Analisi Matematica: Introduzione ai Concetti Fondamentali, Study Guides, Projects, Research of Mathematical Analysis

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Analisi Matematica

Paolo Maurizio Soardi

3.10.3 Propriet`a dello spazio metrico

R, d∗

Indice ix

• 1 Numeri reali Prefazione xi
  • 1.1 Introduzione
  • 1.2 Rappresentazione decimale dei numeri razionali
  • 1.3 Numeri reali e ordinamento
  • 1.4 Partizioni di Q e di R
  • 1.5 Operazioni tra numeri reali
  • 1.6 Una diseguaglianza fondamentale
  • 1.7 Radici, potenze, logaritmi
  • 1.8 Spazi euclidei
  • 1.9 Appendice
    • 1.9.1 Propriet`a degli estremi superiore e inferiore
    • 1.9.2 Propriet`a delle operazioni in R
    • 1.9.3 Radici e potenze
    • 1.9.4 Logaritmi
• 2 Funzioni
  • 2.1 Introduzione
  • 2.2 Immagini e controimmagini
  • 2.3 Restrizione, funzione inversa, composta.
  • 2.4 Successioni. Indici
  • 2.5 Potenza di un insieme
  • 2.6 Potenza del numerabile
  • 2.7 Potenza del continuo
  • 2.8 Appendice
    • 2.8.1 Le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano
    • 2.8.2 Propriet`a degli insiemi infiniti
    • 2.8.3 Potenza dell’insieme delle parti
• 3 Spazi Metrici
  • 3.1 Introduzione
  • 3.2 Definizione ed esempi
  • 3.3 Intorni
  • 3.4 Classificazione dei punti vi Indice
  • 3.5 Insiemi aperti, chiusi, limitati
  • 3.6 Compattezza
  • 3.7 Il Teorema di Heine–Borel
  • 3.8 Connessione
  • 3.9 R come spazio metrico
  • 3.10 Appendice
    • 3.10.1 Compattezza in Rn
    • 3.10.2 Norme e distanze
• 4 Successioni
  • 4.1 Introduzione
  • 4.2 Successioni convergenti
  • 4.3 Sottosuccessioni e punti di accumulazione
  • 4.4 Successioni a valori reali
  • 4.5 Permanenza del segno. Confronto
  • 4.6 Successioni monotone
  • 4.7 Calcolo dei limiti
    • 4.7.1 Calcolo dei limiti in R
    • 4.7.2 Calcolo dei limiti in R
  • 4.8 Il numero e
  • 4.9 Infiniti e infinitesimi
  • 4.10 o piccolo e asintotico
  • 4.11 Successioni in Rk
  • 4.12 Classe limite
  • 4.13 La condizione di Cauchy
  • 4.14 Appendice
    • 4.14.1 Dimostrazione del Teorema 4.7.2
    • 4.14.2 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.4 e 4.7.6
    • 4.14.3 Dimostrazione del Teorema 4.7.8
    • 4.14.4 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.9, 4.7.10, 4.7.12, 4.7.13
• 5 Serie
  • 5.1 Introduzione
  • 5.2 Definizioni ed esempi
  • 5.3 La condizione di Cauchy per le serie
  • 5.4 Serie a termini non negativi
  • 5.5 Criteri della radice e del rapporto
  • 5.6 Criterio di condensazione
  • 5.7 Criterio di Leibniz
  • 5.8 Convergenza incondizionata
  • 5.9 Appendice
    • 5.9.1 Somma di serie
    • 5.9.2 Prodotto di serie
    • 5.9.3 Propriet`a associativa per le serie
    • 5.9.4 Permutazione dei termini di una serie Indice vii
    • 5.9.5 Rappresentazione dei numeri reali come serie
• 6 Limiti di funzioni
  • 6.1 Introduzione
  • 6.2 Limiti in spazi metrici
  • 6.3 Limiti infiniti e limiti all’infinito
  • 6.4 Limiti di funzioni reali di variabile reale
  • 6.5 Segno, confronto.
  • 6.6 Limiti di successioni e limiti di funzioni
  • 6.7 Calcolo dei limiti
  • 6.8 Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico
  • 6.9 Appendice
    • 6.9.1 Classe limite di una funzione
• 7 Continuit`a
  • 7.1 Introduzione
  • 7.2 Continuit`a in spazi metrici
  • 7.3 Continuit`a globale
  • 7.4 Continuit`a delle funzioni a valori reali
  • 7.5 Il Teorema di Weierstrass
  • 7.6 Il Teorema di Darboux
  • 7.7 Uniforme continuit`a
  • 7.8 Punti di discontinuit`a
    • 7.8.1 Discontinuit`a di prima specie
    • 7.8.2 Discontinuit`a di seconda specie
    • 7.8.3 Discontinuit`a eliminabili
  • 7.9 Funzioni monotone
  • 7.10 Continuit`a della funzione inversa
  • 7.11 Appendice
    • 7.11.1 Continuit`a della funzione inversa in spazi metrici
    • 7.11.2 Uniforme continuit`a. Funzioni lipschitziane e h¨olderiane.
• 8 Calcolo differenziale
  • 8.1 Introduzione
  • 8.2 Derivata e differenziale
  • 8.3 Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi
  • 8.4 Regole di derivazione
  • 8.5 Derivate delle funzioni elementari
    • 8.5.1 Potenze e radici
    • 8.5.2 Esponenziali e funzioni iperboliche
    • 8.5.3 Logaritmi
    • 8.5.4 Funzioni trigonometriche
    • 8.5.5 Inverse delle funzioni trigonometriche
    • 8.5.6 Derivate di funzioni composte
  • 8.6 Massimi e minimi relativi
• 10.9 Appendice
  • 10.9.1 Estensione del Teorema fondamentale del calcolo integrale
  • 10.9.2 Formula di Taylor con resto integrale
  • 10.9.3 Confronto e esistenza degli integrali impropri
  • 10.9.4 Formula di Wallis
  • 10.9.5 Somme e integrali. Formula di Eulero
  • 10.9.6 Formula di Stirling

Capitolo 1

Numeri reali

1.1 Introduzione

I numeri reali nascono con la scoperta dell’esistenza di grandezze incommensura- bili, quali le lunghezze del lato e della diagonale di un quadrato. I numeri interi e i loro rapporti non sono quindi in grado di descrivere fondamentali relazioni della geometria. Malgrado cio, lo studio dei numeri reali comincio ad imporsi solo dopo la scoperta del calcolo infinitesimale, dovuta a Newton e Leibniz. Tra le molte costruzioni equivalenti del campo reale, adotteremo quella forse per noi piu intuitiva, cioe la costruzione dei numeri reali mediante allineamenti decimali infiniti.

1.2 Rappresentazione decimale dei numeri razionali

Come e noto, ogni numero razionale si puo rappresentare come allineamento decimale periodico, nel modo che ora descriveremo rapidamente. Indichiamo con Q l’insieme dei numeri razionali, dotato delle consuete operazioni di somma e prodotto e della relazione naturale di diseguaglianza. Sia r = p/q ∈ Q un numero razionale positivo, con p > 0, q > 0 interi. Si ha, mediante divisioni successive,

p q

= c 0 +

p 0 q

ove 0 ≤ p 0 < q e c 0 `e un intero non negativo,

p 0 q

c 1 10

p 1 10 q

ove 0 ≤ p 1 < q e c 1 `e un intero tra 0 e 9,

p 1 q

c 2 10

p 2 10 q

ove 0 ≤ p 2 < q e c 2 `e un intero tra 0 e 9.

Si ottiene quindi

r = c 0 +

c 1 10

c 2 102

p 2 102 q

1.3. Numeri reali e ordinamento 3

D′ora innanzi escluderemo dalle nostre considerazioni gli allineamenti de- cimali con periodo 9. Il termine ‘allineamento decimale’ avr`a il significato di allineamento in cui non compare il periodo 9.

Un allineamento decimale periodico e sempre la rappresentazione decimale di un numero razionale. Per vedere cio possiamo, come prima, supporre che l’allineamento sia periodico puro, cio´e del tipo c 0 , c 1 c 2... cs. Il numero

r = c 0 +

( (^) c 1 10

c 2 102

cs 10 s

) (^10 s 10 s^ − 1

e il numero cercato. Infatti, la rappresentazione decimale di 10s/(10s^ − 1)e

10 s 10 s^ − 1

10 s^

102 s^

10 ks^

Sostituendo questa espressione in (1.2.3) si ha l’asserto. Quindi esiste una cor- rispondenza biunivoca tra i numeri razionali positivi e gli allineamenti decimali che non hanno periodo 9.

Bench´e le operazioni di somma e prodotto tra allineamenti periodici siano generalmente complicate, la rappresentazione decimale permette di decidere fa- cilmente quale tra due dati numeri razionali sia il maggiore. Infatti, sia r 6 = r′, e supponiamo che sia k il primo indice per cui ck 6 = c′ k. Risulta ck > c′ k se e solo se r > r′.

Il concetto di rappresentazione decimale si estende ai numeri razionali nega- tivi, semplicemente anteponendo il segno − all’allineamento. In altri termini, se il numero r ha la rappresentazione (1.2.2), diciamo che il numero −r ha la rap- presentazione −r = −c 0 c 1 c 2 c 3... cn.. .. L’allineamento 0, 000... rappresenta il numero 0.

1.3 Numeri reali e ordinamento

Gli allineamenti decimali periodici non costituiscono la totalit`a dei possibili allineamenti. Ad esempio, l’allineamento

1 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1... (1.3.1)

in cui ogni 1 e seguito da uno 0 in piu del precedente 1, `e chiaramente non periodico. D’altra parte, gli allineamenti non periodici si presentano in modo naturale quando si cerca di risolvere equazioni del tipo x^2 = 2, prive di soluzioni nel campo razionale.

Teorema 1.3.2 Non esiste alcun numero razionale p/q tale che (p/q)^2 = 2.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due interi positivi p e q tali che p^2 = 2q^2. Eseguendo le semplificazioni, possiamo supporre che p e q non abbiano fattori comuni. Poich´e p^2 `e pari, anche p deve essere pari. Esiste quindi

4 1. Numeri reali

un intero positivo m tale che p = 2m. Ne segue 2m^2 = q^2. Perci`o anche q^2 e q sono pari. Questo contraddice l’ipotesi che p e q non abbiano fattori comuni.

Quindi

2 non `e razionale. Il noto algoritmo per il calcolo della radice quadrata fornisce successivamente i valori approssimati:

1 1 , 4 1 , 41 1 , 414 1 , 4142 1 , 41421...

Questo procedimento conduce a esprimere

2 mediante un allineamento deci- male, necessariamente non periodico: √ 2 = 1, 414213562...

Definizione 1.3.3 Definiamo numero reale un allineamento decimale con se- gno, ±c 0 , c 1 c 2... cn.. .. Se l’allineamento e periodico il numeroe razionale. Se l’allineamento non `e periodico il numero si dice irrazionale.

Ricordiamo che sono esclusi gli allineamenti periodici con periodo 9. In questo capitolo indicheremo generalmente un numero reale con una lettera greca: ad esempio α = a 0 , a 1 a 2... an... In questa scrittura il numero a 0 e un intero maggiore o eguale a 0 chiamato parte intera. I numeri dopo la virgola sono interi tra 0 e 9, chiamati cifre decimali. Sia α 6 = 0. Se l’allineamentoe preceduto dal segno + diremo che α e posi- tivo, mentre see preceduto dal segno − diremo che α `e negativo. Denoteremo l’insieme dei numeri reali con R, l’insieme dei reali positivi con R+, l’insieme dei reali negativi con R−. Si noti che, per definizione, Q ⊂ R. I simboli Q+ e Q− indicheranno rispettivamente i numeri razionali positivi e quelli negativi.

Il valore assoluto |α| di un numero reale α e definito nel modo seguente: se αe positivo o nullo si pone |α| = α. Se invece α `e negativo, si pone |α| = −α. Introduciamo ora l’ordinamento in R.

Definizione 1.3.4 Siano α = a 0 , a 1 a 2... an... e β = b 0 , b 1 b 2... bn... due numeri reali non negativi diversi tra loro. Siano an e bn le prime cifre diverse, ovvero sia a 0 = b 0 , a 1 = b 1 ,... , an− 1 = bn− 1 , an 6 = bn.

Poniamo α < β se an < bn. Se α e β sono negativi e diversi tra loro, poniamo α < β se |β| < |α|. Infine, se α e negativo e βe positivo o nullo, poniamo α < β.

Evidentemente questa definizione estende da Q a R la relazione d’ordine per i numeri razionali. L’insieme dei reali risulta cos`ı totalmente ordinato, nel senso precisato dalla seguente Teorema.

Teorema 1.3.5 L’ordinamento su R ha le seguenti propriet`a:

1. ∀α, β ∈ R vale una e una sola delle seguenti relazioni

α = β, oppure α < β, oppure β < α.

6 1. Numeri reali

Chiaramente α < r. Si ha anche r < β, poich´e a 0 = b 0 , a 1 = b 1 ,... , an− 1 = bn− 1 , e an < bn. Si ponga ora

i = a 0 , a 1... an an+1... ak− 1 9101001000100001...

Le cifre dopo la k-esima sono definite con la stessa legge che in (1.3.1): ogni 1 e seguito da uno 0 in piu del precedente 1. Quindi i e irrazionale e, come prima, α < i < β. Se α e β hanno segno qualsiasi, la costruzione precedente si adatta imme- diatamente. La proprieta enunciata nel Teorema si esprime dicendo che sia l’insieme dei numeri razionali, che l’insieme dei numeri irrazionali, `e denso in R.

Definizione 1.3.10 Un sottoinsieme non vuoto A ⊆ R si dice limitato supe- riormente se esiste β ∈ R tale che

∀α ∈ A α ≤ β.

Un tale β si dice maggiorante di A. Analogamente, un sottoinsieme non vuoto A ⊆ R si dice limitato inferiormente se esiste γ ∈ R tale che

∀α ∈ A γ ≤ α.

Un tale γ si dice minorante di A. Infine, A si dice limitato se `e limitato sia superiormente che inferiormente.

Esempi 1.3.

1. L’insieme degli interi negativi e limitato superiormente, ma non inferior- mente. In questo caso l’insieme dei maggiorantie l’intervallo [− 1 , +∞). Cosı pure, l’insieme degli interi positivie limitato inferiormente ma non superiormente.
2. Gli intervalli definiti in (1.3.6) sono limitati. Per tutti questi interval- li l’insieme dei maggioranti e [β, +∞), mentre l’insieme dei minorantie (−∞, α].
3. Gli intervalli in (1.3.7) sono illimitati superiormente, ma limitati inferior- mente. Gli intervalli in (1.3.8) sono illimitati inferiormente, ma limitati superiormente. L’insieme dei minoranti per i due intervalli in (1.3.7) e (−∞, α], mentre l’insieme dei maggioranti per i due intervalli in (1.3.8)e [α, +∞).

Definizione 1.3.12 Un numero reale M si dice massimo di un sottoinsieme A ⊆ R se M ∈ A e α ≤ M per ogni α ∈ A. Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme A ⊆ R se m ∈ A e m ≤ α per ogni α ∈ A.

1.3. Numeri reali e ordinamento 7

Il massimo e il minimo di un insieme, se esistono, sono necessariamente unici. Chiaramente, il massimo di A e un maggiorante, e il minimoe un minorante. Tuttavia, un insieme limitato superiormente non ha necessariamente massimo, e un insieme limitato inferiormente non ha necessariamente minimo.

Esempi 1.3.

1. Un intervallo chiuso e limitato [α, β] ha come minimo α e come massimo β. L’intervallo aperto (α, β) non ha n´e massimo n´e minimo. L’intervallo [α, +∞) ha come minimo α, mentre (α, +∞) non ha minimo.
2. L’insieme limitato { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 ,... , 1 /n,.. .} ha come massimo 1, ma non ha minimo (si noti che 0 non appartiene all’insieme).
3. L’insieme A = {r ∈ Q+ : r^2 < 2 } (1.3.14) e non vuoto (1 ∈ A) ede limitato superiormente (3 `e un maggiorante). L’insieme A non ha massimo. Infatti, per ogni r ∈ A, poniamo:

s = r + 2 − r^2 2 + r

r + 1 r + 2

Un semplice calcolo mostra che s^2 < 2 e percio s ∈ A. D’altra parte, r < s, e quindi r non puo essere il massimo di A. Analogamente

B = {r ∈ Q+ : r^2 > 2 } (1.3.16)

`e limitato inferiormente ma non ha minimo. In questo caso infatti, il numero s definito in (1.3.15) soddisfa s^2 > 2, e quindi appartiene a B, ma s < r.

Il massimo e il minimo di un insieme A vengono indicati rispettivamente con i simboli max A, min A.

L’insieme ordinato dei numeri reali `e completo, nel senso precisato dal seguente teorema.

Teorema 1.3.17 (di completezza) Se A e un insieme limitato superiormen- te, l’insieme dei maggioranti di A ha minimo. Se Ae un insieme limitato inferiormente, l’insieme dei minoranti di A ha massimo.

Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la prima affermazione, poich´e la seconda si dimostra in modo del tutto analogo. Sia A limitato superiormente e denotiamo con B l’insieme dei maggioranti di A. Supponiamo dapprima che nessun elemento di B sia negativo. In tal caso l’insieme delle parti intere degli elementi di B ha minimo non negativo. Denotiamo con c 0 questo minimo e poniamo

B 0 = {β ∈ B : la parte intera di β `e c 0 }.

1.3. Numeri reali e ordinamento 9

Se A ammette massimo M , allora sup A = M. Tuttavia, come abbiamo vi- sto, un insieme limitato superiormente puo non avere massimo, mentre l’estremo superiore esiste sempre. Analoga cosiderazione vale per il minimo. Si noti che l’estremo superioree unico, poich´e il minimo di un insieme (in questo caso i maggioranti) e unico. Analogamente, l’estremo inferioree unico.

Esempi 1.3.

1. Sia A l’intervallo aperto (α, β). Si ha inf A = α e sup A = β, ma essi non sono minimo e massimo. Se A = [α, β), allora α = inf A = min A. Si ha ancora sup A = β, ma β non `e massimo.
2. Sia A = { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 ,... , 1 /n,.. .}. In questo caso si ha 1 = max A = sup A. Il numero 0 non e minimo, perch´e non appartiene ad A. Si ha pero 0 = inf A.
3. Sia A = Q+. L’insieme non e limitato superiormente, per cui sup A = +∞. Invecee limitato inferiormente e 0 = inf A.
4. Sia A =

n − 1 n

In questo caso sup A = 1, ma tale valore non `e massimo. Invece inf A = min A = 1/2.

Osservazione. Sia L l’estremo superiore di un insieme A limitato superior- mente. L e caratterizzato dalle due seguenti proprieta:

1. ∀α ∈ A α ≤ L.
2. ∀β < L ∃α ∈ A β < α ≤ L.

La proprieta 1 esprime il fatto che Le un maggiorante di A. La 2 esprime il fatto che L e il minimo dei maggioranti. Per l’estremo inferiore di un insieme A limitato inferiormente si ha analo- gamente

1. ∀α ∈ A α ≥ `.
2. ∀β > ∃α ∈ A β > α ≥.

Un’altra notazione comunemente usata per gli estremi superiore e inferiore di A `e sup x∈A

x, inf x∈A x.

Se A = {xi}i∈I `e un insieme di numeri dipendenti da un indice i, di qualunque natura, si usa anche la notazione

sup i

xi, inf i xi.

10 1. Numeri reali

I simboli +∞ e −∞, introdotti nella definizione di estremo superiore e inferiore, sono di uso comune in Analisi Matematica. Aggiungendo all’insieme ordinato dei numeri reali questi simboli, si ottiene un insieme a cui `e possibile estendere in modo naturale l’ordinamento definito in R. Definizione 1.3.22 Poniamo

R = R ∪ {−∞, +∞}.

Per ogni α reale poniamo −∞ < α < +∞. (1.3.23) L’insieme R viene chiamato R esteso. E immediato verificare che^ R, con la relazione < definita in (1.3.23), risulta un insieme totalmente ordinato, ossia valgono in R le proprieta 1 e 2 del Teorema 1.3.5. I concetti di maggiorante, minorante etc. si estendono in modo ovvio a R.

1.4 Partizioni di Q e di R

L’insieme ordinato dei numeri razionali non `e completo. Infatti, sia

A = {r ∈ Q+ : r^2 < 2 } ∪ Q− ∪ { 0 }, B = {r ∈ Q+ : r^2 > 2 }.

B costituisce l’insieme dei maggioranti razionali di A, e A costituisce l’insieme dei minoranti razionali di B. Poich´e B non ha minimo e A non ha massimo, in Q non vale il Teorema di completezza. I due insiemi A e B sono separati, cioe per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B si ha a < b; inoltre, Q = A ∪ B. Si dice che due insiemi non vuoti che godono di queste due proprieta costituiscono una partizione di Q. Sia γ 1 ∈ R l’estremo superiore di A, e γ 2 ∈ R l’estremo inferiore di B. Si ha necessariamente γ 1 = γ 2 , altrimenti, per il Teorema di densita, esisterebbe un razionale s tale che γ 1 < s < γ 2. Il numero s non puo appartenere ad A, poich´e e maggiore di sup A, n´e a B, poich´ee minore di inf B, assurdo. Denotiamo con γ il comune valore di γ 1 e γ 2. Si ha

∀a ∈ A ∀b ∈ B a < γ < b. (1.4.1) Il numero irrazionale γ si chiama elemento separatore ed e unico. Abbiamo cosı costruito una partizione di Q mediante due insiemi, di cui il primo non ha massimo e il secondo non ha minimo. Questo non pu`o accadere per una partizione di R.

Teorema 1.4.2 Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che A ∪ B = R. Allora esiste un unico numero reale γ tale che ∀α ∈ A ∀β ∈ B α ≤ γ ≤ β.

Inoltre, o γ e il massimo di A, o γe il minimo di B.