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HTWD, Fakult¨at Informatik/Mathematik Arbeitsblatt 15 Prof. Dr. M. Voigt Integralrechnung in R
Integration
- Grundintegrale: (Im Folgenden gilt stets c ∈ R.)
xα^ dx = (^) α+1^1 xα+1^ + c, α 6 = − 1
x dx^ =^ ln^ |x|^ +^ c,^ x^6 = 0
ex^ dx = ex^ + c
cos x dx = sin x + c
sin x dx = − cos x + c
1+x^2 dx^ =^ arctan^ x^ +^ c
√ 1 −x 2 dx = arcsin x + c
- Rechenregeln:
Ist f integrierbar ¨uber [a, b], so gilt f¨ur das bestimmte Integral:
(I1)
∫^ b a
f (x) dx =
∫^ c a
f (x) dx +
∫^ b c
f (x) dx , c ∈ [a, b] (Zerlegen des Integrationsbereiches)
(I2)
∫^ a a
f (x) dx = 0 (Identische Integrationsgrenzen)
(I3)
∫^ a b
f (x) dx = −
∫^ b a
f (x) dx (Vertauschen der Integrationsgrenzen)
(I4)
∫^ a b
α f (x) dx = α
∫^ a b
f (x) dx (Faktorregel)
(I5)
∫^ a b
(f (x) ± g(x)) dx =
∫^ a b
f (x) dx ±
∫^ a b
g(x) dx (Summenregel)
- Partielle Integration:
Sind u = u(x) und v = v(x) auf [a, b] stetige Funktionen, dann gilt:
∫ uv′^ dx = uv −
u′v dx bzw.
∫^ b
a
uv′^ dx = uv
b
a
∫^ b
a
u′v dx
- Substitutionsmethode: Gegeben sei das Integral I =
f (x) dx.
Schritt 1: Aufstellen der Substitutionsgleichung W¨ahle einen komplizierten Term g(x) im Integranden f (x), dessen Substitution durch eine neue Variable t das Integral (hoffentlich) einfacher macht. Schreibe dann die Substitutionsgleichung t = g(x) auf.
Schritt 2: Substitution von dx Leite die Substitutionsgleichung nach x ab und stelle die entstandene Gleichung nach dx um:
t = g(x) d/dx =⇒ dt dx = g′(x) =⇒ dx = dt g′(x)
Schritt 3: Eliminiere x und dx im Integranden Ersetze im Integranden f (x) den Term g(x) durch t, das dx durch (^) g′dt(x) und k¨urze ggf. Sollte x hinterher immer noch im Integranden vorhanden sein, stelle die Subst.gleichung nach x um (x = g−^1 (t)) und ersetze alle x damit. Es darf zum Schluss kein x mehr vorhanden sein! Das Integral I hat dann die Form I =
f (t) dt.
Schritt 4: Integration Berechne das unbestimmte Integral I =
f (t) dt = F˜ (t) + c durch Integration nach t.
Schritt 5: R¨ucksubstitution Ersetze im Ergebnis F˜ (t) + c die Variable t durch g(x).
- Weitere Rechenregeln:
(I6)
f ′(x) f (x) dx = ln |f (x)| + c
(I7)
f (x)
)n · f ′(x) dx =
n + 1
f (x)
)n+
- Integration gebrochenrationaler Funktionen:
Gesucht ist das Integral
f (x)dx, wobei f (x) = p q((xx)) eine gebrochenrationale Funktion ist.
Schritt 0: Ist f (x) echt gebrochenrational? Uberpr¨¨ ufe ob, der Z¨ahlergrad kleiner als der Nennergrad ist. Wenn nicht, dann ist f (x) unecht gebrochen- rational und kann (z.B. durch Polynomdivision) in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden: f (x) = p(x) ︸ ︷︷ ︸^ q(x) unecht gebrochenrat.
= g ︸︷︷︸(x) ganzrat.
r(x) ︸ ︷︷ ︸^ q(x) echt gebrochenrat. F¨ur die Integration ergibt sich dann: ∫ f (x)dx =
g(x)dx +
∫ (^) r(x) q(x) dx,
wobei beim 1. Integral ein Polynom und beim 2. eine echt gebrochenrationale Fkt. integriert werden muss.
Wir betrachten deshalb im Folgenden nur echt gebrochenrationale Funktionen f (x) = p q((xx)).
Schritt 1: Partialbruchzerlegung f¨ur f (x) Zerlege f (x) in eine Summe von Partialbr¨uchen mittels PBZ (siehe Arbeitsblatt 6).
Schritt 2: Integration der Partialbr¨uche Integriere die einzelnen Partialbr¨uche und addiere anschließend die Ergebnisse. Dabei gelten folgende Grundintegrale f¨ur Partialbr¨uche (wobei A, B, C, a, p, q ∈ R konst. und p^2 − 4 q < 0): ∫ A x − a dx = A · ln |x − a| + c
∫ A (x − a)k^ dx (k > 1) = −
k − 1
A
(x − a)k−^1
∫ 1 x^2 + px + q dx =
√^2
4 q − p^2
· arctan
√^2 x^ +^ p 4 q − p^2
∫ Bx + C x^2 + px + q dx^ =^
B
2 ·^ ln^ |x
(^2) + px + q| +
C −
Bp 2
x^2 + px + q dx ∫ 1 (x^2 + px + q)k^ dx^ (k >^ 1)^ =^
2 x + p (k − 1)(4q − p^2 )(x^2 + px + q)k−^1
2(2k − 3) (k − 1)(4q − p^2 )
(x^2 + px + q)k−^1 dx
∫ Bx + C (x^2 + px + q)k^ dx^ (k >^ 1)^ =^ −^
B
2(k − 1)(x^2 + px + q)k−^1
C −
Bp 2
(x^2 + px + q)k^ dx
