretanje i beli šum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.1 Brownovo kretanje u Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Beli šum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Stohastički integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Stohastički diferencijali i Itôva formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Stohastičke diferencijalne jednačine 35 3.1 Motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Definicija stohastičke diferencijalne jednačine . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Egzistencija i jedinstvenost rešenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Uopštenja teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti rešenja SDJ . . . . . 48

4 Osobine rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina 52 4.1 Momenti rešenja SDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Analitičke osobine rešenja SDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Zavisnost rešenja SDJ od parametara i početnih vrednosti . . . . . . 56

5 Linearne stohastičke diferencijalne jednačine 59 5.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Linearne SDJ u užem smislu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Opšta skalarna linearna SDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Opšta vektorska linearna SDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1

5.5 Primeri linearnih SDJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Zaključak 77

Literatura 78

Biografija 79

2

Predgovor

Cilj ovog rada je da se detaljno upoznamo sa osnovama teorije stohastičkih difer- encijalnih jednačina, jer je njihova upotreba u mnogim naučnim granama postala neizbežna. Napomenimo da je finansijska matematika jedna od oblasti gde je oz- biljan rad nemoguć bez poznavanja i upotrebe stohastičkih diferencijalnih jednačina.

Teorija stohastičkih diferencijalnih jednačina (SDJ) se bazira na teoriji običnih difer- encijalnih jednačina (ODJ) pa je glavna ideja ovog rada da na neki način uopštimo već postojeću teoriju ODJ. Znamo da pri modeliranju mnogih prirodnih pojava determinističke (obične) diferencijalne jednačine predstavljaju veoma dobar alat. Razlog upotrebe diferencijalnih jednačina leži u činjenici da promena posmatrane modelirane pojave, u oznaci x(t), najčešće zavisi od promene neke druge prirodne veličine, a sam izvod ẋ(t) = dx

dt , u suštini, predstavlja veličinu promene funkcije x(t)

u zavisnosti od t.

Kod ovakvog modeliranja problem koji može nastati je taj da rešenje determinističke diferencijalne jednačine (tj. trajektorija) počne da poprima neke slučajne osobine, odnosno, vrednost funkcije x(t) u tački t ∈ [t0, T ] nije deterministički odred̄ena, već može uzimati slučajne vrednosti, a to u stvari znači da je x(t) jedna slučajna promenljiva. Dakle, vidimo da u postojeći početni deterministički problem moramo ubaciti nekakvu slučajnu veličinu i tako dobijena jednačina će u stvari biti jedna stohastička diferencijalna jednačina, a njeno rešenje je stohastički proces. Naravno, ovo je samo osnovna ideja, a u radu je cela ta priča tehnički detaljno odrad̄ena.

U uvodnom delu podsetićemo se osnovnih pojmova iz teorije običnih diferencijal- nih jednačina i verovatnoće. Zatim ćemo definisati stohastički proces, Brownovo kretanje i beli šum i uvesti pojmove stohastičkog integrala i stohastičkog diferenci- jala. Potom sledi Itôva formula u opštem slučaju, njeni specijalni slučajevi i primeri.

U trećem poglavlju formalno definǐsemo stohastičku diferencijalnu jednačinu i njeno rešenje. Zatim dajemo teoremu o postojanju jedinstvenog rešenja SDJ i diskutujemo njena moguća uopštenja.

U četvrtom poglavlju analiziramo osobine stohastičkog procesa koji predstavlja rešenje SDJ. Dajemo ocenu za momente rešenja SDJ i posmatramo analitičke os- obine rešenja i na kraju poglavlja diskutujemo kako promena nekih parametara ili početnih vrednosti utiče na promenu rešenja stohastičke diferencijalne jednačine.

3

U petoj glavi detaljnije analiziramo linearne stohastičke diferencijalne jednačine. Krenućemo od najjednostavnijeg slučaja (linearna SDJ u užem smislu) i ići do na- jopštijeg (opšta vektorska linearna SDJ) i za svaki oblik daćemo formulu u zatvorenom obliku za rešenje posmatrane linearne stohastičke diferencijalne jednačine. Na kraju ovog poglavlja, kroz nekoliko primera, videćemo primenu linearnih SDJ i metod za njihovo rešavanje.

4

Glava 1

Oznake

Ako je a ∈ R (R predstavlja skup realnih brojeva), onda |a| predstavlja apsolutnu vrednost broja a. Dalje, ako je b ∈ Rn, tj. ako je b vektor kolona

b =

 

b1 b2 ... bn

 

= [

b1 b2 . . . bn ]T

,

onda |b| predstavlja normu vektora b, tj.

|b| = √

b21 + b 2 2 + . . . + b

2 n =

( n

i=1

b2i

) 1 2

.

Ako je C ∈ Rm×n, tj. ako je C matrica dimenzija m× n

C =

 

c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n ...

... . . .

... cm1 cm2 . . . cmn

 

= [cij]m×n

onda je

|C| = √

c211 + c 2 12 + . . . + c

2 1n + . . . + c

2 m1 + c

2 m2 + . . . + c

2 mn =

 

m

i=1

n

j=1

c2ij

 

1 2

.

Ako je A ∈ Rn×n, tj. A = [aij]n×n onda trA predstavlja trag matrice A, tj.

trA = a11 + a22 + . . . + ann = n

i=1

aii.

Dakle, sada možemo da zaključimo sledeće:

za a ∈ Rn, |a|2 = tr(a aT ),

5

za A ∈ Rn×n, |A|2 = tr(AAT ). Ako je g vektorska funkcija jedne realne promenljive, tj.

g : R → Rn, g(t) = (g1(t), g2(t), . . . , gn(t)),

onda se izvod takve vektorske funkcije (tj. g′(t) ili ġ(t)) definǐse na sledeći način:

g′(t) = (g′1(t), g ′ 2(t), . . . , g

′ n(t)).

Analogno se definǐse i integral

b a

g(t) dt =

(∫ b a

g1(t) dt, b

a g2(t) dt, . . . ,

b a

gn(t) dt

) .

Izvod i integral matrične funkcije jedne realne promenljive, tj.

A : R → Rm×n, A(t) = [aij(t)]m×n definǐse se na isti način kao kod vektorske funkcije:

A′(t) = [a′ij(t)]m×n ili Ȧ(t) = [ȧij(t)]m×n,

b a

A(t) dt =

[∫ b a

aij(t) dt

]

m×n .

Za funkciju g : A → B koristićemo termin ”g je B − vrednosna funkcija na skupu A”.

6

Glava 2

Uvod

Prvo ćemo se podsetiti osnovnih pojmova iz ODJ. Kako je za rad sa stohastičkim diferencijalnim jednačinama potrebno poznavanje osnovnih pojmova iz stohastičke analize u drugom delu uvoda biće date potrebne definicije iz te oblasti.

2.1 Obične diferencijalne jednačine (ODJ)

2.1.1 Egzistencija i jedinstvenost rešenja

Posmatrajmo početni problem

y′(x) = f(x, y(x))

y(x0) = y0. (2.1)

Napomenimo da se dati početni problem (2.1) može zapisati i na drugačiji način pomoću integralnog zapisa.

Lema 2.1.1 Ako je funkcija f(x, y) neprekidna u zatvorenoj oblasti

G : |x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b,

tada je svako rešenje y(x), definisano u intervalu I ⊂ [x0 − δ, x0 + δ], 0 < δ ≤ a, početnog problema (2.1), istovremeno neprekidno rešenje integralne jednačine

y(x) = y0 + ∫ x

x0 f(t, y(t)) dt, (2.2)

i obratno.

Dokaz. Ako je y = y(x) rešenje problema (2.1) onda se integracijom prve jednačine tog početnog problema u intervalu (x0, x) i korǐsćenjem drugog uslova iz (2.1) dolazi do (2.2). Ako je y = y(x) rešenje problema (2.2) onda se diferenciranjem obe strane jednakosti (2.2) i stavljajući x = x0 dobija (2.1).

2

7

Zanima nas pod kojim uslovima za funkciju f(x, y) postoji rešenje datog početnog problema (2.1) i ako postoji da li je jedinstveno. Odgovor na ovo pitanje nam daje poznata teorema Picarda i Lindelöfa:

Teorema 2.1.1 (Teorema Picarda i Lindelöfa) Neka je f(x, y) neprekidna funkcija u oblasti

G : a ≤ x ≤ b, α ≤ y ≤ β i neka zadovoljava Lipschitzov uslov po y, tj. postoji K > 0 takvo da je za svake dve tačke (x, y1), (x, y2) iz G

|f(x, y2)− f(x, y1)| ≤ K|y2 − y1|.

Tada postoji jedinstveno rešenje y(x) početnog problema (2.1) koje je definisano u razmaku [a′, b′] gde je

a′ = max{a, x0 (β − y0)/M, x0 (y0 − α)/M},

b′ = min{b, x0 + (β − y0)/M, x0 + (y0 − α)/M}, M = max

G |f(x, y)|.

Kompletan dokaz ove teoreme će biti izostavljen, jedino ćemo dati ideju za dokazi- vanje egzistencije rešenja. Definǐsemo niz {yn(x)}n∈N na sledeći način

y0(x) = y0,

yn(x) = y0 + ∫ x

x0 f(t, yn−1(t))dt, n = 1, 2, . . .

Egzistenciju rešenja dokazujemo tako što pokažemo da dati niz {yn(x)}n∈N uni- formno konvergira ka nekoj funkciji y(x) i ta funkcija predstavlja rešenje početnog problema (2.1). Članovi niza {yn(x)}n∈N nazivaju se uzastopne aproksimacije rešenja y(x) i svaka sledeća aproksimacija je bolja od prethodne. Ovaj metod konstrukcije rešenja naziva se metod uzastopnih (sukcesivnih) aproksimacija i može se iskoristiti za numeričko rešavanje početnog problema (2.1).

Za dalji rad neophodna je sledeća Bellman-Gronwallova lema.

Lema 2.1.2 (Bellman-Gronwallova lema) Neka su funkcije y(x), k(x), c(x) neprekidne na intervalu [x0, b] i neka je k(x) 0. Ako je

y(x) ≤ c(x) + ∫ x

x0 k(t)y(t)dt, x ∈ [x0, b]

tada je

y(x) ≤ c(x) + ∫ x

x0 c(t)k(t)e

x t

k(s)dsdt, x ∈ [x0, b].

Specijalno ako je c(x) = c0 = const., tada je

y(x) ≤ c0 e x

x0 k(t)dt

. (2.3)

8

2.1.2 Sistemi diferencijalnih jednačina

Posmatrajmo sada početni problem u ”n dimenzija”:

x′1(t) = f1(t, x1, x2, . . . , xn),

x′2(t) = f2(t, x1, x2, . . . , xn),

...

x′n(t) = fn(t, x1, x2, . . . , xn), (2.4)

uz uslove x1(u0) = x

0 1,

x2(u0) = x 0 2,

...

xn(u0) = x 0 n,

pri čemu su funkcije fi(t, x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , n, neprekidne skalarne funkcije u oblasti [t0, T ]×Rn i važi (u0, x01, x02, . . . , x0n) [t0, T ]×Rn.

Rešenje početnog problema (2.4) na intervalu [t0, T ] je svaka n-torka diferenci- jabilnih funkcija y1(t), y2(t), . . . , yn(t) za koje važi, za svako t ∈ [t0, T ],

y′i(t) = fi(t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t)),

yi(u0) = x 0 i , i = 1, 2, . . . , n,

(u0, x 0 1, x

0 2, . . . , x

0 n) [t0, T ]×Rn.

Ako bi uveli oznake x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)),

f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), . . . , fn(t, x)),

i x0 = (x01, x

0 2, . . . , x

0 n),

onda bi početni problem (2.4) mogli da zapǐsemo na jednostavniji način

x′(t) = f(t, x)

x(u0) = x 0.

9

Linearni sistemi

To su sistemi oblika (2.4) pri čemu su funkcije fi linearne po svim funkcijama xi(t), i = 1, 2, . . . , n, tj.

x′1(t) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + . . . + a1n(t)xn(t) + b1(t),

x′2(t) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + . . . + a2n(t)xn(t) + b2(t),

... (2.5)

x′n(t) = an1(t)x1(t) + an2(t)x2(t) + . . . + ann(t)xn(t) + bn(t).

Ako je bi(t) = 0, za svako i = 1, 2, . . . , n, onda se sistem (2.5) naziva homogen, a ako je, za bar jedno i ∈ {1, 2, . . . , n}, bi(t) 6= 0, onda je sistem nehomogen. Ako opet uvedemo sledeće oznake

x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), b(t) = (b1(t), b2(t), . . . , bn(t)),

A(t) =

 

a11(t) a12(t) . . . a1n(t) a21(t) a22(t) . . . a2n(t)

... ...

. . . ...

an1(t) an2(t) . . . ann(t)

 

= [aij(t)]n×n

i dodamo početni uslov, dobijamo sledeći zapis za sistem (2.5)

x′(t) = A(t)x(t) + b(t)

x(u0) = x 0.

Homogeni linearni sistemi

To su sistemi oblika x′(t) = A(t)x(t), (2.6)

pri čemu se za matričnu funkciju A(t) formata n×n pretpostavlja da je neprekidna na intervalu [t0, T ].

Teorema 2.1.2 Skup rešenja sistema (2.6) na intervalu [t0, T ], u oznaci V , čini n-dimenzionalni vektorski prostor nad R.

Definicija 2.1.1 Svaka baza vektorskog prostora V naziva se fundamentalni skup rešenja sistema (2.6).

Definicija 2.1.2 Ako je ui(t), i = 1, 2, . . . , n jedan fundamentalni skup rešenja sistema (2.6), a ci, i = 1, 2, . . . , n proizvoljne konstante, tada se rešenje

u(t) = c1u1(t) + c2u2(t) + . . . + cnun(t) = n

i=1

ciui(t) (2.7)

naziva opšte rešenje sistema (2.6).

10

Napomenimo još jednom da, za fiksirano i ∈ {1, 2, . . . , n}, ui(t) predstavlja ured̄enu n-torku diferencijabilnih funkcija koje rešavaju homogeni sistem (2.6), tj. ui(t) je n-dimenzionalni vektor za svako t ∈ [t0, T ], ui(t) = (u1i (t), u2i (t), . . . , uni (t)), pri čemu uji : R → R, j = 1, 2, . . . , n.

Smisao prethodne definicije vidi se iz teoreme 2.1.2 zato što se pogodnim izborom konstanti ci iz opšteg rešenja (2.7) može dobiti bilo koje rešenje homogenog sistema (2.6).

Posle definicije opšteg rešenja homogenog sistema (2.7) prirodno slede sledeće definicije:

Definicija 2.1.3 Matrica sa n vrsta čije su kolone rešenja homogenog sistema (2.6) na intervalu [t0, T ] naziva se matrica rešenja tog sistema.

Definicija 2.1.4 Matrica formata n× n čije su kolone linearno nezavisna rešenja homogenog sistema (2.6) na intervalu [t0, T ] naziva se fundamentalna matrica tog sistema.

Ako je, na primer, Φ(t) jedna fundamentalna matrica homogenog sistema (2.6), a c vektor iz Rn, tj. c = (c1, c2, . . . , cn), tada opšte rešenje (2.7) sistema (2.6) možemo zapisati na sledeći način:

u(t) = Φ(t)c. (2.8)

Iz definicije opšteg rešenja sistema (2.7) jasno je da nam je za rešavanje ho- mogenog sistema (2.6) dovoljno da odredimo n nezavisnih rešenja tog sistema, a na osnovu (2.8) to znači da nam je dovoljno da odredimo fundamentalnu matricu sistema (2.6). Dalje se postavlja pitanje kako za proizvoljnu matricu rešenja sis- tema (2.6) možemo zaključiti da li je ona istovremeno i fundamentalna matrica tog sistema. Odgovor na ovo pitanje daje sledeći kriterijum.

Teorema 2.1.3 Da bi matrica rešenja Φ(t) sistema (2.6) bila fundamentalna ma- trica tog sistema na intervalu [t0, T ] potrebno je i dovoljno da za svako t ∈ [t0, T ] važi

det(Φ(t)) = |Φ(t)| 6= 0.

Napomenimo još da fundamentalna matrica sistema (2.6) nije jedinstvena, a kako iz jedne fundamentalne matrice možemo dobiti neku drugu opisuje sledeća teorema:

Teorema 2.1.4 Ako je Φ(t) fundamentalna matrica homogenog sistema (2.6), tada je i Φ(t)C fundamentalna matrica istog sistema za proizvoljnu konstantnu nesingu- larnu matricu C. Takod̄e, svaka fundamentalna matrica Ψ(t) sitema (2.6) je oblika Ψ(t) = Φ(t)Cψ, gde indeks ψ označava zavisnost C od izbora matrice Ψ(t).

11

Nehomogeni linearni sistemi

To su sistemi oblika

x′(t) = A(t)x(t) + b(t), t ∈ [t0, T ], (2.9)

pri čemu je b(t) 6= 0 ∈ Rn. Sledeća teorema nam opisuje kako pomoću fundamentalne matrice homogenog

dela nehomogenog sistema (2.9) (tj. sistema (2.6)) možemo dobiti jedno rešenje sistema (2.9).

Teorema 2.1.5 Ako je Φ(t) fundamentalna matrica homogenog dela sistema (2.9), tada je vektorska funkcija

up(t) = Φ(t) ∫ t

u0 Φ1(s)b(s)ds, u0, t ∈ [t0, T ]

rešenje sistema (2.9), koje zadovoljava početni uslov up(u0) = 0.

Sada ćemo konstruisati opšte rešenje sistema (2.9).

Teorema 2.1.6 Neka je na intervalu [t0, T ] up(t) neko rešenje nehomogenog sistema (2.9), a uh(t) opšte rešenje njegovog homogenog dela. Tada je

u(t) = uh(t) + up(t)

opšte rešenje nehomogenog sistema (2.9).

Linearni sistemi sa konstantnim koeficijentima

Na osnovu prethodno navedenih teorema možemo zaključiti da nam nehomogeni linearni sistemi ”nisu zanimljivi” zato što se do njihovih rešenja dolazi rešavanjem homogenih sistema pa ćemo zato obraditi još jednu specijalnu klasu homogenih sistema, a to su homogeni linearni sistemi sa konstantnim koeficijentima. Kod ovih sistema matrica A je konstantna, tj.

x′(t) = Ax(t). (2.10)

Za sistem (2.10) možemo eksplicitno odrediti fundamentalnu matricu, a samim tim i opšte rešenje tog sistema.

Definicija 2.1.5 Neka su jedinična matrica I i matrica A istog formata n × n. Tada je

eA = I + A + A2

2! +

A3

3! + . . .

Teorema 2.1.7 Matrica Φ(t) = eAt

je fundamentalna matrica sistema (2.10) na intervalu (−∞,∞) i Φ(0) = I.

12

Iz prethodne teoreme slede dve posledice:

Teorema 2.1.8 Rešenje sistema (2.10) koje zadovoljava početni uslov u(t0) = x 0,

t0 (−∞,∞), |x0| < ∞ dato je sa u(t) = e(t−t0)Ax0.

Teorema 2.1.9 Opšte rešenje nehomogenog sistema sa konstantnim koeficijentima

x′(t) = Ax(t) + b(t), t ∈ [t0, T ], dato je sa

u(t) = eAt + ∫ t

u0 eA(t−s)b(s)ds, u0, t ∈ [t0, T ],

a rešenje koje zadovoljava početni uslov u(u0) = x 0 sa

u(t) = eA(t−u0)x0 + ∫ t

u0 eA(t−s)b(s)ds, u0, t ∈ [t0, T ].

2.2 Osnovni pojmovi i definicije iz verovatnoće

Podsetimo se prvo nekih osnovnih pojmova iz teorije verovatnoće.

Definicija 2.2.1 Neka je U ⊆ P(Ω), pri čemu je skup svih elementarnih do- gad̄aja, a P(Ω) predstavlja partititvni skup od . Ako važi:

1. ∈ U ; 2. A ∈ U ⇒ Ā ∈ U ; 3. An ∈ U , n ∈ N ⇒

n∈N An ∈ U ,

onda se U zove σ-algebra nad . Iz definicije σ-algebre vidimo da prebrojiva unija elemenata takod̄e pripada σ-

algebri. Takod̄e se može dokazati (iz same definicije 2.2.1) da i konačne unije el- emenata pripadaju σ-algebri, kao i prebrojivi i konačni preseci. Dajemo sledeće tvrd̄enje.

Teorema 2.2.1 Osobine σ-algebre: 1. ∅ ∈ U ; 2. A1, A2, . . . , An ∈ U ⇒

ni=1

Ai ∈ U ; 3. A1, A2, . . . , An ∈ U ⇒

ni=1

Ai ∈ U ; 4. An ∈ U , n ∈ N ⇒

n∈N An ∈ U .

Napomena. Najmanja σ-algebra koja sadrži sve otvorene podskupove od Rn zove se Borelova σ-algebra nad Rn i označava se sa B(Rn) = Bn.

Napomena. Koristićemo oznaku i=1

Ai = i=1

Ai samo u slučaju kada su elementi

unije med̄usobno disjunktni skupovi.

13

Definicija 2.2.2 Neka je U σ-algebra nad . Preslikavanje P : U → [0, 1] za koje važi:

1. P (Ω) = 1 - osobina normiranosti;

2. P ( i=1

Ai) = i=1

P (Ai) - σ-aditivnost;

pri čemu je Ai ∈ U , i ∈ N familija disjunktnih skupova iz (Ω,U) (tj. za svako i, j ∈ N , i 6= j važi Ai Aj = ∅) zove se verovatnoća na U .

Definicija 2.2.3 Trojku (Ω,U , P ) nazvaćemo prostor verovatnoća ili verovat- nosni prostor.

Definicija 2.2.4 Neka je (Ω,U , P ) verovatnosni prostor. Preslikavanje

X : Ω → Rn

za koje važi X−1(B) ∈ U , za svako B ∈ B(Rn),

naziva se n-dimenzionalna slučajna promenljiva. Ekvivalentno, X je U-merljivo.

Napomena. Umesto P{X−1(B)} pǐsemo P{X ∈ B}. Teorema 2.2.2 Neka je (Ω,U , P ) verovatnosni prostor, a X : Ω → Rn jedna n- dimenzionalna slučajna promenljiva definisana na tom prostoru. Tada je

U(X) := {X−1(B); B ∈ B(Rn)}

jedna σ-algebra koja se naziva σ-algebra generisana sa X. To je najmanja σ- algebra (U(X) ⊆ U), takva da je u odnosu na nju slučajna promenljiva X merljiva. Napomenimo da intuitivno σ-algebru U(X) treba shvatiti kao objekat koji sadrži sve potrebne informacije o slučajnoj promenljivoj X. Takod̄e, ako je Y = Φ(X) tada je i Y U(X)-merljivo. Definicija 2.2.5 Neka je (Ω,U , P ) verovatnosni prostor. Očekivanje slučajne promenljive X definǐsemo na sledeći način

E[X] := ∫

X dP.

Definicija 2.2.6 Neka je (Ω,U , P ) verovatnosni prostor, a Y proizvoljna slučajna promenljiva. Uslovno očekivanje E[X|Y ] je bilo koja U(Y )-merljiva slučajna promenljiva koja zadovoljava uslov

A X dP =

A E[X|Y ] dP, za svako A ∈ U(Y ).

14

2.2.1 Vrste konvergencija u teoriji verovatnoće

Neka su X i X1, X2, . . . , Xn, . . . R d-vrednosne slučajne promenljive definisane na

istom verovatnosnom prostoru (Ω,U , P ). Razmatramo 4 koncepta konvergencije u teoriji verovatnoće i sada slede njihove definicije.

Definicija 2.2.7 Neka je M ∈ U skup mere nula. Ako za svako ω 6∈ M niz Xn(ω) ∈ Rd konvergira u uobičajenom smislu (tj. kao običan brojni niz) ka X(ω) ∈ Rd, kažemo da niz {Xn}n∈N konvergira skoro sigurno ili sa verovatnoćom 1 ka X. To zapisujemo na sledeći način

ss− lim n→∞Xn = X.

Definicija 2.2.8 Niz slučajnih promenljivih X1, X2, . . . , Xn, . . . konvergira sred- nje kvadratno ili u kvadratnoj sredini ka X ako važi:

1. E(X2n) < ∞, za svako n ∈ N, 2. E (|Xn −X|2) 0, kad n →∞,

i takvu konvergenciju označavamo sa

sk − lim n→∞Xn = X.

Ako uslove 1. i 2. generalizujemo na sledeći način 1.′ E(Xpn) < ∞, za svako n ∈ N, 2.′ E (|Xn −X|p) 0, kad n →∞,

kažemo da niz {Xn}n∈N konvergira u p-toj sredini ka X, p ∈ N . Definicija 2.2.9 Ako za svako ε > 0 važi

pn(ε) = P{ω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε} → 0, kad n →∞, onda kažemo da {Xn}n∈N konvergira stohastički ili u verovatnoći ka X i to za- pisujemo

st− lim n→∞Xn = X.

Definicija 2.2.10 Neka je FXn funkcija raspodele za slučajnu promenljivu Xn, n ∈ N , FX funkcija raspodele za slučajnu promenljivu X. Za niz {Xn}n∈N kažemo da konvergira u raspodeli ka X ako je

lim n→∞FXn(x) = FX(x)

u svakoj tački x u kojoj je FX(x) neprekidna.

Navedene 4 vrste konvergencije stoje u sledećem odnosu:

konvergencija u q-toj sredini

(p ≤ q) konvergencija u p-toj sredini

skoro sigurna konvergencija stohastička konvergencija konvergencija u raspodeli

15

2.2.2 Nezavisnost

Neka je (Ω,U , P ) posmatrani verovatnosni prostor. Definicija 2.2.11 (Nezavisnost dva dogad̄aja) Za dogad̄aje A i B kažemo da su nezavisni ako važi

P (A

B) = P (A)P (B).

Definicija 2.2.12 (Nezavisnost familije dogad̄aja) Za familiju dogad̄aja {Ai}i∈I , I ⊆ N , kažemo da je nezavisna ako za svaki konačan niz indeksa k1, k2, . . . , kn ∈ I, gde je k1 < k2 < . . . < kn, važi

P (Ak1 ⋂

Ak2 ⋂

. . .

Akn) = P (Ak1)P (Ak2) . . . P (Akn). (2.11)

Definicija 2.2.13 (Nezavisnost σ-algebri) Za σ-algebre U1, . . . ,Un ⊆ U kažemo da su nezavisne ako formula (2.11) važi za bilo koji izbor dogad̄aja Aki ∈ Ui, i = 1, . . . , n, ki ∈ Ii.

Definicija 2.2.14 (Nezavisnost slučajnih promenljivih) Za slučajne promenljive X1, . . . , Xn kažemo da su nezavisne ako su nezavisne σ- algebre koje generǐsu te slučajne promenljive, tj. ako su nezavisne U(X1), . . . ,U(Xn).

2.2.3 Borel-Cantellijeva lema

Za proizvoljan niz dogad̄aja {An}n∈N (tj. podskupova skupa Ω) iz verovatnosnog prostora (Ω,U , P ) važi da je skup

A = : ω ∈ An za beskonačno mnogo n-ova} (2.12)

takod̄e dogad̄aj, odnosno podskup skupa Ω.

Lema 2.2.1 (Borel-Cantellijeva lema) Neka je A definisano sa (2.12). Posma- traćemo dva slučaja:

Ako je ∞

n=1 P (An) < ∞ sledi P (A) = 0.

Ako je {An}n∈N niz nezavisnih dogad̄aja i ∞

n=1 P (An) = ∞ sledi P (A) = 1.

2.3 Stohastički procesi

Zamislimo da se u svakom vremenskom trenutku t ∈ I posmatra neka karakteristika X koja je slučajna. Dakle, X(t) je neka slučajna promenljiva, za svako t ∈ I. Tada na skup svih slučajnih promenljivih {X(t)}t∈I možemo gledati kao na slučajnu veličinu koja se menja u vremenu, tj. dobijamo jednu funkciju vremena. Sada ćemo dati formalnu definiciju stohastičkog procesa.

16

Definicija 2.3.1 Stohastički (slučajni) proces {X(t)}t∈I je familija slučajnih promenljivih definisanih na istom verovatnosnom prostoru (Ω,U , P ). Skup I se naziva parametarski skup, a realni prostor Rd (X : Ω → Rd) je skup stanja procesa. Ovakav proces još zovemo i Rd-vrednosni stohastički proces.

Za stohastički proces pored oznake {X(t)}t∈I koristimo još i {Xt}t∈I ili samo Xt ako znamo šta je pametarski skup I. Kako je slučajni proces za fiksirano t ∈ I = [t0, T ] jedna slučajna promenljiva, a znamo da je svaka slučajna promenljiva funkcija po ω (ω ∈ Ω), sledi da je stohastički proces, u suštini, funkcija dva parametara, tj. Xt = {X(t, ω)}t∈I . Sada ćemo posmatrati dva slučaja vezana za parametre stohastičkog procesa: 1. Ako fiksiramo t ∈ [t0, T ], kao što smo već rekli, dobijamo jednu slučajnu promenljivu. 2. Ako fiksiramo ω ∈ Ω dobijamo realnu funkciju vremena na intervalu [t0, T ] i tu funkciju nazivamo trajektorija ili realizacija stohastičkog procesa Xt.

Definicija 2.3.2 Za dva procesa Xt i X̄t definisana na istom verovatnosnom pros- toru (Ω,U , P ) kažemo da su (stohastički) ekvivalentni ako se Xt poklapa sa X̄t (tj. Xt ≡ X̄t) skoro sigurno (tj. sa verovatnoćom 1). U tom slučaju kažemo da je X̄t verzija (modifikacija) procesa Xt, i obrnuto.

Definicija 2.3.3 Stohastički proces Xt definisan na intervalu [t0, T ] se naziva Gaussovski proces ako je svako njegovo n-dimenzionalno sečenje jedna Gaussovska (normalna) slučajna promenljiva. Pod n-dimenzionalnim sečenjem podrazumevamo slučajnu promenljivu oblika

Y = a1Xt1 + a2Xt2 + . . . + anXtn ,

gde je a1, a2, . . . , an ∈ R, n ∈ N i t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn ≤ T .

2.3.1 Neka svojstva stohastičkih procesa

Definicija 2.3.4 Srednja vrednost procesa Xt ili očekivanje procesa Xt, u oz- naci mX(t) ili samo m(t) je jedna realna funkcija po t, tj.

mX : [t0, T ] → R

i izračunava se mX(t) = E[Xt].

Definicija 2.3.5 Autokovarijansna funkcija ili korelaciona funkcija procesa Xt je

KX(t, s) = K(t, s) = E [(Xt −mX(t))(Xs −mX(s))] = E[XtXs]−mX(t)mX(s).

Definicija 2.3.6 Uzajamna korelaciona funkcija dva stohastička procesa Xt i Yt je

KX,Y (t, s) = E[(Xt −mX(t))(Ys −mY (s))].

17

Definicija 2.3.7 Disperzija stohastičkog procesa Xt je

DX(t) = D(t) = KX(t, t) = K(t, t) = E[X 2 t ]−m2X(t) = E[X2t ](E[Xt])2.

Definicija 2.3.8 Koeficijent korelacije procesa Xt je

ρX(t, s) = ρ(t, s) = KX(t, s)√

DX(t)DX(s) =

K(t, s)√ D(t)D(s)

.

2.4 Brownovo kretanje i beli šum

Definicija 2.4.1 Proces Xt se naziva proces sa nezavisnim priraštajima ako su slučajne promenljive (tzv. priraštaji)

Xu0 , Xt1 −Xu0 , Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1 , . . .

nezavisne za bilo koji izbor tačaka u0, t1, t2, . . . , tn, . . . ∈ [t0, T ] za koje važi

u0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn ≤ . . . .

Definicija 2.4.2 Realni stohastički proces Wt se naziva Brownovo kretanje ili Wienerov proces ako su ispunjeni sledeći uslovi: 1. W0 = 0; 2. Wt −Ws : N (0, t− s), za sve t > s ≥ 0; 3. proces Wt ima nezavisne priraštaje.

Primetimo da u specijalnom slučaju prethodne definicije 2.4.2 za s = 0 iz uslova 1. i 2. dobijamo

Wt : N (0, t), za sve t > 0, a odavde sledi

P{a ≤ Wt ≤ b} = 12πt

b a

e− x2

2t dx.

Napomena. Može se pokazati da svako Brownovo kretanje Wt ima verziju W̄t (definicija 2.3.2) sa skoro sigurno neprekidnim trajektorijama. Med̄utim, iako su tra- jektorije Brownovog kretanja skoro sigurno neprekidne, one su nigde-diferencijabilne. To znači da je u svakoj tački intervala [t0, T ] u kojoj je trajektorija neprekidna ona istovremeno i nediferencijabilna, tj. ne postoji prvi izvod.

Sada ćemo uvesti neke specijalne σ-algebre vezane za Brownovo kretanje i defin- isaćemo neanticipirajući stohastički proces.

Definicija 2.4.3 Neka je t0 fiksiran nenegativan broj. σ-algebra

W [t0, t] := U(Ws, t0 ≤ s ≤ t),

naziva se istorija Brownovog kretanja do trenutka t (uključujući i trenutak t).

18

Definicija 2.4.4 Neka je t0 fiksiran nenegativan broj. σ-algebra

W+(t) = W+t := U(Ws −Wt, s > t ≥ t0),

naziva se budućnost Brownovog kretanja nakon trenutka t.

Definicija 2.4.5 Neka je t0 fiksiran nenegativan broj. Familiju {Ft}t≥t0, σ-algebri koje su podskupovi od U nazivamo neanticipirajuća u odnosu na Brownovo kretanje Wt ako važi:

(a) Ft ⊇ Fs, za t ≥ s ≥ t0, (b) Ft ⊇ W [t0, t], za t ≥ t0, (c) Ft je nezavisna od W+(t), za t ≥ t0, tj. Ft je nezavisna od budućnosti Brownovog kretanja Wt.

Najjednostavniji primer za neanticipirajuću familiju Ft je

Ft = W [t0, t],

jer je to najmanja moguća neanticipirajuća familija σ-algebri i ona zadovoljava sva tri uslova iz definicije 2.4.5. Med̄utim, često je potrebno ili poželjno da povećamo Ft = W [t0, t] sa drugim objektima koji su takod̄e nezavisni od W+(t). Na primer, kada kod stohastičkih diferencijalnih jednačina želimo da ubacimo i početni uslov, familiju Ft pravimo na sledeći način

Ft = U(W [t0, t], c),

pri čemu je c slučajna promenljiva nezavisna od W+(t0).

U suštini, neanticipirajuću familiju Ft treba intuitivno shvatiti kao σ-algebru koja sadrži sve nama bitne informacije do trenutka t, uključujući i informacije vezane za Brownovo kretanje do t.

Definicija 2.4.6 Za stohastički proces G = G(t, ω) koji je definisan na [t0, T ]×i merljiv po (t, ω), tj. merljiv po oba parametra, kažemo da je neanticipirajući stohastički proces u odnosu na neanticipirajuću familiju Ft, ako je G(t, ·) Ft- merljivo za svako t ∈ [t0, T ].

Kako je stohastički proces jedna funkcija dve promenljive prethodnu definiciju možemo uopštiti na sledeći način.

Definicija 2.4.7 Za Rd×m-vrednosnu funkciju G = G(s, ω) koja je definisana na [t0, t] × i merljiva po (s, ω), tj. merljiva po oba parametra, kažemo da je nean- ticipirajuća funkcija u odnosu na neanticipirajuću familiju Fs, ako je G(s, ·) Fs- merljivo za svako s ∈ [t0, t]. Dalje, uvodimo sledeću oznaku

Md,m2 [t0, t] = M2[t0, t]

19

koja će predstavljati skup svih neanticipirajućih Rd×m-vrednosnih funkcija defin- isanih na [t0, t]×za koje se trajektorije G(·, ω) sa verovatnoćom 1 nalaze u skupu L2[t0, t], tj. skoro sigurno zadovoljavaju uslov

t t0 |G(s, ω)|2ds < ∞.

Podsetimo se da ako je G ∈ Rd×m, tj. G je matrica dimenzija d ×m, onda se |G| izračunava na sledeći način

|G| =  

d

i=1

m

j=1

g2ij

 

1 2

= (tr(GGT )) 1 2 .

2.4.1 Brownovo kretanje u Rm

Definicija 2.4.8 Rm-vrednosni stohastički proces

Wt = (W 1 t ,W

2 t , . . . , W

m t )

je m-dimenzionalno Brownovo kretanje: 1. ako je za svako k = 1, 2, . . . , m, W kt jednodimenzionalno Brownovo kretanje i 2. ako su σ-algebre Wk := U(W kt ; t ≥ t0) med̄usobno nezavisne za k = 1, 2, . . . , m.

2.4.2 Beli šum

Ako bismo hteli da izračunamo prvi izvod Brownovog kretanja vidimo da to neće biti jednostavno zato što su, kao što smo već rekli, trajektorije Brownovog kretanja nigde-diferencijabilne, ali ako pred̄emo u oblast uopštenih funkcija (ili distribucija), a zatim uvedemo i pojam uopštenih stohastičkih procesa dolazimo do pojma koji nazivamo beli šum. Pošto se u ovom radu izostavlja teorija uopštenih funkcija, za beli šum, u oznaci ξt, ćemo reći da je to uopšteni stohastički proces koji predstavlja izvod Brownovog kretanja (u ovom slučaju i Brownovo kretanje posmatramo kao uopšten stohastički proces), što zapisujemo na sledeći način

ξt = dWt dt

= Ẇt,

ili u integralnom obliku

Wt = ∫ t 0

ξs ds.

2.5 Stohastički integrali

Neka je Xt proizvoljan stohastički proces. Integrale oblika ∫ b a f(Xt, t) dt, gde a, b ∈

R, a f je skalarna funkcija, nećemo svrstavati u klasu stohastičkih integrala zato

20

što kod njih integralimo po promenljivoj t. (Pravi) stohastički integrali su integrali oblika ∫ b

a f(Xt, t) dWt,

gde Wt predstavlja Brownovo kretanje. Sada želimo da damo odgovor na pitanje šta je ∫ T

0 Gt dWt,

za što širu klasu stohastičkih procesa Gt, pri čemu je T realan broj veći od nule. Za početak posmatramo jedan jednostavan slučaj.

Definicija 2.5.1 (Definicija Paley-Wiener-Zygmunda) Neka je g : [0, 1] → R neprekidno diferencijabilna (deterministička) funkcija za koju važi g(0) = g(1) = 0. Definǐsemo

∫ 1 0

g(t) dWt := ∫ 1 0

g′(t)Wt dt.

Primetimo da prethodna definicija može da nas asocira na primenu parcijalne inte- gracije na integral

∫ 1 0 g(t) dWt.

Lema 2.5.1 Ako je Wt, t ≥ 0, Brownovo kretanje, onda važi E[WtWs] = min{t, s}.

Dokaz. Podsetimo se da ako Wt, t ≥ 0, predstavlja Brownovo kretanje onda je, za svako fiksirano t ≥ 0, Wt jedna normalna slučajna promenljiva, tj. Wt : N (0, t), pa važi E[Wt] = 0 i D[Wt] = E[W

2 t ](E[Wt])2 = E[W 2t ] = t.

1. slučaj. Neka je t > s ≥ 0. E[WtWs] = E[((Wt −Ws) + Ws)Ws] = E[(Wt −Ws)Ws] + E[W 2s ] =

(a kako su priraštaji Brownovog kretanja med̄usobno nezavisni važi)

= E[Wt −Ws]E[Ws] + s = 0 + s = min{s, t}. 2. slučaj. Neka je s > t ≥ 0. Analogno kao 1. slučaj. 3. slučaj. Neka je t = s ≥ 0.

E[WtWs] = E[W 2 t ] = t = min{s, t}.

2

Teorema 2.5.1 Osobine Paley-Wiener-Zygmundovog integrala: 1.

E [∫ 1

0 g(t) dWt

] = 0,

2.

E

[(∫ 1 0

g(t) dWt

)2] =

∫ 1 0

g2(t) dt.

21

Dokaz. 1. Iz same definicije Paley-Wiener-Zygmundovog integrala zaključujemo

E [∫ 1

0 g(t) dWt

] = E

[

∫ 1 0

g′(t)Wt dt ]

= ∫ 1 0

g′(t)E[Wt] dt = 0.

2. Iz definicije dobijamo

E

[(∫ 1 0

g(t) dWt

)2] = E

[(∫ 1 0

g(t) dWt

) (∫ 1 0

g(s) dWs

)] =

= E [(∫ 1

0 g′(t)Wt dt

) (∫ 1 0

g(s)Ws ds )]

= E [∫ 1

0

∫ 1 0

g′(t)g′(s)WtWs dsdt ]

=

= ∫ 1 0

∫ 1 0

g′(t)g′(s)E[WtWs] dsdt =

(a to je dalje na osnovu leme 2.5.1)

= ∫ 1 0

∫ 1 0

g′(t)g′(s) min{s, t} dsdt = ∫ 1 0

g′(t) (∫ t

0 sg′(s) ds +

∫ 1 t

tg′(s) ds )

dt =

(primenom parcijalne integracije na integral ∫ t 0

sg′(s) ds dobijamo)

= ∫ 1 0

g′(t) ( tg(t)

t 0

g ds− tg(t) )

dt = ∫ 1 0

g′(t) (

t 0

g ds) )

dt =

(opet pomoću parcijalne integracije dobijamo)

= ∫ 1 0

g2(t) dt.

2

Sada želimo da damo odgovor na pitanje: Šta je ∫ T 0 Wt dWt? Odgovor dobijamo

pomoću postupka koji je sličan izračunavanju odred̄enog integrala preko Rieman- novih suma.

Definicija 2.5.2 (1.) Particija P na intervalu [0, T ] je konačan skup tačaka iz [0, T ] takav da važi

P := {0 = t0 < t1 < . . . < tm = T}. (2.) Maksimalno rastojanje za particiju P je

|P | := max 0≤k≤m−1

|tk+1 − tk|.

(3.) Za fiksirano 0 ≤ λ ≤ 1 i da datu particiju P definǐsimo tačke deobe τk intervala [tk, tk+1], k = 0, 1, . . . , m− 1, na sledeći način

τk := (1− λ)tk + λtk+1 i uvedimo oznaku

R = R(P, λ) := m−1∑

k=0

W (τk)(W (tk+1)−W (tk)).

22

Primetimo da R(P, λ) u stvari predstavlja aproksimaciju pomoću Riemannovih suma za integral

T 0 Wt dWt. Ključno pitanje je: šta se dešava kad |P | → 0, za fiksirano

λ?

Lema 2.5.2 Neka je [a, b] interval iz [0,∞) i neka su

P n := {a = tn0 < tn1 < . . . < tnmn = b}

particije intervala [a, b], pri čemu |P n| → 0, kad n →∞. Uvedimo oznaku

Qn := mn−1∑

k=0

(W (tnk+1)−W (tnk))2.

Tada važi E

[ (Qn − (b− a))2

] 0, kad n →∞,

tj. sk − lim

n→∞Qn = b− a.

Dokaz. Kako je b− a = ∑mn−1k=0 (tnk+1 − tnk) dobijamo

Qn − (b− a) = mn−1∑

k=0

((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk)).

Dakle, E

[ (Qn − (b− a))2

] =

= E

 

mn−1∑

k=0

((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk)) mn−1∑

j=0

((W (tnj+1)−W (tnj ))2 (tnj+1 − tnj ))  

= mn−1∑

k=0

mn−1∑

j=0

E [ ((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk))((W (tnj+1)−W (tnj ))2 (tnj+1 − tnj ))

] .

Kako je Brownovo kretanje Wt proces sa nezavisnim priraštajima, slučajne promenljive W (tnk+1)−W (tnk) i W (tnj+1)−W (tnj ) su nezavisne za svako k 6= j, pa važi

E [ ((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk))((W (tnj+1)−W (tnj ))2 (tnj+1 − tnj ))

] =

E [ ((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk))

] E

[ ((W (tnj+1)−W (tnj ))2 (tnj+1 − tnj ))

] = 0.

Poslednja jednakost sledi iz činjenice da slučajna promenljiva Wt −Ws, t > s ≥ 0, ima N (0, t− s) pa je D[Wt −Ws] = E[(Wt −Ws)2] = t− s.

Dakle, u dvostrukoj sumi su nam ostali samo članovi k = j pa dobijamo

E [ (Qn − (b− a))2

] =

mn−1∑

k=0

E [ ((W (tnk+1)−W (tnk))2 (tnk+1 − tnk))2

] =

23

= mn−1∑

k=0

E

 

 

 W (t

n k+1)−W (tnk)0√

tnk+1 − tnk

 

2

(tnk+1 − tnk)(tnk+1 − tnk)  

2 

i uz oznaku

Yk = Y n k :=

W (tnk+1)−W (tnk)√ tnk+1 − tnk

: N (0, 1)

dobijamo

E [ (Qn − (b− a))2

] =

mn−1∑

k=0

E [ (Y 2k − 1)2(tnk+1 − tnk)2

] .

Dakle, postoji konstanta C tako da važi

E [ (Qn − (b− a))2

] ≤ C

mn−1∑

k=0

(tnk+1 − tnk)2

≤ C|P n| mn−1∑

k=0

(tnk+1 − tnk) = C|P n|(b− a) 0, kad n →∞.

2

Teorema 2.5.2 Neka P n predstavlja particiju intervala [0, T ], n ∈ N , i neka je λ ∈ [0, 1] fiksiran broj. Uvedimo oznaku

Rn := mn−1∑

k=0

W (τnk )(W (t n k+1)−W (tnk)).

Tada je

sk − lim n→∞Rn =

W 2(T )

2 +

( λ− 1

2

) T,

tj.

E

 

( Rn − W

2(T )

2

( λ− 1

2

) T

)2  0 kad n →∞.

Dokaz. Prvo ćemo Rn zapisati na malo drugačiji način

Rn := mn−1∑

k=0

W (τnk )(W (t n k+1)−W (tnk)) =

= W 2(tnm)

2 − W

2(tn0 )

2 1

2

mn−1∑

k=0

(W (tnk+1)−W (tnk))2+

+ mn−1∑

k=0

(W (τnk )−W (tnk))2 + mn−1∑

k=0

(W (tnk+1)−W (τnk ))(W (τnk )−W (tnk)).

Uz oznake

A = mn−1∑

k=0

(W (tnk+1)−W (tnk))2,

24

komentari (0)

nema postavljenih komentara

budi prvi koji ce napisati!

ovo je samo pregled

3 prikazano na 86 str.

preuzmi dokument