Telekomunikacije 3-Skripta-Milic-Obrada signala 2 Decimacija i interpolacija-Elektrotehnicki fakultet, Skripte' predlog Telekomunikacioni inženjering. Univerzitet u Beogradu
cupavac
cupavac

Telekomunikacije 3-Skripta-Milic-Obrada signala 2 Decimacija i interpolacija-Elektrotehnicki fakultet, Skripte' predlog Telekomunikacioni inženjering. Univerzitet u Beogradu

PDF (372 KB)
18 str.
5broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
Skripta Telekomunikacije 3, Obrada signala 2, Decimacija i interpolacija, MATEMATICKA INTERPRETACIJA PROCESA DECIMACIJE I INTERPOLACIJE, PRIMER REALIZACIJE FIR FILTRA ZA DECIMACIJU, VI[ESTEPENA DECIMACIJA / INTERPOLACIJA...
20 poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 str. / 18
ovo je samo pregled
3 prikazano na 18 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 18 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 18 str.
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 prikazano na 18 str.
preuzmi dokument
8

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

5.DECIMACIJA I INTERPOLACIJA

Vrlo ~esto sistemi digitalne obrade signala koriste vi{e od jedne frekvencije odabiranja za izvo|enje tra`enih operacija. Za ovakve sisteme u stru~noj literaturu na engleskom jeziku koristi se termin multirate digital signal processing. Za promenu frekvencije odabiranja koriste se dve osnovne operacije: decimacija koja predstavlja proces sni`avanja i interpolacija koja ozna~ava proces pove}anja frekvencije odabiranja. Primena razli~itih frekvencija odabiranja tokom procesa obrade daje nekoliko prednosti: • Manje ra~unskih operacija, • Manje memorije za koeficijente i sme{tanje prethodnih stanja • Filtrima se sni`ava red, • Manji su efekti kona~ne du`ine re~i, • Manja je osetljivost na ta~nost koeficijenata filtra.

Nedostaci su slo`eniji kontrolni sistem u hardveru i softveru koji treba da upravlja promenama rekvencije odabiranja i eventualni gubitak nekih odbiraka.

Proces interpolacije/decimacije prikazan je na slici 5.1. Promena frekvencije odabiranja ozna~ena je na izlazu sistema kao odnos celih brojeva I/D, gde je I faktor interpolacije a D faktor decimacije. Na slici 5.1 je proces interpolacije ozna~en kao porast frekvencije odabiranja mno`enjem faktorom I a pra}en je procesom decimacije , tj. deljenjem faktorom D.

Decimacija je decimatora za nove sni`ene odabiranja efe se preklopio u

Spektralna int decimacije uze kojih je jedna u opsega je po odabiranja. Fi posle sni`enja filtra prikazuj signal interfer opsega koji

fs

NF filtar 2 D

a a

I

, kao {to j hteva da frekvencije kti dela spe propusni op

erpretacija p to D=4. Spe nutar `eljen

tencijalni iz ltar mora osl frekvencije o e efekte koji encije koji }e upasti u

fsI

NF filtar

Slika 5

5.1 PR

e ve} re~en se odgovar odabiranja ktra signala seg (aliasing

rocesa deci ktar signala og opsega, a vor interfe abiti sve sig dabiranja. ce postojat direktno m propusni o

1

fsI

.1 Interpolacija i dec

OCES DECIMA

o, proces sni`enja aju}im filtrom ogra . Filtar treba da o koji se nalazi izn ) budu u dozvoljenim

macije prikazana j na ulazu ima dve druga je izvan njeg rencije koja mo`e

nale interferencije k Posmatrajmo primer i u propusnom opse odifikuje signale pro pseg. Signal interf

fsI

imacija

CIJE

frekvencije o ni~i frekvencijski bezbedi da posle ad nove frekvenc

granicama.

e na slici 5.2 p diskretne frekven a. Signal koji s nastupiti posle oji se mogu prekl prikazan na slici gu. Tu razlikuje pusnog opsega i erencije moze

fsI/D

interpolacij

decimacij

1

dabiranja. Realizacija spektar na polovinu sni`enja frekvencije ije odabiranja a koji bi

ri ~emu je za faktor cijske komponente od e nalazi izvan `eljenog sni`enja frekvencije opiti u propusni opseg 5.2. Spektar na izlazu mo dva tipa greske:

sum iznad propusnog dovesti do pogresne

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

2

detekcije a {um degradira detekciju jer vi{i nivo {uma sni`ava odnos signal/{um u propusnom opsegu.

f fsfs/2fs/4

f fsfs/2fs/4

filtar H(f) 4:1

x(n) v(n) y(m)

X(f)

f fsfs/2fs/4

f fsfs/2fs/4

V(f)

Y(f)

Slika 5.2 Proces decimacije, D=4

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

Definisanje zahteva za filtar je veoma va`an deo u projektovanju sistema koji sadr`i decimaciju. Na slici 8.3 prikazan je postupak za odre|ivanje karakteristika filtra u funkciji faktora decimacije D. S obzirom da je ulazni signal prethodno odabiran frekvencijom sf , njegov spektar mora zadovoljiti relaciju:

2/sM ff < (5.1)

gde je Mf najvi{a frekvencija spektra ulaznog signala.

Sada, ako `elimo da smanjimo frekvenciju odabiranja sa faktorom D, propusni opseg filtra mora biti ogranicen frekvencijom cf koja zadovoljava slede}u nejednakost:

Dff sc 2< (5.2)

Grani~na frekvencija nepropusnog opsega koju obele`avamo sa af , mora biti odabrana tako da ograni~i preklapanje u frekvencijskom opsegu koji nas zanima. U praksi se koriste dva kriterijuma. Jedan od njih dozvoljava preklapanje u prelaznoj zoni (slika 5.3 a). Ovaj kriterijum zadovoljava samo u slu~aju kada se koriste isklju~ivo frekvencije unutar propusnog opsega. Za ovaj kriterijum, koji se naziva "dozvoljeno preklapanje", kriti~na frekvencija nepropusnog opsega defini{e se kao najni`a frekvencija koja bi mogla da upadne u propusni opseg filtra. Ova frekvencija se izra~unava na osnovu formule:

csa fDff −= / (5.3)

Drugi kriterijum, "preklapanje nije dozvoljeno", postavlja nepropusni opseg na polovinu izlazne frekvencije odabiranja ( Dfs 2/ ), slika 5.3 b. Ovaj uslov zna~i da preklapanje u prelaznoj zoni nije dozvoljeno. Na taj na~in se postavljaju stro`i uslovi za filtar (smanjuje se prelazna zona), {to ima za rezultat stro`e zahteve za broj operacija i ve}u memoriju. Ovaj se kriterijum primenjuje za slu~ajeve koji kombinuju bliske spektralne opsege, pa se mora minimizirati uticaj bliskih opsega radi ~uvanja osobenosti signala.

M(f)

1+δ

1-δc

(a)

δ

fc

f

fs /D-fc

fs/D

3

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

M(f)

1+δ

1-δc

(b)

δ

Kada se utvrdi gran nepropusnom opsegu

cδ se obi~no specifi slabljenju od neko dobro pravilo pokaz minimalni nivo detek

Interpolacija je p frekvencije odabiranj dva odbirka ulaznog cilju ograni~enja s frekvencije odabiranj filtar.

Spektralna interpretac mora biti frekvencijs

sledi posle ubacivanj zahteva poja~anje I proces interpolacije iz frekvencijom ulaznog limitirana uslovom:

a najni`a frekvencija

fc

f

fs /2D

Slika 5.3 Kakt

ica nepropusnog ops cδ i aδ . Ove veli cira u dB i to su na

liko desetina decib alo se da signal int cije u propusnom op

5.2 IN

roces pove}anja a celobrojnim faktoro signala, x(n) i x( pektra kako bi s a. Ovi opsezi nazivaj

ija procesa interpola ki ograni~en na 2sf a nula pokazuje proi u propusnom opse aziva. Grani~na fre signala. Kao {to j

nepropusnog opsega s

fs/D

4

eristike filtara za decimaciju

ega ostaje da se defini{u talasnost u propusnom i ~ine se odre|uju na osnovu karakteristika kao celine.

j~e{}e deseti delovi decibela, a aδ se odre|uje prema ela. Slabljenja od 40, 50, 60 dB i ve}a nisu retkost. Kao erferencije mora biti oslabljen 10 dB u odnosu na segu (MSNR sa slike 5.3).

TERPOLACIJA

frekvencije odabiranja. Razmotri}emo pove}anje m I. Operacija se sastoji u ubacivanju I-1 nule izme|u

n+1), a zatim sledi filtriranje rezultuju}eg signala u e oslabili opsezi proiza{li iz operacije pove}anja u se images - odrazi a filtar se naziva "anti- imaging"

cije prikazana na slici 5.4 za slu~aj I=4. Ulazni signal pre interpoliraju}eg postupka, sl.5.4 a. Izlaz koji

zvedene odraze (images), sl.5.4 b. Anti-imaging filtar gu u cilju kompenzacije smanjenja nivoa koje

kvencija filtra bira se u skladu sa najvi{om zna~ajnom e pokazano na slici 5.4 grani~na frekvencija je

2/sc ff < (5.4)

a:

2/sa ff = (5.5)

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

Slika 5.4 Proces interpolacija, I=4

Nepropusni opseg je definisan do 2/* If s da bi oslabio ceo opseg koj usled odraza. Izvesna prelazna zona mora biti dozvoljena izme|u pro opsega. Tako mora biti: 2/sc ff < pa je csa fff −= .

Kao i u slu~aju decimatora, devijacije u propusnom i nepropusnom opseg filtra i zahtevanih karakteristika. Varijacija u propusnom opsegu zahtev nekoliko deseth delova decibela, a nepropusni opseg mo`e biti definisan sa od nekoliko desetina pa ~ak i 100 dB.

filtar H(f)1:4

x(n) v(m) y(m)

X(f)

H(f)

f fs

f 4fs2fsfs

f 4fs2fsfs

f 2fsfs

V(f)

Y(f)

fs/2

3fs

3fsfa

fc

3fs

4f

5

i sadr`i opsege nastale

pusnog i nepropusnog

u zavise od primene a se obi~no do iznosa

zahtevom za slabljenje

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

6

5.4. PRIMER DECIMACIJE/INTERPOLACIJE

Na slici 5.5 prikazan je postupak decimacije i interpolacije simuliran pomo}u programa MATLAB. Na slici 5.5a dat je spektar signala predstavljen u opsegu od 0-500 Hz, pri ~emu je frekvencija odabiranja 1000 Hz. Signal se sastoji od dve sinusoide frekvencija 100 i 300 Hz sa amplitudama 1.2 i 1 i slu~ajnog {uma normalne raspodele sa varijansom 2. Na ovako formiran signal primenjen je opisani postupak decimacije i interpolacije koji je napred opisan sa faktorom D=I=4. Prema tome, sve frekvencije koje se nalaze iznad 250 Hz posle sni`enja frekvencije odabiranja preklapaju se kao ne`eljene u spektar signala sa sni`enom frekvencijom odabiranja. Ilustracija ovog efekta pokazana je na slici 5.5 b koja predstavlja spektar signala dobijenog odabiranjem svakog ~etvrtog odbirka ulaznog signala. Ovde zapa`amo veliko sni`enje odnosa signal/{um jer je nivo {uma porastao usled preklapanja a komponenta frekvencije 300 Hz ulaznog signala pojavljuje se posle preklapanja na 50 Hz. Slika 5.5c prikazuje rezultat decimacije koji je obavljen filtriranjem ^ebi{evljevim filtrom 8-og reda. Odnos signal/{um je znatno sni`en kao i parazitna komponenta frekvencije 50 Hz. Na signal sa slike 5.5c primenjena je interpolacija. Najpre je radi ilustracije pojave odraza spektra formiran signal tako {to su izme|u svaka dva odbirka dodate 3 nule. Spektar ovako dobijenog signala prikazan je na slici 5.5 d. Frekvencija ovako dobijenog signala sada je ponovo 1000 Hz, ali se u njegovom spektru pojavljuju odrazi inicijalnog spektra sa slike 5.5c. Na kraju primenjen je postupak interpolacije koji sadr`i slabljenje ne`eljenog spektra usled odraza. Rezultat je prikazan na slici 5.5e gde zapa`amo da su svi delovi spektra nastali usled odraza eliminisani.

Pore|enjem spektra ulaznog signala sa slike 5.5a i izlaznog signala posle decimacije / interpolacije, slika 5.5e zapa`amo da je deo spektra koji se nalazi ispod 125 Hz uspe{no rekonstruisan {to je i cilj ovog postupka.

0 100 200 300 400 500 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x 104 Spektar ulaznog signala

f(Hz) (a)

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

7

0 20 40 60 80 100 120 140 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500 Spektar signala posle decimacije, bez filtra

f(Hz) (b)

0 20 40 60 80 100 120 140 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000 Spektar signala posle decimacije, sa filtrom

f(Hz) (c)

0 100 200 300 400 500 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000 Spektar signala posle interpolacije, bez filtra

f(Hz) (d)

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

8

0 100 200 300 400 500 0

1

2

3

4

5

6

7 x 104 Spektar signala posle interpolacije, sa filtrom

f(Hz) (e)

Slika 5.5 Primer decimacije i interpolacije sa D=I=4

5.5 MATEMATI^KA INTERPRETACIJA PROCESA DECIMACIJE I INTERPOLACIJE

Diskretni signal na ulazu obele`imo sa ( ){ }nx a signal posle decimacije sa ( ){ }nxd . Pretpostavimo da su oba signala nastala odabiranjem kontinualnog signala ( )txc . Ako je D faktor decimacije ima}emo:

( ) ( ) )(nDTxnDxnx cd == (5.6)

U frkvencijskom domenu, spektri signala ( ){ }nx i ( )txc vezani su relacijom:

( ) ∑ ∞

−∞=   

   −=

k c

j

T kj

T jX

T eX πωω 21 (5.7)

gde je T perioda odabiranja signala ( ){ }nx . Neka je T’ perioda odabiranja za signal ( ){ }nxd , gde je T’=DT, {to zna~i da mo`emo pisati:

( ) ( )'nTxnx cd = (5.8)

sada mo`emo da napi{emo relaciju koja va`i za spektre signala ( ){ }nxd i ( )txc :

( ) ∑ ∞

−∞=   

   −=

r c

j d T

rj T jX

T eX

' 2

'' 1 πωω (5.9)

Kako je T ‘=DT jedna~ina (5.9) se mo`e predstaviti i na slede}i na~in:

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

9

( ) ∑ ∞

−∞=   

   −=

r c

j d DT

rj DT jX

DT eX πωω 21 (5.9)

Indeks sabiranja r iz jedna~ine (5.9) razlo`i}emo tako da se izrazi preko indeksa k iz (5.7) i faktora decimacije D:

10, −≤≤∞<<∞−+= DikkDir (5.10)

{to nam omogu}ava da jedna~inu (5.9) preuredimo i napi{emo u slede}oj formi:

( ) ∑ ∑ −

=

−∞=  

  

   

   −

− =

1

0

2211 D

i k c

j d T

kj DT

ijX TD

eX ππωω (5.11)

Deo izraza (5.11) u uglastim agradama prepoznajemo kao spektar diskretizovanog signala, odnosno:

( )( ) ∑ ∞

−∞=

−   

   −

− =

k c

Dij

T kj

DT ijX

T eX ππωπω 221/2 (5.12)

Na osnovu (5.11) i (5.12) dobijamo relaciju izme|u spektara signala pre i posle decimacije:

( ) ( )( )∑ −

=

−= 1

0

21 D

i

DiDjj d eXD eX πωω (5.13)

Interpolacija se sastoji u ubacivanju nula izme|u odbiraka. Ovako dobijeni signal ( ){ }nxe je ekspandovan na slede}i na~in:

( ) ( )    ±±= =

ndrugoza nInx

nxe ,0 ,2,1,0,/ K

(5.13)

{to je ekvivalentno sa:

( ) ( ) ( )∑ ∞

−∞=

−= k

e kInkxnx δ (5.14)

Furijeova transformacija ekspandovanog signala }e biti:

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑

∑ ∑ ∞

−∞=

− ∞

−∞=

−∞=

==

 

  

 −=

k

IjIkj

nj

n k

j e

eXekx

eknkxeX

ωω

ωω δ (5.15)

{to predstavlja relaciju izme|u spektara signala pre i posle interpolacije.

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

10

5.6 PRIMER REALIZACIJE FIR FILTRA ZA DECIMACIJU

Sistemi za decimaciju i interpolaciju zahtevaju da se filtriranje obavi na vi{oj frekvenciji odabiranja, slike 5.2 i 5.4. Cilj svake realizacije sistema za digitalnu obradu signala je da se racunske operacije obavljaju sa {to ni`om frekvencijom odabiranja. Za realizaciju efikasnih filtara za decimaciju i interpolaciju razvijene su mnoge metode. Najjednostavniji je primer direktne realizacije FIR filtra koja }e biti demonstrirana na slede}im slikama.

Slika 5.6 Blok {ema sistema za decimaciju

Slika 5.7 Primer sistema za decimaciju sa FIR filtrom du`ine N=5

h(n) D x(n) y(m)

fs fs fs/D

y(m) z-1

z-1

z-1

z-1

x(n) D

h0

h1

h2

h3

h4

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

11

Slika 5.8 Primer sistema za decimaciju sa FIR filtrom du`ine N=5 u kome se mno`enje i sabiranje obavljaju na ni`oj frekvenciji odabiranja.

5.8 VI[ESTEPENA DECIMACIJA / INTERPOLACIJA

Visok faktor decimacije / interpolacije zahteva filtre sa niskom grani~nom frekvencijom. Takvi filtri su nepovoljni za realizaciju: kod FIR filtara se zahteva veoma visok red a IIR filtri imaju polove blizu realne ose, {to je vrlo nepovoljno zbog efekata kona~ne du`ine re~i. Zbog toga je povoljnije realizovati sistem za decimaciju / interpolaciju u vi{e koraka kao {to pokazuje slede}i primer u kome se frekvencija odabiranja od 12 kHz sni`ava na 400 Hz.

Slika 5.9 sni`avanje frekvencije odabiranja u jednom koraku

z-1

z-1

x(n) D

D

D

D

D

h0

h1

h2

h3

h4

z-1

z-1

y(m)

NF 30 x(n) y(n)

12 kHz 12 kHz 400 Hz

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

12

Slika 5.10 Sni`avanje frekvencije odabiranja u dva koraka

Slika 5.11 Sni`avanje frekvencije odabiranja u tri koraka

Slika 5.12 Vi{estepeni proces decimacije (op{ti slu~aj)

Slika 5.13 Vi{estepeni proces interpolacije (op{ti slu~aj)

Za decimaciju / interpolaciju povoljno je kada se faktor promene frekvencije odabiranja mo`e izraziti u vidu celobrojnog stepena broja 2, tj. kao 2p, p ceo broj. Tada se decimacija / interpolacija obavlja u p koraka a NF filtri koji se koriste dele radni frekvencijski opseg (0-π) na dva jednaka dela. Ovakvi filtri se nazivaju halfband filtri. Karakteri{e ih slede}a simetrija:

15 NF 2

x(n) y(m)

NF

12 kHz 800 Hz 400 Hz

NF 5 NF 3 NF 2 x(n) y(n)

12kHz 2.4 kHz 800 Hz 400 H

D1 Gk(z) D3D2G1(z) G2(z)

G1(z) I2 G2(z) Ik G3(z)I1

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

13

• ωp+ωa=π, odnosno ωa=π-ωp • δp=δa

gde su ωp i ωa grani~ne frekvencije propusnog i nepropusnog opsega, a δp iδa predstavljaju talasnost u propusnom i nepropusnom opsegu filtra. Kod FIR filtra δp iδa se odnose na amplitudsku karakteristiku, a kod IIR filtara na kvadrat amplitudske karakteristike.

Halfband filtri su vrlo efikasni. FIR halfband filtri imaju svaki drugi koeficijent impulsnog odziva jednak nuli. Prema tome, direktna realizacija FIR halfband filtra du`ine N zahteva (N-1)/2 konstanti mno`enja. IIR halfband filtri imaju sve polove funkcije prenosa na imaginarnoj osi. To omogu}ava realizacione strukture sa dvostruko manje mno`a~a u odnosu na druge klase filtara.

5.9 ODABIRANJE USKOPOJASNOG ANALITI^KOG SIGNALA

Poznato je iz teoreme o odabiranju da ako je spektar kontinualnog signala frekvencijski ograni~en tako da je ( )ΩjSc =0 za NΩ≥Ω , signal je ta~no predstavljen preko svojih odbiraka ukoliko frekvencija odabiranja zadovoljava nejednakost NT Ω≥ 22π . Na taj na~in je izbegnuto preklapanje , jedna~ine (5,7) i (5,9). Kod uskopojasnog signala imamo da je ( )ΩjSc =0 za

cΩ≤Ω≤0 i za ∆Ω+Ω≥Ω c . Prema tome za uskopojasni signal dovoljan je frekvencijski opseg od ∆Ω2 umesto ( )∆Ω+Ωc2 . Ova osobina se mo`e iskoristiti u procesu odabiranja. Postupak se znatno upro{}ava primenom uskopojasnog signala.

Posmatrajmo sistem na slici 5.14 i primer na slici 5.15. Najvi{a frekvencija ulaznog signala je ∆Ω+Ωc kao {to je pokazno na slici 5.15(a). Ako se ovaj signal odabira sa frekvencijom

( )∆Ω+Ω= cT 2/2π , dobijeni signal ( ) ( )nTsns cr = ima}e Furijeovu transformaciju ( )ωjr eS koja je prikazana na slici 5.15 (b). Primenom Hilbertovog transformatora formiramo kompleksni analiti~ki signal ( ) ( ) ( )njsnsns ir += koji ima Furijeovu transformaciju ( )ωjeS , slika 5.15(c). [irina nenultog dela spektra ( )ωjeS iznosi ( )T∆Ω=∆ω . Defini{imo M kao najve}i ceo broj koji je manji ili jednak ωπ ∆/2 . Jasno je da }e M kopija od ( )ωjeS mo}i da se smesti u interval

πωπ <<− . U primeru na slici 5.15 uzeto je da je M= ( )T∆Ω=∆ω =5. Na osnovu prethodne diskusije zaklju~ujemo da se frekvencija odabiranja mo`e sniziti decimacijom kao na slici 5.14. Posle decimacije dobija se kompleksni signal ( ) ( ) ( )Mnsnjsnsns idrdd =+= )( . Furijeova transformacija signala ( )nsd je

( ) ( )( )∑ −

=

−= 1

0

/21 M

k

Mkjj d eSM eS πωω (5.16)

Na slici 5.15(d) prikazano je ( )ωjd eS za M=5. Na slici 5.15(d) uo~avaju se ( )ωjeS i dve frekvencijski skalirane i translirane kopije. Jasno je da je preklapanje izbegnuto i da se sve potrebne informacije za rekonstrukciju originalnog signala nalaze u opsegu frekvencija πωπ <<− . Kompleksni signal ( )nsd se mo`e dalje obra|ivati a sva obrada se sada realizuje na sni`enoj frekvenciji odabiranja.

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

Slika 5.14

( )ωjc eS

cΩ∆Ω−Ω− c

π−π2−

ππ

C/D

HT

M

M T

sc(t) sr(n)=sc(nT)

si(n)

srd(n)

sid(n)

cΩ ∆Ω+Ω ( )ωjr eS

( )ωjeS

T

cω

cω

-

c

π 2πωπ ∆+ ω

π

14

ω∆

ω

-

-2

1

1/

2/T

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

Slika 5.15 Primer decimacije signala prem Faktor decim

Originalni signal ( )nsr mo`e se rekonstruisati prem

1. Dopuniti kompleksni niz ( )nsd nulama (ubaciti

( ) ( )    = =

za nMns

ns rde ,0 ,0,/

2. Propustiti signal ( )nse kroz idealni kompleksn filtra je ( )nhi , a njegov frekvencijski odziv (iH

( )  

 

∆+ < −

= ω ωω π

ω

c

c j

i MeH ,0 , ,0

(U primeru sa slike 5.15 πωω =∆+c .)

3. Formirati tra`eni realni signal: ( ) ( ){ nsns er ∗= Re

5.10 PRIMER PRIME

Kod analogno digitalne konverzije ~esto se ogran dve etape. Naime, selektivan analogni filtar zado realizovati posebno ako je fazna karakteristika va` delimi~no u analognom domenu a delimi~no u digit 1. Frekvencija odabiranja odabrana u skladu sa

izme|u propusnog i nepropusnog opsega analog

( )ωjd eS

a aci

a s

M

± d M

i f ωje

< < <

ω ω ω

hi

NE

i~e vol na. aln te no

)

2/(5T

15

sistemu predstavljenom na slici 5.6 je M=5

lede}oj proceduri:

-1 nulu izme|u svaka dva odbirka):

± nrugo M ,2, K

(5.17)

iltar propusnik opsega. Impulsni odziv ovog

) je dat sa:

< ∆+

<

πω ω

π

c (5.18)

( )}n .

DECIMACIJE

nje frekvencijskog opsega signala obavlja u javaju}ih karakteristika nekad je vrlo te{ko Zato se ograni~enje opsega signala realizuje om. U primeru koji sledi pokazano je: oremom o odabiranju ali je prelazna zona g filtra mala, slika 5.16.

ωπ

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

16

2. Frekvencija odabiranja je mnogo ve}a od maksimalne frekvencije signala pa se u digitalnom domenu frekvencija odabiranja sni`ava decimacijom, slika 5.17. Na taj na~in uslovi za realizaciju analognog filtra su znatno olak{ani. Potrebnu selektivnost ostvari}e digitalni filtar. Na ovaj na~in se fazna izobli~enja mogu svesti na minimum.

Slika 5.16 Direktno odabiranje sa frekvencijom fs

Slika 5.17 Odabiranje sa vi{om frekvencijom i decimacija, fss=Dfs

fs

T=1/fsNF C/D

xc(t) x(nT)

fa f

H(f)

fm fs-fm-fs -fa

f

H(f)

fm fss-fm-fss -fa fa

fss=Dfs

NF C/D

xc(t) x(nT)

x(nT/D) NF D

fs

T=1/fs

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

17

MATLAB PROGRAMI

% Program ob2_11 % Decimacija i interpolacija sa faktorom D=I=5 % Predstavljanje u vremenskom domenu clf % Ulazni signal n=0:99; x=cos(2*pi*5*n/256)+cos(2*pi*10*n/256)+0.7*cos(2*pi*100*n/256)+randn(size(n)); figure (1) subplot(3,1,1) stem(n,x),title('proces decimacije') ylabel('signal x') axis tight

% projektovanje filtra h=remez(27,[0,0.08,2/5-0.08,1],[1,1,0,0]);

% Decimacija xf=filter(h,1,x); % Filtriranje subplot(3,1,2) stem(n,xf), ylabel('signal xf') axis tight xd=xf(1:5:length(xf)); % Izbacivanje odbiraka subplot(3,1,3) stem((0:length(xd)-1),xd) xlabel('n'),ylabel('signal xd') axis tight

% Proracun karakteristike filtra i crtanje figure (2) [H,w]=freqz(h,1,256); plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H))), title('Karakteristika filtra') xlabel('Normalizovana frekvencija'),ylabel('Gain, dB') axis tight

% Interpolacija % Ubacivanje nultih odbiraka i filtriranje y=zeros(1, 5*length(xd)); y([1:5:length(y)])=xd; yint=filter(h,1,y); figure (3) subplot(3,1,1) stem((0:length(xd)-1),xd), title('Proces interpolacije'),ylabel('signal xd') axis tight subplot(3,1,2) stem((0:length(y)-1),y),ylabel('signal y') axis tight subplot(3,1,3) stem((0:length(yint)-1),yint),xlabel('n'),ylabel('signal yint') axis tight

% Program ob2_11 % Decimacija i interpolacija sa faktorom D=I=5 % Predstavljanje u frekvencijskom domenu % Koriscene su MATLAB funkcije DECIMATE i INTERP clf

Lj. Milic, Obrada signala II, Decimacija i interpolacija 20.03.02

18

% Ulazni signal n=0:255; x=cos(2*pi*5*n/256)+cos(2*pi*10*n/256)+0.7*cos(2*pi*100*n/256)+randn(size(n)); [X,w1]=freqz(x,1,512); figure (1) plot(w1/(2*pi),abs(X)),title('Spektar ulaznog signala') xlabel('Normalizovana frekvencija'),ylabel('abs(X)') ys=decimate(x,5);

% Decimacija [Ys,w2]=freqz(ys,1,512); figure (2) plot(w2/(2*pi),abs(Ys)),title('Spektar signala posle decimacije') xlabel('Normalizovana frekvencija'),ylabel('abs(Ys)')

% Interpolacija xint=interp(ys,5); [Xint,w3]=freqz(xint,1,512); figure(3) plot(w3/(2*pi),abs(Xint));title('Spektar signala posle interpolacije') xlabel('Normalizovana frekvencija'),ylabel('abs(Xint)')

nema postavljenih komentara
ovo je samo pregled
3 prikazano na 18 str.
preuzmi dokument