algorithme et programmation, Lecture notes of Computer science

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Universit´e Moulay Isma¨ıl

Ecole sup´´ erieure de Technologie, Mekn`es

D´epartement : G.E

Alg`ebre S

Cours d’alg`ebre lin´eaire 1

Fili`eres : GETE.

Pr : A. ELALAMI

Ann´ee Universitire :2024-

Table des mati`eres

Chapitre 1

Les nombres complexes

1.1 Les nombres complexes

1.1.1 D´efinition

D´efinition 1 Un nombre complexe la donn´ee d’un couple (a, b) ∈ R^2 que l’on notera a + ib

Cela revient a identifier 1 avec le vecteur (1, 0) de R^2 , et i avec le vecteur (0, 1). On note C l’ensemble des nombres complexes. Si b = 0, alors z = a est situ´e sur l’axe des abscisses, que l’on identifiea R. Dans ce cas, on dira que z est r´eel, et R apparaˆıt comme un sous-ensemble de C, appel´e : axe r´eel. Si b 6 = 0, z est appel´e un nombre imaginaire et si b 6 = 0 et a = 0, z est dit imaginaire pur.

1.1.2 Op´erations

Si z = a + ib et z′^ = a′^ + ib′^ sont deux nombres complexes, alors on d´efinit les op´erations suivantes :

• Addition : (a + ib) + (a′^ + ib′) = (a + a′) + i(b + b′)
• Multiplication : (a + ib) × (a′^ + ib′) = (aa′^ − bb′) + i(ab′^ + ba′). On d´eveloppe en suivant les r`egles de la multiplication usuelle avec la convention suivante : i^2 = − 1

1.1.3 Partie r´eelle et imaginaire

Soit z = a + ib un nombre complexe, sa partie r´eelle est le r´eel a et on la note <(z) ; alors que sa partie imaginaire est le r´eel b not´e =(z).

Par identification de C `a R^2 , l’´ecriture z = <(z) + i=(z) est unique :

z = z′^ ⇐⇒

  

<(z) = <(z′) et =(z) = =(z′)

En particulier, un nombre complexe est r´eel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est nul si et et seulement si sa partie r´eelle et sa partie imaginaire sont nuls.

1.1.4 Calculs

Quelques d´efinitions et calculs sur les nombres complexes.

• L’oppos´e de z = a + ib est −z = (−a) + i(−b) = −a − ib.
• La multiplication par un scalaire λ ∈ R : λ · z = (λa) + i(λb).
• L’inverse : si z 6 = 0, il existe un unique z′^ ∈ C tel que zz′^ = 1 (z′^ est l’inverse de z). L’inverse de z, not´e (^1) z , est donc

z′^ =

z

a a^2 + b^2

• i −b a^2 + b^2

a − ib a^2 + b^2

• La division : (^) zz ′ est le nombre complexe z × (^) z^1 ′.
• Propri´et´e d’int´egrit´e : si zz′^ = 0 alors z = 0 ou z′^ = 0.
• Puissances : z^2 = z × z, z n^ = z × · · · × z (n fois, n ∈ N). Par convention z^0 = 1 et z− n^ =

( (^1) z

) n = (^) z^1 n.

Proposition 1 Pour tout z ∈ C diff´erent de 1 1 + z + z^2 + · · · + z n^ = 1 − z n + 1 − z

Pour le d´emontrer, posons S = 1 + z + z^2 + · · · + z n , alors en d´eveloppant, ·(1 − z) presque tous les termes se t´elescopent et l’on trouve ·(1 − z) = 1 − z n +1.

Remarque 1.1 Il n’y pas d’ordre naturel sur C, il ne faut donc pas penser `a comparer deux nombres complexes et ´eviter d’´ecrire z 6 z′.

1.1.5 Conjugu´e, module

Le conjugu´e de z = a + ib est z¯ = a − ib, autrement dit <(¯z) = <(z) et =(¯z) = −=(z). Le point ¯z est le sym´etrique du point z par rapport `a l’axe r´eel.

Le module de z = a + ib est le r´eel positif |z| =

a^2 + b^2. Comme z × ¯z = (a + ib)(a − ib) = a^2 + b^2 alors le module vaut aussi |z| =

z ¯z.

Exemple 1 Les racines carr´ees de i sont +

√ 2 2 (1 +^ i)^ et^ −

√ 2 2 (1 +^ i). En effet : ω^2 = i ⇐⇒ (x + iy)^2 = i

⇐⇒

{ x^2 − y^2 = 0 2 xy = 1

Rajoutons la conditions |ω|^2 = |i| pour obtenir le syst`eme ´equivalent au pr´ec´edent :   

x^2 − y^2 = 0 2 xy = 1 x^2 + y^2 = 1

  

2 x^2 = 1 2 y^2 = 1 2 xy = 1

  

x = ± √^12 y = ± √^12 2 xy = 1 Les r´eels x et y sont donc de mˆeme signe, nous trouvons bien deux solutions :

x + iy =

√^1

• i

√^1

ou x + iy = −

√^1

− i

√^1

1.2.2 Equation du second degr´´ e

Proposition 3 L’´equation du second degr´e az^2 + bz + c = 0, ou a, b, c ∈ C et a 6 = 0, possede deux solutions z 1 , z 2 ∈ C ´eventuellement confondues.

Soit ∆ = b^2 − 4 ac le discriminant et δ ∈ C une racine carr´ee de ∆. Alors les solutions sont

z 1 = −b + δ 2 a

et z 2 = −b − δ 2 a Et si ∆ = 0 alors la solution z = z 1 = z 2 = −b/ 2 a est unique (elle est dite double). Si on s’autorisait `a ´ecrire δ =

∆, on obtiendrait la mˆeme formule que celle que vous connaissez lorsque a, b, c sont r´eels.

Exemple 2 – z^2 + z + 1 = 0, ∆ = − 3 , δ = i

3 , les solutions sont z = − 1 ± i

• z^2 + z + 1 − 4 i = 0, ∆ = i, δ =

√ 2 2 (1 +^ i), les solutions sont^ z^ =^

√ 2 2 (1 +^ i) 2

−^12 ±

√ 2 4 (1 +^ i). On retrouve aussi le r´esultat bien connu pour le cas des ´equations `a coefficients r´eels :

Corollaire 1.1 Si les coefficients a, b, c sont r´eels alors ∆ ∈ R et les solutions sont de trois types :

• si ∆ = 0, la racine double est r´eelle et vaut − b 2 a

• si ∆ > 0 , on a deux solutions r´eelles −b ±

2 a

• si ∆ < 0 , on a deux solutions complexes, mais non r´eelles, −b ± i

2 a

1.2.3 Th´eoreme fondamental de l’algebre

Th´eoreme 1.1 (d’Alembert-Gauss) Soit P (z) = a _n_ z _n_^ + a _n_ − 1 z _n_ −^1 + · · · + a 1 z + a 0 un po- lynˆomea coefficients complexes et de degr´e n. Alors l’´equation P (z) = 0 admet exactement n solutions complexes compt´ees avec leur multiplicit´e.

En d’autres termes il existe des nombres complexes z 1 ,... , z n (dont certains sont ´eventuel- lement confondus) tels que

P (z) = a n (z − z 1 ) (z − z 2 ) · · · (z − z n ).

1.3 Argument et trigonom´etrie

1.3.1 Argument

Si z = x + iy est de module 1 , alors x^2 + y^2 = |z|^2 = 1. Par cons´equent le point (x, y) est sur le cercle unit´e du plan, et son abscisse x est not´ee cos θ, son ordonn´ee y est sin θ, ou θ est une mesure de l’angle entre l’axe r´eel et z. Plus g´en´eralement, si z 6 = 0, z/|z| est de module 1 , et cela amene `a :

D´efinition 2 Pour tout z ∈ C∗^ = C \ { 0 }, un nombre θ ∈ R tel que z = |z| (cos θ + i sin θ) est appel´e un argument de z et not´e θ = arg(z).

Cet argument est d´efini modulo 2 π. On peut imposer `a cet argument d’ˆetre unique si on rajoute la condition θ ∈] − π, +π].

Remarque 1.

θ ≡ θ′^ (mod 2π) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, θ = θ′^ + 2kπ ⇐⇒

{ cos θ = cos θ′ sin θ = sin θ′

Proposition 4 L’argument satisfait les propri´et´es suivantes :

• arg (zz′) ≡ arg(z) + arg (z′) (mod 2π)
• arg (z n ) ≡ n arg(z) (mod 2π)
• arg (1/z) ≡ − arg(z) (mod 2π)
• arg(¯z) ≡ − arg z (mod 2π)

Preuve 2

zz′^ = |z| (cos θ + i sin θ) |z′| (cos θ′^ + i sin θ′) = |zz′| (cos θ cos θ′^ − sin θ sin θ′^ + i (cos θ sin θ′^ + sin θ cos θ′)) = |zz′| (cos (θ + θ′) + i sin (θ + θ′))

1.3.4 Applications `a la trigonom´etrie

Voici les formules d’Euler, pour θ ∈ R :

cos θ = e iθ^ + e− iθ 2 , sin θ = e iθ^ − e− iθ 2 i Ces formules s’obtiennent facilement en utilisant la d´efinition de la notation exponentielle. Nous les appliquons dans la suite a deux problemes : le d´eveloppement et la lin´earisation.

Remarque 1.3 (D´eveloppement) On exprime sin nθ ou cos nθ en fonction des puissances de cos θ et sin θ.

En effet, on utilise la formule de Moivre pour ´ecrire cos (nθ) + i sin (nθ) = (cos θ + i sin θ) n que l’on d´eveloppe avec la formule du binˆome de Newton.

Exemple 3

cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ)^3 = cos^3 θ + 3i cos^2 θ sin θ − 3 cos θ sin^2 θ − i sin^3 θ =

( cos^3 θ − 3 cos θ sin^2 θ

)

• i

( 3 cos^2 θ sin θ − sin^3 θ

)

En identifiant les parties r´eelles et imaginaires, on d´eduit que

cos 3θ = cos^3 θ − 3 cos θ sin^2 θ et sin 3θ = 3 cos^2 θ sin θ − sin^3 θ.

Lin´earisation : On exprime cos n^ θ ou sin n^ θ en fonction des cos kθ et sin kθ pour k allant de 0 `a n.

Avec la formule d’Euler on ´ecrit sin n^ θ =

( (^) eiθ (^) − e − iθ 2 i

) n

. On d´eveloppe `a l’aide du binˆome de Newton puis on regroupe les termes par paires conjugu´ees.

Exemple 4

sin^3 θ =

( e iθ^ − e− iθ 2 i

) 3

− 8 i

( (e iθ )^3 − 3(e iθ )^2 e− iθ^ + 3e iθ (e− iθ )^2 − (e− iθ )^3

)

− 8 i

( e^3 iθ^ − 3 e iθ^ + 3e− iθ^ − e−^3 iθ

)

( e^3 iθ^ − e−^3 iθ 2 i

e iθ^ − e− iθ 2 i

)

sin 3θ 4

3 sin θ 4

1.4 S´erie : Exercices facultatifs

Ecole sup´erieure de Technologie, Meknes Algebre Lin`eaire : S´erie N : 2

Fili`eres :GETE, Section 1-2, Pr A.ELALAMI

I.Les nombres complexes

Exercice 1.1 1. Calculer 1 − 2 i + (^1) − i 2 i.

1. Ecrire sous la forme´ a + ib les nombres complexes (1 + i)^2 , (1 + i)^3 , (1 + i)^4 , (1 + i)^8.
2. En d´eduire 1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + · · · + (1 + i)^7.
3. Soit z ∈ C tel que |1 + iz| = | 1 − iz|, montrer que z ∈ R.
4. Montrer que si | Soient P = a n X n^ + a n − 1 X n −^1 + · · · + a 1 X + a 0 et Q = b n X n^ + b n − 1 X n −^1 + · · · + b 1 X + b 0 deux polynˆomes `a coefficients dans K.

P = Q ⇐⇒ ∀i a i = b i

et on dit que P et Q sont ´egaux.

• Addition. Soient P = a n X n^ + a n − 1 X n −^1 + · · · + a 1 X + a 0 et Q = b n X n^ + b n − 1 X n −^1 + · · · + b 1 X + b 0. On d´efinit :

P + Q = (a n + b n )X n^ + (a n − 1 + b n − 1 )X n −^1 + · · · + (a 1 + b 1 )X + (a 0 + b 0 )

• Multiplication. Soient P = a n X n +a n − 1 X n −^1 +· · ·+a 1 X+a 0 et Q = b m X m +b m − 1 X m −^1 + · · · + b 1 X + b 0. On d´efinit

P × Q = c r X r^ + c r − 1 X r −^1 + · · · + c 1 X + c 0

avec r = n + m et c k =

∑ i + j = k

a i b j pour k ∈ { 0 ,... , r}.

• Multiplication par un scalaire. Si α ∈ K alors α · P est le polynˆome dont le i-`eme coefficient est αa i.

Exemple 6 – Soient P = aX^3 + bX^2 + cX + d et Q = αX^2 + βX + γ, alors : P + Q = aX^3 + (b + α)X^2 + (c + β)X + (d + γ), P × Q = (aα)X^5 + (aβ + bα)X^4 + (aγ + bβ + cα)X^3 + (bγ + cβ + dα)X^2 + (cγ + dβ)X + dγ. Enfin P = Q si et seulement si a = 0, b = α, c = β et d = γ.

• La multiplication par un scalaire λ · P ´equivaut `a multiplier le polynˆome constant λ par le polynˆome P.

Proposition 6 Pour P, Q, R ∈ K[X] alors

• 0 + P = P , P + Q = Q + P , (P + Q) + R = P + (Q + R) ;
• 1 · P = P , P × Q = Q × P , (P × Q) × R = P × (Q × R) ;
• P × (Q + R) = P × Q + P × R.

Soit R n [X] =

{ P ∈ R[X] | deg P ≤ n

}

. Si P, Q ∈ R n [X] alors P + Q ∈ R n [X].

Proposition 7 Soient P et Q deux polynˆomes `a coefficients dans K.

a deg(P × Q) = deg P + deg Q

b deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)

D´efinition 5 (Monˆomes) – Un monˆome est un polynˆome contenant un seul terme non nul (du type a k X k ).

• Soit P = a n X n^ + a n − 1 X n −^1 + · · · + a 1 X + a 0 , un polynˆome avec a n 6 = 0. On appelle terme dominant le monˆome a n X n. Le coefficient a n est appel´e le coefficient dominant de P.
• Si le coefficient dominant d’un polynˆome P est ´egal `a 1 , on dit que P est un polynˆome unitaire.

Exemple 7 P (X) = (X − 1)(X n^ + X n −^1 + · · · + X + 1). On d´eveloppe cette expression :

P (X) =

( X n +1^ + X n^ + · · · + X^2 + X

) −

( X n^ + X n −^1 + · · · + X + 1

) = X n +1^ − 1. P (X) est donc un polynˆome de degr´e n + 1, il est unitaire et est somme de deux monˆomes : X n +1^ et − 1.

2.2 Arithm´etique des polynˆomes

2.2.1 Division euclidienne

D´efinition 6 Soient A, B ∈ K[X], on dit que B diviseA s’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ. On note alors B|A.

Nous avons les propri´et´es suivantes :

Proposition 8 Soient A, B, C ∈ K[X].

1. A|A, 1 |A et A| 0.
2. Si A|B et B|A, alors il existe λ ∈ K∗^ tel que A = λB.
3. Si A|B et B|C alors A|C.
4. Si C|A et C|B alors C|(AU + BV ), pour tout U, V ∈ K[X].

Th´eor`eme 2.1 (Division euclidienne des polynˆomes) Soient A, B ∈ K[X], avec B 6 = 0, alors il existe un unique polynˆome Q et il existe un unique polynˆome R tels que :

A = BQ + R avec deg R < deg B

.

Q est appel´e le quotient et R le reste et cette ´ecriture est la division euclidienne de A par B.

Notez que la condition deg R < deg B signifie R = 0 ou bien 0 ≤ deg R < deg B. Enfin R = 0 si et seulement si B|A.

Exemple 11 Calculons le pgcd de A = X^5 +X^4 +2X^3 +X^2 +X +2 et B = X^4 +2X^3 +X^2 − 4.

X^5 + X^4 + 2 X^3 + X^2 + X + 2 = ( X^4 + 2 X^3 + X^2 − 4) × ( X − 1) + 3 X^3 + 2 X^2 + 5 X − 2 X^4 + 2 X^3 + X^2 − 4 = (3 X^3 + 2 X^2 + 5 X − 2) × 19 (3 X + 4) − 149 ( X^2 + X + 2) 3 X^3 + 2 X^2 + 5 X − 2 = ( X^2 + X + 2) × (3 X − 1) + 0 Ainsi pgcd(A, B) = X^2 + X + 2.

D´efinition 7 Soient A, B ∈ K[X]. On dit que A et B sont premiers entre eux si pgcd(A, B) =

Pour A, B quelconques, on peut se ramener `a des polynˆomes premiers entre eux : si pgcd(A, B) = D alors A et B s’´ecrivent : A = DA′, B = DB′^ avec pgcd(A′, B′) = 1.

2.2.4 Th´eor`eme de B´ezout

Le th´eor`eme suivant d´ecoule de l’algorithme d’Euclide.

Th´eoreme 2.2 (Th´eoreme de B´ezout) Soient A, B ∈ K[X] deux polynˆomes, avec A 6 = 0 ou B 6 = 0. On note D = pgcd(A, B). Il existe deux polynˆomes U, V ∈ K[X] tels que AU +BV = D.

Dans l’exemple suivant, en remontant au processus de l’algorithme d’Euclide, on obtient :

Exemple 12 Nous avons calcul´e pgcd(X^4 − 1 , X^3 − 1) = X − 1. Nous remontons l’algorithme d’Euclide, ici il n’y avait qu’une ligne : X^4 − 1 = (X^3 − 1) × X + X − 1 , pour en d´eduire X − 1 = (X^4 − 1) × 1 + (X^3 − 1) × (−X). Donc U = 1 et V = −X conviennent.

Exemple 13 Pour A = X^5 + X^4 + 2X^3 + X^2 + X + 2 et B = X^4 + 2X^3 + X^2 − 4 nous avions trouv´e D = pgcd(A, B) = X^2 + X + 2. En partant de l’avant derni`ere ligne de l’algorithme d’Euclide on a d’abord : B = (3X^3 + 2X^2 + 5X − 2) × 19 (3X + 4) − 149 D donc

−

D = B − (3X^3 + 2X^2 + 5X − 2) ×

(3X + 4).

La ligne au-dessus dans l’algorithme d’Euclide ´etait : A = B × (X − 1) + 3X^3 + 2X^2 + 5X − 2. On substitue le reste pour obtenir :

−

D = B −

( A − B × (X − 1)

) ×

(3X + 4).

On en d´eduit

−

D = −A ×

(3X + 4) + B

( 1 + (X − 1) ×

(3X + 4)

)

Donc en posant U = 141 (3X + 4) et V = − 141

( 9 + (X − 1)(3X + 4)

) = − 141 (3X^2 + X + 5) on a AU + BV = D.

Le corollaire suivant s’appelle aussi le th´eor`eme de B´ezout.

Corollaire 2.1 Soient A et B deux polynˆomes. A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynˆomes U et V tels que AU + BV = 1.

Corollaire 2.2 Soient A, B, C ∈ K[X] avec A 6 = 0 ou B 6 = 0. Si C|A et C|B alors C|pgcd(A, B).

Corollaire 2.3 (Lemme de Gauss) Soient A, B, C ∈ K[X]. Si A|BC et pgcd(A, B) = 1 alors A|C.

2.2.5 ppcm

Proposition 10 Soient A, B ∈ K[X] deux polynˆomes non nuls, alors il existe un unique poly- nˆome unitaire M de plus petit degr´e tel que A|M et B|M. C’est le plus petit commun multiple de A et B appel´e le ppcm et not´e ppcm(A, B).

Exemple 14 ppcm

( X(X−2)^2 (X^2 +1)^4 , (X+1)(X−2)^3 (X^2 +1)^3

) = X(X+1)(X−2)^3 (X^2 +1)^4.

Proposition 11 Soient A, B ∈ K[X] des polynˆomes non nuls et M = ppcm(A, B). Si C ∈ K[X] est un polynˆome tel que A|C et B|C, alors M |C.

2.3 Racine d’un polynˆome, factorisation

2.3.1 Racines d’un polynˆome

D´efinition 8 Soit P = a n X n^ + a n − 1 X n −^1 + · · · + a 1 X + a 0 ∈ K[X].

Pour un ´el´ement x ∈ K, on note P (x) = a n x n^ + · · · + a 1 x + a 0. On associe ainsi au polynˆome P une fonction polynˆome (que l’on note encore P )

P : K → K, x 7 → P (x) = a n x n^ + · · · + a 1 x + a 0.

D´efinition 9 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est une racine(ou un z´ero) de P si P (α) = 0.

Proposition 12 P (α) = 0 ⇐⇒ (X − α) divise P

2.3.3 Polynˆomes irr´eductibles

D´efinition 11 Soit P ∈ K[X] un polynˆome de degr´e ≥ 1 , on dit que P est irr´eductible si pour tout Q ∈ K[X] divisant P , alors, soit Q ∈ K∗, soit il existe λ ∈ K∗^ tel que Q = λP.

Remarque 2.3 – Un polynˆome irr´eductible P est donc un polynˆome non constant dont les seuls diviseurs de P sont les constantes ou P lui-mˆeme (a une constante multiplicative pres).

• La notion de polynˆome irr´eductible pour l’arithm´etique de K[X] correspond `a la notion de nombre premier pour l’arithm´etique de Z.
• Dans le cas contraire, on dit que P est r´eductible ; il existe alors des polynˆomes A, B de K[X] tels que P = AB, avec deg A ≥ 1 et deg B ≥ 1.

Exemple 17 – Tous les polynˆomes de degr´e 1 sont irr´eductibles. Par cons´equent il y a une infinit´e de polynˆomes irr´eductibles.

• X^2 − 1 = (X − 1)(X + 1) ∈ R[X] est r´eductible.
• X^2 + 1 = (X − i)(X + i) est r´eductible dans C[X] mais est irr´eductible dans R[X].
• X^2 − 2 = (X −

2)(X +

1. est r´eductible dans R[X] mais est irr´eductible dans Q[X].

Le Lemme d’Euclide dans Z s’applique par ´egalement pour les polynˆomes :

Proposition 14 (Lemme d’Euclide) Soit P ∈ K[X] un polynˆome irr´eductible et soient A, B ∈ K[X]. Si P |AB alors P |A ou P |B.

2.3.4 Th´eor`eme de Factorisation

Th´eor`eme 2.5 Tout polynˆome non constant A ∈ K[X] s’´ecrit comme un produit de polynˆomes irr´eductibles unitaires : A = λP 1 k 1 P 2 k 2 · · · P (^) rkr

o`u λ ∈ K∗, r ∈ N∗, k i ∈ N∗^ et les P i sont des polynˆomes irr´eductibles distincts.

De plus cette d´ecomposition est unique a l’ordre pres des facteurs.

2.3.5 Factorisation dans C[X] et R[X]

Th´eor`eme 2.6 Les polynˆomes irr´eductibles de C[X] sont les polynˆomes de degr´e 1.

Tout polynˆome P ∈ C[X] de degr´e n ≥ 1 admet une factorisation sous la forme : P = λ(X − α 1 ) k^1 (X − α 2 ) k^2 · · · (X − α r ) kr^ , o`u α 1 , ..., α r sont les racines distinctes de P et k 1 , ..., k r sont leurs multiplicit´es.

Th´eor`eme 2.7 Les polynˆomes irr´eductibles de R[X] sont les polynˆomes de degr´e 1 ainsi que les polynˆomes de degr´e 2 dont le discriminant ∆ < 0.

Soit P ∈ R[X] de degr´e n ≥ 1. Alors la factorisation s’´ecrit P = λ(X − α 1 ) k^1 (X − α 2 ) k^2 · · · (X − α r ) kr^ Q _ 11 · · · Q _ ss , o`u les α i sont exactement les racines r´eelles distinctes de mul- tiplicit´e k i et les Q i sont des polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 : Q i = X^2 + β i X + γ i avec ∆ = β i^2 − 4 γ i < 0.

Exemple 18 P (X) = 2X^4 (X − 1)^3 (X^2 + 1)^2 (X^2 + X + 1) est d´ej`a d´ecompos´e en facteurs irr´eductibles dans R[X] alors que sa d´ecomposition dans C[X] est

P (X) = 2X^4 (X − 1)^3 (X − i)^2 (X + i)^2 (X − j)(X − j^2 ) o`u j = e 2 iπ 3 = −1+ i

√ 3

Exemple 19 Soit P (X) = X^4 + 1.

• Sur C. On peut d’abord d´ecomposer P (X) = (X^2 + i)(X^2 − i). Les racines de P sont donc les racines carr´ees complexes de i et −i. Ainsi P se factorise dans C[X] :

P (X) =

( X −

√ 2 2 (1 +^ i)

)( X +

√ 2 2 (1 +^ i)

)( X −

√ 2 2 (1^ −^ i)

)( X +

√ 2 2 (1^ −^ i)

) .

• Sur R. Pour un polynˆome a coefficient r´eels, si α est une racine alors α¯ aussi. Dans la d´ecomposition ci-dessus on regroupe les facteurs ayant des racines conjugu´ees, cela doit conduirea un polynˆome r´eel :

P (X) =

[( X −

√ 2 2 (1 +^ i)

)( X −

√ 2 2 (1^ −^ i)

)] [( X +

√ 2 2 (1 +^ i)

)( X +

√ 2 2 (1^ −^ i)

)]

[ X^2 +

2 X + 1

][ X^2 −

2 X + 1

] ,

qui est la factorisation dans R[X].