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ˆ when sin
3
sin ˆ when 3
2
4 0
0
≥
≤
r R r
R θ
r r R
R
Ar φ
μ ωσ
θφ
μ ωσ
( )
( )
0
4 0 2
sin ˆ 3 . sin ˆ 3
R r r R
A r R θ r R r
μ ωσ θ ϕ
μ ωσ ϕ
≤ = (^) ≥
인경우
인 경우
Introduction to Electrodynamics / Problems on Chapter 6
1. 자화도 M 으로 가진 균일하게 자화된 구의 자기장은 회전하고 있는 구 각의 자기장과 동일하다. 반지름이
R 이고, 균일한 표면 전하 밀도 σ, 각속도 ω로 회전하고 있는 구 각의 벡터 포텐셜은 다음과 같이
(a) 회전하는 구 각의 자기 모멘트는 다음과 같음을 보이시오: (^4 4) ˆ 3
m = πσω R z
(b) 균일하게 자화된 구의 체적 및 표면 전류 밀도들을 구하시오.
(c) 균일하게 자화된 구의 자화도 M ( M = 단위 부피당 자기 쌍극자 모멘트)를 R 과 σ, ω 들의 함수로 구해
(d) 벡터 포텐셜로부터 (자화도 M 의 항으로) 구 내부의 자기장을 유도해 보시오.
(e) 벡터 포텐셜로부터 (자기 쌍극자 모멘트 m 의 항으로) 구 외부의 자기장을 유도해 보시오.
[The magnetic field of a uniformly magnetized sphere with a magnetization M is identical to the field of a spinning
spherical shell. The vector potential of a spherical shell, of radius R , carrying a uniform surface σ, and spinning at angular
velocity ω, is written as
(a) Show that the magnetic moment of the spinning spherical shell is ˆ. 3
m = πσω Rz
(b) Find the volume and surface current densities of the uniformly magnetized sphere.
(c) Find the magnetization M of the uniformly magnetized sphere ( M = magnetic dipole moment per unit volume) in terms
of R , σ and ω.
(d) Derive the magnetic field inside the sphere (in terms of the magnetization M ) from the vector potential.
(e) Derive the magnetic field outside the sphere (in terms of the magnetic moment m ) from the vector potential.]
- (a) 그림과 같이 r 이 a 와 b 보다 매우 큰 경우에 원형 루프에 의해 사각형 루프에 작용하는 회전력을
다음과 같이 기술된다: (^) ( ) [ (^) ( m r ) r m ]
r
Bdipr
3
0
π
μ .
(b) 만약 사각형 루프가 자유롭게 회전할 수 있다면, 평형 상태의
[(a) Calculate the torque exerted on the square loop shown in figure due to the circular loop by assuming that r is much
larger than a or b. The magnetic field of a dipole can be written in coordinate-free form as
( ) [^ ( m r ) r m ]
r
Bdipr
3
0
(b) If the square loop is free to rotate, what will its equilibrium orientation be?]
n ˆ
3. yz 평면 상에 걸쳐 있으며 x = - a 에서 x = + a 까지 놓여 있는 슬래브 판에 균일한 전류 밀도 J J z ˆ
채워져 있다. 원 점에는 한 개의 자기쌍극자 m m x ˆ
(a) 슬래브 판 안에서의 자기장을 x 의 함수로 구하시오.
(b)
F = ∇ ( m B ⋅ )
(^) 관계식을 이용하여 자기쌍극자에 작용하는 힘을 구하시오.
(c) y 방향으로 향하고 있는 하나의 자기쌍극자 ˆ.
m = m 0 y
[A uniform current density J J z ˆ
fills a slab straddling the yz plane, from x = -
a to x = + a. A magnetic dipole m m x ˆ
is situated at the origin.
(a) Find the magnetic field, as a function of x , inside the slab.
(b) Find the force on the dipole, using F ( m B ).
(c) Do the same for a dipole pointing in the y direction: ˆ.
m = m 0 y
]
4. 반지름이 R 인 긴 원통형 실린더가 자화도 φˆ
2
M = ks
를 가지고 있다. 여기에서 k 는
상수이고, s 는 축으로 부터의 거리, φˆ^ 는 방위각의 단위 벡터를 나타낸다. M
[A long circular cylinder of radius R carries a magnetization φˆ
2
M = ks
, where k is a constant,
s is the distance from the axis, and φˆ^ is the usual azimuthal unit vector. Find the magnetic field
due to M
, for points inside and outside the cylinder. ]
5. 무한히 긴 원형 실린더가 축과 평행한 방향으로 균일하게 자화도 M 으로 자화되어 있다. ( M 에 의한)
[An infinitely long circular cylinder carries a uniform magnetization M parallel to its axis. Find the magnetic field (due to
M ) inside and outside the cylinder.]
- 반지름이 R 인 무한히 긴 원통형 실린더가 축 방향으로 고정된 자화도 (^) M = ks z ˆ
k 는 상수이고, s 는 축으로 부터의 거리이며 어느 곳에도 자유 전류는 없다. 실린더 (a) 내부와 (b)
외부에서의 H 자기장과 자기 유도 B 를 구하시오.
[An infinitely long cylinder, of radius R , carries a "frozen-in" magnetization, parallel to the axis, M = ksz ˆ,
where k is a constant and s is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic H -field and
magnetic induction B (a) inside and (b) outside the cylinder.]
B 0
이고, 0 0 0
B H M μ
= −
인
관계식을 따른다. 여기에서 M
(a) 이 물질로부터 작은 구 만큼의 공간으로 속을 파 낸다.
이 파 내어진 구 중심에서의 자기장 B 를 B 0
와 M
( H & B )은 얼마인가? (b) 모든 속박 전류들도 구하시오. (c) 도선을 따라 흐르는 순수 속박 전류는
[A current I flows dwon a long straight wire of radius a. If the wire is made of linear material (copper or almunium) with
susceptibility χ m , and the current is distributed uniformly, (a) what is the magnetic field ( H & B ) a distance s from the
axis? (b) Find all the bound currents. (c) What is the net bound current flowing down the wire?.]
- (a) 자기 이력 곡선(hysteresis curve )의 특성을 이용하여 자성이 없는 철 막대를 영구 자석으로 만드는
과정을 설명해 보시오. (b) 영구 자석을 자성이 없는 상태로 만들기 위해서는 어떻게 하면 되는지에
[(a) Explain a method how to make a permanent magnet from a nonmagnetic iron bar by using the hysteresis curve for
magnetization. (b) Explain what you can do to demagnetizing the permanent magnet back to a nonmagnetic condition.]
Useful information:
Planck constant h = 6.6 x 10
J⋅s, Electron charge e = 1.6 x 10
C,
Speed of light in free space c = 3 x 10
8
m/s, The permittivity of free space
(Cartesian coordinates: 직교 좌표계)
(Spherical coordinates: 구 좌표계)
(Cylindrical coordinates: 원통 좌표계)
( v) ( v) v
∇ ×∇× =∇∇⋅ −∇
sin θ sin 3 θ 3 sinθ
3
μ r (iron ingot) = 1+ χm = 150 [http://phys.thu.edu.tw/~hlhsiao/mse-web_ch20.pdf]
1 Tesla = 1 kg/s-C = 1 Wb/m
2
4
gauss, 1 Volt = 1 W/A = 1 J/(s⋅A) = 1 J/C
dl = dxx ˆ^ + dyy ˆ+ dz z ˆ
dl = drr ˆ^ + rd θ θˆ+ r sinθ d φ φˆ
dl = dss ˆ^ + sd φφˆ+ dz z ˆ
2
2
2 2 2
2 2
2
sin
in sin
θ θ φ
θ θ θ ∂
T
r
T
s r r
T
r r r
T
2
2
2
2
2
z
T T
s s
T
s s s
T
φ
2
2
2
2
2
2 2 z
T
y
T
x
T
T
e x i x e x x
ix x
=cos + sin , =cosh +sinh
sin ( x ± y ) =sin x cos y ±sin y cos x , cos( x ± y ) =cos x cos y sin x sin y
( ) +⋅⋅⋅
2 k
k!
1 1 x
aa a k
x
aa
x ax
a
2 cos θ
2 2 2
C = A + B − AB A
A
B
B
θθ
C
C
z z
T
y y
T
x x
T
T ˆ^ ˆ ˆ
φ θ φ
θ θ
sin
T
r
T
r
r r
T
T
z z
T T
s
s s
T
T ˆ ˆ
∇ = φ φ
( ) ( )
φ
∂
v
sin
in v sin
v
v (^) r θ
2 2 r
s r
r r r
( )
s z
s
s s
z
1 v v
v
v s
φ
( ) ( ) ( ) φ
φ
θ φ
v
v
v ˆ
v
sin
v
in v
sin
v θ
r
∇ × =
r
r
r r
r
r r
s r
r
( s ) z
z s s s
s
s z
z z s
v
v
v v ˆ 1
1 v v
v
s
∇× =
φ
φ φ
φ
( ) ∫ ∫
∇ × ⋅ = ⋅
S Loop
A da A dl
Stokes’ theorem:
Divergence theorem: (^) ( ) ∫ V (^) ∇^ ⋅ E^ dV =∫ SE ⋅ da
2
2 12 0 8.^8510 N m
C
= ×
−
μ 0 = 4π x 10 -7^ N/A^2 : the permeability of free space
