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**Stammfunktionen
Funktion Stammfunktion**
f(x) = xk^ mitk ∈ , k ≠≠≠≠ −−−− 1 F(x)^ =^
k + 1
⋅xk+^1 = xk+^1 k + 1
Beispiele:
a) f(x) = x^4 ⇒ F(x) = 1 5
x^5
b) f(x) =
x^2
= x−^2 ⇒ F(x) = x−^1 − 1
= − x−^1 = −
x
Funktion Stammfunktion
f(x) = 1 x = x−^1 F(x) = ln|x|
f(x) =
ax + b (^) f(x) = 1 a
⋅ln|ax + b|
f(x) = g'(x) g(x)
f(x) = ln|g(x)|
Beispiele:
a) f(x) = 1 x − 1
⇒ F(x) = ln|x − 1 |
b) f(x) =
2x + 1
⇒ F(x) =
⋅ln|2x + 1 |
Funktion Stammfunktion
f(x) = x mit und
p q (^) =
q xp^ q ∈ N, q ≥ 2 p ∈ Z (^) F(x) = x
p q +^1 p q +^1
f(x) = ax + b F(x)^ =^
a
⋅(ax + b)
3 (^2) = 2 3a
⋅ (ax + b)^3
Beispiele:
a) f(x) = x = x
1 (^2) ⇒ F(x) = x
3 2 3 2
⋅x
3 (^2) = 2 3 ⋅ x^3
b) f(x) = 1 x
= x
− (^12) ⇒ F(x) = x
1 2 1 2
= 2 ⋅x
1 (^2) = 2 ⋅ x
c) f(x) = x⋅ x = x
3 (^2) ⇒ F(x) = x
5 2 5 2
⋅x
5 (^2) = 2 5
⋅ x^5
d) f(x) =
3 x = x
1 (^3) ⇒ F(x) = x
4 3 4 3
⋅x
4 (^3) = 3 4
3 x^4
e) f(x) = 2x x^2 + 1
⇒ F(x) = ln(x^2 + 1)
f) f(x) = ex ex^ + 1
⇒ F(x) = ln(ex^ + 1)
g) f(x) = x + 1 ⇒ F(x) = 2 3 ⋅ (x + 1)^3
h) f(x) = 1 2 x − 1 ⇒ F(x) = 2 3
2
⋅ (^1
x − 1)
3 = 4 3
⋅ (^1
x − 1)
3
Funktion Stammfunktion
f(x) = ex^ F(x) = ex
f(x) = eax+b^ F(x) = 1 a ⋅eax+b
f(x) = g'(x)⋅eg(x)^ F(x) = eg(x)
Beispiele:
a) f(x) = ex−^1 ⇒ F(x) = ex−^1
b) f(x)^ =^ e−x^ ⇒^ F(x)^ =^ −^ e−x
c) f(x) = e0,5x+^1 ⇒ F(x) = 1 0,
⋅e0,5x+^1 = 2 ⋅e0,5x+^1
d) f(x) = 2x⋅ex
2 ⇒ F(x) = ex
2
Zwei spezielle Stammfunktionen:
Funktion Stammfunktion f(x) = lnx F(x) = x⋅lnx − x
Funktion Stammfunktion
f(x) = x⋅ex^ F(x) = x⋅ex^ − ex
dann ist G(x) + H(x) eine Stammfunktion von g(x) + h(x).
Beispiele:
a) f(x) = x^2 +
x^2
= x^2 + x−^2 ⇒ F(x) =
x^3 + x−^1 − 1
x^3 − x−^1 =
x^3 −
x
b) f(x) =
x^3 − 2x^2 ⇒ F(x) =
x^4 − 2 ⋅
x^3 =
x^4 −
x^3
Warnung:
Ist die G(x) eine Stammfunktion von g(x) und H(x) eine Stammfunktion von h(x),
dann ist G(x)⋅H(x) keine Stammfunktion von g(x)⋅h(x).
Warnung:
Ist die G(x) eine Stammfunktion von g(x) und H(x) eine Stammfunktion von h(x),
dann ist G(x) H(x) keine Stammfunktion von. g(x) h(x)
Eine Umformung kann die Integration ermöglichen.
Beisspiele:
a) f(x) = (1 − x)⋅(1 + 1 x
x − x − 1 = 1 x − x ⇒ F(x) = ln|x| − 1 2 x^2
b) f(x) = 2x^2 + 1 x^2
x^2
= 2 + x−^2 ⇒ F(x) = 2x + x−^1 − 1
= 2x −
x
c) f(x) =
ex^ + 1
ex^ + 1 − ex ex^ + 1
ex ex^ + 1
⇒ F(x) = x − ln(ex^ + 1)
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