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_^1 y = 3
Zeit t (in h)
Verkaufsrate in
t
t (^0)
__kg h
O
5 Integralfunktionen
In einer Eisdiele ist Verkaufsstart der neuen Eissorte „Ultimate Chocolate“. Der Graph gibt die Verkaufsrate in Kilogramm pro Stunde seit Verkaufsstart wieder. Wann wurden insgesamt 24 kg der Eissorte „Ultimate Chocolate“ verkauft? Wie ändert sich die Gesamtzahl der verkauf ten Eismenge, wenn diese Zeitspanne ab dem Verkaufsstart verdoppelt wird?
Integrale können mithilfe von Stammfunktionen berechnet werden. Mit den bisher bekannten Methoden lassen sich Stammfunktionen zu gewissen Funktionen angeben. Es gibt jedoch inte grierbare Funktionen, zu denen man mit keiner der bisher bekannten Funktionen den Funkti onsterm einer zugehörigen Stammfunktion angeben kann. Eine derartige Funktion ist z. B. die Funktion f mit f (x) = e–^ x^2. Ist f differenzierbar, so lässt sich dennoch grafisch eine Stammfunktion konstruieren. Die nebenstehende Grafik gibt die Vertikal geschwindigkeit v eines Heißluftballons in Abhängigkeit von der Zeit t wieder. Der Startpunkt befindet sich auf der Höhe H = 0. Möchte man aus der Vertikalgeschwindigkeit v näherungsweise der Höhe H des Ballons er mitteln, muss der orientierte Flächeninhalt ab der unteren Grenze t = 0 bestimmt werden. Ein Kästchen entspricht einer Höhenänderung
100
50
10 20 30 40
Zeit t (in min)
Vertikalgeschwindigkeit v in
O (^50 )
___m min
von 125 m, und damit kann man Näherungswerte für H bestimmen. Da der Startpunkt auf der Höhe H = 0 liegt, ergibt sich näherungsweise folgende Wertetabelle:
t in min 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 H in m 250 700 1200 1600 1700 1600 1250 1000 950 900 890 880
Damit lässt sich zur Funktion v eine Näherung der Stammfunktion H grafisch darstellen. Sie gibt die Höhe des Heißluftballons in Abhän gigkeit der Zeit t nach dem Start wieder. Da das Integral den orientierten Flächeninhalt beschreibt, nennt man die Funktion H eine
Integralfunktion, es ist H (x) = :
0
x v (t) dt.
2000
1000
10 20 30 40
Zeit t (in min)
Höhe (in m)
O (^50 )
Ist f eine Funktion, die im Intervall I integrier bar ist und u * I, so heißt die Funktion Ju mit
Ju (x) = :
u
x f (t) dt mit x * I Integralfunktion
von f zur unteren Grenze u. t
y
O (^) u x
y = f (t) Da nun die Funktions- variable die obere Integra- tionsgrenze x ist, benennt man die Variable, über die integriert wird, anders, z.^ B. mit t.
II Integralrechnung
5 Integralfunktionen
Es ist Ju (u) = : u
u f (t) dt = 0, d. h. die untere Grenze u ist stets eine Nullstelle der Integralfunktion.
Auch für x < u ergibt die Definition Sinn. Denn wegen
0 = : u
u f (t) dt = : u
x f (t) dt + : x
u f (t) dt ergibt sich: Ju (x) = : u
x f (t) dt = – : x
u f (t) dt.
Vertauscht man also die Integrationsgrenzen, so wechselt das Integral sein Vorzeichen. Die so konstruierte Funktion Ju ist tatsächlich eine Stammfunktion der Funktion f:
Ist Ju die Integralfunktion einer auf einem Intervall I differenzierbaren Funktion f, so gilt
Ju ’ (x) = f (x). Die Integralfunktion Ju ist also eine Stammfunktion von f.
Begründung: Es wird untersucht, ob der Differenzenquotient der Funktion Ju an einer beliebigen Stelle x * I einen Grenzwert hat. Falls auch (x + h) * I, gilt wegen der Intervalladditivität:
J__u(^ x + h)^ – Ju(^ x) h =
: u
x + h f (t) dt – : u
x f (t) dt
h =
: x
x + h f (t) dt __ h.
Im Intervall [x; x + h] hat die Funktion f ein Maximum M und ein Minimum m.
Das Integral : x
x + h f (t) dt ist also durch die
Flächeninhalte der zwei dazugehörigen Recht ecke nach oben und unten begrenzt:
m · h ª : x
x + h f (t) dt ª M · h.
Dividiert man die Ungleichungen durch h, so erhält man m ª _ h^1 : x
x + h f (t) dt ª M.
Zwischen den Ungleichheitszeichen erkennt man den Term, dessen Grenzwert für h ¥ 0 zu bestimmen ist. Für h ¥ 0 nähert sich (x + h) dem Wert x an und damit sowohl das Minimum m als auch das Maximum M von f dem Wert f (x) an, da f differenzierbar ist. Der Grenzwert des
Differenzenquotienten existiert also und es gilt: f (x) ª lim h ¥ 0
_ 1 h : x
x + h f (t) dt ª f (x). Daraus ergibt sich
Ju ’ (x) = lim
h ¥ 0
_ 1 h : x
x + h f (t) dt = f (x). Damit ist gezeigt, dass Ju eine Stammfunktion von f ist.
Für eine differenzierbare Funktion f mit Stammfunktion F lässt sich damit der Hauptsatz der
Differenzial und Integralrechnung folgern. Es gilt: Ja (x) = : a
x f (t) dt = F (x) + c. Die Konstante c
ergibt sich aus 0 = : a
a f (t) dt = F (a ) + c zu c = – F (a), also ist : a
b f (t) dt = F (b) – F (a ).
Beispiel 1 Funktion mithilfe einer Integralfunktion rekonstruieren
In einem Wassertank steht anfangs das Wasser 2,5 m hoch. Die Funktion f mit f (t) = 4 – t^2 be schreibt für t > 0 die momentane Änderungsrate des Wasserstandes h (t), bis der Tank leer ist. Dabei wird t in Stunden und h (t) in Meter gemessen. a) Geben Sie für die Funktion h (t) einen Funktionsterm an. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Behälter leer ist.
Lösung
a) h (t) = 2,5 + : 0
t f (x) dx = 2,5 + (^) [ 4 x – _ 31 x^3 ] (^0)
t = 2,5 + 4 t – _ 31 t^3
b) Der Tank ist leer, wenn h (t) = 0. Mit dem Taschenrechner erhält man als Lösung dieser Glei chung t = 3,74 als einzige positive Lösung. Der Tank ist nach etwa 3 Stunden und 45 Minuten leer.
Hier wird die Intervall- additivität auf Integrale übertragen, bei denen die untere Grenze größer ist als die obere.
Hier wird angenommen, das h > 0 gilt. Falls h < 0, kann man ähnlich argumentieren.
x
y
M
m
O u (^) x h
x + h
A (^) max = M · h
Amin = m · h
Diese Aussage gilt, weil f differenzierbar ist und daher ihr Graph bei x kei- nen „Sprung“ hat. Dies ist z. B. bei differenzierbaren Funktionen der Fall.
Aufgaben 5, 10, 11
II Integralrechnung
5 Integralfunktionen
Gegeben ist der Graph einer Stammfunktion F von f. Im nicht sichtbaren Bereich ist F streng monoton fallend bzw. steigend. Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Be gründen Sie Ihre Antwort. a) F ist die Stammfunktion von f mit F (0) = 2. b) F ist eine Integralfunktion Ju von f. c) G mit G (x) = F (x) – 2 ist eine Integralfunk tion Ju von f. d) :
2 f (x) dx > 2 e) F (– 2) + f (– 2) > 1
x
1
2
3
4
–3 –2 –1 O 1 2 3
y
Graph von F
In einem Wellenschwimmbad schwankt die Wasserhöhe mit der Geschwindigkeit
v (t) = 1,2 sin (2 t) ( t in Sekunden, v (t) in Meter
pro Sekunde). Zur Zeit t = 0 beträgt die
Wasserhöhe 0,80 m. a) Bestimmen Sie einen Term für die Wasser höhe zum Zeitpunkt t. b) Ermitteln Sie die minimale und die maxi male Wasserhöhe.
Ein Fallschirmspringer springt aus 4000 m Höhe zum Zeitpunkt t = 0 ab. Seine Fallgeschwindig
keit wird durch die Funktion v mit v (t) = 50 – 50 e–^ 0,2^ t^ beschrieben ( t in Sekunden, v (t) in Meter
pro Sekunde).
a) Wie groß ist die gefallene Strecke und seine Höhe nach zehn Sekunden? b) Bestimmen Sie einen Term für die Höhe des Springers zur Zeit t > 0. c) Bestimmen Sie näherungsweise die Zeit, nach der die „Öffnungshöhe“ für den Fallschirm (1000 m) erreicht wird.
Lösen Sie die Gleichung :
x (e–^ t^ + et) dt = 2.
Gegeben ist der Graph einer Stammfunktion F von f. Entscheiden Sie, ob die folgende Aus sage wahr oder falsch ist. Begründen Sie. a) F ist der Graph einer Integralfunktion von f. b) f ist im Bereich [– 2; – 1] negativ. c) F (0) + f (0) > 2 d) : 0
4 f (t) dt > 2
x
1
2
–3 –2 –1 O 1 2 3
y
Graph von F
Zeigen Sie, dass jede Integralfunktion Ju von f mit f (t) = _ 1 +^1 t 2 genau eine Nullstelle hat.
|n einem Land betrug zu Beginn des Jahres 1950 die Einwohnerzahl 2,5 Millionen. Zu Beginn des Jahres 2000 waren es 3,2 Millionen. a) Modellieren Sie das Bevölkerungswachstum durch lineares und exponentielles Wachstum. b) Berechnen Sie für beide Modelle den Zeitpunkt, an dem 5 Millionen Einwohner erreicht werden.
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$ Test Lösung | Seite 195
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Grundwissen Seite 171 Lösung | Seite 195
Grundwissen Test
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