Notes sur l'action de Nambu - Goto , Notes de Astronomie

Télécharge Notes sur l'action de Nambu - Goto et plus Notes au format PDF de Astronomie sur Docsity uniquement! Dans le cas d'une surface d'univers les paramètres sont donc par convention et , où comme en relativité restreinte et général le temps propre peut être compris dans l'intervalle: (52.32) et le deuxième paramètre par contre ne peut être que positif puisqu'il s'agit d'une surface: (52.33) et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres sont donc: (52.34) Où encore une fois pour rappel, le paramètre est considéré comme la variable décrivant l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et la variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde (i.e. la condition correspond à la longueur finie de cette corde). Les paramètres décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images : (52.35) Les extrémités de la corde ont une valeur constante. Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une condition essentielle de la surface d'Univers concernant les deux bouts d'une corde ouverte : (52.36) Remarque: Cette condition se fait sur la composante car elle correspond à la composante du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est d'autre, en unités naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le fait d'imposer cette dérivée comme différente de zéro. Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notation des dérivées par rapport au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures suivantes : (52.37) où puisque: (52.38) alors: (52.39) La surface s'écrit donc: (52.40) Cependant, il y a un problème ici ! Effectivement, regardons si le radicante (terme sous la racine) a une réalité physique tangible... Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la surface (nappe) décrite par une corde ouverte : La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte : (52.51) si nous voulons que le radicante ait un sens physique. Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'Univers : (52.52) ce qui donne : (52.53) Ce qui nous amène très fréquemment dans la littérature à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante : (52.54) Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) : et (52.55) La fonctionnelle S a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à la puissance quatrième et que les unités s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles en dehors. Maintenant, par définition même de l'action, les unités que nous devons obtenir doivent correspondre à celle d'une énergie multiplié par le temps, des joules J ou en utilisant le système international, des . Pour l'instant, nous avons : (52.56) Pour obtenir pour l'action les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier l'expression de la surface Apar une quantité ayant pour unités des . Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer de notre étude la mécanique ondulatoire. Quand nous avions travaillé avec des cordes (non relativistes) nous avions vu que les propriétés à prendre en comptent étaient la tension et la vitesse de l'onde de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de prendre le rapport tension/vitesse suivant : (52.57) où apparaît donc la "tension de la corde au repos" et la vitesse de la lumière. Remarque: Cela est similaire à la physique du point où dans l'action nous retrouvons la masse au repos (équivalent de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant : (52.58) Remarque: Nous démontrerons pourquoi nous avons posé un facteur "-" plus loin. Cependant, une petite analogie avec l'action d'une particule ponctuelle, pour lequel nous avons aussi un signe "-" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), peut facilement déjà se faire. Maintenant, au même titre que nous avions défini plus haut la métrique induite d'une surface purement spatiale, Dès lors : (52.59) ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle : (52.60) en utilisant le déterminant de cette matrice : (52.61) nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée suivante : (52.62) qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste. Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination au début de chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde. Ainsi, nous récrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne tel que : (52.63) où est donc définie par : (52.64) Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action : et (52.65) et que l'application du principe variationnel nous avait donné : (52.66) Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne : (52.67) Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme différente) :