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Was in Deutschland häufig vergessen wird :
Wer nicht arbeitetet, begeht auch keine Fehler!
Wenn man sich auf das Kritisieren der Zustände beschränkt, ändert man die Zustände nicht!
Bedingte Wahrscheinlichkeiten ==================================================================
- Der Schüler Pankraz kommt bei schlechtem Wetter immer zu spät in die Schule. Bei schö- nem Wetter kommt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% zu spät.
Wie hoch darf die Schlechtwetterwahrscheinlichkeit höchstens sein, damit Pankraz mit mindestens 40%-iger Wahrscheinlichkeit pünktlich zu Unterrichtsbeginn erscheint?
- Es sei bekannt, dass von den Prüfungskandidaten A, B, C und D zwei bestanden haben. Die Vorkenntnisse der vier waren identisch, womit die Annahme gerechtfertigt erscheint, dass alle die gleiche Aussicht ( p = 0,6) auf das Bestehen der Prüfung hatten.
Geben Sie nun die Wahrscheinlichkeit für A an, bestanden zu haben, wenn
a) sonst keine Informationen bekannt sind
b) bekannt ist, dass C oder D bestanden haben
c) bekannt ist, dass D bestanden hat.
- Wie groß ist beim Werfen dreier regulärer Würfel die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl Sechs dabei ist, unter der Bedingung, dass die drei geworfenen Augenzahlen alle voneinander verschieden sind?
- Bei einer Prüfung haben 60% der Prüflinge Mathematik und Chemie, 75% Chemie, und 80% Mathematik bestanden. Einer der Prüflinge wird zufällig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in
a) Mathematik durchfiel, wenn man weiß, dass er Chemie nicht bestanden hat?
b) Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Mathematik nicht bestanden hat?
c) Mathematik oder Chemie durchfiel?
- Die Wahrscheinlichkeiten für das Treffen der Zielscheibe bei jedem Schuss betragen für
drei Schützen p 1 = 4 , und. Bei gleichzeitiger Schussabgabe aller drei 5 p 2 = 3 4 p 3 = 2 3 Schützen gab es zwei Treffer.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Schütze vorbeigeschossen hat.
- Drei Ärzte diagnostizieren in 70, 80 bzw. 85 von 100 Fällen die vorliegende Erkrankung eines Patienten richtig. Unabhängig voneinander untersuchen die 3 Ärzte einen Patienten.
Mit welcher W'keit treffen alle 3 (genau einer, genau 2) der Ärzte die richtige Diagnose?
- Von 60 befragten Personen gaben 20 an, dass sie Nichttrinker sind und 40, dass sie rau- chen. Bei den Trinkern gibt es 10 Nichtraucher.
a) Wieviel Prozent der Raucher trinken?
b) Wieviel Prozent der Trinker sind Nichtraucher?
c) Jemand gibt bei einer Gesundheitsuntersuchung an, dass er Raucher ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es auch ein Trinker?
d) Besteht ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen "Rauchen (Ja/Nein)" und "Trinken( Ja/Nein)"? ___________________________________________________________________________
- V : Alle Augenzahlen verschieden
S : Die Augenzahl Sechs ist dabei
P(V) =
P(S ∩ V) =
P(S|V) =
- Vierfeldertafel :
M : Mathematik bestanden
C : Chemie bestanden
Chemie/ Mathematik
bestanden nicht bestanden
bestanden 0,60 0,15 0, nicht bestanden 0,20 0,05 0, 0,80 0,20 1
a) P(MC) = P(M^ ∩^ C) P(C)
b) P(CM) =
P(C ∩ M)
P(M)
c) P(M ∪ C) = 40%
- E : Die Schützen erzielen drei Treffer
V 3 : Der dritte Schütze schießt vorbei
P(V 3 | E) =
P(E ∩ V 3 )
P(E)
4 5 ⋅^
3 4 ⋅^
1 3 1 5 ⋅^
3 4 ⋅^
2 3 +^
4 5 ⋅^
1 4 ⋅^
2 3 +^
4 5 ⋅^
3 4 ⋅^
1 3
- Ei : Die Diagnose von genau i (1 ≤ i ≤ 3)Ärzten ist richtig.
P(E 3 ) = 0,7⋅0,8⋅0,85 P(E 2 ) = 0,3⋅0,8⋅0,85 + 0,7⋅0,2⋅0,85 + 0,7⋅0,8⋅0,
P(E 1 ) = 0,3⋅0,2⋅0,85 + 0,7⋅0,2⋅0,15 + 0,7⋅0,2⋅0,
- R : Die befragte Person raucht
T : Die befragte Person trinkt
Trinker Nichtrinker Raucher 30 10 40 Nichtraucher 10 10 20 40 20 60
a) b) c)
= 25% P(TR) =
P(T ∩ R)
P(R)
1 2 2 3
d) Die Antwort lautet "Ja".
Begründung :
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den befragten Personen jemand trinkt, ist 2. 3
Die Wahrschlichkeit, dass ein Raucher trinkt, ist dagegen.
___________________________________________________________________________
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, wenn beide Tests "positiv" anzeigen?
- Eine Firma beschäftigt drei Mitarbeiter/innen, die telefonische Anfragen von Kund/inn/en beantworten sollen. Frau A kann 95% aller Fragen zur Zufriedenheit der Kund/inn/en be- antworten, Herr B 90% und Herr C gerade noch 70%.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und errechnen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle drei Mitarbeiter/innen gleich viele Telefonate beantworten, die Wahrscheinlichkeiten, dass
a) ein Kunde/eine Kundin mit der Antwort, die er/sie erhält, nicht zufrieden ist,
b) ein unzufriedener Kunde/eine unzufriedene Kundin an Herrn B geraten ist,
c) eine Antwort, die zur Zufriedenheit des Kunden/der Kundin ausfiel, von Herrn C gege- ben wurde,
d) ein Kunde/eine Kundin an Frau A gerät und eine zufriedenstellende Antwort bekommt.
- 7% der Produktion eines Artikels besitzen den Fehler F 1 , 5% besitzen den Fehler F 2 und
90% der Produktion sind fehlerfrei.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus der Gesamtproduktion zufällig ausge- wählter Artikel beide Fehler besitzt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Artikel
i) der den Fehler F 1 besitzt, auch den Fehler F 2 besitzt?
ii) der nicht fehlerfrei ist, beide Fehler aufweist?
iii) der den Fehler F 1 nicht hat, den Fehler F 2 besitzt?
iv) der den Fehler F 1 besitzt, den Fehler F 2 nicht besitzt?
- Eine Schule nimmt alle angemeldeten Schüler auf. Im ersten Schuljahr machen alle einen Eignungstest, welcher für die Schüler ohne Konsequenzen bleibt. 40% der Schüler errei- chen das Schulziel nicht.
Die Schulleitung stellt fest, dass 90% von diesen und 1% der erfolgreichen Schüler den Eignungstest nicht bestanden haben.
Schüler A macht denselben Eignungstest und fällt durch. Wie groß ist die Wahrscheinlich- keit, dass er trotzdem die Schule erfolgreich abschließt?
- Gegeben: Kiste mit Spielwürfeln. 50 % dieser Würfel sind normal. Die Wahrscheinlich- keit für jede Augenzahl ist gleich groß. Beim Rest ist die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu würfeln, 1/3.
Man möchte mit dem folgenden Test die normalen Würfel aussortieren.
Jeder Würfel wird dreimal geworfen. Kommt keine "6", dann soll er als normal gelten und er wird in die Kiste mit der Aufschrift "normale Würfel" gelegt. Bei mindestens einer "6" kommt der Würfel in eine andere Kiste.
Wieviel Prozent der Würfel in der Kiste "normale Würfel" sind normal?
- Gegeben sind drei Teiche l, 2, und 3, die l, 2, bzw. 3 Fische enthalten. Ein Teich wird zu- fällig ausgewählt und im Teich wird ein Fisch gefangen, markiert und wieder freigegeben. Am nächsten Tag wird in demselben Teich wieder ein Fisch gefangen, der markiert ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Teich l, 2 bzw. 3 Fische ent- hält?
- In einer Tasche sind 9 gute Münzen und eine Münze, die auf beiden Seiten Zahl hat.
Jemand zieht eine Münze und wirft sie l, 2, 3, 4, 5 mal. Das Ergebnis
Z (nach 1 Wurf), ZZ (nach 2 Würfen), ZZZ (nach 3 Würfen), ZZZZ (nach 4 Würfen), ZZZZW (nach 5 Würfen) wird ihm mitgeteilt.
Wie groß ist jeweils die die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Münze gut ist?
- Bei der Übertragung der Zeichen "⋅" und " − "in einem Fernmeldesystem werden durch Störungen im Mittel 4% der gesendeten Punkte als Striche und 3% der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Das Verhältnis gesendeter Punkte zu gesendeten Strichen ist 3 : 5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen empfangen wurde, falls
a) "⋅"" b)" − "
empfangen wurde?
- Schachtel A enthält 9 Zettel mit den Zahlen 1 bis 9, Schachtel B enthält 5 Zettel mit den Zahlen 1 bis 5. Aus einer zufällig ausgewählten Schachtel wird (zufällig) ein Zettel gezo- gen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zettel aus Schachtel A gezogen wurde, wenn die Zahl darauf gerade ist?
- In einer Gemäldegalerie hängen 12 Bilder, wovon 2 eine Fälschung sind. Lediglich ein Experte kann ein Original von einer Fälschung unterscheiden, wobei auch er in 10% aller Fälle irrt, unabhängig davon, ob es sich um ein Original oder eine Fälschung handelt. Ede, eine bekannter Kunstdieb, stiehlt ein zufällig ausgewähltes Bild aus der Galerie und konsultiert anschließend den Experten.
Lösungen : ==================================================================
- Baumdiagramm
0,65 0,
D D^ D D
A B
0,97 0,03 0,95 0,
Definiere die Ereignisse
A : Elektronisches Teil stammt von A
B : Elektronisches Teil stammt von B
D : Elektronisches Teil ist defekt
Gegeben : P(A) = 0,65 P(B) = 0,35 P(DA) = 0,03 P(DB) = 0,
a) P(D) = P(A)⋅P(DA) + P(B)⋅P(DB) = 0,65⋅0,03 + 0,35⋅0,05 = 3,7%
b) P(BD) =
P(B ∩ D)
P(D)
- Definiere Ereignisse
E : Einbruch A : Alarm
Baumdiagramm :
E
A A A A
E
0,001 0,
0,99 0,01 0,005 0,
Gegeben : P(E) = 0,001 P(AE) = 0,99 P(AE) = 0,
Gesucht : P(EA)
P(EA) =
P(E ∩ A)
P(A)
P(E)⋅P(AE)
P(E)⋅P(AE) + P(E)⋅P(AE)
- K : Eine Person hat die Krankheit
P : Der Test fällt postiv aus
0,95 0,05 0,10 0,
P P P P
K K
0,005 0,
Gegeben : P(K) = 0,5% P(PK) = 0,95 P(PK) = 0,
Gesucht : P(KP)
P(KP) = P(K^ ∩^ P)
P(P)
= P(K)⋅P(PK)
P(K)⋅P(PK) + P(K)⋅P(PK)
- K : Person hat Krebs
P : Test fällt positiv aus
Gegeben : P(K) = 0,007 P(PK) = 0,96 P(PK) = 0,
Gesucht : P(KP)
P(KP) = P(K^ ∩^ P)
P(P)
- K : Die Person leidet an der Krankheit
P 1 : Erster Test fällt positiv aus P 2 : Zweiter Test fällt positiv aus
Gegeben : P(K) = 0,01 P(PiK) = 0,95 P(PiK) = 0,
0,
0,05 0,10 0,
K K
0,01 0,
0,
0,05 0,95 0,05 0,10 0,90 0,10 0,
F 2 0,02^ 0,03^ 0,
F 2 0,05^ 0,90^ 0,
0,07 0,93 1
a) P(F 1 ∩ F 2 ) = 0,
b) i) P(F 2 F 1 ) =
P(F 1 ∩ F 2 )
P(F 1 )
ii) P(F 1 ∩ F 2 F) = 0, 0,
iii) P(F 2 F 1 ) =
P(F 1 ∩ F 2 )
P(F 1 )
iv) P(F 2 F 1 ) =
P(F 1 ∩ F 2 )
P(F 1 )
- T : Test bestanden
Z : Schulziel erreicht
Z (^) Z T (^) 0,594 0,04 0, T 0,01⋅0,6^ =^ 0,006^ 0,9⋅0,4^ =^ 0,36^ 0, 0,6 0,4 1
Gegeben : P(Z) = 0,40 P(TZ) = 0,9 P(TZ) = 0,
Gesucht : P(ZT)
P(ZT) = P(Z^ ∩^ T)
P(T)
= P(Z)⋅P(TZ)
P(Z)⋅P(TZ) + P(Z)⋅P(TZ)
- N : Würfel ist normal
K : Würfel kommt in die Kiste für normale Würfel
N
K (^) K K K
N
1 2
1 2
125 216
8 27
Gegeben : P(N) = P(N ) = 1 2
Gesucht : P(NK)
P(KN) =
P(KN) =
P(NK) = P(N^ ∩^ K)
P(K)
= P(N)⋅P(KN)
P(N)⋅P(KN) + P(N)⋅P(KN)
1 2 ⋅^
125 215 1 2 ⋅^
125 215 +^
1 2 ⋅^
8 27
- M : Der gefangene Fisch ist markiert
Ei : Der Teich enthält i, i = 1, 2, 3, Fische.
E 1 E 2 E 3
M (^) M M (^) M M M
1 3
1 3
1 3
(^1 0 )
P(M) = 1
P(E 1 M) =
P(E 1 ∩ M)
P(M)
1 3 ⋅^1 11 18
P(E 2 M) =
P(E 1 ∩ M)
P(M)
1 3 ⋅^
1 2 11 18
P(E 3 M) =
P(E 3 ∩ M)
P(M)
1 3 ⋅^
1 3 11 18
- G : Münze ist gut
Ei : Münze wird i-mal geworfen mit dem angegebenen Ergebnis(1 ≤ i ≤ 5)
P(GE 1 ) =
G : Es wird eine gerade Zahl gezogen
P(AG) =
1 2 ⋅^
4 9 1 2 ⋅^
4 9 +^
1 2 ⋅^
2 5
2 9 2 9 +^
1 5
- E : Der Experte hält das Bild für echt
O : Das Bild ist ein Original
Gegeben : P(O|E) = 0,1 P(O|E) = 0,
O (^) O
E (^) E E E
5 6 1 6
1 10 1 10 9 10 9 10
P(O| E) =
P(O ∩ E)
P(E)
5 6 ⋅^
9 10 5 6 ⋅^
9 10 +^
1 6 ⋅^
1 10
3 4 23 30
Zwei Fälle können eintreten :
i) Ede hat bereits beim ersten Mal, trotz der gegenteiligen Meinung des Experten, ein Original geklaut.
ii) Ede hat wirklich, wie vom Experten behauptet, ein Original gestohlen.
P(B) =
⋅P(O E) +
⋅P(O E) =
9 60 7 30
5 60 7 30
- G : Max geht in den "Kühlen Grund"
P : Max geht in die "Sorgenpause"
S : Max geht in den Schluckspecht
M : Max tifft Moritz
P(P | M) =
2 7 ⋅^
1 6 1 7 ⋅^
1 2 +^
2 7 ⋅^
1 6 +^
3 7 ⋅^
1 3
- T : Das Produkt besteht den Test
F : Das Produkt ist fehlerhaft
Gegeben : P(TF) = 0,99 P(TF) = 0,
Gesucht : Maximaler Anteil pmax defekter Geräte, damitP(FT) ≤ 0,
Also P(FT) =
P(F ∩ T)
P(T)
P(F)⋅P(TF)
P(F)⋅P(TF) + P(F)⋅P(TF)
Eingesetzt :
pmax⋅0, pmax⋅0,01 + (1 − pmax)⋅0,
≤ 0,001 ⇒ pmax ≤ 8,94%
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- T : Das Produkt besteht den Test
F : Das Produkt ist fehlerhaft
Gegeben : P(TF) = 0,99 P(TF) = 0,
F F
T T T T
p 1-p
0,01 0,99 0,98 0,
Gesucht : Maximaler Anteil pmax defekter Geräte, damitP(FT) ≤ 0,
Also P(FT) = P(F^ ∩^ T) P(T)
= P(F)⋅P(TF)
P(F)⋅P(TF) + P(F)⋅P(TF)
Eingesetzt :
pmax⋅0, pmax⋅0,01 + (1 − pmax)⋅0,
≤ 0,001 ⇒ pmax ≤ 8,94%
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- G 1 :Die erste entnommene Münze ist golden
G 2 :Die zweite Münze ist golden
P(G 2 G 1 ) =
P(G 1 ∩ G 2 )
P(G 1 )
1 3 ⋅^1 1 3 ⋅^1 +^
1 3 ⋅^
1 2 +^
1 3 ⋅^0
___________________________________________________________________________
