Mathematik: Funktionen - Übungsaufgaben und Zusammenfassungen, Grafiken und Mindmaps von Mathematik

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Analysis

zusammenfassung

Abitur

f(x) = a(x-d) +n

2

f(x) = (x-x )(x-x )

f(x) = ax +bx + c

2

2

1

Stauchung/

Streckung

Verschiebung Links/Rechts

Verschiebung

Oben/ Unten

Nullstelle

Scheitelpunkt S(d/n)

Wichtig

- Minus beachten

Minimum/ Maximum

Kann eine, zwei oder

keine Nullstelle haben

y

x

y

x

y

x

y

x

a a^ a^ (^0) a 0 1 1

Gestaucht (^) Gestreckt

y

x

y

x

y

x

y

x 1 x 2 x

S(d/n)

aus multiplizieren

quadratische

Ergänzung

Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform

Normalenform

Nullstellenform

Nullstellen

Parameter A

x = 1 x 2

Ganzrationale Funktion

n

- d + -

+

In der Funktion jeweils das andere vorzeichen

Lineare Funktionen

f(x) = mx +n

Steigung Y-Achsenabschnitt

y

x

f(x)

a

b

m =

a

b

n

y

x

2

2

x

1

y

1

Eigenschaften

**- Eine Nullstelle

• Konstante Steigung
• Ein Y-Achsenabschnitt**

Steigung

Y-Achsenabschnitt

P(x /y )p p f(x)

y = mx + n

p p

Nach n auflösen

Besonderes

m = 0

Parallele zur x-Achse

Rechtwinklig:

^ ^

t

m ,

' (^) m ,

= -^1 mz

: (^) -1m , L

s

^ (^) ^ ^

^

↑

↓

n

e s s s

d

.

.

"

^ ^

I I I

Nullstellen

f(x) = 0

Gleichungen losen

:

PQ-Formel Ausklammern (Faktorisieren)

Wichtig

Produkt von zwei Faktoren null,

wenn einer gleich 0

Substitution

Für andere Funktionen

Schnittpunkte

f(x) = g(x)

^ Y (^) Um die Schnittpunkte zweier Funktionen^ zu bestimmen^ setzt^ man

diese Funktionen gleich und löst^ dann^ nach^ × (^) auf

HH.

✗ s

in (^) HH oder glx

) einsetzen , um y,^

zu berechnen

Gleichung

(^0) setzen & (^) nach (^) ×- Auflösen Gibt es keine^ Lösung ,

schneiden sich die Funktionen nicht

✗ „

= -

it . q Für^ Gleichungen,^

wo jeder

Bestandteil

ein ✗ oder e

" enthält

Lösung für^ Gleichungen^ Diesen (^) dann ausklammern

derArt :

✗

' t pxtq

:O

Vor (^) ✗

2 darf kein Faktor (^) stehen ,

wenn doch^ durch^ diesen^ Faktor^ teilen^ ×

. / Restliche^ Funktion )

= 0

Ausklammern (^) von (^) ✗

"

möglich

Beide

Lösungen

aufschreiben

✗ =^0 v Restliche^ Funktion :O

nach (^) ✗ - auflösen

z.B . mit pq

• Formel

Möglich, wenn (^) Exponenten von

e

" /Restliche^ Funktion^ )^ :O ✗ Vielfache^ voneinander^ sind

e

:S v

Restliche Funktion (^) :O

✗

" t (^) ×

" t ( =D^ , ✗

" = Z

wird nicht^ null nach^ ✗ - auflösen

z.B.^ mit^ pq

• (^) Formel

2-

2 tz (^) t ( =D

nach (^) z auflösen

Benutzung

des GTRS zum^

lösen

Lösungen

von 2-^ = (^) ✗

"

setzen

und nach^ ✗ (^) auflösen

Extrempunkte

notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

Hochpunkt:

Tiefpunkt:

HP: TP:

Wendepunktepunkte

notwendige Bedingung:

hinreichende Bedingung:

Wendepunkt Links Rechts:

Wendepunkt Rechts Links:

WP : WP : LR RL

IHN

IH :O (^) und (^) /

"

1 ×1=

Nullstellen von (^) /

'

Hin (^) /

"

A) einsetzen

f.

"

(x)^ O^

' '

Mund (^) des Smiles zeigt,

. (^).

den Graphen

. (^) Stimmung

f.

"

H) 0 abhängig ,

ob (^) /

" 1 ×14>0 ist

auch^ Vorieichwechsel^ von (^) /

'

A) als^ Beweis^ möglich

FP

Hx

• 1. (^) 70,14×+1< fix-110,1×+

t s^ -^ _ ist

Berechnung wie Extrempunkte nur

"

eins (^) tiefer

"

f.

"

A) =D

f.

"

H :O^ und^ /

"

1 ×1=

Nullstellen von (^) /

"

Hin /

"

A)einsetzen^ ny

f.

"

1 ×1>

ny

f.

"

f) < 0 ¥ .

auch^ Vorieichwechsel (^) von (^) /

"

f)als Beweis^ möglich

A-1)^

, /

" HNO f.

"

1 ×- , /

"

1 ×+

t s^ - _ ist

Zusammengesetzte Funktion

Funktion die aus verschiedenen Grundfunktionen zusammengesetzt ist

Produktfunktion Summenfunktion

Differenzenfunktion

f(x) = u(x) v(x)

f‘(x) = u‘(x) v(x) + u(x) v‘(x) f‘(x) = u‘(x) + v‘(x)

f(x) = u(x) + v(x)

f(x) = u(x) - v(x)

f‘(x) = u‘(x) - v‘(x)

Verkettete Funktionen

f‘(x) = u‘(v(x)) v‘(x)

f(x) = u(v(x))

Ableitungsregeln

f(x) = a x

f‘(x) = n a x

n

n-

f(x) = a e

f‘(x) = k a e

k x

k x

sin(x)

cos(x)

-sin(x)

-cos(x)

f(x) = c ln(x)

f‘(x) =

c

x

= c x

-

Monotonie

Monoton Fallend Monoton Steigend

Streng

• .. .

^

°

<

"

.

..

flx)^

≤ (^0) H ) ≥o

f.

'

H)^ IHN

Integral

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Fläche Unterhalb wird negativ Fläche Oberhalb wird positiv

y

x

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Rechenregeln

Flächenberechnung

y

x

y

x

Graph in Positive und Negative Abschnitte einteilen und addieren

y

x

Zwischen zwei Graphen

y

x

Liegt ein Graph unterhalb

der x-Achse, so verschriebt

man beide gleichmäßig bis

beide Oberhalb sind.

f.

Halo

↓ ↓

↓ ↓

Hd+

0

b b

b b

↓

% fgkdi-ffkldx-IH.HN/=flfHdx a (^) a a

flx)

!

flxldx

: Ffb )

• Fla)^ IKHHai-c.IH.la

.

gklt.lk/)dx=&gHdxt-%f1x)dx

{ flxldx^

:[ FH ) ]!

Flb)

• Flat

jfHa.gs#dxajfHdx--aIfHdxtjflx)dx

b c

c

t.by/t=-GfHdxtffHdx=flfHIdx

a a

b b

t.HN/f=GfHdx-SagHd+ ' a is

a

Funktions Untersuchung

1. Symmetrie
2. Verhalten im Unendlichen
3. Schnittpunkte mit den Achsen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte

Steckbriefaufgaben

1. Allgemeine Funktion aufstellen
2. Bedingungen aufstellen
3. Gleichungssystem lösen

Extremwertaufgaben

1. Herausfinden was man berechnen muss
2. Hauptbedingung aufstellen mit zwei Variablen
3. Nebenbedingung aufstellen
4. Nebenbedingung nach einer Variable auflösen
5. Zielfunktion aufstellen (NB in HP einsetzen)
6. Extrempunkte berechnen & Randbedingungen beachten

Alles (^) über (^) eine Funktion herausfinden

(Nullstellen^ ,

Y

• Achsen

abschnitt )

Anzahl Variablen

= Anzahl Bedingungen

( Abhängigkeit

der (^) Variablen)