Mathe-2018., Prüfungen von Mathematik

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Mathematik-

Skript

zum

MedAT 2018

x

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

2. Einleitung

Es handelt sich hierbei um das dritte MedAT-Skriptum der ÖH Med Wien. Der Großteil in dieser

Lernunterlage ist mit Maturaniveau beantwortbar und sollte damit keine großen Schwierigkeiten

darstellen. Mit diesem Skriptum sollen die Grundlagen nochmals wiederholt werden, was vor allem

für jene wichtig ist, bei denen der Aufnahmetest nicht direkt auf den Schulabschluss folgt. Wir

wollen durch dieses Skriptum einen groben Überblick über den gefragten Stoff geben, das

Grundwissen auf ein einheitliches Niveau bringen und auch verfestigen.

Von diesem Niveau kann dann, je nach Eigeninitiative, aufgebaut werden.

Ebenso dient dieses Skriptum der Grundlage für Teile der Physik und Chemie (z.B. pH-Wert).

Dein Referat für Studien- und Maturant_innenberatung der ÖH Med Wien

3. Mathematik Stichwortliste 2018

➢ Zehnerpotenzen

o Präfixe

o Rechenbeispiele

➢ Algebra

o Schlussrechnung

o Prozentrechnung

o Bruchrechnen

o Gleichungen/Ungleichungen

➢ Geometrie

o Winkel

o Kreis

o Rechteck

o Dreieck

o Prisma

o Quader

o Zylinder

o Kugel

➢ Einheiten

o Zeit

o Länge

o Flächen

o Volumina

o Umrechnungen

➢ Funktionen

o Winkelfunktionen

o e-Funktionen

o Logarithmus

o Potenzfunktion

o Differential

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

o Integral

o Geradenfunktion

➢ Vektorrechnung

o Betrag

o Winkel

o Einheitsvektor

o Normalvektor

o Vektoraddition/-subtraktion

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

4.1.2. Subtrahieren

Das Subtrahieren („Minus rechnen“) von zwei Werten ist schon um etwas komplizierter und hat

schon zu vielen Rechenfehlern geführt. Das Ergebnis einer Subtraktion ist der sogenannte

Differenzwert.

Minuend − Subtrahend= Differenzwert

Vorsicht: Im täglichen Sprachgebrauch versteht man als Differenz eher den „Betrag“. Der Betrag

gibt nur den Unterschied zwischen 2 Werten wieder, unabhängig von Minuend und Subtrahend.

Zahlen dürfen ohne Änderung der Rechenart nicht vertauscht werden, denn:

Allerdings kann man sich durch Umformen das Leben leichter machen und dadurch die Zahlen

vertauschen, um alles zu einer Addition umzuformen (empfiehlt sich bei großen

Gleichungssystemen):

Eine Ursache für etliche Punktabzüge bei Schularbeiten und Tests ist das Minus vor einer Klammer.

a − (b + c) = a − b − c

Die Subtraktion von großen Zahlen verläuft ähnlich wie die Addition, nur dass diesmal nicht

getauscht werden darf und der Minuend oben stehen muss!

Nun zieht man die untere Zahl von der oberen ab, ist dies nicht möglich so muss man um 10

erweitern. Daher anstelle von 4 - 5 ist es 14 - 5 und 9 die erste Zahl. Dies muss jedoch bei der nächsten

Ziffer beachtet werden.

Die Berücksichtigung erfolgt nun bei der Subtraktion von 8 – (7 +1) = 0

Dies führt man weiter bis zum Endergebnis:

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

Der Umgang mit negativen Zahlen sollte gut sitzen.

Zieht man von einer positiven Zahl eine größere positive Zahl ab, so muss das Ergebnis eine

negative Zahl sein.

Zieht man von einer negativen Zahl eine positive Zahl ab, so wird das Ergebnis „negativer“.

Selbiges passiert natürlich, wenn man zwei negative Zahlen addiert (siehe oben die Umwandlung

in Additionen).

Werden allerdings zwei negative Zahlen voneinander subtrahiert, so wird das Ergebnis positiver.

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

Die letzte Zahl ist die 1:

Nun werden alle Zahlen, welche wir bis jetzt ausmultipliziert haben, miteinander addiert.

Als letzten Schritt müssen wir das Komma setzen. Dies tun wir, indem wir oben abzählen, wie viele

Stellen generell hinter einem Komma stehen. Das sind in unserem Beispiel insgesamt vier. Nun gehen

wir in unserem Ergebnis die Stellen von hinten nach vorne durch und setzen das Komma nach der 4ten

Stelle:

Aus der Multiplikation von negativen Zahlen stammt der legendäre Satz „Minus mal Minus ist Plus“

welcher an folgendem Beispiel nachzuempfinden ist:

−b ∗ −c = cb

(Wenn zwei Zahlen miteinander multipliziert werden, kann es vorkommen, dass das Mal-

Zeichen einfach weggelassen wird, daher 3x = 3*x)

Mathematik-Skript MedAT 2018 – ÖH Med Wien

4.2.2. Dividieren

Stellt die Umkehroperation zum Multiplizieren dar und kann als „aufteilen“ verstanden werden, z.B.

12 Äpfel auf 3 Leute aufgeteilt sind 4 Äpfel pro Person.

Dividend ∶ Divisor = Quotient

Der Dividend wird auch oft als "Zähler" und der Divisor als "Nenner" bezeichnet. Da Bruchrechnen

ein eigenes Kapitel im Bereich Algebra ist, wird dieses hier nicht weiter erwähnt.

Eine wichtige Fähigkeit ist das Dividieren mit der Hand, welches wir auch gleich üben werden.

Wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist, so empfiehlt es sich das Komma vorerst zu ignorieren, die

Frage lautet „Welchen Teil von 145,6 muss ich nehmen damit sich 132 ausgeht?“ - > Die 145.

Nun ist die Frage: „Mit was muss 132 multiplizieren werden um der 145 nahe zu kommen?“

Logischerweise mit 1. Es wird anschließend diejenige Zahl exakt unter den Beginn des Dividenden

geschrieben.

Es wird nun die 132 von der 145 abgezogen und der Restbetrag darunter geschrieben.

Die nächste Zahl wird „heruntergezogen“.

Dasselbe Spiel beginnt von vorne, nur mit dem Zusatz, dass diesmal die erste Aktion beim Komma der

145,6 gesetzt wird, daher muss nach der nächsten Zahl im Quotienten ein Komma gesetzt werden

Dies wird solange fortgesetzt bis der notwendige Grad an Genauigkeit erreicht wurde, oder kein

Rest mehr vorhanden ist.

4R

Mathematik-Skript MedAT 2017 – ÖH Med Wien

4.3. Potenzieren und Logarithmieren

4.3.1. Potenzieren

Additionen können mit Hilfe von Multiplikationen abgekürzt werden. Um Multiplikationen

abzukürzen verwendet man Potenzen. Die „Hochzahl“ bezeichnet man als Exponenten und die

Zahl, um welche es ursprünglich geht, als Basis.

Basis

Exponent

= Potenz x ∗ x ∗ x = x

3

Wenn der Exponent negativ ist, so handelt es sich um den Kehrwert der Potenz mit

positivem Vorzeichen.

• 3

3

x

• 2

x²

0

= 1 x

0

30

0

= 1 p

(5–

6

)

Des Weiteren muss man leider ein paar Rechengesetze betrachten.

3

2

( 3+

)

5

10²

2 – 5

• 3

3

3

10

5

2

2

3

6

Die letzte Regel verdient besondere Bedeutung, denn Wurzeln können auch in Form von

Potenzen angeschrieben werden.

1

2

4

1 / 4

1. 25

Generell gilt:

Jede Potenz mit dem Exponenten 0 ist 1!

Mathematik-Skript MedAT2018– ÖH Med Wien

4.3.2. Logarithmieren

Hierbei wird nach dem Exponenten gefragt. Dafür muss man jedoch die Entscheidung treffen,

auf welche Basis man das bezieht.

Wir haben die Zahl 16 und fragen uns, 2 hoch wieviel ist 16?

?

Um dies zu lösen, verwenden wir einen Logarithmus der Basis 2 auf 16:

log

2

( 16 ) = 4 daℎer 2

4

Es gibt unendlich viele Logarithmen, da man die Basis frei variieren kann. Zwei finden jedoch eine

besonders hohe Bedeutung: der natürliche Logarithmus mit der Euler'schen Zahl (2,718) als Basis,

sowie der dekadische Logarithmus mit der Zahl 10 als Basis. Sehr oft verwendet man „log“ für den

dekadischen und „ln“ für den natürlichen Logarithmus.

Ich bin schon öfters von Nachhilfeschülern gefragt worden, wofür man überhaupt in einem

normalen Leben das Logarithmieren benötigt - > pH-Wert oder die Richterskala bei Erdbeben. Es ist

vernünftig zu wissen, dass eine Veränderung des pH-Wertes um 1 eine Veränderung um den Faktor

10 bedeutet (dek.log). Als Mediziner benötigt man den Logarithmus spätestens beim Berechnen von

Biologischen Abbauraten (Exponentielle Abnahmen).

Es gibt wieder einige Rechenregeln zu beachten. Wenn man genau hinsieht, merkt man, dass

diese den Regeln des Potenzierens etwas ähneln:

log

• log

= log

log

− log

= log (

log( 15 )

Es gibt zwei Regeln, welchen ich hier besondere Bedeutung einräumen möchte, denn sie

werden irrsinnig oft beim Umwandeln von Exponentialfunktionen angewandt:

log( 5

3

) = 3 ∗ log( 5 ) und log( 10 ) = 1 sowie ln(e) = 1

Beispiel: Halbwertszeit-Berechnung, nicht vergessen: 𝑁 (𝑡

1

2

1

2

𝑜

„Nach der Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte von der Ausgangsmenge vorhanden“.

𝑜

−𝜆∗𝑡

𝑜

𝑜

𝑜

−𝜆∗𝑡

𝑜

−𝜆∗𝑡

| ∶ ln( )

ln

= ln

∗ −𝜆 ∗ 𝑡 | ∶ (−𝜆) Beachte ln (e)= 1

ln

log(𝑢) + log(𝑣) = log (u ∗ v) log (𝑢) − log(v) = log (

𝑙𝑜𝑔

𝑎

(x)

log(u

k

) = k ∗ log(u) und log

u

(u) = 1

Mathematik-Skript MedAT2018– ÖH Med Wien

4.6. Runden und Schätzen

Häufig ist es nicht wichtig, wenn man vier Antwortmöglichkeiten gegeben hat, genau die richtige

Zahl auszurechnen. Hierbei empfiehlt es sich nachzusehen, wie genau die Antworten gegeben

sind und dann genau so weit zu rechnen.

Nicht vergessen, alle Zahlen ab 5 werden aufgerundet, unter 5 wird abgerundet.

4.7. Zahlenbereiche

Abbildung 2 Zahlenbereiche aufgelistet

2

Abbildung 3 Zahlenbereiche als Venn-Diagramm

3

Die meisten Operationen finden im Bereich der Reellen Zahlen statt.

Mathematik-Skript MedAT2018– ÖH Med Wien

5. Zehnerpotenzen Präfixe

Abbildung 4 Bitte ohne Hemmungen auswendig lernen

4

6. Einheiten

6.1. SI-Einheiten............................................................................................................................

Abbildung 5 Auch hier bitte keine Zurückhaltung beim Auswendiglernen

5

Mathematik-Skript MedAT2018– ÖH Med Wien

6.6. Umrechnungen

Fast jedes Jahr werden im Mathematik-Teil des MedAT mindestens 1-2 Fragen zum Thema

„Einheiten umwandeln“ gestellt.

Wichtig: 10

− 2

1

10

2

Es ist ratsam, immer mit Gleitkomma-Darstellung zu arbeiten. Durch eine Zahl

zu dividieren ist dasselbe, wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren!

6.6.1. Eindimensionale Einheiten

400μm =? km

Von μ (mikro) auf k (kilo) sind es 9 Stellen, die Einheit wird größer, daher muss die Zahl kleiner

werden. Es wird daher durch 10

9

dividiert.

2

9

− 7

6.6.2. Mehrdimensionale Einheiten

2000ml =? ℎm³

1 ml = 1cm³, von centi auf hekto sind es 4 Stellen, die Einheit ist dreidimensional und wird

größer, daher muss durch 10

12

dividiert werden.

3

12

− 9

6.6.3. Zusammengesetzte Eindimensionale Einheiten

Von Milli auf SI-Standard sind es 3 Stellen, die Einheit wird größer, daher muss durch 10³ dividiert

werden. Von Sekunden auf Stunden liegt die Zahl 3600 dazwischen, die Einheit wird größer daher

muss durch 3600 dividiert werden. Der Bruchstrich dazwischen verschwindet jedoch nicht!

− 3

− 1

− 3

3

6.6.4. Zusammengesetzte Mehrdimensionale Einheiten

2

2

Von Meter auf Kilometer sind es 3 Stellen, die Einheit wird größer, daher muss durch 10

3

dividiert

werden. Von Sekunden auf Stunden liegt die Zahl 60² dazwischen, die Einheit wird größer und ist

zweidimensional, es muss daher mit 60

4

dividiert werden. (60²)²

− 3

− 4

− 3

4

− 2

4

4

2

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7. Algebra

7.1. Schlussrechnung

Vor allem in der Chemie lassen sich gut 90% der alltäglichen Problemstellungen mit

Schlussrechnungen beheben.

7.1.1. Direkter Schluss

Beim direkten Schluss verhalten sich die zwei Werte zueinander direkt proportional. Das bedeutet,

der eine Wert nimmt immer mit dem anderen zu. 1 Wassermelone kostet 2,99€ wie viel kosten 5

Wassermelonen?

1 Wassermelone … … … … … … …. 2,99€

5 Wassermelonen … … … … … … … x €

Beim direkten Schluss wird diagonal Multipliziert und horizontal dividiert.

7.1.2. Indirekter Schluss

Beim indirekten Schluss verhalten sich die 2 Parameter zueinander indirekt proportional. Das

bedeutet, der eine Wert nimmt zu, während der andere abnimmt.

Indirekte Schlüsse kommen seltener vor.

Ein Handwerker benötigt für eine Aufgabe 7 Tage, wie lange benötigen 3 Handwerker für die gleiche

Aufgabe, wenn sie alle dieselbe Leistung haben?

1 Handwerker … … … … … … 7 Tage

3 Handwerker … … … … … … x Tage

Beim indirekten Schluss wird horizontal multipliziert und diagonal dividiert.

7.2. Prozentrechnung

Nach wie vor ist mir schleierhaft, wieso zum Thema Prozentrechnungen so viele verschiedene

Formeln existieren. Dabei ist es ganz simpel: Prozent ist als Anteil von 100 zu sehen und Promille als

Anteil von 1000.

𝑊 =

𝑝 ∗ 𝐺

100

p = Prozentzahl

G = Grundwert

W = Prozenzwert

Die gleiche Formel ist für Promille anzuwenden: jedoch wird mit 1000, anstelle von 100 gerechnet.

In einem Bus haben 45 Personen Platz, der Bus ist zu 80% ausgelastet, wie viele Personen sitzen im

45∗

Bus?

100

Ein Patient soll 35mg eines Medikamentes erhalten, wie viel muss man ihm verabreichen, damit

der Patient zu 90% mit dem Medikament gesättigt ist, und er schon 15mg bekommen hat?

35∗

= 31,5 31,5 − 15 = 16,5mg

100