Notes sur l'action de Nambu - Goto , Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur l'action de Nambu - Goto , Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur l'action de Nambu - Goto. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La surface, La fonctionnelle S, l'action de "Nambu-Goto", l'action de "Nambu-Goto condensée",
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Dans le cas d'une surface d'univers les paramètres sont donc par convention et , où

comme en relativité restreinte et général le temps propre peut être compris dans l'intervalle:

(52.32)

et le deuxième paramètre par contre ne peut être que positif puisqu'il s'agit d'une surface:

(52.33)

et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres sont donc:

(52.34)

Où encore une fois pour rappel, le paramètre est considéré comme la variable décrivant

l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et la variable décrivant l'extension dans l'espace

d'une corde (i.e. la condition correspond à la longueur finie de cette corde).

Les paramètres décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images :

(52.35)

Les extrémités de la corde ont une valeur constante. Cependant, comme le temps s'écoule et

que les extrémités de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une condition

essentielle de la surface d'Univers concernant les deux bouts d'une corde ouverte :

(52.36)

Remarque: Cette condition se fait sur la composante car elle correspond à la

composante du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est d'autre, en unités naturelles, que t (le

temps propre). Dès lors, le temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le fait d'imposer cette

dérivée comme différente de zéro.

Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notation des dérivées par rapport

au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures

suivantes :

(52.37)

où puisque:

(52.38)

alors:

(52.39)

La surface s'écrit donc:

(52.40)

Cependant, il y a un problème ici ! Effectivement, regardons si le radicante (terme sous la

racine) a une réalité physique tangible...

Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la

surface (nappe) décrite par une corde ouverte :

(52.41)

En chaque point P de cette nappe (supposée dérivable en tout point) il existe une infinité de

tangentes, toutes dans le même plan, que nous noterons pour l'exemple et qui forment donc

une surface tangente au point P.

Maintenant, comme l'espace dans lequel la nappe de la corde est plongée dans une base

orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs tangents peuvent alors aussi à leur tour

être décomposés dans une base orthogonale spatiale et temporelle locale bidimensionnelle au

point P tel que les vecteurs de cette base soient deux vecteurs:

(52.42)

tous les autres vecteurs tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.

Cependant un problème subsiste dans notre décomposition (...) : les unités des vecteurs de la

base orthogonale locale au point P ont des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons un facteur

de dimensionnement à la composante spatiale (cela est arbitraire car la conclusion sera

identique quelque soit la composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement)

:

(52.43)

ce facteur de dimensionnement peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs tangents

tel que :

(52.44)

Effectivement, si , alors pour nous obtenons le vecteur et

pour le vecteur . Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons

tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie gauche de la figure précédente.

Maintenons, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte qu'il existait

selon l'abscisse curviligne:

(52.45)

des lignes d'Univers de type lumière ( ), espace ( ) ou temps ( ) si nous

considérions les quadrivecteurs .

Il doit en être de même par analogie pour les vecteurs tangents à la surface et donc données

par:

(52.46)

Ainsi :

(52.47)

ce qui correspond à une équation du deuxième degré en , doit pour avoir des valeurs

négatives (surface d'Univers de type temps) ou positives (surface d'Univers de type espace) avoir

au moins deux racines (voir partie droite de la figure précédente). Cela nous ramène à la

condition que le discriminant soit strictement positif (cf. chapitre de Calcul Algèbrique) :

(52.48)

Soit :

(52.49)

sous forme condensée cela nous ramène à écrire :

(52.50)

La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte :

(52.51)

si nous voulons que le radicante ait un sens physique.

Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne

d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'Univers :

(52.52)

ce qui donne :

(52.53)

Ce qui nous amène très fréquemment dans la littérature à trouver l'action d'une corde sous la

forme suivante :

(52.54)

Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de Mécanique

Analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique Des

Champs) :

et (52.55)

La fonctionnelle S a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les ont une unité de

longueur et dans la racine chacun est à la puissance quatrième et que les unités s'annulent

entre l'intérieure de la racine et les différentielles en dehors.

Maintenant, par définition même de l'action, les unités que nous devons obtenir doivent

correspondre à celle d'une énergie multiplié par le temps, des joules J ou en utilisant le système

international, des . Pour l'instant, nous avons :

(52.56)

Pour obtenir pour l'action les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier l'expression

de la surface Apar une quantité ayant pour unités des . Pour choisir ces quantités, nous

allons nous inspirer de notre étude la mécanique ondulatoire. Quand nous avions travaillé avec

des cordes (non relativistes) nous avions vu que les propriétés à prendre en comptent étaient la

tension et la vitesse de l'onde de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de

prendre le rapport tension/vitesse suivant :

(52.57)

où apparaît donc la "tension de la corde au repos" et la vitesse de la lumière.

Remarque: Cela est similaire à la physique du point où dans l'action nous retrouvons la masse au

repos (équivalent de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière (cf. chapitre de

Relativité Restreinte).

Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant :

(52.58)

Remarque: Nous démontrerons pourquoi nous avons posé un facteur "-" plus loin. Cependant,

une petite analogie avec l'action d'une particule ponctuelle, pour lequel nous avons aussi un signe

"-" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), peut facilement déjà se faire.

Maintenant, au même titre que nous avions défini plus haut la métrique induite d'une surface

purement spatiale,

Dès lors :

(52.59)

ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle :

(52.60)

en utilisant le déterminant de cette matrice :

(52.61)

nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée

suivante :

(52.62)

qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.

Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons

pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination au début de

chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde.

Ainsi, nous récrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne tel

que :

(52.63)

où est donc définie par :

(52.64)

Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation

de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à

celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions

obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action :

et (52.65)

et que l'application du principe variationnel nous avait donné :

(52.66)

Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation

pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne :

(52.67)

Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des

développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme

différente) :

(52.68)

et comme nous l'avons faite au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous

allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si

vous préférez) de la corde en optant pour la notation :

(52.69)

où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le

souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) les moments longitudinaux et

transverses :

(52.70)

en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire :

(52.71)

Faisant usage des mêmes méthodes que celles vue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire,

notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

(52.72)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes

qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde

d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique donnée par :

(52.73)

Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermé (car

finalement dans les développements précédents à aucun moments nous n'avions contraints les

termes à êtres ouverts ou fermés).

Cette équation est horriblement difficile à résoudre mais le choix d'une paramétrisation

adéquate peut néanmoins simplifier la tâche

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