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Module : Probabilité et statistique descriptive
Niveau : BCG2
R. El khaoulani El idrissi
Année universitaire 2015-2016
FST de fès
Chapitre 1
Données statistiques, tableau, représentation
graphique, fréquence et effectif cumulés
Généralités
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Module : Probabilité et statistique descriptive
Niveau : BCG
R. El khaoulani El idrissi
Année universitaire 2015-
FST de fès
Chapitre 1
Données statistiques, tableau, représentation graphique, fréquence et effectif cumulés
Généralités
c. de se servir de ces modèles de prévisions comme un outil pour prendre des décisions
Statistique = est une discipline qui a pour objet :
a. de collecter, d’obtenir, et de réunir des informations (ou données), puis à les organiser et les synthétiser pour faciliter une analyse méthodique et objective de ces données.
b. d’exploiter la synthèse de ces données pour établir, notamment grâce à la théorie des probabilités, des modèles de prévisions.
statistique descriptive
Statistique inférentielle
statistique décisionnelle
Qu’est ce que la statistique
Étapes d’une analyse statistique :
Qu’est ce que la statistique
- Planifier la collecte de données;
- Récolter les données;
- Les organiser;
- Les synthétiser;
- Établir des modèles de prévisions à partir des données;
- Utiliser ces modèles de prévisions pour prendre des décisions.
Typologie des séries statistiques
Les séries statistiques se répartissent en deux groupes selon le caractère étudié :
1. Variable quantitative : lorsque toutes les valeurs possibles sont numériques et
s’expriment par des nombres entiers ou réels …
2. Variable qualitative : les modalités sont des attributs qualitatifs, et non des valeurs
numériques.
a. Variable quantitative discrète : l’ensemble des valeurs possibles est dénombrable. Exemples : nombre d’enfant par famille
a. Variable qualitative nominale : la variable est dite qualitative nominale lorsque les modalités ne peuvent pas être ordonnées. Exemples : état civil : {célibataire, marié, veuf, divorcé}, couleur des yeux : {noir ; bleu ; vert}
b. Variable quantitative continue : l’ensemble des valeurs possibles est continu, toutes les valeurs réelles d’un intervalle sont susceptibles d’être prises. Exemple : taille d’une personne
b. Variable qualitative ordinale : lorsque les modalités peuvent être ordonnée. Exemple : très résistant, assez résistant, peu résistant
Représentation des données
Il existe plusieurs niveaux de description statistique :
o Des résumés numériques fournis par un petit nombre de paramètres caractéristiques Réduction des données à quelques valeurs numériques caractéristiques
o La présentation de données brutes.
o Des présentations par des tableaux numériques
o Des représentations graphiques
Tableau statistique
Il s’agit de transformer les tableaux de données brutes en des tableaux qui se prêtent à l’analyse des données.
Tableau statistique
Effectif
On appelle effectif de la modali té xi le nombre ni de fois que cette modalitéest observée.
Cas discret
À chaque modalité xi du caractère X peut correspondre un ou plusieurs individus.
Remarque (^) ∑ ni = N , où N de la population ou la l'échantillon étidié
Fréquence
On appelle fréquence de la moda l ité i le nombre f i telque : i i
n
f
N
x =
Représentation des données
Remarques
a- =
b- 0 1
c- 100 : le d'individus ayant la modalité
d- : l
pourcentage
a proportion d'individus ayant la modalité i
i
i
i
i
i
f
f
f x
f x
×
∑
Représentation des données
Caractère continu
On répartit les modalités en classes. En règle générale, on choisit les classes de façon à ce que chaque classe comprenne un nombre suffisant d’individus
→ A chaque classe [ e ei , (^) i (^) + 1 [, on associe l'amplitu de ai définie par : a = i ei (^) + 1 − ei
Exemple
→ De la même façon, on définit l'effectif ni et la fréquence fi de chaque classe
Un technicien mesurant des tiges métalliques, il obtient les valeurs suivantes :
[350,360[ 14
[345,350[ 30
[343,345[ 204
[340,343[ 195
[330,340[ 57
classe ni
ai
fi
Histogramme
Représentation graphique
Histogramme des effectifs
La hauteur du rectangle correspondant à la classe j est donc donnée par :
s'appell l'effectif corrigé,
amplitud
e
est une e éléme ntaire, en générale, on p rend l'amplitude la plus
j
j
j
j
n
n a
a
n
a
i =
courante
i On place sur l'axe des abscisses les différentes classes.
Dans le cas de données regroupées en classes on utilise un histogramme, il permet de représenter les données par une suite de rectangles contigus.
Représentation des données
Exemple
ni
[6-9[
[4-6[
[2-4[
[1-2[
classes
n’i
a=
En suite, on trace l’histogramme
Remarques
o L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe qu’il représente.
i i^ i
Aire = a × n = a × n
o Le choix de l’amplitude élémentaire ne modifie pas l’allure de l’histogramme
o La classe dont l’aire du rectangle associé est la plus grande est la classe ayant le plus d’effectif
On suit la même démarche pour tracer l’histogramme des fréquences
Histogramme des fréquences
Exemple On mesure la taille en centimètres de 50 élèves d’une classe
[167.5 ; 171.5[ 10
[159.5 ; 163.5[ 11
[163.5 ; 167.5[ 7
[155.5 ; 159.5[ 12
[151.5 ; 155.5[ 10
classe effectif
' fi
i
i
f a a
=
fréquence corrigée
fréquence
amplitude
On prend a=
Représentation des données
Fréquences et effectifs cumulés
Dans le cas d’une variable quantitative, il est souvent intéressant, de pouvoir dire « il y a tant d’observations » ou « il y a tel pourcentage d’observations » inférieures ou supérieures à telle valeur. C’est à ce genre de préoccupation que répond le calcul des fréquences ou des effectifs cumulés
Motivation
L’effectif cumulé croissant (ECC) correspond à une modalité donnée xi est le nombre d’individus dont la modalité est inférieure ou égale à xi.
Autrement dit, le ECC d’une valeur (ou d’une classe) est la somme des effectifs de cette valeur (ou de cette classe) et des effectifs précédents
Effectif cumulé croissant (cas discret)
ECCi est l’effectif cumulé croissant c’est dire le nombre d’observations ayant des valeurs inférieures ou égales à xi : i
i j j 1
ECC n
=
Fréquences et effectifs cumulés
L’effectif cumulé décroissant (ECD) correspond à une modalité donnée xi est le nombre d’individus dont la modalité est supérieure ou égale à xi.
Autrement dit, le ECD d’une valeur (ou d’une classe) est la somme des effectifs de cette valeur (ou de cette classe) et des effectifs suivants
Effectif cumulé décroissant (cas discret)
Remarque
On définit, de la même manière, la fréquence cumulée croissante FCC et la fréquence cumulée décroissante FCD
Fréquences et effectifs cumulés
Les définitions de FCC et FCD s’obtiennent en substituant pourcentage à nombre dans les définitions précédentes.
Fréquence cumulée croissante FCC, fréquence cumulée décroissante FCD
Exemple (série discrète) On considère la série statistique suivante :
xi ni
Calculer Les ECC, ECD, FCC et FCD Combien y a-t-il d’individus ayant une modalité a. au plus 3? b. au moins 3? c. plus de 3? d. moins de 3? Quel est le pourcentage et quelle est la proportion d’individus ayant une modalité a. au plus 3? b. au moins 3? c. plus de 3? d. moins de 3?
Locution || Symbole au plus || au moins || plus de || > moins de || <
≤ ≥
Vocabulaire
Exemple 2 (série continue) On considère la série statistique suivante
[8,11[ 1
[4,8[ 4
[2,4[ 3
[0,2[ 2
classe ni
Calculer les ECC, ECD, FCC et FCD
Remarques
- Le ECC correspondant à une classe donnée [a-b[ indique le nombre d’individus dont la modalité est strictement inférieure à b.
- Le ECD correspondant à une classe donnée [a-b[ indique le nombre d’individus dont la modalité est supérieure ou égale a.
- Les mêmes remarques sont valables pour le FCC et le FCD en substituant pourcentage à nombre.
Qu’en est-il pour une modalité qui n’est pas extrémité d’une classe?
Question
Fréquences et effectifs cumulés
Caractéristiques statistiques
Les caractéristiques statistiques sont des indicateurs numériques qui permettent de décrire, d’une manière synthétique, des données. On définit deux types de caractéristiques :
- Caractéristiques de position
- Caractéristiques de dispersion
a. Le mode, noté mo
Définition Le mode est la modalité la plus fréquente
Cas discret (^) La modalité d’effectif maximal est repérée directement sur le tableau ou
sur la représentation graphique Cas continu (^) On détermine la classe de densité maximale, la classe modale, à partir des n’ i, c’est la classe ayant le plus grand n’i. En suite, le mode est le centre de cette classe.
Remarque (^) Le mode n’est pas nécessairement unique
Paramètres-clefs de position
Ils permettent d’avoir des informations sur l’ordre de grandeur de l’ensemble des observations et de localiser la zone des fréquences maximales
Caractéristiques statistiques
b. La médiane, notée me
Définition La médiane est la modalité qui divise l’effectif total en deux parties égales Cas discret
i. Si l’effectif total, N, est impair, la médiane est la modalité qui occupe le rang central (N+1)/
ii. Si l’effectif total, N, est impair, alors a. si la modalité qui occupe le rang / 2 est égale à la modalité qui occupe le rang ( / 2) 1 alors la médiane est égale à cette modalité b. sinon on dit que la médiane n'existe pas ou la méd
N N + iane n'est pas une valeur observée. Exemples
xi ni ECC N= me=
xi ni ECC N= La 6ième^ modalité et la 7ième^ sont égales à 2 Donc me= 3 2 12
xi ni ECC
N=
La 5ième^ modalité égale à 1 et la 6ième^ égale à 2. Elles sont différentes
On peut prendre
me=(x5+x 6 )/2=1.
Mais ce n’est pas une valeur observée
Caractéristiques statistiques
Cas continu On détermine la classe médiane, i.e. la première classe telle que ( / 2) ( si est pair c'est la classe contenant le ( / 2) individu, noté [ , [.
La médiane est obtenue à partir de :
ième
ECC N
N N a b
me me
: ECC de la classe qui précède la classe [ , [
: effectif de la classe [ , [ : effectif total
-^ (^ / 2)
ECC a b
n a b N
a^ N^ ECC
b a n
Exemple
[8 - 15[ 4
[4 - 8[ 5
[2 - 4[ 3
[0 - 2[ 2
classe ni
On repére la classe modale
N=14, N/2=7 [4 - 8[ est la classe médiane
La médiane est obtenue à partir de :
me
me
me
ECC
Calculer la médiane me pour la série statistique suivante
Démonstration ….
Caractéristiques statistiques
Remarque
On détermine la classe médiane, i.e. la première classe telle que ( / 2)
La médiane est obtenue à partir de :
: ECD de la classe [ , [ : effectif d
- ( / 2)
ECD N
me
ECD a b n
me a ECD N
b a n
−
e la classe [ , [ a b et N : effectif total
On peut déterminer la médiane grâce à ECD, FCC et FCD
Détermination grâce à ECD
On détermine la classe médiane, i.e. la prmière classe telle que FCC 0.5, noté [ , [.
La médiane est obtenue à partir de :
: FCC de la classe qui précède la classe [ , [
-^ 0.
a b
me
FCC a b
me a^ FCC
b a f
≥
f : fréquence de la classe [ , [ et a b N : effectif total
Détermination grâce à FCC
Caractéristiques de position
On calcule les quantiles en suivant la même méthode vue
pour la détermination de la médiane.
Détermination des quantiles
Calcul du premier quartile (en utilisant ECC)
1
( / 4) et ( / 4)
i.e. la première classe telle que ( / 4)
On détermine la classe [ , [ telle que
Le premier quartile est obtenue à partir de :
: ECC de la
-^ (^ / 4)
ECC N ECC N
ECC N
Q
a b
ECC
a^ N^ ECC
b a n
=^ −^ −
classe qui précède la classe [ , [ : effectif de la classe [ , [ : effectif total
a b n a b N
Caractéristiques de position
1 1 1
1
(^1 2 1 )
On repére la première classe telle que ( / 4)
N=14, N/4=3.5 [2 - 4[ est la classe recherchée
Calcul de
est obtenu à partir de :
Q ECC N
Q
Q Q − = Q =
=^ − ==> = × ==>
Exemple
[8 - 15[ 4
[4 - 8[ 5
[2 - 4[ 3
[0 - 2[ 2
classe ni
ECC
Calculer la médiane Q 1 , Q 2 et Q 3 pour la série statistique suivante
3 3 3
3
(^3 8) 0.85 8.
On repére la première classe telle que (3 / 4)
N=14, 3N/4=10.5 [8 - 15[ est la classe recherchée
Calcul de
est obtenu à partir de :
Q ECC N
Q
Q Q − = Q =
=^ − ==> = × ==>
Calcul de Q 2 Q 2 = me =5.
Paramètres de dispersion
Grandeurs caractéristiques de dispersion
Ils précisent le degré de dispersion des différentes valeurs autour d’une valeur centrale.
Paramètres de dispersion
a. L’Etendue, noté e L’étendue est simplement la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observée e = Max xi − Min xi
Ce paramètre quantifie l’étalement total des données, il permet de détecter d’éventuelles valeurs extrêmes
b. Intervalle interquartiles, notée IQ IQ^ = Q 3^ − Q 1
Définition
Intérêt
o Ce paramètre indique les 50% de modalités situées au centre de la distribution
o Il très peu sensible aux données extrêmes
Intérêt
étendueétendue
Paramètres de dispersion
d. L’écart type DéfinitionL’écart type est une mesure de la distance moyenne à la moyenne
σ x = V x ( )
e. Le coefficient de variation
Le coefficient de variation est le rapport entre l'écart type et la moyenne C v x
x
σ
Remarque L’unité de mesure de l‘écart type est la même que celle des modalités
o Il mesure la dispersion des modalités autour de la moyenne
o Plus l’écart type est grand plus les modalités peuvent être éloignées les unes des autres i.e. plus elles sont dispersées.
o Plus l’écart type est petit plus les modalités sont proches de la moyenne i.e. elles sont moins dispersées.
Intérêt
Remarque Le coefficient de variation permet de comparer la variabilité de données situées dans des ordres de grandeurs différents, par exemple la variabilité du poids des éléphants et des souris
o Plus le coefficient de variation est élevée, plus la dispersion autour de la moyenne est grande o Le paramètre est sans unité
Remarque
Chapitre 3
Statistique descriptive bivariée
Statistique descriptive bivariée
Statistique descriptive à deux dimensions
Dans la statistique bivariée, on traite deux variables conjointes, i.e. deux variables observées simultanément sur les mêmes individus d’une population.
L’intérêt se porte le plus souvent sur la relation entre les deux variables, recherche de corrélation (d’interdépendance, le liaison, de correspondance) entre les deux variables, mais sans tirer des conclusions sur l’existence de liens de causalités entre elles.
Remarque
Objectif La statistique descriptive bivariée vise à étudier l’existence d’éventuels liens entre deux séries statistiques, quantifier l’intensité et caractériser sa forme le cas échéant.
L’étude d’un couple de variables conjointes se fait au moyen de tableaux, graphiques et calcul de paramètres-clés
Comment réaliser une telle étude?
Les deux variables peuvent être soit quantitatives soit qualitatives, mais on examinera, dans ce cours, davantage le cas où les deux variables sont quantitatives
On considère donc le cas où l’on dispose de deux variables x et y observées sur les mêmes individus, par exemple poids et taille, présence en cours et note du module ….
Hypothèses
Couples de variables conjointes
On s'intéresse à deux variables statistiques conjointes x et y. Ces deux variables sont observées
sur les mêmes individus d'une population. Pour chaque individus, on obtient donc deux mesures.
La sé
1 1 i i^ n^ n
rie statistique est alors une suite de couples des valeurs prises par les deux variables sur
chaque individu (x ,y ), ⋯,(x ,y ), ⋯,(x ,y )
1
1
une variable pouvant prendre modalités , ,
y une variable pouvant prendre modalités , ,
K
L