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Introduction to Analytics Geometry
Calculus and Analytic Geometry, MATHEMATICS 12
³ Distance Formula
Let A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y (^) 2 )be two points in a plane
and d be a distance between A and B then
2 2 d = ( x 2 (^) - x 1 (^) ) + ( y 2 (^) - y 1 )
or
2 2 d = ( x 1 (^) - x 2 (^) ) + ( y 1 (^) - y 2 )
See proof on book at page … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
³ Ratio Formula
Let A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y 2 )be two points in a plane. The coordinates of the point
C dividing the line segment AB in the ratio
k 1 (^) : k 2 are
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 1 2
k x k x k y k y
k k k k
Ê + + ˆ
Á ˜
Ë +^ + ¯
If C be the midpoint of AB i.e. k 1 (^) : k 2 =1:
then coordinate of C becomes
1 2 1 2 , 2 2
Ê^ x^ +^ x^ y^ + y ˆ Á ˜ Ë ¯
See proof on book at page 182 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
³ Intersection of Median
Let A x ( 1 , y 1 ), B x ( 2 , y 2 )and C x ( 3 , y 3 )are vertices of triangle.
Intersection of median is called centroid of triangle and can be determined as
1 2 3 1 2 3 , 3 3
Ê^ x^ +^ x^ +^ x^ y^ +^ y^ + y ˆ Á ˜ Ë ¯
See proof at page 184
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³ Centre of In-Circle (In-Centre)
Let A x ( 1 , y 1 ), B x ( 2 , y 2 )and C x ( 3 , y 3 )are vertices of triangle.
And AB = c , BC = a , CA = b
Then incentre of triangle
1 2 3 1 2 3 ,
ax bx cx ay by cy
a b c a b c
Ê +^ +^ +^ + ˆ
= Á ˜
Ë +^ +^ +^ + ¯
See proof at page 184
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³ Rotation of Axes
Let ( , x y )be the coordinates of point P in xy -coordinate system. If the axes are
rotated through at angle of q and ( X Y , )are coordinate of P in new XY -coordinate
system then
X = x cos q + y sin q
Y = y cos q - x sin q
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
O^ (0,0)
B x (^ 2 ,y 2 )
A x (^ 1 ,y 1 )
O^ (0,0)
B x (^ 2 ,y 2 )
A x (^ 1 ,y 1 )
C
k 1
k 2
³ Inclination of a Line:
The angle a (0 £ a <180 )
o o measure anti-
clockwise from positive x - axis to the straight line
l is called inclination of a line l.
³ Slope or Gradient of Line
The slope m of the line l is defined by:
m = tan a
If A x ( 1 (^) , y 1 )and B x ( 2 (^) , y 2 )be any two
distinct points on the line l then
2 1
2 1
y y m x x
1 2
1 2
y y
x x
See proof on book at page: 191
³ Note: l is horizontal, iff m = 0 ( a = 0 )
o Q
l is vertical, iff m = • i.e. m is not defined. ( a = 90 )
o Q
If slope of AB = slope of BC , then the points A B , and C are collinear
i.e. lie on the same line.
³ Theorem
The two lines l 1 and l 2 with respective slopes m 1 and m 2 are
(i) Parallel iff m 1 (^) = m 2
(ii) Perpendicular iff m m 1 2 (^) = - 1 or (^1)
2
m m
(with m 1 and m 2 non-zero)
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³ Equation of Straight Line:
(i) Slope-intercept form
Equation of straight line with slope m and y - intercept c is given by:
y = mx + c
See proof on book at page 194
( ii) Point-slope form
Let m be a slope of line and A x ( 1 (^) , y 1 )be a point lies on a line then equation of
line is given by:
y - y 1 = m x ( - x 1 )
See proof on book at page 195
(iii) Symmetric form
Let a be an inclination of line and A x ( 1 (^) , y 1 )be a point lies on a line then
equation of line is given by:
1 1
cos sin
y y x x
a a
See proof on book at page 195
B x (^ 2 ,y 2 )
A x (^ 1 ,y 1 )
a
³ Point of intersection of lines
Let l 1 (^) : a x 1 + b y 1 + c 1 = 0
l 2 (^) : a x 2 + b y 2 + c 2 = 0 be non-parallel lines.
Let P x ( 1 (^) , y 1 ) be the point of intersection of l 1 and l 2. Then
a x 1 1 (^) + b y 1 1 (^) + c 1 (^) =0 .............( ) i
a x 2 1 (^) + b y 2 1 (^) + c 2 (^) =0 .............( ) ii
Solving ( ) i and ( ) ii simultaneously, we have
1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
x y 1
b c b c a c a c a b a b
1 2 2 1 1 1 2 2 1
b c b c x a b a b
fi =
and
1 2 2 1 1 1 2 2 1
a c a c y a b a b
Hence
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
b c b c a c a c
a b a b a b a b
Ê - - ˆ
Á - ˜
Ë -^ - ¯
is the point of intersection of l 1 and l 2.
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³ Equation of line passing through the point of intersection.
Let l 1 (^) : a x 1 + b y 1 + c 1 = 0
l 2 (^) : a x 2 + b y 2 + c 2 = 0
Then equation of line passing through the point of intersection of l 1 and l 2 is
l 1 (^) + k l 2 = 0 , where k is constant.
i.e. a x 1 + b y 1 + c 11 + k ( a x 2 + b y 2 + c 2 )= 0.
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³ Angle between lines
Let l 1 and l 2 be two lines. If a 1 and a 2
be inclinations and m 1 and m 2 be slopes of
lines l 1 and l (^) 2 respectively, Let q be a angle
from line l 1 to l 2 then q is given by
2 1
1 2
tan 1
m m
m m
q
See proof on book at page 219 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
³ Homogenous 2nd Degree Equation
Every homogenous second degree equation
2 2 ax + 2 hxy + by = 0 represents
product of straight lines through the origin.
Let m 1 and m 2 be slopes of these lines. Then
1 2
a m m b
= and (^1 )
2 h m m b
Let q be the angles between the lines. Then
2 2 tan
h ab
a b
q
See proof on book at page 227. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
l (^2) l 1
a 1
q a 2
y
X
Y
