Notes sur le point de Lagrange - 1° partie, Notes de Astronomie

Télécharge Notes sur le point de Lagrange - 1° partie et plus Notes au format PDF de Astronomie sur Docsity uniquement! Un "point de Lagrange" (noté L), ou "point de libration", est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes. Nous allons dans les développements qui vont suivre nous attarder à démontrer au mieux que de tels points sont au nombre de 5 notés respectivement L1à L5. Il peut être utile de faire une présentation de ces différents points et de leurs propriétés avant de passer à la partie calculatoire. Cela aidant peut être à la compréhension du sujet. Nous allons immédiatement considérer le schéma suivant : (47.209) Il existe cinq points de Lagrange : - L1 : Sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci. Exemple: Nous considérons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne. Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient exactement égale à celle de la Terre. - L2 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Exemple: Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. À un certain point, le point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil. - L3 : Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Exemple: De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre. - L4 et L5 : Sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses. Exemple: Il s'agit d'un subtil équilibre entre la force centripète exercée par les deux masses principales et la force centrifuge des masses considérées aux points intéressés. L4 est en avance sur la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces deux points sont parfois appelés "points de Lagrange triangulaires" ou "points troyens". Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives des deux autres corps comme nous le verrons. Pour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses. Par exemple, pour le point L1, si nous déplaçons un objet perpendiculairement à la ligne entre les deux masses, les deux forces gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la position initiale. L'équilibre est stable. En revanche, si nous le déplaçons vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus. L'équilibre est instable. Pour les points L4 etL5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant du point. Étant données les questions de stabilité évoquées plus haut, nous ne trouvons pas d'objet naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le système solaire. Cependant, ils représentent tout de même un intérêt pour les réalisations scientifiques, car ils permettent des économies de combustible pour le contrôle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du fait de son éloignement de la Terre dont la seule application était que les auteurs de science- fiction et de bande dessinée aimaient y placer une Anti-Terre d'autant plus utopique que la masse de cette planète-jumelle y était bien trop élevée par rapport à la théorie énoncée plus haut. En revanche, des missions spatiales utilisent L1 et L2 : c'est le cas de la sonde SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil située au point L1. L4 et L5 étant stables, nous y trouvons de nombreux corps naturels. Dans le système Jupiter- Soleil, plusieurs centaines d'astéroïdes, appelés astéroïdes Troyens, s'y agglutinent (près de 1800 en avril 2005). Nous en comptons quelques-uns dans les systèmes Neptune-Soleil et et (47.214) Dans un repère galiléen, ces deux forces imposent à S une accélération donnée par la loi de composition des accélérations dans un référentiel circulaire (cf. chapitre de Mécanique Classique) : (47.215) Or, dans notre configuration la pulsation est constante et l'accélération d'entraînement est nulle puisque nous avons posé R ' comme référentiel principal. Il vient donc : (47.216) Nous avons également : (47.217) où selon schéma toutes les composantes sont positives. Le calcul du produit vectoriel donne (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) : (47.218) Donc finalement : (47.219) Ecrivons plutôt cette relation sous la forme : (47.220) Nous obtenons alors, en projetant sur les trois axes x, y et z, les dérivées prises par rapport au temps t le système suivant : (47.221) avec : et (47.222) pour que les coordonnées du point S soit un point d'équilibre, il est bien évidemment que dans le référentiel tournant avec les astres A et B que : et (47.223) Nous obtenons alors le système suivant : (47.224) Il vient par ailleurs immédiatement que la troisième équation à pour seule solution et donc finalement le système se réduit à : (47.225) La troisième équation signifie simplement que les positions d'équilibre sont dans le plan Oxy (on pouvait s'en douter un peu...). La deux autres nous le verrons nous amènent à considérer cinq solution qui sont simplement nos cinq points de Lagrange L1,...,L5. Si nous traçons avec un logiciel ad-hoc l'accélération (respectivement la force) avec les isoclines mises en évidences (courbes sur lesquelles l'accélération à même norme) nous obtenons : (47.226) et en demandant au logiciel de tracer que les isoclines projetées sur un plan : (47.227) où nous avons mis en évidence les cinq points de Lagrange tels et où les astres sont représentés par des points bleus et le barycentre du système par un point vert. Le lecteur remarquera qu'il est difficile de deviner intuitivement cette configuration du potentiel. Dans le référentiel tournant avec le barycentre des deux corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema L1, L2 et L3 sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement. Les deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent au fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant ce qui peut être difficile à modéliser intuitivement.