Teorija grafofa-Skripta-Diskretne matematicke strukture-Informacioni sistemi2, Skripte' predlog Diskretna matematika. University of Belgrade
popsuperstar
popsuperstar27 October 2012

Teorija grafofa-Skripta-Diskretne matematicke strukture-Informacioni sistemi2, Skripte' predlog Diskretna matematika. University of Belgrade

PDF (1 MB)
45 strane
4broj preuzimanja
1000+broj poseta
Opis
Skripta,Diskretne matematicke structure,Informacioni sistemi, fon,fakultet organizacionih nauka,teroja grafova,kratak istorijat teorije grafova,teorije grafova,prazliciti nacini predstavljanja grafova,matrice,matrica sus...
20poeni
poeni preuzimanja potrebni da se preuzme
ovaj dokument
preuzmi dokument
pregled3 strane / 45
ovo je samo pregled
3 shown on 45 pages
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 shown on 45 pages
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 shown on 45 pages
preuzmi dokument
ovo je samo pregled
3 shown on 45 pages
preuzmi dokument

Vladimir Balti

TEORIJA GRAFOVA

za studente Fakulteta organizacionih nauka koji sluxaju Diskretne matematiqke strukture

B E O G R A D 2008

Sadraj

4. TEORIJA GRAFOVA 4 4.1. Kratak istorijat Teorije grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.2. Osnovni pojmovi i tvrenja Teorije grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3. Razni naqini predstavljanja grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Matrica susedstva grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lista susedstva grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Matrica incidencije qvorova i grana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Matrica rastojanja grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4. Ojlerovi grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5. Hamiltonovi grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6. Stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.7. Korenska stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Hafmanov kôd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.8. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

BIBLIOGRAFIJA 45

3

4 4. TEORIJA GRAFOVA

4. Teorija grafova Kombinatorika (sa Teorijom grafova) je jedna od najstarijih oblasti matematike, ali i danas

je veoma aktuelna. Neki njeni problemi su zaokupljali matematiqare vekovima (poput problema qetiri boje), dok su neke oblasti postale veoma aktuelne sa vrtoglavim razvojem raqunara i njihovom sve veom primenom pri rexavanju matematiqkih problema.

Grafovi su matematiqki objekti koje veoma qesto sreemo u svakodnevnom ivotu. Ako pos- matramo neku geografsku mapu sa mnoxtvom gradova koji su povezani nekim putevima – dobijamo jedan graf. U skupu ljudi na nekom predavanju neki se meusobno poznaju, a neki ne – ako sve ljude predstavimo taqkicama, a samo one koji se poznaju spojimo linijama dobiemo jedan graf, koji nam daje dobru sliku poznanstva meu ljudima na tom predavanju. Strukturna formula nekog molekula ili jedinjenja takoe predstavlja jedan graf. Xema nekog elektriqnog kola u teoriji kola ili elektronici isto predstavlja jedan graf.

Grafovi nalaze primenu i u rexavanju tzv. problema za razbibrigu. Sada emo navesti neke od njih:

Na slici su date 3 kue i 3 bunara. Povezati svaku kuu sa sva 3 bunara putevima, koji se meusobno ne seku.

K K K

B B B Odrediti najvei broj dama koje se mogu staviti na xahovsku tablu n × n tako da se one meusobno ne napadaju.

Odrediti najmanji broj dama koje je potrebno postaviti na xahovsku tablu n× n tako da one napadaju sva polja te table.

Koliko ima razliqitih postavljanja tih dama? (dva su postavljanja ista ako se mogu dobiti okretanjem table – rotacijom ili simetrijom u odnosu na neku osu table)

Obii skakaqem xahovsku tablu m × n, tako da skakaq obie sva polja i da ni na jednom ne bude vixe od jedan put.

Moe li se jednim potezom (bez dizanja olovke sa papira) nacrtati figura sa slike?

Iz ove grupacije je nastao i jedan od najpoznatijih grafovskih problema, a to je problem 4 boje.

Zbog velikog spektra primena, kao i izuzetno jednostavne veze definicije i osnovnih svojstava, grafovi su oni naxli i veliku primenu ne samo u drugim matematiqkim oblastima poput kombi- natorike, kombinatorne optimizacije, operacionih istraivanja, linearne algebre, kompleksne analize, nego i u drugim (nematematiqkim) naukama kao xto su elektrotehnika, raqunarstvo, hemi- ja, fizika, biologija, sociologija, vojne nauke...

Kroz naredna 2 primera ilustrovaemo primenu u raqunarstvu.

PRIMER 4.0.1. Algoritam ranga stranice. Najvea sopstvena vrednost grafa se naziva spektralni radijus ili indeks grafa (kasnije emo se detaljnije upoznati sa ovim pojmom). Vektor koji odgovara najveoj sopstvenoj vrednosti grafa (Peronov vektor) je baza za Algoritam ranga stranice (eng. PageRank algorithm) koji koristi Google pri pretraivanju. Akademsko citiranje radova se primenilo na Internet (Web), uglavnom kao prebrojavanje linkova koji vode do odeene stranice. Ovo daje aproksimaciju o kvalitetu, odnosno vanosti neke stranice. Algoritam ranga stranice produbljuje ovu ideju tako xto ne broji linkove od svih stranica podjednako, nego to radi uz normalizaciju broja stranica koje polaze iz jednog qvora. Algoritam je razvijen na Stenford Univerzitetu u Americi 1995. godine.

5

Pretpostavimo da na stranicu A ukazuju linkovi T1, T2, . . . , Tn i da je parametar d faktor otkaza izmeu 0 i 1. Broj C(A) je broj linkova koji odlaze iz qvora A. Tada se rang za stranicu A raquna kao:

PR(A) = (1− d) + d (

PR(T1) C(T1)

+ PR(T2) C(T2)

+ . . . + PR(Tn) C(Tn)

) .

Algoritam ranga stranice formira funkciju raspodele na skupu stranica, tako da je suma svih rangova jednaka 1. Vrednosti ranga stranica (to su PR) se mogu izraqunati prostim iterativnim algoritmom i odgovaraju koordinatama u Peronovom vektoru matrice susedstva Web-a. Na nared- noj slici su prikazane vrednosti ranga stranica za graf sa qetiri qvora. Napomenimo da moemo izraqunati vrednosti ranga stranica za preko 26 miliona stranica za nekoliko sati na proseqnoj radnoj stranici.

PRIMER 4.0.2. Xirenje virusa u raqunarskim mreama. Spektralna teorija grafova ima lepe rezultate koji su usko povezani sa fiziqkim osobinama raqunarskih mrea. Nedavno je dokazano da spektralni radijus grafa igra vanu ulogu u modeliranju xirenja virusa u mreama. U SIS modelu (eng. Susceptible - Infected - Susceptible) svaki qvor u mrei je u jednom od dva stanja: zaraen (moe da xiri virus) ili zdrav (osetljiv na virus). Ovaj model takoe pretpostavlja istovremenu promenu stanja svih qvorova. Zato, qim se neki qvor zarazi postaje izvor zaraze, odnosno qim se izleqi osetljiv je na ponovne infekcije. Epidemioloxka teorija predvia posto- janje epidemskog praga osetljivosti (eng. epidemic threshold). Procenat infekcije po svakom linku koji je povezan na zaraeni qvor je jednak β, dok je procenat leqenja za svaki zaraeni qvor δ. Efektivna brzina xirenja virusa je prema tome definisana kao koliqnik β/δ. Epidemski prag os- etljivosti τ je onda kritiqna vrednost za β/δ: za efektivnu brzinu xirenja virusa ispod τ virus u mrei izumire; dok u sluqaju da je efektivna brzina xirenja virusa iznad τ virus preovlauje - konstantan procenat qvorova ostaje zaraen u svakom trenutku.

Dokazano je u [11] da je τ = 1ρ(G) , gde je ρ(G) bax spektralni radijus matrice susedstva A grafa. Dakle, xto je radijus manji, to je mrea otpornija na napade i xirenje virusa. Ovo prirodno dovodi do postavljanja sledeeg problema:

Koji grafovi sa n qvorova imaju najmanji spektralni radijus?

Poznato je da put Pn ima najmanji spektralni radijus. Meutim u praksi, ovakvo rexenje nije najoptimalnije jer bi sama komunikacija u mrei bila spora sa mogunoxu zaguxenja. Zato postavljamo dodatne uslove, uzimajui u obzir razne invarijante grafova (dijametar, najvei stepen, itd).

6 4. TEORIJA GRAFOVA

4.1 Kratak istorijat Teorije grafova

Ovde emo izloiti kratak pregled Teorije grafova, na osnovu radova uvaenih matematiqara u ovoj oblasti Frenka Hararija (eng. Frank Harary), Ralfa Grimaldija (eng. Ralph P. Grimaldi) i Dragoxa Cvetkovia (nax akademik iz ove oblasti, jedan od najzaslunijih za razvoj Teori- je grafova na jugoslovenskim prostorima), kao i iz dvotomne Enciklopedije kombinatorike (eng. Handbook of Combinatorics, Vol. I & II ). U ovom osvrtu emo ii hronoloxkim redosledom najbitni- jih rezultata, sa kratkim istorijatom matematiqara koji su zasluni za te rezultate (kod matem- atiqara koji su dali vixe rezultata iz Teorije grafova daemo i sve naredne u istom paragrafu). Sada emo navesti najznaqajnije rezultate iz Teorije grafova (neki zbog istorijskog, a neki zbog matematiqkog znaqaje) sa sve njihovim autorima. Istorijski podaci su preuzeti iz knjiga Frenka Hararija, Dragoxa Cvetkovia, Ralfa Grimaldija i iz Enciklopedije kombinatorike.

1. Leonard Ojler (nem. Euler, 1707-1783), 1736. godina, zaqetak Teorije grafova i Ojlerovi putevi u grafu; 1750. godina, Ojlerova formula za poliedre.

2. Gustav Kirhof (nem. Gustav Kirchoff, 1824-1887), 1847. godina, Teorema o matricama i sta- blima.

3. F. Nauk (nem. F. Nauck), 1850. godina, rexio Problem 8 dama.

4. Artur Kejli (eng. Arthur Cayley, 1821-1895), 1857. godina, broj razapinjuih stabala potpunog grafa.

5. Ser Vilijam Hamilton (eng. Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865), 1859. godina, slagalica sa Hamiltonovim putem.

6. Menger (eng. K.Menger), 1927. godina, Mengerova teorema o povezanosti u grafu.

7. Kasimir Kuratovski (poljski Kasimir Kuratowski, 1896-1980), 1930. godina, Teorema Kura- tovskog o planarnim grafovima.

8. Denex Kenig (maarski Dénes König, 1884-1944), 1936. godine, objavljivanje Kenigove mono- grafije — zasnivanje Teorije grafova kao samostalne discipline.

9. or Polja (eng. Georg Polya; maarski György Pólya, 1887-1985), 1937. godina, dao rezultate koji se danas nazivaju Teorija Polje.

10. Fruht (nem. Frucht), 1938. godina, Fruhtova teorema o automorfizmima grafa.

11. Turan (maarski Turán), 1941. godina, Turanova teorema – pionirski rad u ekstremalnoj teoriji grafova.

12. Tat (W.E. Tutte), 1947. godina, formulisao teoremu o egzistenciji 1-faktora u grafu.

13. Nex–Vilijams (eng. Nesh, Williams), 1961. godina, tvrenje o granski disjunktnim acikliqnim podgrafovima u grafu.

14. Ringel-Jangs (eng. Ringel, Youngs), 1968. godina, tvrenje o rodu grafa.

15. Kenet Apel i Volfgang Heken (eng. Kenneth Appel, Wolfgang Haken), 1976. godina, problem 4 boje.

Sada emo o nekim od ovih rezultata rei malo vixe.

1. Xvajcarskom matematiqaru Leonardu Ojleru su tokom boravka u Kenigsbergu (nem. Königsberg; danaxnji Kalinjingrad) mextani postavili problem da pree preko svih 7 mostova (koji spa- jaju 2 obale reke Pregel meusobno i sa 2 ostrva) tako da preko svakog pree taqno jedanput. Ojler je dao odreqan odgovor.

26. avgusta 1735. godine, Ojler je prezentovao svoj rad na ovom problemu Sant Petersburgxkoj akademiji nauka dokazujui da je takav obilazak mostova nemogu uz napomenu da se njegov metod moe proxiriti na prozvoljan raspored ostrva i mostova. Taqnije, Ojler je samo formulisao potrebne i dovoljne uslove da takav obilazak postoji, ali nije smatrao da je

4.1. ISTORIJAT TEORIJE GRAFOVA 7

potrebno da pokae dovoljne uslove u opxtem sluqaju. Prvi potpuno korektan dokaz ovog tvrenja je dao Hirholcer (nem. Hierholzer).

Na narednoj slici levo je predstavljena mapa Kenigsberga (iz vremena Ojlera) sa njegovim mostovima. Ojler je svakoj obali i ostrvu pridruio qvorove grafa, a grane izmeu njih su bili mostovi. Tako je on dobio jedan multigraf, koji je predstavljen na slici desno.

Ojler je qlanak o Problemu Kenigsbergxkih mostova napisao 1736. godine (i stoga se ta godina uzima za osnivanje teorije grafova) i on je prvi put objavljen 1741. godine, ali je tada probudio malo interesa meu ostalim matematiqarima. Neke stranice iz ovog rada su prikazane na narednoj slici. Ovaj problem i rezultat su ostali malo poznati do kraja 19. veka kada su ga engleski matematiqari or Lukas (eng. George Lucas, 1882.) i Raus Bol (eng. Rouse Ball, 1892.) ukljuqili u svoje knjige o rekreativnoj matematici. Pojam Ojlerovog grafa za graf koji se moe nacrtati ne podiui olovku sa papira se odomaio zahvaljujui Kenigu, koji ga je iskoristio u svojoj pionirskoj knjizi o Teoriji grafova (1936. godine; vixe o njoj kasnije).

Traenje Ojlerovog puta nalazi primenu u jox nekim problemima Kombinatorne optimizaci- je, poput Problema kineskog poxtara (sa kojim emo se sresti kasnije), ali i u radu sa laserima, gde nam je cilj da optimalno koristimo laser i samim tim pojeftinimo cenu fi- nalnog proizvoda (metodama Kombinatorne optimizacije postignuta je uxteda vremena rada i do 90%).

2. Prvi znaqajniji rezultati Teorije grafova nakon Ojlerovih su stigli polovinom 19. veka. Kirhofova teorema za matrice i stabla i Kejlijeva teorema (o njoj emo kasnije). Oba su stigla direktno iz primena.

Fiziqar Kirhof je svoje tvrenje pokazao 1947. godine i ono mu je posluilo za izraqunavanje jaqina elektriqnih struja u granama nekog elektriqnog kola (jer su nezavisni ciklusi u potpunosti odreeni jednim razapinjuim stablom). Navedimo kako glasi ovo tvrenje.

Broj razapinjuih stabala t(G) grafa G jednak je bilo kom kofaktoru Laplasove matrice L.

Ova formulacija moda nije najjasnija, pa emo dati alternativnu formulaciju Kirhofova teorema za matrice i stabla.

Za proizvoljne s, t ∈ {1, 2, . . . , n} broj razapinjuih stabala t(G) grafa G jednak je (1)s+t puta determinanta matrice koja se dobija brisanjem vrste s i kolone t iz matrice L (matrica L = D−A, gde je A matrica susedstva grafa G, a D je dijagonalna matrica sa stepenima odgovarajuih qvorova, tj. dii = d(vi) i dij = 0, za i 6= j).

8 4. TEORIJA GRAFOVA

3. F. Nauk (nem. F. Nauck) je 1850. godina, rexio Problem 8 dama (naveo svih 92 rexenja). Zanimljivo je da je quveni Gaus nije naxao sva rexenja, nego samo 72. Danas se ovkvi problemi tretiraju raqunarom, ali je zanimljivo da problem razmextanja dama u opxtem sluqaju (kada se umesto obiqne xahovske ploqe 8 × 8 posmatra generalisana xahovska ploqa n × n) nije rexen.

Ovo je jox jedan od problema nastao iz takozvane ,,rekreativne matematike“. Iako je bio poznat i dosta ranije, Problem 8 dama je prvi put objavljen 1848. godine u qasopisu ”Berliner Schachzeitung”. Ovaj problem glasi:

Na koliko naqina je mogue postaviti 8 dama na xahovsku tablu tako da se meusobno ne napadaju?

Svakoj xahovskoj figuri moe se pridruiti jedan graf na sledei naqin. Neka polja xa- hovske table predstavljaju qvorove grafa. Iz qvora x ide grana ka qvoru j ako sa polja x data figura (u naxem sluqaju dama) moe da pree na polje y. Ovo je jedna veza teorije grafova i xaha. Druga njihova veza dolazi iz Teorije igara. Prema Teoriji igara, xahovska igra se predstavlja grafom qiji su qvorovi pojedine xahovske pozicije. Ovaj pristup je veoma bitan jer se koristi u pisanje raqunarskih programa za igranja xaha. Na osnovu pojedinih podgrafova ovog grafa raqunar procenjuje poziciju i bira koji je najbolji potez koji moe da odigra u kasnijim delovima partije (za otvaranje koristi ogromne baze poteza koji su razvi- jani za otvaranje xahovske partije — jox pre raqunara postojala je Xahovska enciklopedija otvaranja, koja je imala 5 tomova!).

Kasnije emo uvesti grafovsku terminologiju vezanu za problematike poloaja xahovskih figura na tabli (unutraxnja i spoljaxnja stabilnost grafa) i tada ovaj problem preveden na ,,grafovski jezik“ glasi:

Koliko ima najveih unutraxnje stabilnih skupova u grafu pridruenom xahovskoj figuri dami?

Sada emo navesti rexenja ovog problema. Nauk je dobio sva 92 rexenja, koja se mogu dobiti od narednih 12 osnovnih rexenja rotiranjem (rotacijom) i ogledanjem (simetrijom) xahovske table:

1A1, B5, C8, D6, E3, F7, G2, H4 2A1, B6, C8, D3, E7, F4, G2, H5 3A2, B4, C6, D8, E3, F1, G7, H5 4A2, B5, C7, D1, E3, F8, G6, H4 5A2, B5, C7, D4, E1, F8, G6, H3 6A2, B6, C1, D7, E4, F8, G3, H5

7A2, B6, C8, D3, E1, F4, G7, H5 8A2, B7, C3, D6, E8, F5, G1, H4 9A2, B7, C5, D8, E1, F4, G6, H3

10A3, B5, C2, D8, E1, F7, G4, H6 11A3, B5, C8, D4, E1, F7, G2, H6 12A3, B6, C2, D5, E8, F1, G7, H4

4.1. ISTORIJAT TEORIJE GRAFOVA 9

Na prethodnoj slici levo je prikazano prvo od gore navedenih rexenja.

Sada emo navesti jox nekoliko zanimljivih xahovskih problema.

Xahovska figura mahar a (ponegde se naziva i ,,superdama“) je figura koja se istovremeno kree kao dama i skakaq. Zanimljiva igra (tzv. mahara a) je vezana za ovu figuru.

Beli ima samo jednog mahara u, a crni sve figure, koje se kreu i nalaze na poqetku prema pravilima xahovske igre. Beli je pobednik ako matira crnog, a crni ako pojede mahar u.

Problem sliqan prethodnom je:

Na koliko naqina je mogue postaviti 10 mahara a na xahovsku tablu 10× 10? M. Risti je pokazao pomou raqunara da je to mogue na taqno 4 naqina.

U xahovskoj literaturi poznat je i Problem 5 dama. On glasi:

Koliko je najmanje dama potrebno postaviti na xahovsku tablu (8×8) da bi sva polja bila napadnuta? (Podrazumeva se da dama napada i polje ne kojem se nalazi!)

Odgovor je: ,,Potrebno je najmanje 5 dama“. Postavlja se pitanje na koliko naqina je mogue postaviti tih 5 dama. Ukupno postoji 4860 rexenja, koja je mukotrpnim prebrojavanjem naxao Sili (ma. K. Szily) 1902. godine. Jedno rexenje je dato na prethodnoj slici desno. Rex- enja problema 5 dama predstavljaju minimalne dominirajue skupove u grafu pridruenom xahovskoj figuri dami.

4. Kejli je engleski matematiqar koji je 1857. godine uveo u matematiku pojam stabla. Koncept stabla su koristili fon Staut (nem. Karl von Staudt, 1798-1867; u Geometrie die Lage) i Kirhof desetak godina ranije, ali je Kejli (koji nije bio upoznat sa ovim ranijim rezultatima) ponovo otkrio ovaj pojam i bio je prvi koji je iskoristio ovaj pojam u pisanom radu. Skoro u isto vreme (oko 1859.) otkrivene su strukturne formule hemijskih jedinjenja. Kejli je naxao vezu izmeu ova 2 pojma (on je povezao stabla i strukturne formule alkana – jedinjenja formule CnH2n+2) i u radu ,,O matematiqkoj teoriji izomera“ iz 1874. godine je postavio kamen temeljac nauqne discipline Hemijske teorije grafova. Na sledeoj slici su 2 alkana koji imaju formulu C6H14 (imaju istu formulu – oni su izomeri) i odgovarajua stabla (kod kojih su qvorovi ugljenikovi atomi, a grane veze meu njima).

w w w w w w

C C C C C CH H

H H H H

H H H H

H

H

H

H

w w w w w

w

C C C C

C

C

H H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

Kejli je pokuxao da pronae broj izomera In alkana CnH2n+2, nije uspeo u tome, mada je dao nekoliko vanih rezultata vezanih za prebrojavanje stabala. Do rexenja ovog problema se doxlo mnogo kasnije – broj izomernih alkana su odredili 1931. godine hemiqari Hinze i Bler (eng. Henze, Blair), a opxti metod za rexavanje ovakvih enumerativnih problema je pronaxao maarsko-ameriqki matematiqar or Polja 1937. godine.

Kejlijev metod je bio veoma robustan, ali mu ordan (fra. Marie Ennemond Jordan, 1838-1922) znaqajno pojednostavio procedure uvodei pojmove centroida i bicentroida, odnosno centra i bicentra, u datom stablu. Na Kejlijeve rezultate su se nadovezali engleski matematiqari Silvester i Kliford (eng. Sylvester, Clifford). Da bi predstavio preko diagrama vezu izmeu hemijskih atoma i binarnih kvantova (eng. bynary quantics) je uveo grafiqku notaciju, tj. krae reqeno grafove. Silvester je prvi iskoristio req graf (u smislu Teorije grafova) u jednoj priblexki o teoriji invarijanti u hemiji.

10 4. TEORIJA GRAFOVA

Kasnije, 1889. godine, Kejli je saopxtio svoju formulu za broj oznaqenih stabala sa n qvoro- va, tj. rekao je da ih ima nn−2. Meutim, on je proverio samo za vrednosti n 6 5. Dokaz je kasnije, 1918. godine, dao Prifer (nem. H.Prüfer). Ali ni to tvrenje nije prvi otkrio Kejli — do njega je 1860. godine doxao Karl Borhart (neg. Carl Borchardt, 1817-1880) a Kejli je pot- puno nezavisno od ovog rezultata doxao do formule koja po njemu nosi ime 19 godina kasnije. Od tada je naeno mnoxtvo razliqitih dokaza. Qak je 1970. godine Kanaanin on Mun (eng. John W. Moon) napisao qitavu knjigu o prebrojavanju razapinjuih stabala – Counting Labelled Trees.

5. Engleski matematiqar ser Vilijam Hamilton je 1859. godine sastavio zanimljivu slagalicu, koja je koristila ivice regularnog dodekaedra (taqnije grana ravanskog grafa koji reprezen- tuje dodekaedar). Prema njemu je kontura koja prolazi kroz sve qvorove grafa taqno jednom (tako da ni kroz jednu granu ne prolazi vixe od jedanput) dobila ime — Hamiltonova kontu- ra. Na narednoj slici (levo) je prikazan graf dodekaedra sa odgovarajuom Hamiltonovom konturom (niz qvorova 123− . . .− 19201).

I pre Hamiltona su se sliqnim problemima, koji su doxli iz rekreativne matematike, bav- ili mnogi matematiqari. Najpoznatiji takav problem je Problem konjiqkog skoka kojim su se bavili i Ojler, Moavr, Vandermond (fra. Moivre, Vandermonde) i Kirxak (nem. Kürschak). Na gornjoj slici desno je prikazano jedno rexenje na klasiqnoj xahovskoj tabli 8 × 8. For- muliximo taj problem.

Da li je mogue skakaqem obii sva polja xahovske table, tako da se svako polje obie taqno jedanput?

Sada emo dati i grafovsku formulaciju Problema konjiqkog skoka.

Da li u grafu pridruenom skakaqu postoji Hamiltonov put?

O Problemu konjiqkog skoka postoji obimna literatura. Ispitivana je ne samo egzisten- cija rexenja na xahovskim tablama razliqitih dimenzija, ve i naqin konstrukcije i broj rexenja. Dokazano je da Problem konjiqkog skoka ima rexenje na svim pravougaonim tablama dimenzija m× n za m,n > 3, izuzev tabli 3× 3, 3× 5, 3× 6 i 4× 4. Iako rexenje Hamiltonove slagalice nije mnogo texko pronai, matematiqari su i dan danas zaokupljeni problemima vezanim za Hamiltonove konture, poput onih koji trae potrebne i dovoljne uslove da bi graf posedovao Hamiltonovu konturu ili Hamiltonov put. Najpoznatije takve teoreme su dali Redei (ma. Rédei), Dirak, Ore (Ore) i Poxa (ma. rm Posa).

Jox jedan veoma bitan problem je povezan sa Hamiltonovom konturom — to je Problem trgo- vaqkog putnika.

Dat je skup od n gradova koje trgovaqki putnik treba da poseti po jedanput, takvim redosledom da troxkovi puta budu minimalni.

Sada emo navesti i grafovsku formulaciju Problema trgovaqkog putnika.

U zadatom teinskom grafu odrediti Hamiltonovu konturu najmanje teine.

4.1. ISTORIJAT TEORIJE GRAFOVA 11

Ovaj klasiqan problem Teorije grafova je dobio znaqajnu panju i u Operacionim is- traivanjima, kao i kompjuterstvu (eng. computer science). Kako sam problem traenja mini- malne Hamiltonove konture iziskuje mnog vremena (qak i raqunarskog!) do danas je pronaeno mnoxtvo heuristika koje daju priblino optimalno rexenje Problema trgovaqkog putnika. Za rexavanje Problema trgovaqkog putnika koristi se metoda grananja i odluqivanja, koja se naziva i implicitna enumeracija. Za razliku od eksplicitne enumeracije (kod kojih probamo sve mogue permutacije skupa qvorova), ovde prostor moguih rexenja delimo na manje delove (grananje) i to vixe puta pri qemu se pojedini delovi prostora rexenja odbacuju na osnovu procene vrednosti funkcije koja se minimizira (ograniqavanje).

Dokazano je da je Problem trgovaqkog putnika NP -potpun problem. Svi poznati algoritmi za NP -potpune probleme imaju eksponencijalnu sloenost. To je u vezi sa hipotezom P 6= NP . Poznato je da ako bi za jedan NP -potpun problem postojao polinomijalni algoritam, tada bi postojao polinomijalni algoritam za svaki NP -problem.

Generalizacije problema trgovaqkog putnika naxle su primene u radu robotskih maxina koji obrauju matiqne ploqe raqunara, ali i u svemirskim istraivanjima. Npr. satelit Rosat, koji je zajedniqki projekat SAD, Engleske i Nemaqke, u periodu od 1990. do 1998. godine obilazio je oko planete Zemlje. On je nosio teleskop koji je merio koliqinu X-zraqenja koje dolazi sa zvezda. Da bi uxtedeli i vreme i energiju koju troxi teleskop, pribegnuto je kombinatornoj optimizaciji za traenje Hamiltonove konture kroz nekoliko miliona zvezda. Tim postupkom je posao obavljen za duplo krae vreme.

7. Problem planarnih grafova (tj. koji se grafovi mogu predstaviti u ravni, tako da im se grane ne seku) je bio jedan od najzanimljivijih otvorenih problema teorije grafova 20-tih godina proxlog veka. Poljski matematiqar Kuratovski je 1930. godine godine klasifikovao sve planarne grafove, dokazavxi (po njemu kasnije nazvanu) Teoremu Kuratovskog o planarnim grafovima.

Graf je planaran ako i samo ako kao svoju potpodelu ne sadri ni pentagraf K5, ni bitri-graf K3,3.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

15. Problem 4 boje su rexili Kenet Apel i Volfgang Heken. Oni su 1976. godine zamrxenom kompjuterskom analizom koja je sadrala analizu 1936 osnovnih konfiguracija. Njihov dokaz je veoma dug i komplikovan i oslanja se na teorijske rezultate niza matematiqara koji su objavljivani prethodnih decenija, kao i na znaqajan rad raqunara. Tada je utroxeno oko 1200 qasova (50 dana!) raqunarskog vremena. Danas je neizvesno da li e biti mogue dokazati Problem 4 boje koji se ne poziva na rad raqunara.

Problem 4 boje tvrdi da se svaka geografska karta moe obojiti sa 4 boje tako da svaka drava bude obojena jednom od boja i da susedne drave ne budu obojene is- tom bojom. Pod susednim dravama se podrazumevaju drave koje imaju zajedniqku graniqnu liniju (a ne one koje imaju jednu ili vixe izolovanih zajedniqkih graniq- nih taqaka). Takoe, smatra se da je celokupna teritorija jedne drave iz jednog dela (tj. nije dozvoljeno da se jedna drava sastoji iz vixe odvojenih delova, xto je sluqaj kod nekih stvarnih drava). Ovaj problem se odnosi ne samo na stvarne geografske karte, ve na sve karte koje se mogu zamisliti (tj. treba ga pokazati za proizvoljnu kartu).

Ovo je dugo bio jedan od najpoznatijih nerexenih problema teorije grafova izmeu ostalog jer ima i burnu i zanimljivu istoriju. Engleski matematiqar Fransis Gutri (eng. Francis Guthrie, 1831-1899) je istraivao ovaj problem negde oko 1850. godine. Gutri se zainteresovao za opxti problem, nakon xto je obojio sa 4 boje mapu Engleske (tj. njene okruge). Ubrzo nakon

12 4. TEORIJA GRAFOVA

toga on je pokazao Problem 4 boje svom mlaem bratu Frederiku (eng. Frederick Guthrie, 1833- 1866), koji je bio student Avgusta Demorgana (eng. Augustus DeMorgan, 1806-1871). Demorgan je 1952. godine saopxtio problem ser Vilijamu Hamiltonu (eng. sir William Hamilton, 1805- 1865), kod koga je ostao nezapaem narednih 25 godina. Tada, 1878. godine, nauqna zajhednica je upoznata sa Problemom 4 boje, kroz saopxtenje Artura Kejlija na sastanku Londonskog druxtva matematiqara (eng. London Mathematical Society). Sledee, 1979. godine, Kejli je formulisao problem u prvoj svesci Radova Kraljevskog druxtva geografa (eng. Proceedings of the Royal Geographical Society). Ubrzo nakon toga je britanski advokat (i amater–matematiqar) ser Alfred Kemp (eng. sir Alfred Kempe, 1849-1922) dao dokaz koji nije dovoen u pitanje vixe od decenije. Ipak, 1890. godine, britanski matematiqar Hivud (eng. Percy John Heawood, 1861- 1955) je pronaxao grexku u Kempovom radu. Kempov ,,dokaz“ je svakako najpoznatiji, ali nije jedini u literaturi se u poslednjih stotinjak godina pojavilo vixe ,,dokaza“ koji su se odmah ili nakon nekog vremena pokazali netaqnim. Ovaj dokaz je bitan jer se njogovom preradom pokazuje slabiji Problem 5 boja (tj. da se svaka karta moe obojiti sa 5 boja). Progres u istraivanju problema 4 boje je bio veoma spor. 1913. godine Birhof (nem. Birkhoff) je pokazao da su odreene konfiguracije karte reducibilne, u smislu da se bojenje ostatka karte u 4 boje moe proxiriti na bojenje cele karte. Ova ideja sa reducibilnoxu se pokazala kao glavna u dokazu ovog tvrenja. 1922. godine Frenklin (eng. Franklin) je iskoristio reducibilnost da dokae teoremu za karte koje sadre ne vixe od 25 drava. U narednih 40-tak godina taj broj je poboljxan na 95 drava. Konaqno, 1976. godine, su Apel, Heken i Koh (eng. Koch), uz korixenje ideja Hixa (eng. Heesch), rexili Problem 4 boje.

4.2. OSNOVNI POJMOVI I TVRENjA 13

4.2 Osnovni pojmovi i tvrenja Teorije grafova

DEFINICIJA 4.2.1. Graf Γ je ureeni par (V, E). Elementi skupa V se zovu qvorovi (eng. vertex, mn. vertices), a elementi skupa E grane (eng. edge, mn. edges) grafa G. Za dati graf Γ, skup qvorova se oznaqava sa V (Γ), a skup grana sa E(Γ).

Najqexe emo uzimati da je u grafu broj qvorova |V (Γ)| = n, a broj grana |E(Γ)| = m (ako se ne naglasi drugaqije).

Multigrafovi su grafovi kod kojih se izmeu dva qvora nalazi vixe od jedne grane (i samim tim E vixe nije skup nego multiskup). Tada govorimo o vixestrukim granama izmeu 2 fiksirana qvora.

Najqexe emo se baditi sa neorijentisanim grafovima bez petlji (petlja je grana koja ima i poqetak i kraj u istom qvoru) i vixestrukih grana (tj. E ⊆ (V2

) , gde je

( V 2

) skup svih dvoelementnih

podskupova skupa V ). Takvi grafovi se nazivaju prosti grafovi.

DEFINICIJA 4.2.2. Dva qvora neorijentisanog grafa bez petlji, u i v, su susedni ako su spojeni granom e = {u, v}. Za qvor u i granu e kaemo da su incidentni (tada su i v i e incidentni). Grana e = {u, v} se skraeno pixe e = uv. Dve grane su susedne ako imaju zajedniqki qvor.

Grana koja spaja qvor sa samim sobom naziva se petlja. Broj susednih qvorova qvoru v zove se stepen qvora v i oznaqava sa d(v) (skraeno od engleske

reqi degree; ponegde se stepen qvora naziva i valency). Qvor koji nema suseda nazivamo izolovan qvor. Dva susedna qvora su krajnje taqke grane koja ih spaja. Stepen qvora moe se definisati i kao broj grana koje se stiqu u tom qvoru.

Najmanji stepen qvora u grafu G oznaqavamo sa δ(Γ), tj. δ(Γ) = min u∈V

d(u). Najvei stepen qvora u

grafu Γ oznaqavamo sa ∆(Γ), tj. ∆(Γ) = max u∈V

d(u).

Graf Γ je r-regularan ako je stepen svakog qvora jednak r (za r-regularne grafove vai jednakost δ(Γ) = ∆(Γ) = r).

Kod orijentisanih grafova ili digrafova, su sve grane e = (u, v) orijentisane, tj. bitan je re- dosled qvorova. Za granu e = (u, v) kaemo da vodi iz qvora u u qvor v (tj. da izlazi iz qvora v, a ulazi u qvor u). Izlazni stepen qvora v, u oznaci d+(v), je broj grana koje vode iz qvora v. Ulazni stepen qvora v, u oznaci d−(v), je broj grana koje vode u qvor v. Petlja se obiqno smatra i ulaznom i izlaznom granom za odgovarajui qvor. Uskup (engleski inset), I(v) = {x | (x, v) ∈ E}, je skup svih qvorova iz kojih vodi grana u qvor v. Vanskup (engleski outset), O(v) = {x | (v, x) ∈ E}, je skup svih qvorova u koje vodi grana iz qvora v. Vidimo da je d−(v) = |I(v)| i d+(v) = |O(v)|.

Sada emo navesti nekoliko teorema koje vae za stepene qvorova (neka je V = {v1, v2, . . . , vn} skup qvorova, a m broj grana grafa Γ).

TEOREMA 4.2.3. U neorijentisanom grafu Γ, koji ima n > 2 qvora, postoje bar 2 qvora istog stepena.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno da ne postoje 2 qvora istog stepena. Neorijentisan graf Γ ima n qvorova te kako svaki njegov qvor v moe biti susedan sa nekim

od preostalih n− 1 qvorova (iz V \ {v}) dobijamo da za stepen svakog njegovog qvora v vai da je d(v) ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Kako ne postoje 2 qvora istog stepena i kako ukupno ima n qvorova to e oni za stepene imati sve brojeve iz skupa {0, 1, 2, . . . , n− 1}. Ali tada imamo qvor qiji je stepen 0 (to je qvor koji nije susedan ni sa jednim od preostalih), kao i qvor qiji je stepen n − 1 (to je qvor koji je susedan sa svim ostalim qvorovima), xto je nemogue.

Kako smo dobili kotradikciju, polazna pretpostavka da ne postoje bar 2 qvora istog stepena nije taqna, qime je tvrenje teoreme pokazano.

14 4. TEORIJA GRAFOVA

TEOREMA 4.2.4. U neorijentisanom grafu Γ vai da je zbir svih stepena qvorova jednak dvostrukom broju grana, tj. d(v1) + d(v2) + . . . + d(vn) = 2m.

Dokaz. Stepen qvora predstavlja broj grana koje su incidentne sa datim qvorom. Stoga, ako saberemo sve stepene qvorova, mi emo prebrojati sve grane i to svaku 2 puta (po jednom kod svakog njenog kraja). Time je tvrenje pokazano.

TEOREMA 4.2.5. U neorijentisanom grafu Γ broj qvorova neparnog stepena je paran.

Dokaz. Ovo tvrenje je direktna posledica prethodne teoreme, jer je broj na desnoj strani jednakosti paran, pa i zbir na levoj strani mora biti paran, xto je mogue samo ukoliko je broj qvorova neparnog stepena paran.

Moemo dati i tvrenje koje nam kae da li postoji neorijentisani graf bez petlji (tj. prost graf) sa datim stepenima qvorova. Navexemo ga bez dokaza.

DEFINICIJA 4.2.6. Niz celih brojeva (d1, d2, . . . , dn) je grafiqki ako postoji graf G sa skupom qvorova V (G) = {v1, v2, . . . , vn} tako da je dG(vi) = di.

TEOREMA 4.2.7. Nerastui niz celih brojeva v = (d1, d2, . . . , dn), gde je n−1>d1>d2>· · ·>dn>0, je grafiqki ako i samo ako je niz v′ = (d2 1, d3 1, . . . , dd1+1 1, dd1+2, . . . , dn) grafiqki (tj. ako i samo ako je niz w, koji se dobija od v′ sortiranjem tako da bude nerastui, grafiqki).

Sada emo navesti i jedno tvrenje vezano za stepene qvorova u orijentisanom grafu.

TEOREMA 4.2.8. U orijentisanom grafu Γ vai

d−(v1) + d−(v2) + . . . + d−(vn) = m = d+(v1) + d+(v2) + . . . + d+(vn).

Dokaz. Dokaz je analogan dokazu Teoreme 4.2.4, samo xto sada kad brojimo ulazne stepene, brojimo grane koje ulaze u qvor i to nam daje prvu jednakost d−(v1) + d−(v2) + . . . + d−(vn) = m, dok kad brojimo izlazne stepene, brojimo grane koje izlaze iz qvorova, xto je drugi deo jednakosti, d+(v1) + d+(v2) + . . . + d+(vn) = m.

Sada emo navesti neke od osnovnih tipova grafova.

DEFINICIJA 4.2.9. Prazan graf, K n, sa n qvorova je graf koji nema nijednu granu. Kompletan graf, Kn, sa n qvorova je graf kod koga je svaki qvor susedan sa svim ostalim.

Kompletan bipartitan graf, Km,n, je graf koji ima 2 komponenete (jednu sa m, a drugu sa n qvoro- va), takav da qvorovi iz iste komponente nisu spojeni granom, dok su svi qvorovi iz razliqitih komponenti spojeni granom. Bipartitan graf je bilo koji podgraf kompletnog bipartitnog grafa.

Ovaj pojam se moe proxiriti na k-partitne grafove, tako xto imamo k komponenti umesto 2.

Put Pn je povezan graf koji ima sve qvorove stepena 2, sem dva (,,krajnja“) koji su stepena 1.

Kontura Cn je povezan graf koji ima sve qvorove stepena 2.

Toqak Wn = K1 ∨ Cn−1 je graf koji se sastoji od konture Cn−1 i jox jednog qvora koji je povezan sa svim ostalim (ako taj qvor stavimo u centar konture dobijamo sliku koja vizuelno podsea na toqak!).

Zvezda Sn = K1 ∨K n−1 je graf koji ima 1 qvor koji je povezan sa svim ostalim i pored tih grana nema drugih.

Ove grafove emo prikazati na sledeoj slici.

4.2. OSNOVNI POJMOVI I TVRENjA 15

1 2

3

4

5 6

7

8

9

10

4 5 6 7 8

1 2 3 12

3

4

5 6 7

8

9

1

2

3

4

5 1

2

3

4

5 6

7

8

9

10 2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

K10 K3,5 K1,2,3,3 P5 C10 W7 S7

DEFINICIJA 4.2.10. Graf Γ= (V ′, E′) je podgraf grafa Γ = (V, E) ako vai V ′ ⊆ V i E′ ⊆ E. Graf Γ je nadgraf grafa Γako je G′ podgraf grafa Γ.

Graf Γ= (V ′, E′) je indukovani podgraf grafa Γ = (V, E) ako vai V ′ ⊆ V i E′ = E ∩V 2. Za graf Γse kae i da je podgraf indukovan podskupom qvorova V ′. U stvari, podgraf Γse dobija od Γ tako xto iz Γ izbacimo sve qvorove koji nisu u skupu qvorova V ′ zajedno sa svim granama koje su im susedne (tj. ostaju samo grane koje povezuju qvorove iz V ′).

Podgraf indukovan skupom grana, a na istom skupu qvorova se naziva razapinjui podgraf, a ponegde u literaturi (kod naxeg akademika Dragoxa Cvetkovia, koji koristi termin podgraf za podgraf indukovan podskupom qvorova) naziva i delimiqni ili parcijalni graf grafa Γ = (V, E). Taqnije, to je graf H = (V, F ) za koji je F ⊆ E. U stvari, delimiqni graf dobijamo od grafa Γ tako xto ostavimo sve qvorove, a izbacimo grane koje nisu u skupu F . Kod istog autora podgraf se naziva delimiqni podgraf.

Binarna relacija ,,biti podgraf“ definisana u skupu svih grafova predstavlja relacije par- cijalnog ureenja u tom skupu (ova relacija nije relacija totalnog poretka).

Ako je e ∈ E, onda se sa Γ − e oznaqava podgraf (V, E \ {e}), tj. graf koji se dobija od grafa Γ izbacivanjem grane e. Ako je e /∈ E, onda se sa Γ + e oznaqava nadgraf (V,E ∪ {e}), tj. graf koji se dobija od grafa Γ dodavanjem grane e. Ako je S ⊆ V , onda se sa Γ− S oznaqava podgraf indukovan podskupom qvorova V \ S. Ako je S = {u}, tada se skraeno pixe Γ− u.

DEFINICIJA 4.2.11. Za grafove Γ1 = (V1, E1) i Γ2 = (V2, E2) kaemo da su izomorfni ako postoji bijekcija f : V1 7→ V2 tako da je {u, v} ∈ E1 ako i samo ako je {f(u), f(v)} ∈ E2 (analogno ako imamo orijentisane grane). Funkcija f se naziva izomorfizam grafova, a qinjenicu da su grafovi Γ1 i Γ2 izomorfni oznaqavamo sa Γ1 = Γ2 (koristiemo i Γ1 = Γ2 kada to ne moe dovesti do zabune).

DEFINICIJA 4.2.12. Graf Γ je komplement grafa Γ ako je V (Γ) = V (Γ) i 2 qvora su susedna u Γ ako i samo ako nisu susedni u Γ. Graf je samokomplementaran ako je izomorfan sa svojim komplementom.

PRIMER 4.2.13. Dati primer jednog samokomplementarnog grafa.

Rexenje. Kontura C5 predstavlja samokomplementaran graf. Na narednoj slici su pred- stavljeni C5 i C 5. Jedan izomorfizam izmeu ova 2 grafa je dat sa f : V (C5) → V (C 5), f =

( v1 v2 v3 v4 v5 v1 v3 v5 v2 v4

) .

v1

v2

v3 v4

v5

C5

v1

v2

v3 v4

v5

C 5 K5

Na poslednjoj slici je prikazan potpun graf K5 koji se dobija kada bismo uzeli sve grane grafa C5 (predstavljene crnom bojom) i sve grane grafa C 5 (predstavljene crvenom bojom).

16 4. TEORIJA GRAFOVA

DEFINICIJA 4.2.14. Za dati graf Γ = (V, E), njegov graf grana L(Γ) = (V1, E1) je graf qiji qvorovi predstavljaju grane grafa Γ, tj. V1 = E, a dva qvora iz V1 su susedna ako i samo ako su odgovarajue grane iz E susedne u grafu Γ. Operaciju pravljenja grafa grana moemo vixestruko ponavljati, te stoga uvodimo i sledee oznake: L0(Γ) = Γ, L1(Γ) = L(Γ) i Lk+1(Γ) = L

( Lk(Γ)

) .

PRIMER 4.2.15. Za graf Γ sa sledee slike levo odrediti njegov graf grana L(Γ), graf grana grafa grana L2(Γ), L3(Γ) i L4(Γ).

Rexenje. a

b

c d

a

b

c d

e

f g

h

e

f g

h

i j

k

l m

l m

ji

k

u

o r

n

s t

qp

u

r

n

o

s t

qp

Na prethodnoj slici su redom prikazani grafovi: Γ, L(Γ), L2(Γ), L3(Γ) i L4(Γ). Kod grafa Γ smo oznaqili samo grane crvenom brojom, a kod L(Γ) plavom bojom odgovarajue

qvorove da bismo naglasili njihovu vezu. To smo nastavili i kod sledeih grafova.

DEFINICIJA 4.2.16. Za dati graf Γ = (V, E), njegov totalni graf T (Γ) = (V2, E2) je graf qiji qvorovi predstavljaju i qvorove i grane grafa Γ, tj. V2 = V ∪E, a dva qvora iz V2 su susedna ako i samo ako su odgovarajui elementi iz V ∪E susedni (ako su iz istog skupa), ili incidentni (ako je jedan iz V , a drugi iz E).

PRIMER 4.2.17. Odrediti totalni graf T (K3) potpunog grafa K3.

Rexenje. 1

2 3

bc

a

bc

a

1

2 3

Kod grafa K3 (koji je prikazan na slici levo) smo oznaqili i qvorove i grane, a kod T (K3) samo qvorove da bismo naglasili njihovu vezu. Takoe je i naglaxen graf K3 (crvenom bojom je prikazan na obe slike) da bi videli da je on podgraf grafa T (K3). Takoe, i graf grana L(K3) (predstavljen plavom bojom na slici desno) je podgraf totalnog grafa T (K3).

DEFINICIJA 4.2.18. Put duine k u digrafu je svaki niz grana i qvorova

v0, u1, v1, u2, . . . , uk, vk

za koji vai da grana ui (i = 2, 3, . . . , k) poqinje u qvoru vi−1 (u kojem se zavrxava prethodna grana ui−1), a zavrxava u qvoru vi (iz koga polazi sledea grana ui+1). Put moe vixe puta da prolazi istom granom ili kroz isti qvor, kao i kroz petlje. Elementarni put ili prost put je put koji kroz svaki qvor grafa prolazi najvixe jedanput. Kruni put ili zatvoren put ili kontura je put koji se zavrxava u istom qvoru u kojem i poqinje. Kod neorijentisanih grafova put qesto zadajemo i samo nizom qvorova kroz koje prolazi v0, v1, . . . , vk (naravno uzastopni qvorovi u putu su susedni u grafu!). Za ovakav put kaemo da je put duine k koji povezuje qvorove v0 i vk.

4.2. OSNOVNI POJMOVI I TVRENjA 17

Napomena. Izraze put i kontura koristimo u 2 razliqita konteksta. Prvi kontekst za put je graf Pn koji smo opisali u Definiciji 4.2.9; drugi kontekst je za put

koji smo dali u prethodnoj definiciji. Prvi kontekst za konturu je graf Cn koji smo opisali u Definiciji 4.2.9; drugi kontekst je za elementarni kruni put (umesto izraza kontura ponekad se koristi i ciklus; eng. cycle) koji smo dali u prethodnoj definiciji.

Razlog je xto ovaj elementarni kruni put qini podgraf datog krafa koji je izomorfan sa grafom Ck, xto je prvi kontekst (sliqno i kod puta).

DEFINICIJA 4.2.19. Povezanost grafova. Qvorovi u i v grafa Γ su povezani ako u Γ postoji put qiji su krajnji qvorovi u i v. Graf Γ je povezan ako su svaka dva njegova qvora povezana. Graf Γ je nepovezan ako Γ nije povezan. Komponente grafa Γ su njegovi maksimalni povezani podgrafovi. Njihov broj oznaqavamo sa c(Γ). Neki autori koriste oznaku ω(Γ).

U grafu Γ qvor v je vezivni qvor (ponegde se naziva i artikulacioni qvor; eng. cut vertex ili articulation vertex) ukoliko se njegovim uklanjanjem (sa svim granama koje su incidentne sa njim) poveava broj komponenti, tj. c(Γ) < c− v). Grana e je most (eng. bridge ili cut edge ili isthmus) u grafu Γ ako se njenim uklanjanjem poveava broj komponenti, tj. c(Γ) < c− e).

Sada emo uvesti neke pojmove samo za povezane grafove.

DEFINICIJA 4.2.20. Ako su qvorovi u i v grafa Γ povezani, tada je rastojanje dΓ(u, v) od qvora u do qvora v jednako duini najkraeg puta izmeu qvorova u i v. Dijametar grafa Γ = (V, E) je dat sa D(Γ) = max

u,v∈V dΓ(u, v). Ekscentricitet qvora u je ²Γ(u) = max

v∈V dΓ(u, v). Radijus grafa Γ je

r(Γ) = min v∈V

²Γ(v). Rastojanje qvora u je dΓ(u) = X

v∈V dΓ(u, v).

Ekscentricitet qvora je rastojanje qvora u od njemu najudaljenijeg qvora, dijametar povezanog grafa Γ jednak je najveem ekscentricitetu nekog qvora tog grafa, dok je radijus grafa Γ jednak je iznosu najmanjeg ekscentriciteta. Rastojanje qvora u jednako je sumi rastojanja izmeu qvora u i svih ostalih qvorova grafa Γ (obratiti panju da imamo 2 veoma sliqne oznake: d(u) predstavlja stepen qvora u, dok smo sa dΓ(u) oznaqili rastojanje qvora u).

Svi qvorovi grafa qiji je ekscentricitet jednak radijusu obrazuju centar grafa.

Qvorove sa najmanjim ekscentricitetom moemo shvatiti kao svojevrsni centar grafa, dok qvorove sa najveim ekscentricitetom, analogno tome, moemo shvatiti kao periferiju grafa.

PRIMER 4.2.21. Odrediti rastojanja izmeu svih qvorova u grafu Γ sa sledee slike, kao i ekscentricitete qvorova.

a

b

c

d e

f

g

Rexenje. Rastojanja izmeu qvorova u grafu Γ su data u narednoj tabeli. U poslednjoj koloni se nalaze ekscentriciteti qvorova.

a b c d e f g ecc(v) a 0 1 1 2 3 4 4 4 b 1 0 2 1 2 3 3 3 c 1 2 0 1 2 3 3 3 d 2 1 1 0 1 2 2 2 e 3 2 2 1 0 1 1 3 f 4 3 3 2 1 0 2 4 g 4 3 3 2 1 2 0 4

Dijametar ovog grafa je 4, a radijus je 2.

18 4. TEORIJA GRAFOVA

Napomena. Matrica koja je dobijena u prethodnom primeru,

D(Γ) =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

0 1 1 2 3 4 4 1 0 2 1 2 3 3 1 2 0 1 2 3 3 2 1 1 0 1 2 2 3 2 2 1 0 1 1 4 3 3 2 1 0 2 4 3 3 2 1 2 0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

naziva se matrica rastojanja grafa (i sa njom emo se sresti kasnije).

Primetimo da u ovom konkretnom sluqaju vai da je D(Γ) = 2 · r(Γ), meutim, u opxtem sluqaju vai samo da je

r(Γ) 6 D(Γ) 6 2 · r(Γ). Primer grafa za koji vai da jednakost izmeu radijusa i dijametra je ciklus Cn, n > 3, za koji je r(Cn) = D(Cn) =

n 2

⌋ .

Postavlja se pitanje xta ako graf Γ nije povezan!? Rastojanje izmeu qvorova se tada moe definisati za svaki par qvorova koji pripada istoj komponenti povezanosti. Meutim, ako se qvorovi u i v nalaze u razliqitim komponentama grafa Γ, tada se po konvenciji uzima da je dΓ(u, v) = . U tom sluqaju su i dijametar i radijus grafa Γ nedefinisani (odnosno, moemo uzeti da su po konvenciji i oni jednaki ).

4.3. PREDSTAVLjANjE GRAFOVA 19

4.3 Razni naqini predstavljanja grafova

Matrica susedstva grafa

DEFINICIJA 4.3.1. Graf moe biti predstavljen i kvadratnom matricom qiji je red jednak broju qvorova grafa. Element aij jednak je broju grana koje polaze iz qvora vi, a zavrxavaju se u qvoru vj. Ova matrica se naziva matrica susedstva grafa i obeleava se sa A.

Ako dopustimo da dva qvora mogu biti spojena najvixe jednom granom iste orijentacije, tada elementi matrice A mogu biti samo 0 ili 1. Matrice sa ovakvim elementima nazivaju se dijadske ili sociometrijske matrice. Elementi matrice susedstva multigrafa su prirodni brojevi i nula. Matrica susedstva neorijentisanog grafa je simetriqna matrica, tj. za nju vai A = AT .

Trag matrice A je jednak zbiru elemenata na glavnoj dijagonali, tr A = nX

i=1

aii. Graf nema petlji

ako i samo ako je trA = 0.

DEFINICIJA 4.3.2. Matrica A je sliqna sa matricom B ako postoji regularna (nesingu- larna) matrica X takva da je A = X−1BX, i tada pixemo A ∼ B.

Napomena. Matrica susedstva grafa A zavisi od numeracije qvorova, ali se moe pokazati da su sve matrice susedstva jednog grafa meusobno sliqne. U ovom sluqaju je matrica X permutaciona matrica, tj. matrica koja u svakoj vrsti i svakoj koloni ima taqno jedan element 1 i sve ostale 0.

PRIMER 4.3.3. Na sledeoj slici imamo dva izomorfna grafa Γ1 i Γ2 (tj. imamo jedan isti graf sa 2 razliqite numeracije qvorova). Odrediti njihove matrice susedstva.

v1 v2 v3 v2 v3 v1

Γ1 Γ2

Rexenje. Ovim grafovima odgovaraju razliqite matrice susedstva. To su A1 = ‚‚‚‚‚‚ 0 1 0 1 0 1 0 1 0

‚‚‚‚‚‚ i

A2 = ‚‚‚‚‚‚ 0 0 1 0 0 1 1 1 0

‚‚‚‚‚‚ , ali su one sliqne jer postoji matrica X =

‚‚‚‚‚‚ 1 0 0 0 0 1 0 1 0

‚‚‚‚‚‚ , takva da je A1 = X−1A2X. Oba

grafa Γ1 i Γ2 predstavljaju isti graf – put sa 3 qvora, P3.

TEOREMA 4.3.4. Grafovi Γ1 i Γ2 su izomorfni ako i samo ako su njihove matrice sused- stva permutaciono sliqne, tj. ako i samo ako postoji permutaciona matrica P takva da je AΓ2 = PAΓ1P

1.

TEOREMA 4.3.5. Broj puteva duine k koji spajaju qvorove vi i vj jednak je elementu a (k) ij , tj.

elementu na poziciji (i, j) u matrici Ak.

Dokaz. Tvrenje emo pokazati matematiqkom indukcijom po k. Za k = 0 (A0 = I) i za k = 1 (A1 = A je matrica susedstva) tvrenje je taqno. X Neka je tvrenje taqno za k = K. Iz jednakosti a(K+1)ij =

nX

t=1

a (K) i t atj, zakljuqujemo da je a

(K+1) ij jednak broju puteva duine K + 1

koji spajaju qvorove vi i vj. X Na osnovu Principa matematiqke indukcije dobijamo da tvrenje vai za svaki k ∈ N.

20 4. TEORIJA GRAFOVA

Lista susedstva grafa

Ve smo rekli da se grafovi mogu upotrebiti za modeliranje i rexavanje mnogih praktiqnih problema. Takve probleme rexavamo uz pomo raqunara i posebno za to pisanih programa, a kao prvi korak neophodno je da znamo kako se graf moe predstaviti u raqunaru. Postoje dva uobiqajena naqina za to: pomou listi susedstva i pomou matrice susedstva.

DEFINICIJA 4.3.6. Za svaki qvor u grafa Γ = (V, E), lista susedstva lu sadri sve qvorove koji su susedni sa njim u Γ,

lu = { v ∈ V : {u, v} ∈ E}

Svako od ovih predstavljanja ima svoje mane i prednosti. Osnovne razlike meu njima tiqu se potroxnje memorije i brzine kojom se moe ustanoviti da li su dva qvora susedna. Liste susedstva efikasno koriste memoriju jer je potrebno uskladixtiti svega 2|E| podataka, meutim, kada elimo da ustanovimo da li su qvorovi u i v susedni, moramo da pretraimo celu listu suseda za qvor u (ili qvor v). S druge strane, matrica susedstva sadri |V |2 podataka, bez obzira koliki je broj grana u grafu, ali se zato susedstvo qvorova u i v ispituje uvek u konstantnom vremenu pomou vrednosti Au,v.

S obzirom da je nexto jednostavnije napisati programe koji koriste matrice susedstva, one su danas najzastupljenije u praksi. Meutim, liste susedstva dobijaju primat kada treba smestiti graf sa velikim brojem qvorova, a relativno malim brojem grana (u poreenju sa |V |2).

PRIMER 4.3.7. Odrediti liste susedstva svih qvorova grafa Γ prikazanog na sledeoj slici. Odrediti i matricu susedstva grafa Γ.

a

b

c

d e

f

g

Rexenje. Liste susedstva i matrica susedstva grafa su date u sledeim tabelama.

u lu a {b, c} b {a, d} c {a, d} d {b, c, e} e {d, f, g} f {e} g {e}

a b c d e f g a 0 1 1 0 0 0 0 b 1 0 0 1 0 0 0 c 1 0 0 1 0 0 0 d 0 1 1 0 1 0 0 e 0 0 0 1 0 1 1 f 0 0 0 0 1 0 0 g 0 0 0 0 1 0 0

A =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

4.3. PREDSTAVLjANjE GRAFOVA 21

Matrica incidencije qvorova i grana

U sluqaju orijantisanih i neorijentisanih grafova imamo razliqite matrice incidencije.

DEFINICIJA 4.3.8. Neka je Γ = (V, E) neorijentisan graf kod koga je skup qvorova V (Γ) = {v1, v2, . . . , vn} i skup grana E = {e1, e2, . . . , em}. Tada je matrica incidencije qvorova i grana, R = [rij ] data sa

rij =

{ 1 qvor vi je incidentan sa granom ej 0 qvor vi nije incidentan sa granom ej

.

Ova matrica je matrica oblika n ×m. Broj jedinica u i-toj vrsti matrice R jednak je broju grana incidentnih sa qvorom vi, tj. stepenu qvora vi, d(vi). U svakoj koloni se nalaze po 2 jedinice, xto odgovara qinjenici da je svaka grana incidentna sa 2 qvora.

Ilustrujmo ovaj pojam na grafu iz Primera 4.3.9.

PRIMER 4.3.9. Odrediti matricu incidencije qvorova i grana grafa Γ.

a

b

c

d e

f

g

Rexenje.

ab ac bd cd de ef eg a 1 1 0 0 0 0 0 b 1 0 1 0 0 0 0 c 0 1 0 1 0 0 0 d 0 0 1 1 1 0 0 e 0 0 0 0 1 1 1 f 0 0 0 0 0 1 0 g 0 0 0 0 0 0 1

R =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

DEFINICIJA 4.3.10. Neka je Γ = (V, E) orijentisan graf kod koga je skup qvorova V (Γ) = {v1, v2, . . . , vn} i skup grana E = {e1, e2, . . . , em}. Tada je matrica incidencije qvorova i grana, S = [sij ]n,m data sa

sij =

  

1 ako grana ej izlazi iz qvora vi 0 ako grana ej i qvor vi nisu susedni 1 ako grana ej ulazi u qvor vi.

Ona se jox naziva i oznaqena (1, 0, 1)-matrica incidencije qvorova i grana.

Ova matrica je matrica oblika n ×m. Broj 1 u i-toj vrsti matrice R jednak je broju grana koje ulaze u qvor vi, tj. ulaznom stepenu qvora vi, d−(vi). Broj 1 u i-toj vrsti matrice R jednak je broju grana koje izlaze iz qvora vi, tj. izlaznom stepenu qvora vi, d+(vi). U svakoj koloni se nalaze po jedan element 1 i 1, xto odgovara qinjenici da je svaka grana izlazi iz taqno jednog qvora i ulazi u taqno jedan qvor.

22 4. TEORIJA GRAFOVA

Matrica rastojanja grafa

Neka je graf Γ povezan. Tada moemo uvesti jox jednu matricu — to je matrica rastojanja izmeu qvorova u tom grafu.

DEFINICIJA 4.3.11. Graf moe biti predstavljen i kvadratnom matricom D(Γ) qiji je red jednak broju qvorova grafa. Element dij jednak je rastojanju izmeu qvora vi i qvora vj. Ova matrica se naziva matrica rastojanja grafa.

Ako nam je poznata matrica rastojanja qvorova D(Γ) onda matricu susedstva A dobijamo tako xto sve elemente koji su vei od 1 zamenimo sa 0. Za obrnuti postupak postoji nekoliko algori- tama (jedan emo kasnije dati).

TEOREMA 4.3.12. Najkrai put koji povezuje 2 qvora u grafu sa n qvorova ne moe biti dui od n− 1.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno da je najkrai put P koji povezuje 2 qvora u i v duine s > n − 1. Tada se najkrai put P sastoji od s + 1 qvora (raqunajui i poqetni u i krajnji v): P = u = v0, v1, v2, . . . , vs−1, vs = v. Ali kako je s + 1 > n, po Dirihleovom principu ovaj put sadri 2 ista qvora. Neka su to vi i vj, uz i < j. Uoqimo put P ′ = v0, . . . , vi, vj+1, . . . , vs (dobijen izbacivanjem dela puta izmeu 2 boravka u istom qvoru vi = vj). Taj put je krai od P i povezuje qvorove v0 = u i vs = v, xto je u kontradikciji sa minimalnoxu puta P . Time je tvrenje pokazano.

Matricu D(Γ) moemo dobiti od matrice susedstva A grafa Γ sa n qvorova na jedan od sledeih naqina:

Dajkstrinim algoritmom moemo odrediti rastojanje izmeu 2 fiksirana qvora u grafu, pa taj algoritam moemo vixestruko primenjivati na sve parove qvorova u grafu;

Odrediti sve matrice I,A, A2, A3, . . . , An−1, pa onda na poziciju dij matrice D(Γ) upisujemo broj k takav da se na pozicijama (i, j) u matricama I,A, A2, . . . , Ak−1 nalazi 0, a u Ak je element vei od 0;

Flojd-Vorxalovim algoritmom. Sada emo navesti Flojd-Vorxalov algoritam. Prvo emo dati jednu napomenu. U prvom koraku ovog algoritma uvodimo oznaku (na kraju algoritma, ta e oznaka ostati

za sve qvorove koji nisu povezani). Ako neka 2 qvora nisu povezana onda moemo rei je njihovo rastojanje ,,beskonaqno“. Takoe razlog moemo nai i ako posmatramo neku elektriqnu xemu i ako prekinemo neku icu izmeu 2 qvora onda tu vixe nee tei struja iako imamo razliku potencijala izmeu ta 2 qvora (napon) te moemo rei da je izmeu ova 2 qvora ,,beskonaqna“ otpornost. U praktiqnim primena za moemo uzeti neki dovoljno veliki broj dosta vei od svih brojeva u A, npr. neki broj vei od n · max

16i,j6n aij.

D(Γ) := A i 0 van dijagonale se zamene sa for k := 1 to n

for i := 1 to n for j := 1 to n

dij := min(dij , dik + dkj) end for

end for end for

Napomena. Flojd-Vorxalov algoritam smo dali tako da radi i za teinske grafove (tj. grafove kod kojih nisu iste ,,duine“ grana). Ovim algoritmom moemo utvrditi i da li je graf povezan. Ako i samo ako u matrici D(Γ) imamo neki element koji je jednak onda je graf Γ nepovezan.

4.4. OJLEROVI GRAFOVI 23

4.4 Ojlerovi grafovi

Tvrenje Ojlerove teoreme emo formulisati u jaqem obliku, za multigrafove (tj. i ako izmeu 2 qvora ima vixe od jedne grane). Jedan od razloga je i xto je graf koji odgovara mostovima u Kenigsbergu ustvari multigraf (drugi vaniji razlog je xto e nam dokazivanje narednih teorema biti malo jednostavnije). Prosti grafovi (sa kojima najvixe radimo u ovoj knjizi) su specijalni sluqaj multigrafova kod kojih izmeu svaka 2 qvora postoji jedna ili nijedna grana.

Uvedimo nekoliko definicija koje su nam potrebne za naredne teoreme.

DEFINICIJA 4.4.1. Ojlerova kontura multigrafa Γ je zatvorena staza koja sadri sve grane iz Γ. (Multi)graf koji ima Ojlerovu konturu naziva se Ojlerov (multi)graf.

Ojlerov put u multigrafu Γ je staza koja sadri sve grane iz Γ (moe biti i da nije zatvorena staza). (Multi)graf koji ima Ojlerov put naziva se poluojlerov (multi)graf.

Prvo emo dati jedno pomono tvrenje.

TEOREMA 4.4.2. Ako je u grafu Γ najmanji stepen qvora δ > 2, onda Γ sadri ciklus.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno — da je Γ acikliqan. Tada je Γ xuma i svaka njena komponenta povezanosti H je stablo. Ali kako u svakom netrivijalnom stablu (ako je trivijalno sastoji se od jednog izolovanog qvora v i za njega treba da vai d(v)> δ >2, xto je kontradikcija jer je d(v) = 0) prema tvrenju za stabla u svakom stablu postoje bar 2 qvora stepena 1, dobijamo kontradikciju sa polaznom pretpostavkom δ > 2, te G sadri ciklus.

TEOREMA 4.4.3. Ojlerova teorema. Povezan multigraf sa bar jednom granom je Ojlerov ako i samo ako sadri sve qvorove parnog stepena.

Dokaz. ⇒: Ako se kreemo po Ojlerovoj konturi, onda uvek kada nekom granom uemo u neki qvor, moramo koristiti neku drugu granu (koju jox nismo koristili!) da izaemo iz toga qvora. Kako kod Ojlerove konture moramo proi kroz sve grane (i na kraju se vratiti u polazni qvor) dobijamo da su stepeni svih qvorova parni.

: Pretpostavimo da je stepen svakog qvora u povezanom multigrafu paran i pomou matem- atiqke indukcije (po broju grana) dokaimo da taj multigraf sadri Ojlerovu konturu.

Za povezani multigraf sa 2 grane tvrenje je taqno (to je multigraf s s). Pretpostavimo da je tvrenje taqno za sve multigrafove sa manje od m grana i posmatrajmo povezani multigraf Γ sa m grana kod koga su svi qvorovi parnog stepena.

Prema prethodnoj lemi postoji ciklus s u ovom grafu. Izbacimo iz multigrafa Γ grane iz s. Dobijeni podmultigraf H, ne mora biti povezan, ali mu svi qvorovi imaju paran stepen. Svaka od komponenti povezanosti Hi po induktivnoj pretpostavci sadri Ojlerovu konturu si (Ojlerovu u toj komponenti!). Kako je multigraf Γ bio povezan, svaka od staza s1, s2, . . . , sk ima bar jedan zajedniqki qvor sa zatvorenom stazom s. Traenu zatvorenu Ojlerovu stazu dobijamo tako xto se kreemo po stazi s i kad god naiemo na neki qvor u koji se nalazi na zatvorenoj stazi si koju nismo obixli, iz njega skrenemo i obiemo celu stazu si (na kraju tog obilaska smo ponovo u qvoru u), a zatim nastavljamo obilazak po stazi s (sa potrebnim skretanjima za ostale staze sj).

Time smo dobili da i za povezani multigraf sa m grana i svim qvorovima parnog stepena postoji Ojlerova kontura, pa po principu matematiqke indukcije ovaj smer teoreme vai za svaki multigraf koji ispunjava uslove.

Posledica prethodne teoreme je i sledee tvrenje.

POSLEDICA. 4.4.4. Povezan multigraf sa bar jednom granom je poluojlerov ako i samo ako sadri 0 ili 2 qvora neparnog stepena.

24 4. TEORIJA GRAFOVA

Dokaz. ⇒: Ako multigraf poseduje Ojlerov put (tj. zatvorenu Ojlerovu stazu ili Ojlerovu stazu), tada analogno kao i u prethodnoj teoremi dobijamo da svaki qvor (sem moda poqetnog i krajnjeg ako su razliqiti) ima paran stepen.

: Ako povezan multigraf ima 0 qvorova neparnog stepena onda zadovoljava uslove Ojlerove teoreme pa sadri (zatvorenu) Ojlerovu stazu.

Ako povezan multigraf Γ ima 2 qvora neparnog stepena (u i v) onda od njega moemo naprav- iti multigraf H, tako xto emo grafu Γ dodati jox jednu granu e = {u, v}. Graf H prema Ojlerovoj teoremi sadri Ojlerovu konturu. Izbacivanjem grane e iz ove Ojlerovu konturu do- bijamo Ojlerov put koji polazi iz qvora u i zavrxava se u qvoru v.

PRIMER 4.4.5. Na osnovu prethodne teoreme vidimo da obilazak mostova u Kenigsbergu nije mogu jer odgovarajui graf ima stepene qvorova 5,3,3,3, te on nije ni poluojlerov, a pogotovo nije Ojlerov.

Vratimo se sada na primer sa poqetka, vezan za postojanje Ojlerove konture.

PRIMER 4.4.6. Moe li se jednim potezom (bez dizanja olovke sa papira) nacrtati figura sa slike?

Rexenje. U odgovarajuem grafu imamo 5 qvorova koji imaju stepene 3,3,3,3,4, pa na osnovu Ojlerove teoreme u tom grafu ne postoji Ojlerov put (a samim tim ni Ojelrova kontura), te je datu sliku nemogue nacrtati jednim potezom.

U prethodnim teoremama smo dali potrebne i dovoljne uslove za egzistenciju Ojlerove konture, odnosno Ojlerovog puta. Sada emo dati postupak za nalaenje Ojlerove konture u Ojlerovom grafu (sa manjom modifikacijom dobijamo Ojlerov put). To je algoritam Flerija (eng. Fleury) koji konstruixe Ojlerovu konturu tako xto u svakom koraku bira most samo ako nema drugog izbora. Ulaz za ovaj algoritam je Ojlerov graf Γ, a izlaz je niz qvorova i grana W koji predstavljaju Ojlerovu konturu.

procedure Flerijev algoritam(G) v := v0

// pretpostavlja se da je izabran proizvoljan qvor v0 ∈ V (Γ) W := v0 H := Γ while E(H) 6=

// neka je do sad izabrana staza W = v0, e1, v1, . . . , ei, vi begin

izabrati ei+1 ∈ E(H) tako da vae uslovi: 1) ei+1 je susedna sa vi;

// tj. ei+1 = {vi, vi+1} 2) ei+1 nije most u H (izuzev ako nema drugog izbora).

W := W, ei+1, vi+1 H := H − ei+1

// iz H izbacimo ei+1, a u stazu W dopixemo ei+1 i vi+1 end

end procedure

Dokaz da Flerijev algoritam daje Ojlerovu konturu moe se nai u knjizi [5].

4.4. OJLEROVI GRAFOVI 25

Ojlerove konture su od interesa za organizacije koje u velikim gradovima domainstvima vrxe neke usluge (npr. raznose poxtu). Organizatori velikih izlobi moraju (ako hoe da posetioci vide sve eksponate i da prelaze xto manji put) da odrede jedan Ojlerov put u grafu odreenom izlobenim prostorom i stazama kroz njega. Najpoznatiji ovakav problem je Problem kineskog poxtara (dobio takvo ime jer ga je prvi razmatrao kineski matematiqar Kuan 1962. godine).

U poxti poxtar ujutru uzima pisma, obilazi ulice u svom reonu i na kraju radnog dana vraa se u poxtu. Poxtar e najracionalnije razneti pisma u svom reonu ako kroz svaku ulicu proe taqno jedanput. To je mogue samo ako je odgovarajui graf Ojlerov, a u ostalim sluqajevima se trai optimalno rexenje, tj. da poxtar odabere marx-rutu kojom e hodati xto je manje mogue. Ovaj problem je u literaturi poznat kao Problem kineskog poxtara.

Rexenje ovog problema dobija se kombinacijom Flerijevog algoritma i algoritma Edmondsa i onsona (eng. Edmonds, Johnson; 1974. godina). U algoritmu Edmondsa i onsona vrximo duplici- ranje postojeih ivica teinskog multigrafa Γ, tako da u teinskom Ojlerovom nadgrafu Γsuma X

e∈E) w(e) bude minimalna (ovde je funkcija w dodeljuje teinu svakoj grani). Zatim Flerijevim

algoritmom pronaemo Ojlerovu konturu u Γi to je traeni put poxtara.

komentari (0)
nema postavljenih komentara
budi prvi koji ce napisati!
ovo je samo pregled
3 shown on 45 pages
preuzmi dokument