Notes sur le point de Lagrange - 1° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur le point de Lagrange - 1° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le point de Lagrange - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: schéma, exemples, POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU PREMIER TYPE.
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Un "point de Lagrange" (noté L), ou "point de libration", est une position de l'espace où les

champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles,

se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse

négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes.

Nous allons dans les développements qui vont suivre nous attarder à démontrer au mieux que

de tels points sont au nombre de 5 notés respectivement L1à L5.

Il peut être utile de faire une présentation de ces différents points et de leurs propriétés avant

de passer à la partie calculatoire. Cela aidant peut être à la compréhension du sujet.

Nous allons immédiatement considérer le schéma suivant :

(47.209)

Il existe cinq points de Lagrange :

- L1 : Sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci.

Exemple:

Nous considérons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur

une même ligne. Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne

donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre

contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus

cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient

exactement égale à celle de la Terre.

- L2 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite.

Exemple:

Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner

moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel

supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. À un certain point, le point L2, l'objet tourne

exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.

- L3 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande.

Exemple:

De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposé de la

Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

- L4 et L5 : Sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les

deux masses.

Exemple:

Il s'agit d'un subtil équilibre entre la force centripète exercée par les deux masses principales et

la force centrifuge des masses considérées aux points intéressés. L4 est en avance sur la plus

petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces deux points

sont parfois appelés "points de Lagrange triangulaires" ou "points troyens".

Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives des deux

autres corps comme nous le verrons.

Pour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan

perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses. Par exemple, pour le point L1, si nous

déplaçons un objet perpendiculairement à la ligne entre les deux masses, les deux forces

gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la position initiale. L'équilibre est stable. En

revanche, si nous le déplaçons vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va

l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus. L'équilibre est instable. Pour

les points L4 etL5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent sur les

objets s'éloignant du point.

Étant données les questions de stabilité évoquées plus haut, nous ne trouvons pas d'objet

naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le système solaire. Cependant, ils représentent tout

de même un intérêt pour les réalisations scientifiques, car ils permettent des économies de

combustible pour le contrôle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du

fait de son éloignement de la Terre dont la seule application était que les auteurs de science-

fiction et de bande dessinée aimaient y placer une Anti-Terre d'autant plus utopique que la

masse de cette planète-jumelle y était bien trop élevée par rapport à la théorie énoncée plus

haut. En revanche, des missions spatiales utilisent L1 et L2 : c'est le cas de la sonde SoHO (Solar

and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil située au point L1.

L4 et L5 étant stables, nous y trouvons de nombreux corps naturels. Dans le système Jupiter-

Soleil, plusieurs centaines d'astéroïdes, appelés astéroïdes Troyens, s'y agglutinent (près de

1800 en avril 2005). Nous en comptons quelques-uns dans les systèmes Neptune-Soleil et

Mars-Soleil. Curieusement, il semblerait que le système Saturne-Soleil ne soit pas en mesure

d'en accumuler, à cause des perturbations joviennes. Nous trouvons également des objets à ces

points dans le système Saturne-satellites de Saturne : Saturne-Téthys avec Télesto et Calypso

aux points L4 et L5, et Saturne-Dioné avec Hélène au point L4 et Pollux au point L5. Dans le

système Terre-Soleil, il n'y a pas d'objet connu de grande taille aux points Troyens, mais on y a

découvert une légère surabondance de poussière en 1950. De légers nuages de poussière sont

également présents pour le système Terre-Lune; cela a fait renoncer à y placer un télescope

spatial comme le projet en avait été envisagé. Le satellite SoHO occupe depuis 1995 le point L1

à 1.5 million de kilomètres de la Terre. En 2007 le point L2 sera occupé par le satellite Planck

chargé d'étudier le fond diffus cosmologique à 2.7 [°K].

A strictement parler ces 5 points existent uniquement pour deux corps en rotation circulaire

l'un autour de l'autre. Dès que l'orbite des deux corps est elliptique, ces points ne sont plus des

points d'équilibre. En pratique, si l'orbite est faiblement elliptique, comme c'est le cas pour les

planètes réelles, on peut trouver des orbites oscillantes stables ne s'écartant pas beaucoup des

régions correspondant aux points de Lagrange.

Nous allons donc considérer dans l'espace un système isolé de deux corps A et B, de

masse et , en interaction gravitationnelle. Ces deux corps sont en orbite l'un autour de

l'autre, à la manière d'un système de deux étoiles (système binaire) ou d'un système planète-

satellite (Saturne-Titan par exemple). Nous cherchons à déterminer s'il existe des positions

d'équilibre par rapport au système des deux corps en rotation pour un troisième corps (de

masse suffisamment faible pour ne pas perturber le mouvement du système des deux corps

principaux).

(47.210)

Soit O le barycentre (cf. chapitre de Mécanique Classique) de ces deux astres. Considérons un

repère galiléen (en mouvement rectiligne et uniforme donc!) d'origine O. Par rapport à ce

repère, nous supposerons que l'axe ABtourne à une vitesse angulaire constante d'axe

fixe (perpendiculaire à la page dans la figure ci-dessus et dirigé en direction du lecteur) et

que les distances et restent également constantes.

Nous savons par notre étude de la mécanique classique que dans un mouvement circulaire la

force centrifuge est donnée par:

(47.211)

Nous avons donc (équilibre en force centrifuge et centripète) pour assurer l'équilibre :

et (47.212)

En simplifiant et en sommant ces deux relations :

(47.213)

avec dans la suite .

Considérons un repère tournant R' lié à nos astres comme représenté sur la figure ci-dessus

: sera un vecteur unitaire colinéaire à AB, un vecteur unitaire perpendiculaire à et dans

le plan de rotation des planètes et finalement colinéaire à .

Nous considérons dans ce repère tournant (avec les astres) un troisième astre S de masse

négligeable m devant et , soumis à l'attraction gravitationnelle de A et B.

Maintenant notons l'accélération de S par rapport à R', sa vitesse et le vecteur

unitaire colinéaire à où S ' est le projeté de S dans le plan Oxy, et (dans la figure

ci-dessus, nous avons supposéS dans le plan Oxy, et donc S et S ' sont confondus).

S est donc soumis à deux forces, l'une dirigée vers A et l'autre dirigée vers B, forces

d'intensités respectives :

et (47.214)

Dans un repère galiléen, ces deux forces imposent à S une accélération donnée par la loi de

composition des accélérations dans un référentiel circulaire (cf. chapitre de Mécanique

Classique) :

(47.215)

Or, dans notre configuration la pulsation est constante et l'accélération d'entraînement est nulle

puisque nous avons posé R ' comme référentiel principal. Il vient donc :

(47.216)

Nous avons également :

(47.217)

où selon schéma toutes les composantes sont positives. Le calcul du produit vectoriel donne

(cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(47.218)

Donc finalement :

(47.219)

Ecrivons plutôt cette relation sous la forme :

(47.220)

Nous obtenons alors, en projetant sur les trois axes x, y et z, les dérivées prises par rapport au

temps t le système suivant :

(47.221)

avec :

et (47.222)

pour que les coordonnées du point S soit un point d'équilibre, il est bien évidemment

que dans le référentiel tournant avec les astres A et B que :

et (47.223)

Nous obtenons alors le système suivant :

(47.224)

Il vient par ailleurs immédiatement que la troisième équation à pour seule solution et

donc finalement le système se réduit à :

(47.225)

La troisième équation signifie simplement que les positions d'équilibre sont dans le

plan Oxy (on pouvait s'en douter un peu...). La deux autres nous le verrons nous amènent à

considérer cinq solution qui sont simplement nos cinq points de Lagrange L1,...,L5.

Si nous traçons avec un logiciel ad-hoc l'accélération (respectivement la force) avec les isoclines

mises en évidences (courbes sur lesquelles l'accélération à même norme) nous obtenons :

(47.226)

et en demandant au logiciel de tracer que les isoclines projetées sur un plan :

(47.227)

où nous avons mis en évidence les cinq points de Lagrange tels et où les astres sont

représentés par des points bleus et le barycentre du système par un point vert.

Le lecteur remarquera qu'il est difficile de deviner intuitivement cette configuration du

potentiel. Dans le référentiel tournant avec le barycentre des deux corps massifs, le potentiel

résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3

extrema L1, L2 et L3 sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2

corps, ce que l'on attend intuitivement. Les deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant

les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent au fait de la

contribution au potentiel du référentiel tournant ce qui peut être difficile à modéliser

intuitivement.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU PREMIER TYPE

Ce que nous entendons par les positions d'équilibre du premier type sont simplement les

solutions situées sur la droite AB tel que ce qui revient à étudier seulement :

(47.228)

avec dès lors :

et (47.229)

A cette situation nous allons considérer deux sous-cas possibles correspondant respectivement

à L1 et L2 comme nous allons de suite le voir.

POINT L1 DE LAGRANGE

Dans ce premier sous cas, nous considérons :

(47.230)

Ce qui revient aussi à avoir :

(47.231)

Ce qui nous permet d'écrire :

(47.232)

sous la forme simplifiée suivante :

(47.233)

Maintenant pour dire quelque chose sur les solutions possibles de cette équation dérivons le

membre de gauche. Nous obtenons alors :

(47.234)

Ce terme est strictement croissant de à lorsque x décrit . Il y a donc une

solution unique et un point d'équilibre noté L1 (premier point de Lagrange) entre A et B.

Si nous considérons typiquement le cas Terre-Soleil où et donc alors

en nous avons :

(47.235)

ce qui immédiatement négatif. La position d'équilibre sera donc obtenu pour une valeur positive

de x que nous allons devoir déterminer.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque tend vers 0

(correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus

petit), A tend alors vers O, vers 0 et donc :

(47.236)

avec . Dès lors, dans ce cas limite :

(47.237)

devient en approximation :

(47.238)

et donc :

(47.239)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera .

En d'autres termes, le point d'équilibre cherché L1 ici entre A et B se rapproche de B soit de

l'astre le moins massif (ce qui correspond bien à la première figure que nous avons utilisé pour

montrer l'emplacement des cinq points de Lagrange).

De par ce constat voici les développements que nous pouvons effectuer les calculs suivants :

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