Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
Prüfungen vorbereiten
Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Download-Punkte bekommen.
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
berechnen zu m¨ussen, sondern. ” Steigungen“ von allgemeineren Funktionen. Mathematik kompakt. 1. Page 3. Differentialrechnung – Ableitungsbegriff. Geometrische ...
Art: Skripte
1 / 174
Diese Seite wird in der Vorschau nicht angezeigt
Lass dir nichts Wichtiges entgehen!
Differentialrechnung
Geometrische Bedeutung und Definition der Ableitung
Die Steigung der Straße ist durch den Winkel α des Dreiecks gegeben.
Ankathete A Gegenkathete G Steigung : tan = G / A
In vielen praktischen Anwendungen hat man nun aber das Problem, nicht Steigungen von Geraden berechnen zu m ¨ussen, sondern ”Steigungen“ von allgemeineren Funktionen.
Definition der Ableitung
Definition
Falls der folgende Grenzwert (Differential- quotient) existiert, heißt
Man kann nun jedem Punkt x aus dem Definitions- bereich von f (x) den Wert f ′(x) (falls existent!) zuordnen. Durch diese Zuordnungsvorschrift erh ¨alt man wieder eine Funktion:
Definition
erkl ¨arte Funktion heißt (erste) Ableitungs- funktion bzw. kurz (erste) Ableitung.
Aquivalenzen^ ¨
V ¨ollig ¨aquivalente Schreibweisen f ¨ur die Ableitung f ′(x 0 ):
y′(x 0 ), y′|x=x 0 , dy dx
∣∣ ∣∣ x=x 0
df dx
∣∣ ∣∣ x=x 0
Die Gr ¨oßen dy bzw. df und dx nennt man auch Dif- ferentiale. Dies erkl ¨art den Namen Differentialquoti- ent f ¨ur f ′(x 0 ).
Manchmal ist es praktischer, den Differentialquoti- enten in einer anderen Form zu benutzten. Hierzu setzt man x = x 0 + h. Dann ist h = x − x 0 und h → 0 aquivalent zu¨ x → x 0 :
Die Ableitung l ¨asst sich auch durch folgen- den Differentialquotienten berechnen:
Beispiel
b) Legt unser ”Brummi“-Fahrer abh ¨angig von der Zeit t ≥ 0 die Entfernung s(t) zur ¨uck, so er- rechnet sich seine Durchschnittsgeschwindig- keit (in der Physik: mittlere Geschwindigkeit ) im Zeitintervall [t 0 , t] ( t > t 0 ) aus dem Differen- zenquotienten s(t) − s(t 0 ) t − t 0
L ¨asst man die L ¨ange des Zeitintervalls gegen Null gehen ( t → t 0 ), so erh ¨alt man die auf dem Tachometer ablesbare Momentangeschwindig- keit aus dem Differentialquotienten
t^ lim→t 0
s(t) − s(t 0 ) t − t 0
= ˙s(t 0 ).
Ubung^ ¨
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Differentialquotien- ten die Ableitung f ′(x 0 ) der Funktion f (x) = 1 /x_. [Tipp: Differenzen auf Hauptnenner brin- gen!]_
b) Ist beim freien Fall eines schweren Massenpunk- tes (im Vakuum) seit Beginn des Falles eine Zeit von t Sekunden vergangen, so gilt f ¨ur den in dieser Zeit zur ¨uckgelegten Weg s(t) die aus der Schulphysik bekannte Formel
s(t) = g 2
t^2 mit g = 9, 81 m s^2 ( g Erdbeschleunigung). Welche Momentangeschwindigkeit hat der Punkt zu einem beliebigen Zeitpunkt t 0 > 0_?_
= (^) xlim→x 0
x
x 0 x − x 0
= (^) xlim→x 0
x 0 − x xx 0 x − x 0
= (^) xlim→x 0
xx 0
x^20
b) Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich zu
s ˙(t 0 ) = (^) tlim→t 0
s(t) − s(t 0 ) t − t 0 = (^) tlim→t 0
1 / 2 g(t^2 − t^20 ) t − t 0
Unter Beachtung von t^2 − t^20 = (t − t 0 )(t + t 0 ) erh ¨alt man daraus
s ˙(t 0 ) = lim t→t 0
1 / 2 g(t + t 0 ) = gt 0.
Tangente, Monotonieverhalten
Geometrische Deutung:
P 0 P 0
x 0 x 0
y = f(x) y = f(x)
x x
y y
a a
tan a> 0, 0< a< /2 tan a< 0,- /2< a<
Monotonieverhalten:
noton wachsend bzw. fallend.
Ableitung mit Tangente
Schreibt man nun die Identit ¨at
x^ lim→x 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
= f ′(x 0 ) = (^) xlim→x 0 f ′(x 0 )
als
x^ lim→x 0
( f (x) − f (x 0 ) x − x 0
− f ′(x 0 )
) = 0
bzw. auf den Hauptnenner gebracht als
x^ lim→x 0
x − x 0
so erkennt man, dass im Z ¨ahler des obigen Quo- tienten die Differenz zwischen Funktionswert f (x) und Tangentenwert t(x) steht:
x^ lim→x 0
f (x) − t(x) x − x 0
Man kann diesen Grenzwert auch anschaulich wie folgt formulieren: Die Funktion f (x) n ¨ahert sich der Tangente t(x) schneller als der Wert x dem Wert x 0.
Lineare Approximation
Wir interessieren uns nun f ¨ur die Differenz ε der Zuw ¨achse zwischen der Funktion und der Tangen- te, wenn das Argument sich von x 0 auf x andert.¨
x x
Tangente
y = f(x) f(x)
x
y
D y
D x =^ dx
} dy
e
0
f(x ) 0
t(x)
Differentiale
N ¨aherungsformel:
Wenn man die N ¨aherungsformel anwendet, so er- setzt man die Funktion f in der N ¨ahe von x 0 durch ihre Tangente, also durch eine lineare Funktion (Ge- rade). Man spricht daher auch von lokaler linearer Approximation der Funktion f.
Definition
Beispiel Gegeben sei ein Quadrat mit der L ¨ange x 0 = 5 und dem Fl ¨acheninhalt f (x 0 ) = 25_. Jetzt vergr ¨oßern wir die Seiten des Quadrats um_ dx = 0. 005 und berechnen den neuen Fl ¨acheninhalt mit der N ¨ahe- rungsformel: Wegen f (x) = x^2 , f ′(x) = 2x lautet diese
f (x 0 + dx) ≈ x^20 + 2x 0 · dx.
Wir setzen x 0 = 5 und dx = 0. 005 und erhalten
f (5.005) ≈ 52 + 10 · 0 .005 = 25. 05.
Man beachte, dass wegen (x 0 +dx)^2 = x^20 +2x 0 · dx + (dx)^2 , also ε = (dx)^2 = 0. 000025 die bei- den Ziffern nach dem Komma richtig sind. Der kor- rekte Fl ¨acheninhalt w ¨urde sich zu 25. 050025 er- geben. e
}
{
{
{
x
x
dx
dx
e=dx dx.
L ¨osung
a) Es ist dr = 0. 0075 und damit A = π(3 + 0.0075)^2 ≈ π
( 32 + 6 · 0. 0075
)
= 28. 4157. Der Fehler ergibt sich zu ε = π · 0. 00752 =
b) Das Differential lautet ds = ˙s(t 0 ) · dt mit dt = t − t 0. Es ist der Weg, den der Fahrer zur ¨ucklegen w ¨ur- de, wenn er die Momentangeschwindigkeit s˙(t 0 ) unver ¨andert beibeh ¨alt. F ¨ur ein kurzes Zeitintervall ist dies eine gute N ¨aherung, da sich in diesem Fall nur sehr gerin- ge Geschwindigkeits ¨anderungen ergeben k ¨on- nen.
Differentielle Fehleranalyse
Praxis: h ¨aufig Gr ¨oßen y 0 zu berechnen, die in ei- nem funktionalen Zusammenhang mit gemessenen Ausgangsgr ¨oßen x 0 stehen: y 0 = f (x 0 ).
Ist dabei x 0 mit einem Messfehler dx behaftet, so stellt sich die Frage, wie sich dieser auf die zu be- rechnende Gr ¨oße y 0 auswirkt. Hierzu benutzt man die differentielle Fehleranalyse. Sie liefert eine N ¨ahe- rung f ¨ur den auftretenden Berechnungsfehler ∆y = f (x 0 +dx)−f (x 0 ) durch Anwendung unserer N ¨ahe- rungsformel. Dieser kann auf zwei Arten berechnet werden:
|∆y| ≈ |dy| = |f ′(x 0 ) · dx|,
∆y y
∣∣ ∣∣ ∣ ≈
∣∣ ∣∣ ∣
dy y
∣∣ ∣∣ ∣ =
∣∣ ∣∣ ∣
f ′(x 0 ) · dx f (x 0 )
∣∣ ∣∣ ∣ =
∣∣ ∣∣ ∣
f ′(x 0 )x 0 f (x 0 )
∣∣ ∣∣ ∣·
∣∣ ∣∣ ∣
dx x 0
∣∣ ∣∣ ∣.
