matematica primo semestre, prima parte, Dispense di Matematica Generale

Scarica matematica primo semestre, prima parte e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! MATEMATICA – I SEMESTRE VETTORI E MATRICI I vettori e/o matrici sono quadri numerici con cui è possibile costruire regole di calcolo (un’algebra) molto comode, che ricordano analoghe operazioni sui numeri, e che si prestano a descrivere numerosi fenomeni economici e sociali. VETTORI DI Rn Vettori= “oggetti” che non possono essere descritti con un solo numero, ma ne richiedono una lista ordinata. Un vettore x è una n-upla ordinata di numeri reali. Il vettore può essere scritto in riga o in colonna. Si tratta di una lista di numeri con significato strettamente legato all’ordine con cui tali numeri sono elencati. Per i vettori si può assegnare un insieme di “regole di calcolo” parzialmente funzionanti come le analoghe regole di calcolo sui numeri. Se x è un vettore colonna, allora il vettore riga corrispondente viene segnato con una xt (trasposto) Esempio fisico di utilizzo di vettori e matrici è il magazzino aziendale che contiene (fino a) n merci. E’ naturale descrivere il contenuto del magazzino con una lista dove i numeri xi sono le quantità fisiche delle varie merci numerate con i=1,2,….n I numeri contenuti si dicono componenti del vettore e sono indicati con la stessa lettera usata per denotare il vettore. L’insieme di tutti i vettori con n componenti reali s’indica con Rn I vettori con 1,2,3 componenti si possono rappresentare geometricamente, rispettivamente su un asse, in un piano o nello spazio cartesiano a tre dimensioni. La rappresentazione può avvenire utilizzando punti o con frecce. Tra gli infiniti vettori di Rn ve ne sono n di particolare importanza, detti vettori fondamentali di Rn e denotati con i simboli e1, e2,…en. ogni vettore ei con i=1,…,n ha tutte le componenti tranne la i-esima che è unitaria. OPERAZIONI TRA VETTORI UGUAGLIANZA : due vettori sono uguali quando hanno lo stesso numero di componenti e le componenti d’ugual posto coincidono. Se x,y ∈ Rn, la scrittura x=y equivale alle n uguaglianze Proprietà caratteristiche uguaglianza : o x=x proprietà riflessiva o Se x=y, allora y=x proprietà simmetrica o Se x=y e y=z, allora x=z proprietà transitiva SOMMA Si dice che Rn è chiuso rispetto all’addizione tra i suoi elementi Proprietà caratteristiche della somma: o commutativa : x+y=y+x per ogni x,y ∈ Rn o associativa : (x+y)+z = x+(y+z) per ogni x,y ∈ Rn o esiste in Rn un vettore, denotato con 0, che, sommato a qualsiasi vettore x, ridà x stesso come somma. E’ il vettore nullo, con componenti tutte nulle. x+0=0+x=x per ogni x,y ∈ Rn o ogni vettore x ammette un opposto, ossia un vettore –x, che sommato a x, dà il vettore nullo. Il vettore –x s’ottiene da x cambiando il segno d’ogni componente x+(-x)=-x+x=0 per ogni x,y ∈ Rn PRODOTTO PER UNO SCALARE : è la moltiplicazione d’un vettore per un numero reale, è detta anche prodotto scalare-vettore. Moltiplicare ogni componente d’un vettore x per un numero c, il risultato è indicato indifferentemente con cx o con xc. Se x è un vettore con n componenti, anche cx è un vettore con n componenti: si dice che Rn è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare. Proprietà caratteristiche del prodotto scalare: o distributiva rispetto alla somma tra numeri : (c+c’)x = cx+c’x per ogni c,c’∈ R e per ogni x∈ Rn o distributiva rispetto alla somma tra vettori: c(x+x’) = cx+cx’ per ogni c ∈ R e per ogni x, x’∈ Rn o associativa : c’(cx)= (c’c)x per ogni c,c’∈ R e per ogni x∈ Rn o l’elemento neutro rispetto al prodotto tra numeri è tale anche rispetto al prodotto scalare- vettore 1x=x per ogni x∈ Rn In generale, se α ∈ R, x∈ Rn Il vettore somma di due vettori x e y s’ottiene con la nota regola del parallelogramma. Rn viene descritto come spazio vettoriale DIPENDENZA LINEARE TRA VETTORI Diciamo che k vettori x1, x2,….xk ∈ Rn sono linearmente dipendenti, quando uno almeno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dicono linearmente indipendenti. I vettori x1, x2,….xk ∈ Rn sono linearmente dipendenti se e solo se esiste una loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli uguale al vettore nullo, ossia se è possibile scrivere ∑ 𝑐𝑠𝑥𝑠 = 0𝑛 𝑠=1 con almeno un coefficiente cs ≠0. Gli n vettori fondamentali di Rn sono linearmente indipendenti. Infatti l’uguaglianza ∑ 𝑐𝑠𝑒𝑠 = 0𝑛 𝑠=1 è verificata solo se ogni cs =0 OSSERVAZIONI Se un insieme di vettori contiene il valore nullo, questi sono sicuramente linearmente dipendenti Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti, se hanno le componenti proporzionali ossia se sono l’uno “multiplo” dell’altro Dato un insieme di vettori linearmente dipendenti, è possibile scrivere uno di essi come combinazione lineare dei rimanenti. Ciò non significa che sia possibile scrivere ciascuno di essi come combinazione lineare degli altri Se a un insieme di vettori linearmente dipendenti, s’aggiungono altri vettori, la dipendenza lineare permane. Se a un insieme di vettori linearmente indipendenti, si tolgono dei vettori, l’indipendenza lineare permane. Dato un insieme di vettori x1, x2,….xk ∈ Rn, linearmente dipendenti, se a uno di essi si sostituisce un suo multiplo, la dipendenza lineare si conserva. Con multipli non nulli, lo stesso vale se i vettori sono indipendenti. Dato un insieme di vettori x1, x2,….xk ∈ Rn, linearmente dipendenti, se a uno di essi si somma un suo multiplo, la dipendenza lineare si conserva. Con multipli non nulli, lo stesso vale se i vettori sono indipendenti. Se i vettori x1, x2,….xk ∈ Rn, sono linearmente indipendenti, allora i vettori x1, x2,….xk ,y∈ Rn, sono linearmente dipendenti se e solo se y può essere espresso come combinazione lineare di x1, x2,….xk MATRICI Le matrici sono blocchi di vettori. Le righe della matrice si indicano con m, mentre le colonne con n. Una matrice si può denotare con A o con [ars]. Si dice che A è di tipo m x n, ovvero Rmxn. Per le matrici, così come per i vettori si possono introdurre le nozioni di uguaglianza e disuguaglianza. I vettori sono speciali matrici: un vettore colonna è una matrice di tipo mx1 (una sola colonna), mentre un vettore riga è una matrice 1xn (una sola riga) TRASPOSIZIONE Consideriamo una matrice A di tipo mxn scambiando le righe con le colonne, otteniamo una matrice di tipo nxm, che si dice matrice trasposta della matrice A e si denota con AT. Ovviamente (AT)T =A MATRICI QUADRATE Le matrici di tipo nxn si dicono quadrate di ordine n. Gli elementi contraddistinti da indici uguali a11, a22,…, ann, ne formano la diagonale principale. Una matrice quadrata si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta. Gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali : aij= aij. Una matrice quadrata che abbia tutti nulli gli elementi al di sotto della diagonale principale si dice triangolare alta. Una matrice quadrata che abbia tutti nulli gli elementi al di sopra della diagonale principale si dice triangolare bassa. La matrice diagonale è caratterizzata dal fatto di avere elementi non nulli solamente lungo la diagonale principale, i quali vengono indicati con ꭗ1, ꭗ2,…, ꭗn, OPERAZIONI TRA MATRICI SOMMA DI MATRICI E PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNO SCALARE SOMMA: così come posso sommare solo vettori con lo stesso numero di componenti, analogamente si possono sommare tra loro solo matrici con lo stesso numero di righe e di colonne. Una matrice nulla, ossia con tutti elementi 0, denotata con O è elemento neutro rispetto alla somma. PRODOTTO PER UNO SCALARE: la moltiplicazione di matrici per scalari possiede tutte le proprietà viste per i vettori. PRODOTTO DI MATRICI A e B sono conformabili quando il numero di colonne del primo fattore coincide con il numero di righe del secondo fattore. (nxm mxp) Il loro prodotto AB è la matrice C con m righe (come A) e p colonne (come B), il cui generico elemento c ij s’ottiene eseguendo il prodotto scalare del vettore riga a1 con il vettore colonna b1. Date due matrici A=[cij] e B=[bjk] di tipo mxn e nxp, rispettivamente, si chiama prodotto di A e B, denotato come AB, la matrice C di tipo mxp il cui generico elemento cij è assegnato alla formula ∑ 𝑎𝑖𝑠𝑏𝑠𝑗 𝑛 𝑠=1 Il prodotto tra una matrice di tipo 1xn con una matrice di tipo nx1 coincide con il prodotto scalare tra vettori. Il prodotto di una matrice con una matrice nulla conformabile è la matrice nulla: AO=O e OA=O Si noti che un fattore scalare in un prodotto tra matrici si può collocare in qualunque posizione senza alterare il risultato: c(AB)=(cA)B=A(cB) ed è univoco il significato della scrittura cAB. Proprietà del prodotto: • Proprietà associativa (AB)C=A(BC) o ABC • Proprietà distributiva a destra e a sinistra rispetto all’addizione (B+C)=AB+AC e (B+C)A=BA+CA • Prodotto e trasposizione (AB)T=BTAT Attenzione! La moltiplicazione tra matrici non è commutativa. Se alteriamo l’ordine dei fattori in una moltiplicazione il prodotto potrebbe non esser più definito o pur essendolo, risultare diverso. Quando si moltiplica una matrice A per una matrice B occorre dunque, in generale, specificare se si premoltiplica (BA) oppure si postmoltiplica (AB). Naturalmente può accadere che AB=BA. In tal caso si dice che le matrici A e B commutano. Un’altra proprietà della moltiplicazione tra scalari che non vale in generale con le matrici è la legge dell’annullamento del prodotto. Un prodotto tra numeri è nullo se e solo se almeno un fattore è nullo. AO=OA=O, non è detto invece che se AB=O o A o B debba essere la matrice nulla. Se il prodotto di due matrici è la matrice nulla, significa soltanto che i vettori riga della prima matrice sono ortogonali ai vettori colonna della seconda. TEOREMA DI BINET : il determinante della matrice AB, prodotto di due matrici quadrate è uguale al prodotto dei determinanti det(AB)= detA x detB Il determinante d’una matrice quadrata è nullo se e solo se le sue righe e/o colonne sono linearmente dipendenti La somma dei prodotti degli elementi d’una linea per i complementi algebrici dei corrispondenti d’una linea parallela è 0 MATRICE INVERSA Data una matrice quadrata A di ordine n, si dice che B è inversa di A se AB=BA=In. Se B e C sono inverse della stessa matrice A, allora B=C (la matrice inversa se esiste è unica). Se l’inversa della matrice A esiste, A si dice invertibile e la matrice inversa si denota con il simbolo A-1. Una matrice non invertibile è detta singolare. La condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità d’una matrice quadrata A è che abbia determinante diverso da zero. Esiste anche una formula per la matrice inversa, che fa intervenire la trasposta della matrice dei complementi algebrici. A*=[Ars] E chiamiamo aggiunta di A la matrice [A*]T Una matrice A è invertibile se e solo se detA≠0. In tal caso, la matrice inversa è assegnata alla formula 𝐴−1 1 𝑑𝑒𝑡𝐴 [A*]T Una matrice è singolare se e solo se il suo determinante è nullo. Se A-1 esiste allora A-1A=AA-1=In TEOREMA DI BINET det (A-1) x detA = detA x det (A-1) = 1 SARRUS ✓ Copio le colonne di A e affianco (riscrivo) le prime due colonne di A ✓ Calcolo il prodotto delle 3 diagonali principali e li sommo ✓ Sottraggo al risultato precedente la somma dei prodotti degli elementi che stanno sulle 3 antidiagonali RANGO DI UNA MATRICE Sia A una matrice di tipo mxn. Se k≤min (m,n) si chiama minore di ordine k estratto da A, il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine k. Sia A di tipo mxn. Si chiama rango o caratteristica di A il numero intero r≤0 tale che: A possiede almeno un minore d’ordine r diverso da zero e tutti i minori d’ordine superiore sono nulli. TEOREMA – ALGORITMO DI KRONECKER: se la matrice A (di tipo mxn) possiede un minore d’ordine r (r<min (m,n) non nullo e tutti i minori di ordine r+1 che si ottengono “orlando” tale minore con una riga ed una colonna qualsiasi di A sono nulli, allora il rango di A è r Se il rango di una matrice è non nullo, i vettori riga o colonna sono linearmente indipendenti. Il rango di una matrice rappresenta il massimo numero di vettori riga o colonna linearmente indipendenti. SISTEMI LINEARI Un’equazione nelle n incognite x1, x2 ,….,xn si dice LINEARE se è del tipo a1x1, a2x2,…., anxn = b Essa è individuata dagli n coefficienti reali a1, a2 ,….,an e dal termine noto b. Risolvere l’equazione significa trovare tutte le possibili n-uple di numeri reali x1, x2 ,….,xn per cui vale tale uguaglianza. Un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1, x2 ,….,xn è costituito da m equazioni lineari che si vuole siano soddisfatte simultaneamente. I numeri aij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) sono detti coefficienti del sistema e b1, b2 ,….,bm sono i termini noti. Una soluzione del sistema è una n-upla x1, x2 ,….,xn di numeri reali che verificano simultaneamente le m equazioni. Se un sistema non ha soluzioni si dice impossibile, altrimenti si dice possibile o risolvibile. Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni SISTEMI LINEARI E MATRICI Sistema come unica soluzione del tipo Ax=b ove A è la matrice dei coefficienti (con m righe e n colonne), x è il vettore incognito e b il vettore dei termini noti. SISTEMI DI n EQUAZIONI ED n INCOGNITE Ax=b dove la matrice A dei coefficienti è quadrata di ordine n Nel caso n=1, la matrice A e i vettori x e b si riducono a numeri e il sistema si riduce all’equazione ax=b, di primo grado nell’unica incognita x Se a=0, l’equazione è impossibile (se b≠0) oppure ha infinite soluzioni (si riduce a 0x=0). La condizione a≠0 che permette di scrivere l’inverso a-1 di a, si traduce in forma matriciale in detA≠0 che permette di scrivere l’inversa A-1 di A. Sia Ax=b un sistema di n equazioni in n incognite. Se detA≠0, il sistema ammette un’unica soluzione, assegnata alla formula x=A-1 b LA REGOLA DI CRAMER x=𝐴−1𝑏 1 |𝐴| [A*]Tb Questo prodotto, per il teorema di Laplace, coincide col determinante della matrice ottenuta dalla matrice A sostituendo la colonna k con quella dei termini noti Sistema di Cramer = matrice non singolare = r=n (unica soluzione sistema determinato A-1b) = det≠0 Sia A la matrice dei coefficienti di ordine n associata al sistema lineare Ax=b, allora se A è NON SINGOLARE (det≠0) allora esiste un’unica soluzione calcolabile come x= A-1b Nel calcolo secondo la regola di Cramer al denominatore metto il determinante SISTEMI GENERALI Sistemi di m equazioni in n incognite. Per accertare la risolubilità di un sistema Ax=b possiamo dimostrare una condizione immediatamente operativa. Se A=[ a1, a2 ,….,an] è la matrice dei coefficienti del sistema, chiamiamo MATRICE COMPLETA la matrice (con m righe e n+1 colonne) ottenuta accostando ad A la colonna dei termini noti b e cioè [A│b] =[ a1, a2 ,….,anb] Siano ora r e r’ rispettivamente i ranghi di A e di [A│b] vale il seguente TEOREMA DI ROUCHE’-CAPELLI : condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema Ax=b sia risolubile è che r=r’. Il sistema, quindi, ha soluzioni se e solo se b è combinazione lineare delle colonne delle matrice A dal momento che il rango misura il numero di vettori linearmente indipendenti SISTEMA RISOLUTIVO Risolvere il sistema Ax=b quando i ranghi di A e di [A│b] sono uguali (r=r’) ci dice quante sono le equazioni significative del sistema, ossia le equazioni linearmente indipendenti: a. Si isola un minore di ordine r, estratto dalla matrice A, diverso da zero b. Del sistema si considerano solo le r equazioni corrispondenti alle r righe del minore, le altre m-r equazioni vengono eliminate: infatti queste sono automaticamente soddisfatte quando lo sono le prime r c. Al primo membro si mantengono le r incognite i cui coefficienti costituiscono le colonne del minore; i termini contenenti le altre n-r incognite si trasportano al secondo membro e si trattano come parametri d. Di trova un sistema di r equazioni in r incognite, che si risolve applicando, per esempio, la regola di Cramer o qualsiasi altro metodo si conosca. In base al teorema di Cramer se n=r il sistema ha un’unica soluzione, mentre, se r<n, si trovano soluzioni che dipendono da n-r parametri (le incognite portate a secondo membro), che possono assumere valori arbitrari. S’ottengono così infinite soluzioni Secondo il teorema di Rouché-Capelli se il teorema è possibile (r A = r A│b) posso avere un sistema determinato con un’unica soluzione o indeterminato con infinite soluzioni che dipendono da n-r parametri INSIEMI NUMERICI N: numeri naturali. E’ chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione Z: numeri relativi. E’ chiuso rispetto alla somma algebrica Q: numꞓeri razionali. Dato m/n definisco il suo reciproco come n/m : m/n x n/m =1 I: numeri irrazionali C’è corrispondenza biunivoca tra R e la retta geometrica R* (R star/stella)= R U {-∞;+∞} INTERVALLI IN R Definiamo un intervallo, un sottoinsieme di R rappresentato: {(a,b): a,bꞓR, a<b l’insieme dei punti a<x<b} (a,b) è un intervallo aperto se x è diverso da a e b, cioè se gli estremi non sono compresi [a,b] è un intervallo chiuso se a e b sono compresi nel’intervallo (a,b] è un intervallo né aperto né chiuso (chiuso a dx e aperto a sx) Intervalli non limitati quando uno degli estremi è ±∞, in caso contrario si dice limitato TOPOLOGIA DI R Preso A intervallo di R, un punto Xo con raggio r, r>o, l’intervallo così definito: Ir(xo) ={ xo -r<x< xo +r} è equivalente a prendere i punti │x-xo│<r A intervallo in R xoꞓR è punto interno di A se esiste almeno un intorno Ir (xo ) : Ir (xo )≤A A intervallo in R xoꞓR dico che xo è punto di frontiera per A seⱯIr (xo) : Ir (xo) ∩ A≠ {} e Ir (xo) ∩ Ac≠ {} (nell’intorno di Xo trovo sempre sia punti appartenenti ad A che punti non appartenenti ad A) A intervallo in R, xo è punto esterno per A se ⱻ almeno un Ir (xo) ∩ A= {}. Un punto esterno non è mai punto di frontiera A intervallo in R, xo è punto isolato di A se ⱻIr (xo) tc Ir (xo) ∩ A= { xo} A intervallo in R, xo è punto di accumulazione di A se ⱯIr (xo) ⱻy ꞓ Ir (xo) y≠ xo : yꞓ Ir (xo) ∩ A= {}. Un punto interno e un punto di frontiera I limiti si calcoleranno per i punti di accumulazione (punti interni e di frontiera) Il punto di frontiera ci permette di dire quando un intervallo è chiuso A intervallo di R se A contiene i suoi punti di frontiera A è aperto se ogni suo punto è punto interno MASSIMO E MINIMO DI UN INTERVALLO Preso A ⊆ R, diremo che un valore M è MASSIMO di A se: • M ꞓ A • M ≥ x Ɐx ꞓ A Preso A ⊆ R, diremo che un valore m è MINIMO di A se: • m ꞓ A • m ≤ x Ɐx ꞓ A Se l’intervallo è aperto, non contenendo i punti di frontiera, non esiste massimo e minimo MAGGIORANTE DI UN INTERVALLO/INSIEME E’ un numero M ꞓ R tale che M > x Ɐx ꞓ A (qualunque valore maggiore degli x appartenenti al mio intervallo) Dato un intervallo A definiamo ESTREMO SUPERIORE di A il MINIMO dell’insieme dei suoi MAGGIORANTI MINORANTE DI UN INTERVALLO/INSIEME E’ un numero m ꞓ R tale che m < x Ɐx ꞓ A (qualunque valore minore degli x appartenenti al mio intervallo) Dato un intervallo A definiamo ESTREMO INFERIORE di A il MASSIMO dell’insieme dei suoi MINORANTI Un intervallo A sarà: • LIMITATO se possiede estremo superiore e estremo inferiore • LIMITATO SUPERIORMENTE se possiede estremo superiore • LIMITATO INFERIORMENTE se possiede estremo inferiore FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Una funzione è una LEGGE che associa ad ogni elemento di un insieme A ⊆ R UN UNICO ELEMENTO di un altro insieme B ⊆ R f: A B A= DOMINIO di f B= CODOMINIO di f yꞓB è detta IMMAGINE DI x attraverso la funzione f y=f(x) xꞓA è detta CONTROIMMAGINE di y tramite f possiamo definire l’INSIEME DELLE IMMAGINI Im= {yꞓB : y=f(x), xꞓA} Il GRAFICO di una funzione è l’insieme dei punti (x;y) : xꞓA e y=f(x)ꞓB TEST DELLA RETTA VERTICALE ci permette di distinguere una curva da una funzione (se la retta raggiunge due punti non è una funzione) DOMINIO (naturale) (campo di esistenza) : è il sottoinsieme di R (improprio) in cui la funzione è definita (la sua espressione analitica ha senso (esiste) Quindi in generale bisogna controllare: o Denominatore ≠0 o Radici con indice pari: RADICANDO ≥0 o Logaritmi: ARGOMENTO >0 FUNZIONE INIETTIVA Se Ɐx1, x2 ꞓA con x1≠x2 si ha che f(x1) ≠ f(x2) TEST DELLA RETTA ORIZZONTALE : una funzione f è iniettiva se le rette orizzontali intersecano il grafico di “f” in un unico punto FUNZIONE SURRIETTIVA Se ⱯyꞓR ⱻxꞓA tale che y=f(x) L’insieme delle immagini COINCIDE con il CODOMINIO di R FUNZIONE BIETTIVA (BIUNIVOCA) Se f:A≤R R è sia INIETTIVA sia SURRIETTIVA (es retta) SIMMETRIE f: A⊆ R R è PARI se f(x)=f(-x) per xꞓA Il grafico di una funzione pari è SIMMETRICO RISPETTO ASSE Y f: A⊆ R R è DISPARI se f(-x)=-f(x) per ⱯxꞓA I grafici di f dispari sono SIMMETRICI RISPETTO ALL’ORIGINE FUNZIONE VALORE ASSOLUTO │f(x)│= f(x) f(x)≥0 (codominio) - f(x) f(x)<0