Inhaltsübersicht:
Begriffe
0.
Codierung
1.
Bool'sche Algebra (insb. Schaltalgebra)
2.
Schaltnetze
3.
Schaltwerk
4.
Weitere Halbleiter-Speichertechnologie
5.
Allgemein
Sonntag, 20. November 2022
19:18
Digitaltechnik Seite 1
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Mitschrieb Digitaltechnik (Technische Informatik), Mitschriften von Digitaltechnik
In dieser Zusammenfassung zur Vorlesung "Digitaltechnik" bzw. auch "Technische Informatik" geht es um folgende Inhalte: Codierung, Bool'sche Algebra, Schaltnetze und Schaltwerke Sie enthält neben den Erläuterungen auch immer Beispiele.
Art: Mitschriften
2022/2023
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Inhaltsübersicht:
0. Begriffe
1. Codierung
2. Bool'sche Algebra (insb. Schaltalgebra)
3. Schaltnetze
4. Schaltwerk
5. Weitere Halbleiter-Speichertechnologie
Allgemein
Sonntag, 20. November 2022 19:
Digital <> analog
Digital : wertediskret ("stufige" Werte)
- zwischen zwei beliebigen Werten gibt es immer nur endlich viele Zwischenwerte
- zwischen zwei benachbarten Werten gibt es keine Zwischenwerte
in die Wertemenge können auch unendlich viele Werte enthalten sein, Beispiel:
Natürliche Zahlen
- meist außerdem zeitdiskret
- getaktete Systeme
Werte ändern sich nur zu bestimmten Zeitpunkten
- unsere heutigen "Rechner" arbeiten alle digital
Analog : wertekontinuierlich
zwischen zwei beliebigen (nicht gleichen) Werten gibt es immer unendlich viele
Zwischenwerte
- meist außerdem zeitkontinuierlich
- Werte liegen jederzeit an
die Werte können jederzeit beliebig geändert werden
- Unsere natürliche Welt erscheint analog
0. Begriffe
Mittwoch, 11. Januar 2023 08:
Definition Codierung:
Darstellung von Informationen mit einem Symbol oder einer Symbolfolge aus einem
"Alphabet".
Definition Alphabet:
Ein Alphabet ist eine endliche Symbolmenge
Hinweis: Die Ausgangsinformation kann analog oder digital sein, die Zielinformation ist immer
digital.
Umcodierung:
Eine Umcodierung liegt vor, wenn die Ausgangsinformation bereits digital vorliegt und
"anders" dargestellt/codiert wird.
Signal:
Ein Signal ist eine physisch messbare Größe
Definitionen
Mittwoch, 11. Januar 2023 08:
1. Zahlencodierung (Zahlenwerte werden dargestellt)
2. Zeichencodierung (Schriftzeichen werden dargestellt)
3. Signalcodierung (abstrakte Information wird als Signal oder Signalfolge dargestellt)
Anwendungscodierung (Informationen, welche zu einem best. Anwendungsbereich gehören, werden
dargestellt: Bild- Audio- , Text-, …codierung)
Verschlüsselung (Informationen werden umcodiert, sodass die Ausgangsinformation (im Gegensatz
zu allen anderen Codierungen möglichst nicht (ohne Spezialkenntnis des Schlüssels) ersichtlich ist
oder rekonstruiert werden kann)
6. Komprimierung (Informationen werden umcodiert, wobei das Datenvolumen verringert wird)
Codierungsarten
Mittwoch, 11. Januar 2023 08:
Abzählsysteme (AZS)
a. Fingerabzählsystem
- Symbolmenge: {Finger}
- Symbolwert (Finger) = 1
Grundsätzlich gilt für Abzählsysteme:
Die dargestellte Zahl ergibt sich als Summe der dargestellten Symbolwerte
Extrem einfach, anschaulich, verständlich
Stark begrenzter Wertebereich {0, …, 10}
Bis auf Weiteres nur nicht-negative, ganze Zahlen
Extrem einfach Addition & Subtraktion
Immer "zur Hand"
b. einfache Strichliste
- Symbolmenge = { | }
Unendlicher Wertebereich
Stark begrenzter, übersichtlicher Wertebereich bis ca. 10
Müller |||||||||||| |||| |||| ||
Maier ||||||||||||| |||| |||| |||
Extrem einfache Addition, Subtraktion erfordert "Löschmöglichkeit"
"Schreibwerkzeug" erforderlich
Multiplikation & Division als mehrfache Addition bzw. Subtraktion mit entsprechend hohem
Aufwand (als einfaches Verfahren)
c. Erweiterte Strichliste
"Jeder fünfte Strich wird als Querstrich über die vorangegangenen vier Striche notiert
Symbolmenge = {|, ||||}
- Symbolwert (|) = 1, Symbolwert (||||) = 5
Übersichtlicher Wertebereich bis etwa 50
- Regel: Symbole werden immer nach Wertigkeit sortiert notiert
Addition & Subtraktion erfordern ggr. Umsortieren, Neugruppieren, Auflösen
d. Römisches Zahlensystem
- Symbolmenge = {I, V, X, L, C, D, M}
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1.
Übersichtlicher Wertebereich bis ~10.000 (?)
4 = |||| IV
Sonderregel: Symbole kleinerer Wertigkeit können manchmal auch vor Symbolen größerer
Wertigkeit notiert werden, aber ihr Symbolwert wird dann subtrahiert, statt addiert
Folge: mehr als drei gleiche Symbole nebeneinander sind nicht erlaubt
Wertebereich nicht mehr unendlich, sondern begrenzt bis ~ 4.000 (3.999)
Übersichtlichkeit und Verständlichkeit leidet an vielen Symbolen und Sonderregeln
Rechnen ist quasi unmöglich
I.
Zahlen (AZS)
Mittwoch, 11. Januar 2023 10:
Stellenwertsysteme (SWS) a. Dezimalsystem
- Symbolmenge = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- Symbole heißen "Ziffern"
- n-stellige Zahl: Folge von n Ziffern Zi mit 0 < i < n- 1
- Symbolwert (0) = 0 , Symbolwert (9) = 9
- Wert ( ) =
II.
nach einer gewissen Einarbeitungszeit ist das System gut verständlich deutlich größerer, übersichtlicher Wertebereich bis ~ 10^10 (nach wie vor) unendlicher Wertebereich für alle Grundrechenarten sind nur mäßig komplexe Verfahren verfügbar, welche auch sehr große Zahlen mit nur wenig erhöhtem Aufwand behandeln können IIa. SWS zur Basis b
- Es sind unendlich viele Basen b möglich, nämlich
- Das Alphabet besteht aus b Ziffern Die Ziffern haben die Ziffernwerte von 0 (niedrigste Ziffer) bis (b-1) (höchste Ziffer) mit m jeweils 1 aufsteigenden Werten
- Zahl wird notiert als Ziffernfolge Hinweis: Ein SWS zur Basis b=1 ist nicht "sinnvoll", da die eine Ziffer den Ziffernwert 0=1- 1 hat und damit nur insgesamt der Zahlenwert 0 dargestellt werden kann.
- > das ist keine Strichliste! Übersichtlicher Wertebereich bis ~ b^10
steigt exponentiell mit der Basis b Hinweis: bei größeren Basen müssen entsprechend mehr Symbole mit unterschiedlichen Symbolwerten unterschieden werden, was die Übersichtlichkeit und Verständlichkeit wieder reduziert
10 als Basis ist ein guter "Kompromiss" Gängige Basen von SWS: ▪ Dezimalsystem (b = 10) ▪ Binärsystem / Dualsystem (b = 2) ▪ Hexadezimalsystem (b = 16) ▪ Oktalsystem (b = 8)
Umrechnung von Zahlen in SWS von und zu verschiedenen Basen: von b 1 nach Basis 10:
Werteformel Von Basis 10 nach Basis b 2 : Werteformel in umgekehrter Richtung, d. h. Darstellung der Zahl als Summe von (ggf. mehrfachen) Potenzen von b 2
Ganzzahldivision durch Zielbasis b 2 und Notation der jeweiligen Reste als Ziffernfolge der Zahl im SWS zur Basis b 2
Hinweis: Bei Zahlen im SWS dürfen führende "0" beliebig hinzugefügt oder weggelassen werden. Probe: Werteformel für 0100 0101 2 , d. h. die Zahl wieder zurück ins Dezimalsystem umrechnen
1 + 4 + 64 = 69 Zahlen (SWS) Mittwoch, 11. Januar 2023 11:
Darstellungen der "0": +0 und - 0 Die weiteren Darstellungsformen lassen sich nur im Binärsystem (und nicht im Dezimalsystem verwenden) Einerkomplement Festlegen der Stellenanzahl für alle Zahlen (Operanden und Zwischenergebnisse), sodass mindestens eine Stelle mehr vorhanden ist, als für den größten Betrag in der Rechnung gebraucht wird!
- Invertieren aller Ziffern für negative Zahlen, d.h. 1 - > 0 und 0 - > 1
führende 0 steht für eine positive Zahl, führende 1 steht für eine negative Zahl 4210 = 0010 1010 2 = 1101 0101EK = - 42 1310 = 0000 1101 2 = 1111 0010EK = - 13
- 4210 = 1101 0101EK 1310 = 0000 1101EK b) Nachteile:
- Die Hälfte aller Additionen sind um 1 verschoben, also falsch!
- Keine eindeutige Darstellung der 0: 0 = 0000 0000 = 1111 1111 = - 0
- Wertebereich enthält weniger Werte, als mit der Stellenanzahl möglich sein sollten Wertebereich bei 8 Bit Einerkomplement: Größte Zahl: 0111 1111 Kleinste Zahl: D.h. Es gibt 127 positive und 127 negative Zahlenwerte sowie den Wert 0
also insgesamt nur 255 (und nicht 256) verschiedene Zahlenwerte c) Zweierkomplement
- Bildung wie Einerkomplement, aber anschließend noch Addition von "1"! 42 = 00101010 - > 1101 0101 ---(+1)---> 1101 0110 = - 42 13 = 00001101 - > 1111 0010 ---(+1)---> 1111 0011 = - 13
- 42
Wertebereich: Bsp. 8 bit Größte Zahl: 0111 1111 ( = 127 10 ) Kleinste Zahl: 1000 0000 - > 0111 1111 ---(+1)--> 1000 0000 = 128 10 = - (^12810) => Wertebereich mit 8 bit Zweierkomplement von - 128 bis + => 256 verschiedene Zahlen => 2^8 Auch nicht-ganze Zahlen:
zunächst wieder mit der Einschränkung keine negativen Zahlen! - Brüche: Darstellung mit Zähler und Nenner sowie Bruchstrich (1/2, 1/4, 3/7) Jede Zahl lässt sich auf unendlich viele Arten darstellen: 1/1 = 1 = 2/2 = 3/3 = … => könnte durch (maximales) Kürzen behoben werden, aber im Computer ist die Darstellung von Zahlen als Bruch unüblich Ausnahme: - manche WTR - Programme zum Lösen von Gleichungssystemen (z.B. Wolfram Alpha, GeoGebra, Mathematica, …) - Programmiersprache julia Festkommazahlen: ○ Die Stellenanzahl vor und nach dem Komma ist festgelegt Komma ist ein weiteres Symbol im Alphabet, welches aber bei jeder Zahl nur einmal vorkommt
zn- 1 zn- 2 … z 2 z 1 z 0 , z- 1 z- 2 … z-m+1 z-m => Zahl mit n Vor- und m Nachkommastellen ○ Das geht auch wieder zu beliebigen Basen b 111,01101 2 Wert(…) =
Umrechnung einer Dezimalkommazahl in einer Kommazahl zur Basis b Vorkommaanteil: bekannte Verfahren Nachkommaanteil: ebenfalls umgekehrte Werteformel Elegantes Verfahren: Multiplikation mit Zielbasis und Aufteilen in Vor- und Vorkommaanteil => nächste Nachkommastelle Nachkommaanteil => weitere Multiplikation mit Zielbasis immer korrekte Rechnung, optimaler Wertebereich unsymmetrischer Wertebereich, aber damit müssen und können wir leben
=> Darstellung mit Mantisse und Exponent Mantisse: (Fest-) Kommazahl Exponent: ganze Zahl, gibt an, um wie viele Stellen das Komma bei der Mantisse verschoben werden muss, um den Zahlenwert zu bekommen Wert(Zahl) = Mantisse * bExponent b: Basis der SWS, welche auch für die Darstellung der Mantisse und des Exponenten genutzt wird 0,73 * 10^1 = 7, Bsp. 1 = 1 * 10^0 = 0,1 * 10^1 = 0,01 * 10^2 = … Jede Zahl hat als GKZ unendlich viele Darstellungen! Abhilfe: normierte Darstellung a) Genau eine Vorkommastelle, diese ist != 0 b) Keine (relevanten) Vorkommastellen, erste Nachkommastelle != 0 => Variante a) wird häufiger (und meist auch von uns) verwendet. Problem: Für die 0 gibt es keine normierte Darstellung Abhilfe: ein bestimmtes Bitmuster (üblicherweise nur "0") wird als normierte "0" definiert Positiver Exponent => Kommaverschiebung nach rechts Negativer Exponent => Kommaverschiebung nach links => Darstellung von (auch) negativen Exponenten wie? 2er-Komplement? ○ Üblicherweise nicht verwendet, aber warum? Größenvergleich von zwei Zahlen in GKZ-Darstellung? ▪ Größenvergleich der Exponenten ▪ Nur bei gleichen Exponenten: danach ein Größenvergleich der Mantissen
7,5 * 10^3 = 7 500
2,5 * 10^5 = 250 000
5 ist die größere Zahl - 3 ist die größere Zahl - > beide Male richtig +3 = 0000 0011
- 5 = 1111 1011 <
- 5 ist größer als +3 ??? => stimmt nicht! => Es wäre eine Unterscheidung nach Vorzeichen - Bit und "normaler" Ziffer notwendig! ====> Keine 2er-Komplement-Darstellung! Stattdessen: Bias-Darstellung Expgesp. = Expreal + Bias Bias: Fester, voreingestellter Wert, der dafür sorgt, dass der auch negative Wertebereich komplett ins Positive verschoben wird z.B. Bias bei 8-bit-Exponenten: 127 d.h. der Wertebereich von Expreal geht von - 127 bis +128 ("anders rum" im Vergleich zum ZK) Darstellung von negativen GKZ:
- Negative Mantisse - > negative GKZ
- Darstellung negativer Mantissen im 2er-Komplement? Zum Addieren muss bei einer Zahl das Komma verschoben werden, um die Exponenten anzugleichen: 1,011 * 2^7 = 0,01011 * 2^9 1,100 * 2^9 = 1,100 * 2^9 Mantisse in 2er-Komplement-Darstellung: 01,011000 - > positiv Gleitkommazahlen (GKZ) Mittwoch, 25. Januar 2023 09:
1,100 * 2^9 = 1,100 * 2^9
Mantisse in 2er-Komplement-Darstellung: 01,011000 - > positiv VZ 10,
- 1
10,101000 - > negativ => hier müsste bei der Kommaverschiebung aber mit 1sen statt 0en aufgefüllt werden
Fallunterscheidung wäre nötig. Diese möchte man sich aber sparen, weshalb die Mantisse bei GKZ üblicherweise mit Vorzeichen und Betrag dargestellt wird. Hinweis: für Rechnungen (insbesondere bei der Addition von Mantissen) wird kurzzeitig die Zweierkomplement-Darstellung verwendet, nicht aber für die Speicherung! Bei der normierten Darstellung (entsprechend Variante a) ist die erste Stelle (die einzige Vorkommastelle) != 0 immer = 1
diese "1" muss nicht explizit gespeichert werden, sondern kann zugunsten einer weiteren Nachkommastelle beim Speichern weggelassen werden
"Hidden Bit" (üblich bei der Speicherung von GKZ) Problem: Mit Hidden-Bit ist die "0" nicht darstellbar
bei für 0 reservierten Bitmustern gibt es kein Hidden Bit!
Gleitkommazahlen gemäß IEEE 754: Genauigkeit Speichermenge Vorzeichen Mantisse Exponent empfohlener Bias Half Single double Reihenfolge der Speicherung: VZ > Exponent > Mantisse Wertebereich: Bsp. Half Als Vergleich: ganze Zahlen mit 16 bit
- Ganze, nicht-negative Zahlen: von 0 bis 2^16 - 1 = 65.
- Ganze Zahlen in ZK-Darstellung: von - 23.768 bis + 32.
- GKZ mit half-Genauigkeit Reservierte Bitmuster:
- Alle Bits "0": Wert 0, keine Normierte Darstellung, kein Hidden Bit Alle Exponenten-Bit "0": keine normierte Darstellung, kein Hidden Bit, d.h. vor dem Komma steht Null - > Mantissen-Bits bestimmen die Nachkommastellen
Alle Exponenten-Bit "1" und alle Mantissen-Bits "0": Betrag der Zahl ist zu groß für die gewählte Genauigkeitsstufe, "+/- ∞"
und nicht alle Mantissen-Bits "0": Zahl ist nicht als reelle Zahl (und damit auch nicht als GKZ egal welcher Genauigkeit) darstellbar - > NaN ▪ Ergebnis von 1/ ▪ Wurzel aus - 1
Reihenfolge der Speicherung: Vorzeichen - Exponent - Mantisse
Reihenfolge der "Wichtigkeit" bei einem Größenvergleich Wertebereich mit 16 bit - Nicht-negative Ganze Zahlen: 0 bis 65. - Ganze Zahlen im 2er-Komplement: - 32.768 bis 32. GKZ "half": Größte Zahl: 0 1 1110 [1,] 11 1111 1111 VZ Expgesp. Mantissegesp. pos. =2+4+8+16= Expreal = Expgesp. - Bias = 30 - 15 = 15 Mantreal = 1,11 1111 1111 2 = 2 - 2 -^10 = 2 - 1/ Wert = (2 - 2 -^10 )* 2^15 = 2^16 - 25 = 65.536 - 32 = 65.
Expreal = 1 - Bias 1,00000…0 * 2^1 - Bias^ - > kleinste normierte Zahl 0,11111…1 * 2^1 - Bias^ - > größte nicht normierte Zahl
Zahlencodierung lässt sich unterteilen in:
- Wertecodierung: Der Wert einer Zahl insgesamt wird dargestellt
- Zifferncodierung: Eine bereits in einem SWS vorliegende Zahl wird ziffernweise/ziffernblockweise umcodiert Die meisten Zahlencodierungen (bislang) waren Wertecodierungen. Die direkte Umrechnung bei b 1 = b 2 war eine Zifferncodierung. Anderes Beispiel für Zifferncodierung: Dezimalzahlen im Fließtext (z. B. per UTF-8). Nachteil: hoher Speicherplatzbedarf, z.B. können wir mit 16bit im Fließtext nur den Wertebereich von 0 bis 99 abbilden, bei binär codierten Zahlen aber von 0 bis 65. BCD / Binary Coded Decimals => jede Dezimalziffer wird mit 4 bit dargestellt. Numme r 4bit- Folge Dez- Ziffer GrayCode 0 0000 0 0000 1 0001 1 0001 2 0010 2 0011 3 0011 3 0010 4 0100 4 0110 5 0101 5 0111 6 0110 6 0101 7 0111 7 0100 8 1000 8 1100 9 1001 9 1101 10 1010 1111 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 1000 Nicht standardisiert, d.h. entweder nicht zugeordnet ("Fehler"), oder aber zugeordnet zu anderen Symbolen: z.B. Komma, VZ, "E" für Exponent, Rechenoperatoren Zum Rechnen mit BCD-Zahlen braucht man dann eine geeignete SW-Bibliothek Beispielsweise in ABAP (SAP-Programmiersprache) Problem: Falls sich mehr als eine Ziffer zwischen zwei benachbarten Zahlenwerten (quasi) gleichzeitig ändert, können falsche Ziffernwerte abgelesen werden, falls die Ziffern mit unterschiedlicher Verzögerung "ankommen". Definition: Ein einschrittiger Code ist eine (mehrstellige) Art der Zahlencodierung, bei der sich zwischen zwei benachbarten Werten nur genau ein Symbol ändert. Der Gray-Code ist ein einschrittiger Code. Bildungsregeln: Ausgehend von "000…0" für 0 versuchen wir für den nächsten Zahlenwert jeweils die rechtest mögliche Ziffer zu ändern, sodass sich eine bislang nicht verwendete Ziffernfolge ergibt. a) Aus einem n-stelligen Grey-Code macht man einen (n+1)-stelligen GrayCode, indem man vorne die bisherigen Bitmuster eine "0" stellt und für die neuen Bitmuster die alten Bitmuster in umgekehrter Reihenfolge und mit vorangestellter "1" verwendet. b) Nachteile GrayCode:
- Wertecodierung ist komplex, schwieriger als bei einer Zahl in einem SWS
- Rechnen ist quasi unmöglich
Der GrayCode ist weder ein Abzähl-, noch ein Stellenwert-System, sondern eine sehr spezielle Form der Wertecodierung
Zahlencodierung
Mittwoch, 8. Februar 2023 10:
Darstellung von abstrakter Information (typischerweise von Bitfolgen) als Signal oder Signalfolgen. Ein Signal ist eine physisch messbare Größe. Signalarten:- Elektrisch: Spannung, Stromstärke, Frequenz, Amplitude (bei Aufmodulation auf eine Trägerfrequenz)
- Optisch: Lichtstärke(Amplitude), Lichtfarbe (Frequenz), Flaggensignale, … Akustisch: Lautstärke, Tonhöhe, Sprache
- Mechanisch: z.B. Druck (Luftdruck/Pneumatik, Flüssigkeitsdruck/Hydraulik), haptisch ("erfühlbar") Bei Computern sind hauptsächlich elektrische und auch optische Signale üblich. Innerhalb der Rechner werden (fast) ausschließlich elektrische Signale verwendet. Die Signalübertragung kann grundsätzlich kabelgebunden oder kabellos erfolgen. Bei Strom oder Spannung braucht man ein Kabel, bei einer Trägerfrequenz ("elektromagnetische Welle") kann mit und ohne Kabel gearbeitet werden. Für uns im Rechner kommen nur einfache kabelgebundene Verfahren in Frage, d.h. Strom und/oder Spannung.
- An der Leitung fällt Spannung ab: U = R * I (Hinweis: Zum Spannung Messen muss Strom fließen!)
- Außerdem wird die Spannung durch Störeinstrahlungen von außen in beide Richtungen partiell verändert
- Aber der Stromfluss ist im gesamten Stromkreis gleich groß Auch Störeinstrahlungen beeinflussen die Stromstärke nur minimal => Strom wäre der bessere Signalträger !?!? Aber: hohen Wärmeentwicklung und damit großen Verschleiß führt! Für Strom als Signalträger ist ein hoher Energieaufwand (und - verlust) notwendig, was zu einer
Spannung ist der heute übliche elektrische Signalträger!
- Für die Übertragung von Bitfolgen brauchen wir mindestens zwei Spannungspegel Zum Beispiel "TTL-Pegel" (Transistor-Transistor-Logik):
- ○○ 0 V entspricht einer 0 5V entsprechen einer 1
- Definiert von Texas Instruments um ca. 1960, um Interoperabilität von ICs (integrated Circuits) unterschiedlicher Hersteller zu ermöglichen Single○- 0 entspricht 0 Vended Pegel: ○ 1 entspricht einem anderen Spannungspegel
- Viele Spannungspegelpaare sind single Größere vs. Kleinere Spannungshübe (also 1-ended-Spannung).
- ○○ Größere … sind störunempfindlicher Kleinere … sind energieärmer zu betreiben und außerdem schneller zu erreichen
- Heute sind daher kleinere Spannungshübe eher unüblich Als "Beispiel" werden trotzdem TTL-Pegel häufig verwendet!
- Da wir Bitfolgen übertragen wollen, liegt jedes Bit nur eine gewisse Zeit auf der Leitung; danach folgt das nächste Bit ( getaktete Übertragung , falls jedes Bit die gleiche Zeit auf der Leitung liegt)
- Kehrwert der (konstanten) Bitdauer ist die Schrittrate, Schrittfrequenz, Taktrate, Taktfrequenz, … Verfahren der Signalcodierung:
- ○ Beschreiben, wie eine Bitfolge (bei einer getakteten Übertragung) in eine Pegelfolge umgesetzt wird Bitfolge | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | NRZ Takt RZ AMI NRZ (Non Während der gesamten Schrittzeit wird jeweils der Pegel eingenommen, welcher den-Return-to-Zero)
- übertragenen Bitwert entspricht Für die Übertragung des Taktes kann eine separate Taktleitung genutzt werden, welche
- den Takt mit einem Rechtecksignal übertragt TRG bei NRZ: Nur bei jeder "10"- oder "01"-Bitfolge im Datenstrom möglich
- Bei längerer Zeit nur "1" oder nur "0" gibt es keine TRG bei NRZ! Motivation für TRG: Einsparung einer separaten Taktleitung (gilt grundsätzlich für TRG,
- also unabhängig vom Verfahren) Größte Frequenz bei NRZ: "101010…"
=> dann liegt eine Frequenz auf der Leitung, welche der halben Schrittrate entspricht Nyquist Daten übertragen zu können, wird mindestens die halbe Schrittrate als Bandbreite-Theorem: Um auf einem Übertragungskanal mit einer bestimmten Schrittrate benötigt! RZ (Return Jede Schrittzeit wird in zwei Hälften eingeteilt:-to-Zero) ▪ In der ersten Hälfte wird der Pegel eingenommen, welcher dem übertragenen Bitwert entspricht ▪ in der zweiten Hälfte immer der "0"-Pegel
- TRG bei RZ: Bei jeder "1"▪ Nur, falls längere Zeit nur Nullen übertragen werden, gibt es keine TGR bei RZ! BBB bei RZ: 1 1 1 1 1 1▪ BBB entspricht ganzer Schrittrate ▪ Doppelt so viel wie nötig (H. Nyquist)
Oder "1" und "0" gleichverteilt und "merkwürdiges" Pegelverhältnis ("1"-Pegel mit dreifachem Betrag des "0"- Pegels) - > de facto nie GSF bei RZ-Codierung! AMI (Alternative Mark Inversion) Ähnlich wie NRZ und single-ended-Pegeln, aber jede zweite "1" wird mit einem zur ersten
- "1" inversen Pegel übertragen d.h. es werden insgesamt drei Pegel verwendet, welche jeweils während der gesamten
- Schrittzeit eingenommen werden GSF bei AMI: ▪ Rein formal nach jeder zweiten "1"; in der Praxis kann der GS "1" bei einer langen Übertragungsdauer vernachlässigt werden-Anteil der ungeraden ▪ d.h. immer GSF bei AMI
TRG bei AMI: Bei jeder "1", da sich bei einer "1" der Pegel immer zu Beginn und am Ende der ▪ Schrittzeit ändert (unabhängig davon, was davor und danach kommt)
- SSH bei AMI: schlechter als bei NRZ und RZ, da drei Pegel (statt nur zwei Pegel) verwendet werden
- BBB bei AMI▪ Entspricht halber Schrittrate (optimal)
Manchester Der übertragene Bitwert wird nicht durch eine bestimmte Spannung, sondern durch eine
- Spannungsänderung zu einem bestimmten Zeitpunkt, nämlich in der Mitte der Schrittzeit, dargestellt
- z.B.
Gegebenenfalls wird ein weiterer Pegelwechsel zu Beginn einer Schrittzeit durchgeführt, falls notwendig; dieser Pegelwechsel zu Beginn der Schrittzeit steht nicht für einen zu übertragenden Bitwert!
- TRG bei Manchester: immer, da in der Mitte jeder Schrittzeit ein Pegelwechsel stattfindet GSF bei Manchester: immer, da sich (bei symmetrischen Pegeln) die Pegel der ersten und
- zweiten Hälfte gegenseitig ausgleichen SSH bei Manchester: optimal, da es "nur" zwei Pegel gibt BBB bei Manchester▪ 111111 oder 000000 ▪ Doppelt so viel wie nötig
Eigenschaften der Verfahren: TRG (Taktrückgewinnung) Die Taktfrequenz ist zwischen Sender und Empfänger fest vereinbart und wird durch
- entsprechende "Uhren" beim Sender und Empfänger bestimmt Diese Uhren können leicht ungenau sein und voneinander auseinander laufen - TRG bedeutet, dass der Takt nur anhand des übertragenen Datensignals resynchronisiert werden > eine gelegentliche Resynchronisierung der Uhren ist nötig
- kann Grundvoraussetzung für TRG: Pegelwechsel zu einem best. Zeitpunkt a) b) Von rechts einfügen und die jeweiligen Teile links wieder einfügen!!! SSH (Störsicherheit) Unanfälligkeit des Verfahrens gegenüber Spannungsänderungen, die durch Störungen von außen
- auf der Leitung entstehen Die SSH ist unmittelbar abhängig von der Anzahl der verwendeten (und zu unterscheidenden)
- Pegel; je weniger Pegel, desto besser; zwei Pegel sind optimal (weniger Pegel gehen nicht) SSH bei NRZ und RZ: optimal, da nur zwei Pegel c) BBB (Bandbreitenbedarf) Jeder Übertragungskanal hat nur eine "beschränkte" Bandbreite, welche durch die obere und
- untere Grenzfrequenz bestimmt wird Bandbreite = (obere Grenzfrequenz) - (untere Grenzfrequenz)
- Der Einfachheit halber sei die untere Grenzfrequenz = 0 Hz angenommen - > Bandbreite = obere Grenzfrequenz d) GSF (Gleichstromfreiheit) Wenn der zeitlich mittlere Pegel auf der Datenleitung 0 Volt ist, dann besitzt das
- Signalcodierungsverfahren GSF! Motivation für GSF: Einsparung der Masseleitung und Rekonstruktion des Massepegels aus den
- mittleren Pegel der Datenleitung Grundvoraussetzung für GSF: Abänderung der Pegel, symmetrische Pegel statt single-ended-Pegel, z.B. □ 1 entspricht 0 Volt 0 entspricht - 5 Volt □ Dann: GSF bei NRZ, falls "1" und "0" gleichverteilt im Datenstrom! Gleichverteilung von "1" und "0"? Bsp. Übertragung von UTF Die meisten Zeichen wären auch im ASCII-8 codierten Zeichenfolgen:-Zeichensatz enthalten, d.h. das 8. ◊ Bit ist bei UTF => keine Gleichverteilung- 8 - Codierung meist "0" Bsp. Übertragung von ganzen, nicht Wahl der Stellenanzahl (Anzahl bit) so, dass die meisten Werte innerhalb des-negativen Binärzahlen: Wertebereichs liegen und damit auch übertragen werden können => höchstwertige Bits sind meist "0" und nicht "1", da die Werte nicht gleichverteilt im darstellbaren Wertebereich verteilt sind. => Gleichverteilung von "1" und "0" ist bei vielen codierten Anwendungsdaten eher unwahrscheinlich! Ausnahmen:- Komprimierte Datenströme Aber bei Schnittstellen, welche wir in der Digitaltechnik üblicherweise verwenden,-^ Verschlüsselte Datenströme wird weder komprimiert noch verschlüsselt => keine GSF bei NRZ GSF bei RZ: Single-ended-Pegel und nur "0" Symmetrische Pegel und nur "1" □
a) (Striche ohne Pfeilrichtung sind zusätzlich eingefügte Pegelwechsel) Eigenschaft NRZ RZ AMI Manchester TRG Bei "01" oder "10" Bei jeder "1" Bei jeder "1" Immer Signalcodierung Mittwoch, 8. Februar 2023 11:
Rechensystem nach gewissen Regeln:
- Endliche Wertemenge W
- Zwei zweistellige Operatoren ⊗, ⊕
Abgeschlossenheit
a ⊗ b
a ⊕ b
- Es gelten die vier Huntington'schen Axiome
- benannt nach englischem Mathematiker George Boole (1815-1864)
Huntigton'sche Axiome:
H1: Kommutativgesetz:
- a ⊗ b = b ⊗ a
- a ⊕ b b ⊕ a
H2: Distributivgesetz:
- a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
- a ⊕ (b ⊗ c) = (a ⊕ b) ⊗ (a ⊕ c)
H3: Neutrales Element
- a ⊗ e = a
- A ⊕ n = a
H4: Inverses Element:
- a ⊗
- a ⊕ n = e
Achtung: Großer Unterschied
zum Rechnen mit Zahlen!
- Es ist für beide Operatoren dasselbe inverse Element
Bei der Verknüpfung mit einem Operator ergibt sich jeweils das neutrale Element des anderen
Operators!!
2. Bool'sche Algebra
Mittwoch, 22. Februar 2023 10:
Wertemenge besteht aus genau zwei Werten: W = {1, 0} = {wahr, falsch} = {true, false} = {an, aus} = {on, off} Operatoren:
- Statt ⊗: UND/AND/ (*) (kann auch weggelassen werden, steht zwischen zwei Variablen, die verUNDet werden sollen)
- Statt ⊕: ODER/OR/∨/((+))
zweistellige Operatoren Durch H4 wird definiert ein einstelliger Operator: NICHT/NOT/ Huntigton'sche Axiome in der Schaltalgebra: H1:
H2:
H3:
Warum "Schaltalgebra"? => Darstellung der zweistelligen Operatoren als zwei Schalter in einem Stromkreis:
H4:
Darstellung der Operatoren in einer Wertetabelle/Wahrheitstabelle: 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Terme der Schaltalgebra:
- Bspw. In den Axiomen findet sich links und rechts ein jeweils ein(e) T(h)erm(e) (ohne h) Terme bestehen aus:
- Werte aus der Wertemenge
- Variablen (als Platzhalter für jeweils einen Wert)
- Operatoren (ein- & zweistellige)
- Klammern Belegungen:
- Eingangsbelegung ist die individuelle Zuweisung eines konkreten Wertes zu jeder Eingangsvariable Ausgangsbelegung ist der Wert, welcher sich ergibt, wenn man einen Term bei einer konkreten Eingangsbelegung "auswertet"
H2:
H3:
Spezialfall Schaltalgebra Mittwoch, 22. Februar 2023 11: