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Thema Gesetze und Regeln Musterbeispiele
© Dipl.-Math.
Armin Richter
Grundproblematik:
Wieviele Möglichkeiten gibt es...
... n Objekte in verschiedenen Reihenfolgen anzuordnen ... k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen.
Fundamentales Zählprinzip – Produktregel
Aus r Mengen M 1
, M
, M
r
, mit n 1
, n 2
, n r
Elementen lassen sich
N = n 1
verschiedene r -Tupel (x 1
, x 2
,... x r
) bilden mit x i
∈ M
i
oder
Hat man eine Folge von Entscheidungen zu treffen, bei denen es für die
i. Entscheidung n i
Möglichkeiten gibt (i = 1,...r), dann ist die Gesamtzahl
aller möglichen Entscheidungs-Folgen gegeben durch
N = n 1
Bezeichnungen:
n – Menge ... Menge von n Elementen
k – Stichprobe ... Teilmenge von k Elementen einer Grundmenge
geordnet ... Reihenfolge wichtig ( Variationen )
ungeordnet ... Reihenfolge unwichtig ( Kombinationen )
mit Zurücklegen ... gezogenes Element wird vor der nächsten Ziehung
zurückgelegt
ohne Zurücklegen ... gezogenes Element wird vor der nächsten Ziehung
nicht zurückgelegt
Zählprinzip Zählprinzip Allgemeines Zählprinzip bei mehrstufigen Experimenten:
Besteht ein Zufallsexperiment aus k voneinander unabhängigen Stufen
mit jeweils n 1
, n 2
, ..., n k
Ergebnissen, so hat das Gesamtexperiment
n 1
kombinierte Ergebnisse. Dabei wird berücksichtigt, dass
unterschiedliche Reihenfolgen als unterschiedliche Ergebnisse gewertet
werden.
Spezialfälle:
- Aus einer Urne mit n Kugeln wird k mal mit Zurücklegen gezogen.
Dann gibt es n … n = n
k verschiedenen Ergebnisse.
Variation mit Wiederholung
- Aus einer Urne mit n Kugeln wird k mal ohne Zurücklegen gezogen.
Dann gibt es n • (n − 1) • … • (n − k + 1) verschiedenen Ergebnisse.
Variation ohne Wiederholung
- Aus einer Urne mit n Kugeln werden alle n Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen. Dann gibt es n • (n − 1) • … • 2 • 1 = n! verschiedene
Ergebnisse.
Permutation ohne Wiederholung
Thema Gesetze und Regeln Musterbeispiele
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trefflernen
Haben n Elemente einer Menge M eine Eigenschaft A und k Elemente
diese Eigenschaft A nicht, so besteht M aus n + k Elementen. Man
schreibt:
| M | = | A | + | A | („Anzahl von M = Anzahl von A + Anzahl von nicht-A“)
Form 1:
Hat die Menge A r Elemente und die Menge B s Elemente, so gibt es r * s
geordnete Paare der Form (a, b) mit a ∈A und b ∈B, d. h.
| A × B | = | A | * | B |.
Dazu bietet sich eine Matrixschreibweise an:
Die Menge A bestehe aus 4 Elementen und die Menge B aus 6 Elementen
womit 24 geordnete Paare entstanden sind.
Form 2:
Ein Versuch bestehe aus s Stufen. Der Ausgang einer Stufe habe keinen
Einfluss auf die Anzahl (!) der möglichen Ausgänge bei späteren Stufen
(Unabhängigkeit der Stufen).
Haben die einzelnen Stufen bzw. n 1
, n 2
, n 3
, ... n s
Ausfälle, so hat der
Gesamtversuch
n = n 1
*... *n s
Ausfälle.
(Dass der Ausgang keinen Einfluß auf die Anzahl der Versuche haben soll
bedeutet, dass immer wieder der Ausgangszustand hergestellt wird, in der
Sprache der Kombinatorik: mit Zurücklegen gearbeitet wird. Es müssen
immer genügend Elemente zur Verfügung stehen, sie dürfen nicht alle
werden.)
Summen– und Produktregel
Zählprinzip
Summenregel (Entweder – Oder – Regel)
Produktregel
Thema Gesetze und Regeln Musterbeispiele
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Permutation^ Permutation
Eine Anordnung (nur Reihenfolge) sämtlicher Elemente einer endlichen
Menge heißt auch Permutation. Für Permutationen hat sich eine
Listenschreibweise eingebürgert.
Sämtliche Permutationen von S = {a, b, c} sind:
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
Bei einer Permutation
müssen immer alle Elemente
in einer Reihenfolge angeordnet werden.
Anzahl der Merkmale: n
Anzahl der Versuche: k = n
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Permutation von n Elementen ohne Wiederholungen
P n
= n!
Anzahl der Permutationen bei n Verschiedenen Elementen:
Alle n-elementigen Tupel, die aus einer
n-elementigen Menge erzeugt werden können
mit n-verschiedenen Elementen.
Für die Auswahl
von n Elementen
aus einer Menge mit Elementen
ohne Wiederholung (das heißt immer, man könnte die n Elemente
auch mit einem Zug aus der Urne ziehen und es gilt immer, dass alle
Elemente gezogen werden)
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Voraussetzungen:
Alle (n) Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
Es müssen alle (n) Elemente ausgewählt werden.
( am Ende des Experiments ist die Urne leer )
Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden.
( es wird keine Kugel zurückgelegt, also keine Wiederholung und es gibt
auch keinen zwei gleichen Elemente )
Die Reihenfolge muss berücksichtigt werden
( die Reihenfolge (1,2,3) ist von (2,1,3) zu unterscheiden, würde die
Reihenfolge nicht berücksichtigt werden, wäre das identisch mit nicht
unterscheidbaren Elementen )
Interpretationen
Anzahl der Möglichkeiten, eine geordnete Stichprobe von n Kugeln
aus einer Urne mit n Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen.
Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene (unterscheidbare) Objekte
so auf n Urnen zu verteilen, dass in jeder Urne ein Objekt liegt.
Anzahl der n-stelligen Sequenzen von n verschiedenen Zeichen, in
denen jedes Zeichen genau einmal vorkommt.
Permutation
ohne Wiederholung
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Permutation Herleitung der Formel (Zählprinzip)
ohne Wiederholung
Anzahl der Merkmale: n = 5
Anzahl der Versuche: k = n = 5
- Stufe: n Möglichkeiten (Menge 1 enthält n Elemente)
- Stufe: n–1 Möglichkeiten (Menge 2 enthält n Elemente)
- Stufe: n–2 Möglichkeiten (Menge 3 enthält n Elemente)
n-te Stufe: 1 Möglichkeit (Menge n enthält n Elemente)
Unter „Menge“ ist jeweils der Status der Urne zu verstehen:
wieviele Kugeln sind in der Urne enthalten.
da nach jedem Ziehen nicht zurückgelegt wird, sind beim jeweils nächsten
Zug eine Kugel weniger in der Urne vorhanden.
Es stehen also n verschiedene Elemente zur Verfügung, deren Anzahlen
nach dem Zählprinzip immer um 1 niedriger werden und es sind n – Objekte
anzuordnen (k=n):
n 1
- n 2 - n 3 - ... • n n
= n • (n – 1) • (n – 2) •... • 1 = n!
Anzahl der Ergebnisse: 5! = 120
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n!
k 1
! ∙ k 2
! ∙.. .∙ k m
!
Permutation von n Elementen mit Wiederholungen
Für die Auswahl
von n Elementen
aus einer Menge mit n Elementen
mit Wiederholung (das heißt auch hier, es könnten alle Elemente auf
einmal gezogen werden)
mit Berücksichtigung der Reihenfolge unterscheidbarer Elemente
und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge nicht unterscheidbarer
Elemente
Voraussetzungen:
Mindestens 2 Elemente der Ausgangsmenge sind identisch, d.h. es gibt
Elemente der Ausgangsmenge, die sich nicht voneinander unterscheiden
lassen.
Es müssen alle (n) Elemente ausgewählt werden.
(nach dem Experiment ist die Urne leer)
Ein Individualelement kann nicht mehrmals ausgewählt werden, ein
Element mit gleicher Eigenschaft hingegen schon. Liegen z.b. 2 rote
Kugeln in der Ausgangsmenge, so muss jede der beiden roten Kugeln
ausgewählt werden ( mit Wiederholung ), eine dritte rote Kugel kann aber
nicht ausgewählt werden.
Die Reihenfolge der unterscheidbaren Elemente spielt eine Rolle.
Interpretationen
Anzahl der Möglichkeiten, eine geordnete Stichprobe von k Kugeln aus
einer Urne mit n Kugeln mit zurücklegen so zu ziehen, dass, dass die
Kugel ai genau ki-mal gezogen wird.
Anzahl der Möglichkeiten, k unterscheidbare Objekte auf n Urnen so zu
verteilen, dass in der i-ten Urne k i
Objekte liegen.
(Elemente, die nicht unterscheidbar sind)
Angenommen, wir haben eine Menge von Objekten, die aus mehreren
Teilmengen besteht, wobei innerhalb jeder Teilmenge die Objekte gleich sind.
Ein Beispiel dafür ist eine Urne mit mehreren Kugeln der gleichen Farbe.
Beim Ziehen sind Kugeln der gleichen Farbe nicht unterscheidbar, dh. die
Eigenschaft der Elemente tritt mehrfach auf.
Anzahl der Permutationen bei n Elementen, bei denen n 1
, n 2
,...n k
Elemente
untereinander gleich sind:
W P
n;n1,n2,n3..nk
=
Prototypisches Beispiel
Mögliche Buchstabenanordnungen beim Wort ANAGRAMM
Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des
Wortes ANAGRAMM
in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen. In diesem Wort
kommen bestimmte Buchstaben mehrfach vor.
Anzahl aller Buchstaben: N=
Häufigkeit einzelner Buchstaben:
k1 = A = 3
k2 = G = 1
k3 = N = 1
k4 = M = 2
k5 = R = 1
A = 8!/(3!1!1!2!1!) = 8!/(3!*2!) = 40320/12 = 3360
Es gibt 3360 unterschiedliche (8 Buchstaben umfassende) Wörter,
die unter der Verwendung aller Buchstaben des Wortes ANAGRAMM
gebildet werden können.
Permutation
mit Wiederholung
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Permutation Herleitung der Formel (Zählprinzip)
ohne Wiederholung
Herleitung der Formel aus Permutation ohne Wiederholung
Zunächst ist das Zählprinzip dem der Permutation ohne Wiederholung ähnlich
mit jeder Stufe enthält die Urne eine Kugel weniger. Damit entsteht wieder
folgende Zählung:
- Stufe: n Möglichkeiten (Menge 1 enthält n Elemente)
- Stufe: n–1 Möglichkeiten (Menge 2 enthält n Elemente)
- Stufe: n–2 Möglichkeiten (Menge 3 enthält n Elemente)
n-te Stufe: 1 Möglichkeit (Menge n enthält n Elemente)
Unter „Menge“ ist jeweils der Status der Urne zu verstehen:
wieviele Kugeln sind in der Urne enthalten.
da nach jedem Ziehen nicht zurückgelegt wird, sind beim jeweils nächsten Zug
eine Kugel weniger in der Urne vorhanden. Hier wird ohne Zurücklegen gear-
beitet, obwohl es „mit Wiederholung“ heißt. Entscheidend ist aber, dass genau
n Ziehungen stattfinden und dass nach n Ziehungen die Urne leer ist. Deshalb
geht man davon aus, dass in der Urne selbst schon Kugeln liegen, die nicht
unterscheidbar sind, aber bei n Kugeln die Urne leer ist. Damit stehen zunächst
n! Anordnungen zur Verfügung
n 1
- n 2 - n 3 - ... • n n
= n • (n – 1) • (n – 2) •... • 1 = n!
Durch die Gleichheit von Elementen lassen sich jeweils n 1
mehr unterscheiden, die alleine aus der Vertauschung der n 1
Objekte
entstehen. n 1
Objekte lassen sich aber in n 1
! Möglichkeiten anordnen, so
dass die unterscheidbaren Möglichkeiten sind: n!/n 1
Thema Gesetze und Regeln Musterbeispiele
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Auf der rechten Seite wird das Beispiel aus der Permutation ohne
Wiederholung auf diesen Fall geändert. In der Urne befinden sich weiterhin 5
Kugel, davon sind jetzt aber 2 rote, 2 blaue und 1 gelbe. In einigen Fällen sind
die Kugeln mit Nummern versehen, um die Ergebnisse besser unterscheiden
zu können. Dies Nummern sind natürlich auf den Kugeln nicht vorhanden,
sonst wären sie nicht „nicht unterscheidbar“.
Wenn man sich die Nummern wegdenkt, stellt man fest, dass jeweils vier
Anordnungen nicht unterschieden werden können (durch senkrechte Striche
getrennt), so dass von den ursprünglich 120 Anordnungen der „Permutati-
onen ohne Wiederholung“ nur noch 30 verschiedene Anordnungen (30 nicht
unterscheidbare Vierergruppen, die im rechten Beispiel durch senkrechte rote
Striche gekennzeichnet sind) übrigbleiben.
Anzahl der Merkmale: n = 5
Anzahl der Versuche: k = 5
Anzahl gleicher Elemente: n
1
= 2; n
2
Da zwei Sorten Kugel mit je 2 Stück nicht unterscheidbar sind, ist
nach obiger Herleitung n 1
= 2 und n 2
= 2 (und n 3
=1 für gelb). Damit
ergibt sich aus der Berechnungsformel:
Anzahl der Ergebnisse: 5!/2!2! = 30
Permutation Beispiel
ohne Wiederholung
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W V
k
n
= n
k
Variation mit Zurücklegen (mit Wiederholungen)
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Wieviele Möglichkeiten gibt es, k
Elemente unter Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, wenn jedes
Element beliebig oft, aber höchstens k mal, wiederholt werden darf? (Beachte:
k kann auch grösser als n sein)
Alle k-elementigen Tupel, die aus einer
n-elementigen Menge erzeugt werden können
Für die Auswahl
von k Elementen (Kugeln), beim Ziehen mit zurücklegen kann k > n sein,
da jeder Versuch die Bedingungen hat, wie der erste
aus einer Menge mit n Elementen (Urne)
mit Wiederholung (Zurücklegen) (das bedeutet, dass vor jeder neuen
Ziehung der Zustand vor der ersten Ziehung wieder hergestellt wird.
Damit ist auch möglich, dass k > n, da die „Urne“ nie leer wird.)
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Voraussetzungen:
Alle (n) Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
Es werden einige (k) Elemente ausgewählt.
Beim Ziehen mit Zurücklegen kann k > n sein, da jeder Versuch die
gleichen Bedingungen hat, wie der erste Versuch.
Ein Element kann mehrmals ausgewählt werden.
Interpretationen
Anzahl der Möglichkeiten, eine geordnete Stichprobe von k Kugeln aus
einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen.
Anzahl der Möglichkeiten, k verschiedene (unterscheidbare) Objekte auf n
Urnen zu verteilen, wobei jede Urne beliebig viele Objekte aufnehmen
kann.
Anzahl der k-stelligen Sequenzen, in denen jede Stelle mit irgendeinem
von n verschiedenen, beliebig oft wiederholbaren Zeichen besetzt ist.
Prototypisches Beispiel
Zahlenschloss
Ein Zahlenschloss bestehe aus 5 Vorrichtungen, welche jeweils eine
Zifferneinstellung verlangen. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
wichtig
● Bei jeder Zifferneinstellung können die Zahlen 0 bis 9 gewählt
werden (N=10). Bestimmte Ziffern können mehrfach vorkommen
(=mit Wiederholung)
● (^) Die Reihenfolge ist entscheidend (01557 ist ungleich 75510)
N = 10 mögliche Ziffern (0 bis 9)
k = 5 Zifferneinstellungen
A = N
k = 105 = 100000
Es gibt 100 000 mögliche Ziffernanordnungen für ein Zahlenschloss
mit 5 einzustellenden Ziffern.
Variation
mit Wiederholung
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n
k
2
Variation Baumdiagramm
mit Wiederholung
Anzahl der Merkmale: n = 4
Anzahl der Versuche: k = 2
Das Baumdiagramm ist voll besetzt.
gleiche Farben haben die Wahrscheinlichkeit 1/
verschiedene Farben treten im Baumdiagramm zweimal
auf und haben deshalb die Wahrscheinlichkeit 2 • 1/
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trefflernen
Wenn aus n Objekten k Objekte mit Zurücklegen und mit Beachtung
der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, dann kann jedes der n
Objekte auf jedem der k Plätze der Auswahl erscheinen
Mengendarstellung: Die Menge
B
k n
= {(x 1
;x 2
;.. .x k
) | x i
{1,2,3,.. n} }
aller Variationen ohne Wiederholung von n Dingen zur Klasse k (für
n,k∈ℕ). Sie heißt auch Menge aller Permutationen ohne
Wiederholung von n Dingen zur Klasse k. Sie hat die oben
angegebene Anzahl von Elementen.
Variation^ Herleitung der Formel Zählprinzip)
mit Wiederholung
Herleitung der Formel aus Permutation ohne Wiederholung
Um die Möglichkeiten auszurechnen, müssen die unterschiedlichen Anzahlen
miteinander multipliziert werden. Da hier eine Gleichwertigkeit vorliegt, da
jedes der k Positionen mit jedem der n Elemente belegt werden kann, folgt aus
n 1
- n 2 - n 3 - ... • n k
= n • n • n •... n = n
k
- Stufe: n Möglichkeiten (Menge1 enthält n Elemente)
- Stufe: n Möglichkeiten (Menge2 enthält n Elemente)
- Stufe: n Möglichkeiten (Menge3 enthält n Elemente)
k-te Stufe: n Möglichkeiten (Mengek enthält n Elemente)
Unter „Menge“ ist jeweils der Status der Urne zu verstehen:
wieviele Kugeln sind in der Urne enthalten.
da nach jedem Ziehen wieder zurückgelegt wird, sind bei jedem Zug die
gleichen Bedingungen, wie beim 1. Zug vorhanden, also auch die gleiche
Anzahl der Möglichkeiten.
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Armin Richter
Man hat die Urne mit den fünf verschieden farbigen
Kugeln.
Von diesen fünf Kugeln wird nun eine beliebige Kugel
zufällig herausgegriffen.
In unserem Fall erwischen wir die gelbe Kugel.
Da aber fünf verschiedene Kugeln in unserer Urne
lagen, hatten wir für diesen Zug auch 5 Möglichkeiten ,
eine dieser fünf Kugeln zu ziehen.
Nun wird die eben gezogene Kugel wieder zu den
anderen Kugeln in die Urne zurückgelegt.
Man hat nun wieder alle fünf verschiedenen Kugeln in
der Urne.
Jetzt wird ein zweites Mal gezogen. Durch das
Zurücklegen der – in unserem Fall gelben – Kugel hat
man wieder alle fünf Kugeln in der Urne und somit auch
wieder 5 Möglichkeiten für den zweiten Zug, der unter
den gleichen Bedingungen stattfindet, wie der erste..
Diesmal erwischen wir die rote Kugel.
Wie eben wird nun die gezogene – rote – Kugel wieder
zu den anderen Kugeln in die Urne zurückgelegt , so
dass man wieder alle fünf verschiedene Kugeln in der
Urne hat.
Nun wird ein drittes und letztes Mal gezogen. Auch hier
hat man durch das Zurücklegen wieder alle fünf Kugeln
zur Auswahl.
Somit hat man auch wieder 5 Möglichkeiten , die dritte
Kugel zu ziehen.
In unserem Fall erwischen wir erneut die gelbe Kugel,
was nur durch das Zurücklegen möglich wurde.
Um Ordnung zu schaffen, legen wir die eben gezogen
Kugel wieder in die Urne zurück.
Variation
mit Wiederholung
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Baumdiagramm
n!
(n–k)!
Variation
mit Wiederholung
Anzahl der Merkmale: n = 4
Anzahl der Versuche: k = 2
In der ersten Ebene fällt kein Teilbaum weg, da erst ab doppeltem
Auftreten ein Zweig gelöscht werden muss.
In jedem Teilbaum der 2. Stufe fehlt eine Ausprägung, deshalb
entstehen aus den 16 Möglichkeiten der Variation mit Wiederholung
nur noch 12 Möglichkeiten: n
2
Doppelte Farben treten keine auf 0 • 1/
verschiedene Farben treten zweimal auf 2 • 1/
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Anzahl der Ereignisse : = = 24
Anzahl der Merkmale: n = 4
Anzahl der Versuche: k = 3
Das Baumdiagramm hat ab der 2. Ebene Lücken:
in der 2. Ebene 4 Teilbäume
in der 3. Ebene zusätzlich je Teilbaum der 2. Ebene: 3 Teilbäume
3 gleiche Farben treten nicht auf
2 gleiche Farben treten nicht auf
Ereignis blaue Kugel:
Ereignis gelbe Kugel: Ereignis grüne Kugel:^ Ereignis rote Kugel:
Ebene 1
Ebene 2
Ebene 3
Es gibt 4 mögliche Kombinationen aus 4 Farben 3 zusammenzustellen,
damit ergibt sich als Gesamtzahl:
n * 3! = 4 * 3! = 4! = 24
n!
(n–k)!
jede 3- Kombination an Farben tritt 3! = k! = 6 mal auf
(Permutation von 3 Elementen)
In der 3. Ebene
fällt je Teilbaum der 2. Ebene 2 Teilbäume weg 12 * 2 Teilbäume
durch die fehlenden Teilbäume der 1. Ebene 4 * 4
fällt je Teilbaum der 1. Ebene 1 Teilbaum weg = 4 Teilbäume
