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Ch. 7 선형대수학: 행렬, 벡터,

 선형연립방정식의^ 수치해^ 등을^ 다룰^ 때문제를^ 나타남 해결하는데, 행렬과 벡터 이용

 행렬( Matrix ) : 수(혹은 함수)를 직사각형 모양으로 괄호 안에 배열한 것

• 원소 (Entry) 또는 요소 (Element): 행렬에 배열되는 수(혹은 함수)
• 행 (Row) : 수평선
• 열 (Column) : 수직선  일반적인 표기법과 개념
• • 행렬은첫 번째 굵은 아래 대문자로 첨자 j는 행나타낸다(Row)
• 두 번째 아래 첨자 k는 열(Column)
• : j 행, k 열의 원소(Element)

  : 행렬 1 2

(^2111122221) m n a a a

a aa aa aa m m mn

jk nn  

A 

ajk

 행렬의 : 행렬의 상등 크기가(Equality of Matrices 같으며 대응되는) 원소들이 모두 같은 경우  행렬의 가법 (Matrix Addition) : 같은 함으로 크기의 얻어진다 행렬에. 대해서만 정의되고, 그 합은 대응하는 원소를 각각 합  스칼라곱 : 행렬의(Scalar Multiplication 각 원소에 상수를 곱하여) 얻어진다.  행렬의 가법과 스칼라곱에 대한 연산법칙

    A  A  0

A 0 A

A B C A B C

A B B A

           A A

A A

A A A

A B A B

ck ck

c k c k

c c c

 행렬과 행렬의 곱(Matrix Multiplication)

: r×p행렬 의 행수 r와 m×n행렬 의 열수 n가 서로 같아야

정의되며 를 원소로 하는 m×p행렬로

c (^) jk  (^)  jn  1 ajlblk  aj 1 b 1 k  aj 2 b 2 k   ajnbnk

B  b (^) jk  A  a (^) jk 

 AB 는 정의되지만 BA 는 정의되지 않을 수 있다  행렬의 곱은 비가환적(Not Commutative)이다.  행렬의 곱에 대한 연산법칙

AB  BA

 (^)   (^)     (^)      (^)   (^)     Associative LowDistrivutive Low Distrivutive Low

k  k  k  (^)   (^)  A BC^ A B AB CAB^ A^ B C AA^ B CB CAAC BCCB^ 결 분^ 분합배배법법법칙칙칙

  대칭행렬특수한 행렬 (Symmetric Matrix) :(Special Matrices) 전치가 본래의 행렬과 같은 정방행렬  반대칭행렬 (Skew- symmetric Matrix)  삼각행렬^ :^ 전치가(Triangular Matrix)^ 본래의^ 행렬의^ 음이^ 되는^ 정방행렬

• 위삼각행렬 : 주대각선을(Upper 포함하여 Triangular Matrix) 그 위쪽으로만 0 이 아닌 원소를 갖는 정방행렬
• 아래삼각행렬 (Lower Triangular Matrix)  대각행렬^ :^ 주대각선을(Diagonal Matrix)^ 포함하여^ 그^ 아래쪽으로만^0 이^ 아닌^ 원소를^ 갖는^ 정방행렬
• 스칼라^ :^ 주대각선 행렬^ (Scalar Matrix) :상에서만^0 이^ 아닌 주대각선^ 원소를 원소들이^ 가질^ 수^ 있는모두^ 정방행렬같은 대각행렬
• 단위행렬 (Unit 또는 Identity Matrix) : 주대각선 원소들이 모두 1 은 대각행렬

 A T  A   A T  A 

 선형연립방정식, 계수행렬, 첨가행렬  선형연립방정식 :

• 제차연립방정식 : 가 모두(Homogeneous Simultaneous System) 0 인 경우
• 비제차연립방정식 (Nonhomogeneous Simultaneous System) : 중 적어도 하나는 0 이 아닌 경우

m m mn n n

nn m mn n m

nn nn b

bb x

xx a a a

aa aa aa a x a x b

aa xx aa xx bb      

1 2

1121 1222 21 1 1

211111 21 12

bj bj

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

 가우스 소거법과 후치환 (Gauss Elimination and Back Substitution)

Step 1 을 소거 : 첫 번째 식에 두 배 한 후, 이를 두 번째 식에 더한다.

Step 2 후치환(Back Substitution) : 순으로 해를 구한다. 마지막 방정식에서 해를 구한 후, 그 결과를 역순으로 첫째 방정식에 대입하여 정리한다.

x 1

 42 xx 11  35 xx 22  ^230 ^2 435 ^230 

연립방정식 첨가행렬

213 x (^1) x  25  x  226  (^2)  02 135  226  x 2 , x 1

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

x 2 (^)  ^26 13  2, x 1 (^)  (^12)  2  5 x 2   (^12)  2  (^5)   (^2)  6

 Systems 기본행연산 ). 행동치 연립방정식 (Elementary Row Operations. Row-Equivalent

-^ < 두 방정식에 방정식을^ 대한 교환하는^ 기본연산 것 >

• (^) 다른한 방정식의 방정식에 상수배를 더하는 것
• 한 방정식에 0 이 아닌 상수를 곱하는 것

•^ < 두 행렬에 행을^ 대한 교환하는^ 기본행연산 것 >

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

 Ex.3 가진 (^4) 연립방정식의개의 미지수를 해를 갖는 구하라 3 개의 (^) .선형연립방정식, 그리고 이에 대응하는 아래의 첨가행렬을

Step 1 을 소거



 

   

 10 .. 26 10.^5. 3 10.^5. 3 25. 4.^422 ..^71

3. 0 2. 0 2. 0 5. 0 8. 0 

 10 .. 26 01 .. 35 10 ..^5352 ..^4422 ..^71

3. 0 2. 0 2. 0 5. 0 8. 0 11 22 33 44

1 2 3 4     

    xx xx xx x x

x x x x x 1

^ 3.0 (^00) 2.01.11.1 2.01.11. 1 4.45.04.4 8.01.11. 1  23 행행 (^)     (^) 0. 0.2 (^4)   11 행행 3. (^0)  x 111 .. (^11) xx 222. (^0)  x 112 .. 11  xx 233 . (^0)  x 443 .. 44  x x 544. (^0)  x (^1)  (^4). 11 . 18. 0

첫째 첫째 방정식에방정식에  10.^. 6233 ..^00 ^00 ..^24 배배 하여하여 두세 번째번째 방정식에방정식에 더하라더하라..

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

Step 2 을 소거 : 두번째 방정식에 배 하여 세 번째 방정식에 더하라

Step 3 후치환 는 임의로 결정할 수 있는 수이므로, 무한히 많은 해가 얻어진다.

x 2 3.0 0 2.01.1 1.12.0 5.04.4 8.01. 0 0 0 0 0 3 2

     행 행^1.^11.^1004.^41.^1

3. 01 22. 0 2 23. 0 3 54. 0 4 8. 0    x  x x  x x  x x  x 2 (^)  1  x 3  4 x 4 , x 1  2  x 4

4. 11. 1  1

x 3 (^) 와 x 4

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

Step 2 을 소거 : 세 번째 식에서 를 소거

모순이 되어 연립방정식은 해를 갖지 않는다.

x 2  

3 21 11 3 (^00 03 30 1223 6 )  (^)      행    행 31 0 3112 2

3 2 3 ^12  ^233  x  x x  xx 

x 2

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

  행사다리꼴행사다리꼴(Row Echelon Form)과 행 사다리꼴로부터의 정보

하는 : Gauss연립방정식^ 소거법의^ 마지막^ 단계에서^ 보는^ 계수행렬과^ 첨가행렬의^ 형태와^ 이에^ 대응

 • 정확하게 3 가지 가능한 하나의 경우 해가: 존재한다. : r = n 이고 이 모두 0 이다.

• • 무한히해가 없다 많은. : (^) r해가 < (^) m존재한다 이고. : r < n 이고 b^ r  (^1) 중 ,^ 하나라도 b^ r ,^ ^1 b ,^ m 이, 0 모두 b 이이 m (^0) 아니다이다.. b (^) r  1 , , bm

7.3 선형연립방정식, Gauss 소거법

 • 행동치인 행렬의 계수 행렬 (Rank) : 행렬에서 1 차독립인 행벡터의 최대수이며 rank( A )라 표시

• 일차종속성^ 행동치인^ 행렬들은과 일차독립성^ 같은^ 계수를^ 갖는다.

각각 행렬의 n개의 계수가 성분을 p이면 갖는 일차독립이고 p개의 벡터들은, 그 계수가이 벡터들을 p보다 행벡터로 작으면 일차종속이다 취하여 구성된.

• 벡터의^ 행렬과 일차종속^ 행렬의^ 전치는^ 같은^ 계수를^ 갖는다.

n(< p)개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은 항상 일차종속이다.

 벡터공간 : 공집합이 (Vector Space 아닌 벡터의) 집합에 속해 있는 임의의 두 원소에 대하여, 이들의 일차결합이 다시 집합의 원소가 되며 다음 법칙을 만족하는 벡터들의 집합

  차원기저 (Dimension):(Basis) 벡터공간내의 일차독립인 벡터들의 최대수이며 dim(V)로 표기 : 벡터공간내의 기저가 되는 벡터의최대로 수는가능한 차원과 수의 같다일차독립인. 벡터로 구성되는 부분집합이며

    A  A  0

A 0 A

A B C A B C

A B B A

           A A

A A

A A A

A B A B

ck ck

c k c k

c c c