Mathematik Grundkurs Abitur, Abiturprüfungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Mathematik Grundkurs Abitur und mehr Abiturprüfungen als PDF für Mathematik herunter! Matheklausur P4, 225 Minuten i(x)= -2x i´(x)= -2 a(x)= 2𝑒𝑥 A(x)= 2𝑒𝑥 F(x)= 1 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) → F(x)= 1 −2 ∗ 2𝑒−2𝑥 = - 𝑒−2𝑥 F(sin(x))= -cos(x) F(-cos(x)= -sin(x) F( -sin(x)= cos(x) F(cos (x) = sin(x) Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen: 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Vorgehen: 1. Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, 𝑏] bestimmen (Schnittstelle) 2. Untersuchung Vorzeichen f(x) in den Teilbereich 3. Bestimme die Inhalte der Teilflächen und addiert dies f(x)= −4𝑒−2𝑥 oder (2𝑥 − 1)2 a(x) i(x) F(x)= 1 𝑖´(𝑥) ∗ 𝐴(𝑖(𝑥)) (+c) bsp. 1 −2 × −4𝑒−2𝑥 Nur wenn i(x) linear ist! Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen: 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ (𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 Vorgehen: 1. Nullstelle von f auf Intervall [𝑎, 𝑏] bestimmen (Schnittstelle) 2. Untersuchung Vorzeichen f(x) in den Teilbereich 3. Bestimme die Inhalte der Teilflächen und addiert dies f(x)= 𝑢 (𝑥) 𝑣(𝑥) F(x)= 𝑢´∗𝑣−𝑣´∗𝑢 𝑣2 Integralrechnung 1. Zur Bestandsberechnung aus Änderungsraten oder Gesamtänderung über einen bestimmten Zeitraum 2. Flächenberechnung zwischen X-Achse und der Funktion (auf Nullstellen achten!) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒) − 𝐹(𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒)(𝑆𝑡𝑎𝑚𝑚𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛)] 𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: ∫ 2𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = [ 3 1 − 𝑒−2𝑥] = [−𝑒−2∗3] − [−𝑒−2∗1] = 0,1328 Bestandsfunktion bestimmen 1. Stammfunktion bestimmen 2. +c ran hängen 3. B(0) berechnen und auf die linke Seite der Gleichung schreiben 4. Nach c auflösen 5. C einsetzen hinter die Stammfunktion Aufleitung Potenzregel: f(x)= 𝑥𝑛 F(x)= 1 𝑛+1 ∗ 𝑥𝑛+1 (+c) Brüche aufleiten: Ableitung Verkettete Funktionen mit inneren und äußeren Funktionen Beispiel: f(x)= (−3𝑥 + 6)3 i(x)= -3x+6 a(x)= 𝑥3 i´(x)= -3 a´(x)= 3𝑥2 f´(x)= i´(x)*a´(i(x)) → f´(x)= -3∗ 3 ∗ (−3𝑥 + 6)2 = −9 ∗ (−3𝑥 + 6)2 CAS-Befehle (fx- CP400) Aufleiten mit Grenzen: Main, Keyboard ► Math2 ► ∫ Grafik & Tabelle, Graph zeichnen lassen ► Analyse ►Grafische Lösung ►Integral ►∫ 𝑑𝑥 ►1.untere Grenze eingeben ►im Fenster obere Grenze eingeben Aufleiten ohne Grenzen: Main ► Aktion ► Berechnungen ► ∫ Ableiten: Main, Aktion ► Berechnungen ► diff Kettenregel: 2 Produktfunktionen mit mehreren Produkten 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ∗ (−4𝑥 + 𝑥2) u(x)= 𝑥3 𝑣(𝑥) = −4𝑥 + 𝑥2 u´(x)= 3𝑥2 𝑣´(𝑥) = −4 + 2𝑥 f´(x)= 𝑢(𝑥) ∗ 𝑣´(𝑥) + 𝑢´(𝑥) ∗ 𝑣(𝑥) → 𝑥3 ∗ (−4𝑥 + 2𝑥) + (−4𝑥 + 𝑥2) ∗ 3𝑥2 bei mehr Produkten gilt: f´(𝑥) = 𝑢´𝑣𝑤𝑥 + 𝑢𝑣´𝑤𝑥 + 𝑢𝑣𝑤´𝑥 + 𝑢𝑣𝑤𝑥´ etc… CAS-Befehle (fx- CP400) Grafik & Tabelle, Graph zeichnen lassen ►Analyse ► Skizze ► Tangente ►X-Wert eingeben ►OK ► EXE Grafik & Tabelle, Graph zeichnen lassen ►Analyse ► Skizze ► Normale ► X-Wert eingeben ► OK ► EXE Produktregel: f´(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓´(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln(𝑎) Tangentengleichung aufstellen 1. Ableitung bestimmen 2. Steigung vom Punkt X bestimmen → Wert der Steigung = m 3. Y-Wert für Punkt X bestimmen 4. Diesen in die linke Seite der Gleichung einsetzen (𝑌 = 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏) ( X und Y als Werte einsetzen) 5. Gleichung nach b auflösen → T(x)= 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏 𝐵𝑒𝑖𝑠𝑝𝑖𝑒𝑙: 𝑓(𝑥) = 5𝑒6𝑥 𝑓´(𝑥) = 6 ∗ 5𝑒6𝑥 = 30𝑒6𝑥 P (3/f(3) → P (3/ 5𝑒18) 𝑖(𝑥) = 6𝑥 𝑖´(𝑥) = 6 f(3)= 5𝑒6∗3 = 5𝑒18 𝑎(𝑥) = 5𝑒𝑥 𝑎´(𝑥) = 5𝑒𝑥 f´(3)= 30𝑒6∗3 = 30𝑒18 = m 5𝑒18 = 30𝑒18 ∗ 3 + 𝑏 5𝑒18 = 90𝑒18 + 𝑏 І -90𝑒18 −85𝑒18 = 𝑏 → t(x)= 𝟑𝟎𝒆𝟏𝟖 ∗ 𝐱 − 𝟖𝟓𝒆𝟏𝟖 Normalengleichung aufstellen Gleiches Vorgehen wie bei der Tangentengleichung, Ausnahme: m → −𝟏 𝒎 b muss neu ausgerechnet werden, X und Y-Werte bleiben gleich → N(x)= −1 𝑚 ∗ 𝑥 + 𝑏 Faktorregel: Summenregel: f(x)=a⋅g(x)⇒f′(x)=a⋅g′(x) Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten. f(x)=g(x)+h(x) → f´(x)=g´(x)+h´(x) Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert. 5 CAS-Befehle (fx- CP400) Formel für begrenztes Wachstum aus Werten ermitteln: Tabellen-kalkulation ► Werte eingeben ► Werte markieren ► Calc ►Regressionen ► logistische Regression E-funktionen und ihre Umkehrfunktion Begrenztes Wachstum f(x) = (𝐴 − 𝐺) ∙ 𝑒𝑘−𝑥 + 𝐺 • Zu Beginn stark steigend, dann immer flacher werdend • Asymptotischer Verlauf, für x→∞ 𝑔𝑖𝑙𝑡 𝑓(𝑥)→G k = Zerfallskonstante 𝑘 = ln(2) 𝑡 Mittlere Änderungsrate Momentane Änderungsrate Steigung der Sekanten zw. 2 Punkten 1. Ableitung an der Stelle Durchschn. Steigung im Intervall x/Wachstumsgeschwindigkeit Steigung der Tangente an der Stelle 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 Momentane Wachstumsgeschwindigkeit (proportional zur Bestandsentwicklung) 𝒇´(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒃−−>𝒂 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂 oder 𝐥𝐢𝐦 𝒉−−>𝟎 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 • E-funktion und ln-funktion sind Umkehrfunktionen voneinander • e ln(x)= x und ln(ex)= x • Ableitung von ln(x)= 1 x • Wertemenge ln(x) = alle reellen Zahlen außer 0 • Definitionsmenge = x>0 • ln ( 1 𝑎 ) = − ln(𝑎) zum Beispiel: ln( 1 2 ) = − ln(2) • ln(1) = 0 • ln(𝑒) = 1 • ln(𝑒) = 1 • 𝑎𝑥 = 𝑏 ≫ 𝑥 = log𝑎(𝑏) • 10𝑥 = 𝑏 ≫ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔(𝑏) 6 tH = Verdopplungszeit/ Halbwertszeit 𝑡 = 𝑙𝑛(2) 𝑘 Funktionenschar= Funktionen mit sich änderndem Parameter k Innermathematisches mit e-funktionen Flächenberechnung zwischen (zwei) Graph(en) und Achse 1.Null- bzw. Schnittstellen berechnen (durch Gleichsetzung der Funktion mit 0 oder der beiden Funktionen) 2.Integral zwischen Stellen berechnen 𝑑(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑜𝑏𝑒𝑟𝑒 𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒 𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 Beispiel: f(x)=𝑥2 und g(x)=−𝑥2 + 5 1. 𝑥2 = −𝑥2 + 5 I solve x1= -1,5811 und x2= 1,5811 → Schnittstellen 2. ∫ (𝑥2) − (−𝑥2 + 5) = −10,54 1,5811 −1,5811 also eine Fläche von 10,5 Maximalen vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen berechnen 1. Die zu betrachtenden Graphen voneinander abziehen 𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 2. Ableitungsfunktion von d(x)bestimmen 3. d´(x) gleich 0 setzen, um x − Wert für Maximum zu ermitteln Maximalen Flächeninhalt zwischen Achsen und Graph 1. Graphen und mögliche Form skizzieren 2. Formel für die Flächenberechnung der Form 3. Formeln für die Seitenlängen aufstellen → in die Zielfunktion von 2) einfügen 4. Hochpunkt der Zielfunktion bestimmen (mit der Ableitung dessen) 5. Mit dem Punkt weiter rechnen, den Flächeninhalt ausrechnen Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen Verhalten im Unendlichen x→∞ Verhalten im negativem Unendlichen x→ -∞ 7 1.bei einer einfachen Funktion, unendliche hohe Werte einsetzen und anhand des Verlaufs feststellen 1. Siehe links, oder Ableitung bestimmen und dort unendlich hohe Werte einsetzen 2. bei kombinierten Funktionen Verhalten der einzelnen Glieder bestimmen und feststellen, welcher Teil steiler steigt→ dieses Verhalten überwiegt Bsp. F(x)= 𝟑 − 𝒆𝟐𝒙 ∗ 𝒙𝟐 2. siehe links, oder Ableitung der einzelnen Glieder bilden Bsp. f(x)= 𝑥2 ∗ 𝑒𝑥 Analytische Geometrie • Punkt: (x/y/z) • Strecke: 𝐴𝐵 = { 𝑥 𝑦 𝑧 ) + 1 × { 𝑥 𝑦 𝑧 ) • Flächen: E:?⃗? : ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) + 𝑠 × ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) + 𝑟 × ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) → Ortsvektor + s× 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 + 𝑟 × 𝑅𝑖𝑐ℎ𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 2 Multiplikation/ Subtraktion/ Addition von Vektoren